Skript zur Vorlesung "Codierungstheorie und Kryptographie"

Folgerung 6.16 Erfüllt ein Kryptosystem die Bedingungen (i) |P| = |K| und
(ii) q K = |K| −1 für alle K ∈ K, so ist es perfekt sicher.
Bemerkung 6.17 Die Verwendung von Einwegschlüsseln liefert also perfekt sichere
Kryptosysteme. Es sind dies auch die einzigen Verfahren, für die bis heute
die perfekte Sicherheit bewiesen ist.
Das Problem des sicheren Austausches von Einwegschlüsseln kann mittels der
technisch noch zu entwickelnden Quanten-Kryptographie zumindest theoretisch
sehr elegant gelöst werden.
Schlüsselvereinbarung in der Quanten-Kryptographie
In einem Quanten-Kanal werden einzelne Photonen (Lichtquanten) übertragen,
die jeweils eine von vier mögliche Polarisationsrichtungen aufweisen: 0 Grad (↕),
45 Grad (↗), 90 Grad (↔) oder 135 Grad (↘). Diese Photonen können als
Zeichen über dem Alphabet A = {0, 1, 2, 3} aufgefaßt werden.
Zur Vereinbarung eines Schüssels für eine spätere geheime Nachrichtenübertragung
durch einen gewöhnlichen Kanal sendet der Sender zunächst eine zufällige
Folge solcher Photonen über den Quanten-Kanal an den Empfänger, z. B.
(a) 0, 2, 1, 0, 3, 2, 2, 1, 0, 2, 3, 1, 1, . . .
Der Empfänger mißt jedes empfangene Photon durch einen jeweils zufällig gewählten
Polarisationsfilter, der ebenfalls durch eine der vier Richtungen bestimmt
ist, also auch als zufällige Folge über A dargestellt werden kann, z. B.
(b) 0, 1, 3, 2, 1, 0, 2, 2, 3, 0, 3, 2, 1, . . .
Wird dabei ein gerades (ungerades) Photon durch einen geraden (ungeraden)
Filter gemessen, so beobachtet der Empfänger bei Gleichheit mit Sicherheit ein
Signal (notiert als 1), bei Ungleichheit mit Sicherheit kein Signal (notiert als 0).
Stimmt dagegen die Parität von gesendetem Photon und Filter nicht überein, so
mißt der Empfänger nach den Gesetzen der Quantenmechanik jeweils mit 50 %
Wahrscheinlichkeit ein Signal oder kein Signal. Er ermittel also eine Meßfolge (c)
aus Nullen und Einsen, wobei er allerdings nicht weiß, welche Symbole “sicher”
sind und welche nur die Wahrscheinlichkeit 0.5 besitzen (vgl. Anhang).
Der Empfänger schickt nun über einen gewöhnlichen Kanal an den Sender die
Folge (b) seiner Filtereinstellungen. Hieraus und aus seinen eigenen Filtereinstellungen
kann der Sender die Indizes der “sicheren” Messungen und die jeweiligen
Ergebnisse des Empfängers berechnen. Er sendet nun dem Empfänger die Folge
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