Kurvendiskussion Gebrochenrationale Funktionen.pdf - gilligan-online

Aufgabe:
2
2x − 4a
f gegeben durch f (x)
mit x ∈ R /{ a}
Zu jedem a > 0 ist eine Funktion a
a = ± ,
2
x − a
ihr Schaubild sei K a . Untersuche K a auf Symmetrie, Asymptoten, Schnittpunkte mit den
Achsen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte.
Lösung:
Berechnung der Ableitungen und Zerlegung in Linearfaktoren.
2
2x − 4a (x + 2a)(x − 2a)
f(x) a = = 2
x
2
− a (x + a)(x − a)
2 2
4x(x −a) −2x(2x −4a) x
f(x) ′ = = 4a
(x −a) (x −a)
a 2 2 2 2
2 2 2 2
(x −a) −2(x −a)2x ⋅ x 3x + a
f(x) a′′ = 4a = −4a ,
2 4 2 3
(x −a) (x −a)
keine Wendepunkte
⇒
keine dritte Ableitung
Symmetrie:
Der Zähler ist eine gerade Funktion und der Nenner ist eine gerade Funktion daraus folgt,
daß die gesamte Funktion gerade ist. Somit ist leicht zu zeigen: fa ( −x)
= fa(x)
Schaubild ist achsensymmetrisch bezüglich y-Achse.
Asymptoten:
Verhalten gegen
lim
x →∞
f
a
(x) =
x → ∞ :
lim
x →∞
2x
x
2
2
− 4a
=
− a
lim
x →∞
somit ist y = 2 waagrechte Asymptote.
→
0
2
x (2 −
4a
)
2
x
= 2 ,
2
x (1−
a
)
2
x
Verhalten an den Nennernullstellen x1 = a und x 2 = − a . Die Funktion ist vollständig
gekürzt und man sieht leicht, daß es keine hebbaren Stetigkeitslücken gibt. Die
Nennernullstellen sind beide erster (also ungerader) Ordnung, was jeweils einen Pol mit VZW
liefert.
> 0
< 0
> 0
(x + 2a )(x − 2a )
lim 2
→ +∞ ,
−
x→ a (x
+ a)(x
− a
)
> 0 < 0
also an der Stelle x 1 = a ist ein Pol mit VZW von + → −
Wegen Achsensymmetrie ist an der Stelle = − a ein Pol mit VZW von − → + .
Schnittpunkte mit den Achsen:
Schnittpunkt mit der y-Achse:
Bedingung: x = 0
f (0) = 4 ⇒ S (0 / 4)
a
y
x 2
→0
© 2004 Jürgen Gilg · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
1 © j. gilg 04
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Nullstellen:
Bedingung: f a (x) = 0
⇔ 2x
2
− 4a = 0 ⇒ x
3 / 4
= ±
⇒ reelle Schnittpunkte mit der x - Achse :N
Hoch- und Tiefpunkte:
notwendige Bedingung: f a
′ (x) = 0
⇔ x = 0 ⇒ x5 = 0
2a , beide Nullstellen sind erster (also ungerader) Ordnung
3 / 4
( ±
2a / 0)
1. Möglichkeit der hinreichenden Bedingung über zweite Ableitung:
4
fa ′′ (x5
) = fa′′
(0) = > 0 TP(0 / 4)
a
2. Möglichkeit der hinreichenden Bedingung über VZW der ersten Ableitung:
x
fa′
(x) = 4a
2 2
(x − a)
Die Zählernullstelle ist erster (also ungerader) Ordnung, somit macht die erste Ableitung an
der Stelle x 5 = 0 einen VZW.
< 0
> 0
x
lim = 4a < 0 ,
−
x→0
2 2
(x − a)
> 0
also ein VZW von − → + der ersten Ableitung an der Stelle x 5 = 0 , also ist dort ein
Tiefpunkt.
Zusatzaufgabe:
Zeige, daß der Tiefpunkt einziger Punkt ist, den alle Schaubilder
Lösung:
Wähle a1 ≠ a2,
so daß a1
− a2
≠ 0
Bedingung für gemeinsame Punkte: f (x) f (x)
2x
⇔
x
⇔ (2x
⇔ 2x
⇔ x
⇔ 2x
⇒
x
2
2
2
4
− 4a
− a
− 4a
− 2a
( −2a
2
2
1/ 2
(a
2
1
2
= 0
1
2
1
2x
=
x
x
)(x
+ 2a
− a
− 4a
− 4a
− a ) = 0
1
2
2
1
2
2
− 4a
− a
2
2
1x
) = (2x
1
2
2
+ 4a
+ 4a
2
1
2
a
a =
1 a 2
− 4a
2
) = 0
2
= 2x
)(x
4
2
− a
− 2a
)
1
2
1x
− 4a
2
x
2
K a gemeinsam haben.
+ 4a
Somit ist der Tiefpunkt einziger gemeinsamer Punkt aller Schaubilder.
1
a
2
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