Skript zur Vorlesung "Codierungstheorie und Kryptographie"

Satz 3.11 Es sei C ⊆ B n ein Blockcode der Länge n über B und es gelte |B| = q.
a) Ist d(C) ≥ 2e + 1 für e ∈ N 0 , so gilt die Hamming-Schranke
(21)
( )
e∑ n
q n ≥ |C| (q − 1) j .
j=0
j
b) Genau dann ist ein nicht-trivialer Code C perfekt, wenn in (21) die Gleichheit
gilt. Diese Gleichung nennt man auch Kugelpackungsgleichung.
Beweis: a) Aus d(C) ≥ 2e + 1 folgt wie im Beweis von Satz 3.9 b) zunächst
einmal B e (c) ∩ B e (c ′ ) = ∅ für alle c ≠ c ′ aus C. Mit Lemma 3.4 erhält man
q n = |B n | ≥ | ⋃
B e (c)| = ∑ ( )
e∑ n
|B e (c)| = |C||B e (c)| = |C| (q − 1) j ,
c∈C c∈C
j=0
j
und hierin gilt Gleichheit genau dann, wenn B n = ⋃ c∈C B e (c) gilt.
b) Gilt also die Gleichheit, so ist C nach Definition perfekt. Ist C umgekehrt
nicht-trivial und perfekt, so ist ⋃ c∈C B e (c) disjunkte Überdeckung von B n und
da |C| > 1 gilt, hat man auch d(C) ≥ 2e+1. Nach a) gilt (21) also mit Gleichheit.
⋄
Beispiel 3.12 a) Triviale Codes (e = n) und C = B n (e = 0) sind perfekte
Codes. Der binäre Wiederholungscode ungerader Länge n = 2e + 1 ist perfekt,
denn B n wird von den beiden disjunkten Kugeln vom Radius e um die beiden
Codeworte 0 und 1 überdeckt. Diese Codes nennt man auch triviale perfekte
Codes.
b) Die weiter unten behandelten (linearen) Hamming-Codes sind perfekt.
c) Es gibt noch zwei von M. J. E. Golay im Jahr 1949 entdeckte perfekte Codes,
den binären (23, 2 12 , 7)-Golay-Code und den ternären (11, 3 6 , 5)-Golay-Code.
d) Zwei tiefliegende Resultate, die von verschiedenen Autoren in den 70er und
80er Jahren bewiesen wurden, besagen, daß für Primzahlpotenzen q = |B| ein
nicht-trivialer perfekter Code nur mit denselben Parametern wie die Hamming-
Codes und die Golay-Codes existieren kann. Außerdem ist für beliebiges q und
d(C) ≥ 7 der binäre Golay-Code der einzige nicht-triviale perfekte Code.
Durch die folgenden Begriffsbildungen wird das Vorgehen in Beispiel 1.1 verallgemeinert
und verständlicher.
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