Skript zur Vorlesung "Codierungstheorie und Kryptographie"

Beweis: Offensichtlich reicht es, den ungeraden Fall zu beweisen. Sei also d ungerade.
Ist dann C ein binärer (n, M, d)-Code, so ist C ein (n+1, M, d+1)-Code.
Dies zeigt A 2 (n + 1, d + 1) ≥ A 2 (n, d). Sei umgekehrt C ein (n + 1, M, d + 1)-
Code. Entfernt man aus allen Codewörtern eine feste Koordinate, so bleiben
unterschiedliche Codeworte verschieden, da sie sich wegen d + 1 > 1 nicht nur
in dieser Koordinate unterscheiden konnten. Man erhält also eine Blockcode der
Länge n aus M Codewörtern. Zwei auf diese Weise erhaltene Codeworte der
Länge n unterschieden sich aber noch in mindestens d Koordinaten. Sind c ≠ c ′
zwei Codeworte aus C mit d(c, c ′ ) = d+1 und streicht man aus allen Codewörtern
eine Koordinate, an der sich c und c ′ unterscheiden, so haben die resultierenden
Codewörter nur noch den Abstand d, der resultierende Code ist also tatsächlich
ein (n, M, d)-Code. Dies zeigt auch die andere Ungleichung.
⋄
Definition 3.16 Ein Blockcode C der Länge n über B = Z/(q) heißt Paritätscode
zur Basis q mit den Gewichten g 1 , . . . , g n ∈ B, wenn C genau aus den
(c 1 , . . . , c n ) ∈ B n besteht, für die
(23)
n∑
g i c i ≡ 0 mod q
i=1
gilt. Das letzte Zeichen c n eines jeden Codewortes heißt dann das Kontrollzeichen
dieses Wortes. Stets ist (0, . . . , 0) in C. Gilt g i = 1 für alle Gewichte, wird also
zunächst die Quersumme berechnet, so heißt C einfach ein Paritätscode.
Beispiel 3.17 a) Bei der EAN (Europäische Artikel-Nummer) wird ein Paritätscode
zur Basis 10 entweder der Länge 13 (EAN13) oder der Länge 8 (EAN8) verwendet.
Beim EAN13 lauten die Gewichte 1, 3, 1, . . . , 3, 1, beim EAN8 dagegen
3, 1, . . . , 3, 1. Beide Codes sind also nach dem folgenden Satz 1-fehlererkennend.
b) Bei der ISBN10 (Internationale Standard Buch Nummer) wird ein Paritätscode
zur Basis 11 der Länge 10 verwendet. Die Gewichte lauten 10, 9, . . . , 1. Ist das
Kontrollzeichen eine 10, so wird dieses als X notiert. Nach dem folgenden Satz
ist der ISBN-Code 1-fehlererkennend. Er erkennt sogar Vertauschungsfehler an
beliebigen Stellen.
Seit 2007 wird auch die ISBN13 zur Basis 10 der Länge 13 verwendet. Die Gewichte
sind dieselben wie bei der EAN13. Die ISBN13 entsteht aus der ISBN10 durch
voranstellen der drei Ziffern 978 und der anderen Berechnung der Prüfziffer.
c) Bei den Euro-Banknoten kommt ein Paritätscode der Länge 9 zum Einsatz.
Die auftretenden Buchstaben werden vorher durch Ziffern aus {0, . . . , 9} ersetzt.
Sämtliche Gewichte sind 1.
18