Risikomodellierung im Standardmodell - qx-Club Berlin

Risikomodellierung im
Standardmodell
QX- C L U B B E R L I N 7 . M A I 2 0 1 2
D R . P E T E R T A K Á C S ( C O N S I N T O G M B H )
D R . R O L F M E R T I G ( G L U O N V I S I O N G M B H )
Mertig + Takács

Themen
2
Theorie
• Risikomodellierung
Begriffe und Verfahren
Risikomaß und –verteilung
Abhängigkeitsstrukturen
Risikoaggregation
• Standardmodell
Vorgaben durch Solvency II
Solvenzbilanz
Risikokategorien und Teilrisiken
Risikobewertung
Stärken/Schwächen
• Weiterentwicklungen mit
stochastischer Simulation
Aktuelle Verfahren im Überblick
Praxis
• aktuarielle Unterstützung
Mathematica ®
Kurzvorstellung
Anwendungsbeispiel
Projektentwicklung
• aktuarieller Arbeitsplatz
Nutzungsmöglichkeiten
Ergänzung zu Prophet
Bestandsverdichtung
MCEV
…
• aktuarielles Projekt
Stochastisches
Unternehmensmodell
Mertig + Takács

Risikomodellierung
3
• Risikobegriff
Entscheidung zum Verhalten
Meist unbekanntes Ergebnis
Erwartetes Ergebnis
Abweichungen von der
Erwartung
• Mögliches Eintreten eines
Ereignisses in der Zukunft
mit negativer Auswirkung
Vielzahl von Möglichkeiten
Zufallsgröße
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Erwartungswert
Varianz,
Standardabweichung,
Variationskoeffizient
Risiko
Mertig + Takács

Risikomodellierung
4
• Bivariate (standardisierte)
Normalverteilung
Symmetrisch
Finanz-, Versicherungsdaten
eher schief
Korrelationsstruktur
Annahmen treffen
flach auslaufende Ränder
Kaum Extremwerte
Gleichzeitige gemeinsame
Extremwerte noch seltener
Geringe Abhängigkeiten am
Rand
Dichtefunktion
Verteilungsfunktion
Mertig + Takács

Risikomodellierung
5
• Risikomaße
Varianz
Var ( X ):
Value at Risk (VaR)
1
VaR
( X ) : F
X
( )
inf{ x
R,
F ( x)
}
Expected Shortfall (TVaR, CVaR)
ES
E((
X
E(
X ))
X
( X ) : E(
X X VaR
( X ))
2
)
Mertig + Takács

Risikomodellierung
6
• Abhängigkeitsstrukturen
Verteilung der Einzelrisiken ???
Lognormal
Normal
Arcus Sinus
Abhängigkeit der Risiken untereinander ???
4
1.0
1.0
1.0
3
2
0.8
0.8
0.8
1
0.6
0.6
0.6
2 2 4
0.4
0.4
0.4
1
2
0.2
0.2
0.2
3
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Mertig + Takács

Risikomodellierung
7
• Copulas
Verteilungsfunktion eines Zufallsvektors mit uniformen
Randverteilungen
Zerlegung der multivariaten Verteilung in
Abhängigkeitsstruktur und univariate Randverteilungen
Unabhängig von der Verteilung der Einzelrisiken
Eindeutigkeit der Abhängigkeitsstruktur der Einzelrisiken bei
stetigen Randverteilungen (Theorem von Sklar)
berechenbares Maß für die Abhängigkeit an den Rändern
Mertig + Takács

Risikomodellierung
8
• Copulas
Fréchet-Hoeffding-Schranken
obere Schranke
1.0
0.8
Komonoton
0.6
0.4
0.2
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
0.8
0.6
unabhängig
0.4
0.2
untere Schranke
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
0.8
0.6
Kontramonoton
0.4
0.2
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Mertig + Takács

Risikomodellierung
• Risikoaggregation
)
(
...
)
,
(
)
,
(
...
...
...
...
)
,
(
...
)
(
)
,
(
)
,
(
...
)
,
(
)
(
,
...
)
,
(
~
...
:
2
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
X
Var
X
X
Cov
X
X
Cov
X
X
Cov
X
Var
X
X
Cov
X
X
Cov
X
X
Cov
X
Var
N
X
X
X
X
)
(
: i
i
X
Var
k
SCR
1
1´
)
(1´
)
...
(
: 2
1
k
X
Var
k
X
X
X
Var
k
SCR
n
Gesamt
(Wurzelformel)
Solvency Capital Required
Mertig + Takács
k
gewählt
k geeignet
9

Risikomodellierung
10
• Risikoaggregation
X ~ N(0,1)
X ~ N(0,1)
Y ~ N(0,1)
Y X
2
Verteilung bekannt
Y X 2 ~
2 (1)
Cov( X,
Y)
0
4
3
2
1
4
3
3 2 1 1 2 3
2
1
2
1
3
3 2 1 1 2 3
unkorrelie rt,
unabhängig
X
0 1
X
Y
0 1
Y
SCR=3.64
unkorrelie rt,
abhängig
X
0 1
Y
1
Y
X
SCR=5.77
2
Y
1
Y
SCR=9.064
2
Mertig + Takács

Standardmodell
11
Stochastische Modellierung
der ökonomischen Bilanz im
1-Jahres-Horizont
Ökonomische Bewertung der
vorhandenen Eigenmittel
Solvenzkapital, max. Verlust
an Eigenmitteln, der mit
bestimmter Wahrscheinlichkeit
nicht überschritten wird
Unbekannte Verteilung der
ökonomischen Eigenmittel
Solvency II Bilanz
Marktwert der
Assets
ökonomische
Eigenmittel
Marktwert der
Liabilities
Mertig + Takács

Standardmodell
• Bewertung der Verbindlichkeiten mit Best-Estimate
zuzüglich Risikomarge
• Bewertung der Kapitalanlagen mit Marktwerten
• Risikokategorien mit Teilrisiken sind definiert
versicherungstechnisches Risiko (Health, Life, Non-Life)
Marktrisiko (Zins-, Aktien-, Immobilien-, Wechselkursrisiko, …)
operationelles Risiko
• Solvenzkapitalbstimmung mittels faktorbasierten Ansatz
oder Szenariorechnungen
• Korrelationen beim Übergang zum Gesamtrisiko
• Doppelte Bestimmung der ökonomischen Bilanz
ersetzt stochastische Modellierung
12
Mertig + Takács

Solvency II Bilanz
Standardmodell
13
Ausgangsbilanz
„gestresste“ Bilanz
(z.B. Aktien fallen um x%)
ökonomische
Eigenmittel
ASM 0
ökonomische
Eigenmittel
ASM i
Marktwert der
Assets
Marktwert der
Liabilities
Marktwert der
Assets
Marktwert der
Liabilities
SCR i =ASM 0 -ASM i
SCR – Solvency Capital Requirement
ASM – Available Solvency Margin
i - Risikoindex
Mertig + Takács

• Europaweit standardisiert
Standardmodell
14
• Anwendbarkeits- und Wirkungsstudien auf europäischer Ebene:
„Quantitative Impact Studies“ (QIS 1 bis QIS 5 ( QIS 6 (GDV) )
• Keine stochastischen Simulationen erforderlich
• Problematisch
quantifizierbarkeit der Risiken
implizite Normalverteilungsannahme
VaR ist kein kohärentes Risikomaß
Abhängigkeitsstruktur
Korrelationsmatrizen
Überschätzung SCR
Vergleichbarkeit zwischen Unternehmen
• Weiterentwicklung zum (partiellen) internen Modell
Mertig + Takács

Weiterentwicklungen mit stochastischer Simulation
15
Szenarien
Risikofaktoren
Risikoaggregation mit Bewertungsmodell
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
2.5
10 20 30 40 50
2.0
1.5
1.0
0.5
2.5
10 20 30 40 50
2.0
1.5
1.0
0.5
10 20 30 40 50
Mertig + Takács

Weiterentwicklungen mit stochastischer Simulation
• Aktuelle Verfahren im Überblick
Curve Fitting
Bewertungsmodell: parametrisierbare Funktion
Least Square Monte Carlo
Bewertungsmodell: parametrisierbare Funktion
Replicating Portfolio
Bewertungsmodell: Portfolio aus Kapitalanlagen
Keine inneren Simulationen
Kalibrierung über Aktionärscashflow
Inkrementeller Aufbau des Portfolios
16
Mertig + Takács

aktuarielle Unterstützung
• Mathematica ® für das Aktuariat
17
Mertig + Takács

aktuarielle Unterstützung
• Mathematica ® für das Aktuariat bietet:
Transparenz und Nachvollziehbarkeit
Interaktive Nutzung am Arbeitsplatz
Geringer Einarbeitungsaufwand
offen, erweiterbar
Vorhandene Anwendungspakete
Dynamisches Modellieren
Schnittstellen zu anderen Programmsystemen
Excel
Harmonisierung der individuellen Datenverarbeitung
Batch-Betrieb am Großrechner
Unabhängigkeit von IT-Abteilung
Entwicklung und Anwendung
Performance
Simulationsrechnungen
18
Mertig + Takács

• Copula – Modelle
aktuarieller Arbeitsplatz
19
D =CopulaDistribution[{"Frank",6}, {UniformDistribution[{0,1}],UniformDistribution[{0,1}]} ];
data=RandomVariate[D,10^4];
Histogram3D[data,{{0,1,0.1},{0,1,0.1}},"PDF"]
Histogram3D[data,{{0,1,0.1},{0,1,0.1}},"CDF"]
2.0
1.0
1.5
1.0
1.0
0.5
1.0
0.5
0.0
0.0
0.5
0.0
0.0
0.5
0.5
0.5
1.0
0.0
1.0
0.0
Mertig + Takács

aktuarieller Arbeitsplatz
20
• Copula - Schätzung
{{63, 71},{61, 65},{137, 57},{25, 43},{158, 91},
{158, 73},{105, 62},{51, 70},{31, 60},{97, 74}, …..}
1. Empirische Randverteilungen
Histogram[[All,1]]
Histogram[[All,2]]
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
3. Copula - Dichte
2. Gemeinsame Verteilung
Dichtefunktion
Verteilungsfunktion
Mertig + Takács

aktuarielles Projekt
• Beispiel: Stochastisches Unternehmensmodell (Oberfläche )
21
Mertig + Takács

aktuarielles Projekt
• Beispiel: Input/Output des GDV Standardmodells (entspricht Excel-Modell)
22
Mertig + Takács

Zusammenfassung
23
• Abhängigkeiten zwischen den Einzelrisiken sind zu
berücksichtigen; sonst Fehleinschätzung des Gesamtrisikos
durch Wurzelformel
• Korrelation als Abhängigkeitsstruktur nicht ausreichend
• Moderne Verfahren mit Stärken und Schwächen
• Copulas als Ansatz zur Modellierung von Abhängigkeiten
• Modellierungswerkzeug Mathematica
• Transparente Modellierung gekoppelt mit performanceoptimierten
Algorithmen
Mertig + Takács