Skript zur Vorlesung "Codierungstheorie und Kryptographie"

Beispiel 4.18 Es seien K ein Körper mit q Elementen und d, n ∈ N mit 2 ≤
d ≤ n ≤ q. Weiterhin sei a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ K n mit paarweise verschiedenen a i
und v = (v 1 , . . . , v n ) ∈ K n mit v i ≠ 0 für alle i. Die (d − 1) × n-Matrix H werde
definiert durch
⎛
⎞
v 1 . . . v n
a 1 v 1 . . . a n v n
H =
a 2 1v 1 . . . a 2 nv n
.
⎜
⎟
⎝ . . . ⎠
a d−2
1 v 1 . . . a d−2
n v n
Der verallgemeinerte Reed-Solomon-Code GRS d (a, v) ist dann
GRS d (a, v) = {c ∈ K n | H · c T = 0}.
Ist α ∈ K ein primitives Element, d. h. gilt K \ {0} = {1, α, α 2 , . . . , α q−2 }, und
setzt man a = v = (1, α, . . . , α q−2 ), so nennt man den Code GRS d (a, v) einen
Reed-Solomon-Code kurz: RS-Code (Irving Stoy Reed, Gustave Solomon 1960).
Bemerkung 4.19 a) Es ist GRS d (a, v) ein [n, n − d + 1, d]-Code und damit ein
MDS-Code.
b) Ein [255, 251, 5]-Reed-Solomon-Code über K = F 8 ist Ausgangspunkt für die
Konstruktion der Codierung, mit der Daten auf den gängigen Compact Discs
dargestellt werden. Bei der konkreten Konstruktion werden noch die Techniken
der Codeverkürzung und Codeverschachtelung benutzt:
Definition 4.20 Es seien n ≥ 2, C ein [n, k]-Code über K und i ∈ {1, . . . , n}.
Dann heißt
(38)
Č = Či = {(c 1 , . . . , c i−1 , c i+1 , . . . , c n ) | (c 1 , . . . , c i−1 , 0, c i+1 , . . . , c n ) ∈ C}
Verkürzung von C an der Stelle i und
(39)
C ∗ = C ∗ i = {(c 1 , . . . , c i−1 , c i+1 , . . . , c n ) | (c 1 , . . . , c i−1 , c i , c i+1 , . . . , c n ) ∈ C}
Punktierung von C an der Stelle i.
Definition 4.21 Es sei C ein [n, k, d]-Code und t ∈ N. Dann heißt der [tn, tk, d]-
Code
C(t) = {(c 11 , . . . , c t1 , . . . , c 1n , . . . , c tn ) | (c i1 , . . . , c in ) ∈ C, i = 1, . . . , t}
die Codeverschachtelung von C zur Tiefe t.
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