Fokker-Planck-Gleichung

Fokker-Planck-Gleichung 

Beschreibung 

stochastischer Prozesse 

David Kleinhans 

kleinhan@uni-muenster.de 

WWU Münster 

David Kleinhans, WWU Münster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 1

Geschichte 

Historische ’Highlights’ der stochastischen Prozesse: 

1905 Einsteins Beschreibung der Diffusion bei der Brown’schen Bewegung 

1908 Langevin-Gleichung 

1914/17 Fokker-Planck-Gleichung 

1928 Mastergleichung 

1940-49 Kramers-Moyal-Entwicklung 


Geschichte 

Historische ’Highlights’ der stochastischen Prozesse: 

1905 Einsteins Beschreibung der Diffusion bei der Brown’schen Bewegung 

1908 Langevin-Gleichung 

1914/17 Fokker-Planck-Gleichung 

1928 Mastergleichung 

1940-49 Kramers-Moyal-Entwicklung 

Jetzt: Stochastik im Zweitraffer! 


Wegweiser 

Einführung in die Stochastik 

Zufallsprozesse 

Wahrscheinlichkeitsdichten / bedingte Wahrscheinlichkeiten 

Charakteristische Funktion 

Momente und Kumulanten 

Elementare stochastische Prozesse: Langevin-Gleichung 

Modell: Brownsche Bewegung 

Nichtlineare Gleichung 

Zeitverhalten von Wahrscheinlichkeitsdichten: Fokker-Planck-Gleichung 

Kramers-Moyal-Entwicklung 

Berechnung der Entlicklungskoeffizienten für Langevin 

Fokker-Planck: Charakterisierung der Gleichung 


Einführung in die Stochastik 


Stochastik: Motivation 

Stochastik (griechisch): Kunst des (geschickten) Vermutens 

Untersuchung makroskopischer, komplexer Systeme: 

Klassische, Newton’sche Beschreibung: Sehr (, häufig zu) viele Freiheitsgrade 

Mit Methoden der Stochastik: 

Deterministischer Anteil 

Fluktuierende, stochastischer Anteil 

⇒ Stochastische Beschreibung von physikalischen Prozessen 


Stochastik: Grundlagen 1 

Zufallsvariable ξ: nicht vorhersagbar 

Schar-Mittel: Viele Experimente oder Ensemble von Experimenten ξ n 

1 

∑ 

〈f(ξ)〉 = lim f(ξ 

N→∞ N n ) 

n 

Mit der Heavyside’schen-Θ-Funktion Θ(x − ξ) = 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

0 für ξ > x 

1 

2 

für ξ = x 

1 für ξ < x 

: 

Verteilungsfunktion 

P(ξ < x) + 1 P(ξ = x) = 〈Θ(x − ξ)〉 

2 

mit: d P(ξ ≤ x) > 0 ∀ x, P(ξ ≤ −∞) = 0, P(ξ ≤ +∞) = 1 

dx 


Grundlagen 2 

Einführung der Wahrscheinlichkeitsdichte (distribution function): 

W ξ (x) := d 

dx P(ξ ≤ x) = 〈 d Θ(x − ξ)〉 = 〈δ(x − ξ)〉 

dt 

Es gilt: ∫ W ξ (x) dx = 1 und W ξ (x) ≥ 0 ∀ x 

Alle Mittelwerte lassen sich mit Hilfe von W ξ (x) berechnen: 

〈f(ξ)〉 = 〈 ∫ f(x)δ(x − ξ) dx〉 = ∫ f(x)〈δ(x − ξ)〉 dx = ∫ f(x)W ξ (x) dx 

Momente M n : 

M n := 〈ξ n 〉 


Grundlagen 3 

Charakteristische Funktion: 

C ξ (x) := 〈e iuξ 〉 = ∫ e iux W ξ (x) dx 

Fouriertransformierte von W ξ (x) 

Berechnung der Momente: 

M n := 〈ξ n 〉 = 1 

i n 

dn 

du n C ξ (u) 

∣ 

∣ 

u=0 

Taylor-Entwicklung von C ξ (u) um u = 0: 

∑ 

C ξ (u) = 1 + ∞ 

n=1 

(iu) n 

n! 

M n 

Kumulanten K n : 

C ξ (u) =: e 

∞∑ 

n=1 

(iu) n 

n! 

K n 

Kumulanten und Momente sind verknüpft: 

K 1 = M 1 M 1 = K 1 

K 2 = M 2 − M 2 1 M 2 = K 2 + K 2 1 

K 3 = M 3 − 3M 1 M 2 + 2M 3 1 M 3 = K 3 + 3K 2 K 1 + K 3 1 

. 

. 


’Einfache’ Verteilungen 

’Einfache’ Wahrscheinlichkeitsverteilungen für 

K n = 0 ∀ n > N 

N = 1: 

C ξ (u) = e iuK 1 ⇒ W ξ (x) = δ(x − K 1 ) 

N = 2: 

C ξ (u) = e iuK 1− 1 2 u2 K 2 

⇒ W ξ (x) = 1 

2π 

∞∫ 

−∞ 

e −iux+iuK 1− 1 2 u2 K 2 

du 

W ξ (x) = 

1 

√ 2πK2 

e − 1 2 

(x−K 1 ) 2 

K 2 


Bedingte Wahrscheinlichkeiten 

Verallgemeinerung auf mehrere Zufallsvariable: 

ξ −→ ξ 1 , . . . , ξ r und W ξ (x) −→ W r (x 1 , . . . , x r ) 

Bedingte Wahrscheinlichkeitsdichten: 

W r (x 1 , . . . , x r ) = P(x 1 |x 2 , . . . , x r ) · W r−1 (x 2 , . . . , x r ) 

⇒ P(x 1 |x 2 , . . . , x r ) = W r(x 1 ,...,x r ) 

∫ 

Wr (x 1 ,...,x r )dx 1 

Korrelation zweier Zufallsvariablen: 

κ(ξ 1 , ξ 2 ) := 〈(ξ 1 − 〈ξ 1 〉)(ξ 2 − 〈ξ 2 〉)〉 = 〈ξ 1 ξ 2 〉 − 〈ξ 1 〉〈ξ 2 〉 

Es gilt: κ(ξ, ξ) = 〈(ξ − 〈ξ〉) 2 〉 = K 2 


Zeitabhängige Zufallsvariablen 

Zeitabhängigkeit der Zufallsvariablen: 

ξ −→ ξ(t) und damit 

W 1 (x) −→ W 1 (x 1 , t 1 ) = 〈δ(x 1 − ξ(t))〉 

Für die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichten gilt nun: 

P(x n , t n |x n−1 , t n−1 , . . . , x 1 , t 1 ) = 〈δ(x n − ξ(t n ))〉| xn−1 ,t n−1 ,...,x 1 ,t 1 

= 

W n (x n , t n , . . . , x 1 , t 1 ) 

∫ 

Wn (x n , t n , . . . , x 1 , t 1 ) dx n 


Klassifikation von Zufallsprozessen 

Reiner Zufallsprozess: P(x n , t n |x n−1 , t n−1 , . . . , x 1 , t 1 ) = W(x n , t n ) 

Es folgt: W n (x n , t n , . . . , x 1 , t 1 ) = W 1 (x n , t n ) · . . . · W 1 (x 1 , t 1 ) 

Beachte: Für |t n − t n−1 | ≪ 1 muß ein physikalisches System eine Korrelation 

haben 

⇒ Reiner Zufallsprozess unphysikalisch! 

Markov-Prozess: P(x n , t n |x n−1 , t n−1 , . . . , x 1 , t 1 ) = P(x n , t n |x n−1 , t n−1 ) 

Es folgt: W n (x n , t n , . . . , x 1 , t 1 ) = 

P(x n , t n |x n−1 , t n−1 )·P(x n−1 , t n−1 |x n−2 , t n−2 )·. . .·P(x 2 , t 2 |x 1 , t 1 )·W 1 (x 1 , t 1 ) 

es gilt: lim P(x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) = δ(x 2 − x 1 ), 

t 2 →t 2 

⇒ Komplette Information steckt in W 2 ! 

Generelle Prozesse (mehr Terme) 

lassen sich nach Wang, Uhlenbeck auf Markov-Prozesse zurückführen 


Elementare stochastische Prozesse: 

Langevin-Gleichungen 


Brown’sche Bewegung 

Prominentes Beispiel: 

Makroskopisches Teilchen in Flüssigkeit, Newton: mẍ + bẋ = F s (t) 

Langevin-Gleichung: 

˙v = −γv + Γ(t) 

Γ(t) stochastische Kraft mit folgenden Eigenschaften: 

〈Γ(t)〉 = 0 

〈Γ(t)Γ(t ′ )〉 = qδ(t − t ′ ) 

Spektrale Dichte (nach Wiener-Khintchine-Theorem): 

∞∫ 

S(ω) = 2 exp(−iωτ)〈Γ(t + τ)Γ(t)〉 dτ = 2q 

−∞ 

Man nennt Γ(t) deltakorreliertes, weißes Rauschen 

(⇒ Markov-Prozess) 


Nichtlineare Langevin-Gleichung 

Allgemeine, nichtlineare Formulierung: 

˙ξ = h(ξ,t) + g(ξ,t)Γ(t) 

mit 

〈Γ(t)〉 = 0 

〈Γ(t)Γ(t ′ )〉 = 2δ(t − t ′ ) 

Falls g 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

konstant 

= g(ξ) 

⎫ 

⎪⎬ 

⎪⎭ nennt man das Rauschen: ⎧ 

⎪⎨ 

⎪ ⎩ 

additiv 

multiplikativ 

Beachte: 

Multiplikatives Rauschen: Im Allgemeinen 〈g(ξ, t)Γ(t)〉 ̸= 0 

→ Rauschinduzierter Drift 

Beispiel: 

h(ξ, t) ≡ 0 und g(ξ, t) = a · ξ ⇒ ξ(t) = 〈ξ(0)〉 · e 

a 

t∫ 

0 

Γ(t ′ ) dt ′ und 〈ξ(t)〉 = 〈ξ(0)〉 · e a2 t 


Zeitverhalten von 

Wahrscheinlichkeitsdichten: 

Fokker-Planck-Gleichung 


Motivation 

Bis jetzt: 

Beschreibung einzelner Prozesse 

Bewegungsgleichung für elementare Prozesse 

Ab jetzt: 

Übergang zu Ensemble von Prozessen, Untersuchung der Wahrscheinlichkeit W(x, t), 

das Teilchen zur Zeit t am Orte x zu finden. 

Bewegungsgleichungen für Wahrscheinlichkeitsdichte 

W(x, t + τ) = ∫ W(x, t + τ, x ′ , t) dx ′ = ∫ P(x, t + τ|x ′ , t)W(x ′ , t) dx ′ 

⇒ Notwendig: Kenntnis von P(x, t + τ|x ′ , t) für τ ≪ 1 


Kramers-Moyal-Entwicklung (fwd) 1 

Mit M n (x ′ , t, τ) = 〈[ξ(t + τ) − ξ(t)] n 〉| ξ(t)=x ′ = ∫ (x − x ′ ) n P(x, t + τ|x ′ , t) dx gilt: 

C(u,x ′ ,t, τ) = 1 + ∞ ∑ 

(iu) n M n (x ′ ,t,τ) 

n=1 

n! 

{= ∫ e iu(x−x′) P(x, t + τ|x ′ , t) dx} 

Rücktransformation: 

P(x, t + τ|x ′ , t) = 1 

2π 

= 1 

2π 

∞∫ 

−∞ 

e −iu(x−x′ ) 

∞∫ 

−∞ 

[ 

1 + ∞ ∑ 

e −iu(x−x′) C(u, x ′ , t, τ) du 

(iu) n M n (x ′ ,t,τ) 

n! 

n=1 

] 

du 

Auswertung des Integrals: 

∞∫ 

(iu) n e iu(x−x′) = 

1 

2π 

−∞ 

Partielle Integration liefert später: 

∫ 

f(x ′ ) · 

(− ∂ 

∂x) n 

δ(x − x ′ ) dx ′ = 

( 

− ∂ 

∂x) n 

δ(x − x ′ ) 

( ) n 

− ∂ ∫ 

∂x f(x) δ(x − x ′ ) dx ′ 


Kramers-Moyal-Entwicklung (fwd) 2 

Einsetzen von P(x, t + τ|x ′ , t) liefert: 

W(x, t + τ) = ∫ P(x, t + τ|x ′ , t)W(x ′ , t) dx ′ 

= ∫ [ W(x, t) + ∞ ∑ 

N=1 

1 

n! 

( 

] 

n 

− 

∂x) ∂ Mn (x, t, τ)W(x, t) δ(x − x ′ ) dx ′ 

⇒ W(x,t+τ)−W(x,t) 

τ 

= ∞ ∑ 

N=1 

1 

n! 

( 

− ∂ 

∂x) n 

〈[ξ(t + τ) − ξ(t)] n 〉| ξ(t)=x 

W(x, t) 1 τ 

Im Grenzübergang τ → 0 gilt: 

∂ 

∂t W(x, t) = ∑ ∞ 

n=1 

( 

− ∂ 

∂x) n 

D (n) (x, t)W(x, t) 

(Kramers-Moyal-Entwicklung, 1940-49) 

Dabei ist D (n) (x, t) = 1 1 

lim 

n! τ→0 τ 〈[ξ(t + τ) − ξ(t)]n 〉| ξ(t)=x 

. 

Entwicklungskoeffizienten für Langevin-Gleichung berechnen. . . 


Langevin: Entwicklungskoeffizienten 1 

Haben: Allgemeine, nichtlineare Langevin-Gleichung: 

˙ξ = h(ξ,t) + g(ξ,t)Γ(t) 

mit 

〈Γ(t)〉 = 0 

〈Γ(t)Γ(t ′ )〉 = 2δ(t − t ′ ) 

Müssen berechnen: 

D (n) (x, t) = 1 1 

lim 

n! τ→0 τ 〈[ξ(t + τ) − ξ(t)]n 〉| ξ(t)=x 



ξ(t + τ) − x = 

t+τ ∫ 

t 

h(ξ(t ′ ), t ′ ) + g(ξ(t ′ ), t ′ )Γ(t ′ ) dt ′ 

Entwicklung von h und g um x = ξ(t): 

h(ξ(t ′ ), t ′ ) = h(x, t ′ ) + h ′ (x, t ′ )(ξ(t ′ ) − x) + . . . 

, für g entsprechend 

ξ(t + τ) − x = 

t+τ ∫ 

t 

+ 

h(x, t ′ ) dt ′ + 

t+τ ∫ 

t 

t+τ ∫ 

g(x, t ′ )Γ(t ′ ) dt ′ + 

t 

h ′ (x, t ′ )(ξ(t ′ ) − x) dt ′ + . . . 

t+τ ∫ 

t 

g ′ (x, t ′ )(ξ(t ′ ) − x)Γ(t ′ ) dt ′ + . . . 

Iterieren: 

t+τ ∫ 

= h(x, t ′ ) dt ′ + 

+ 

+ 

t 

t+τ ∫ 

t 

t+τ ∫ 

t 

t+τ ∫ 

g(x, t ′ )Γ(t ′ ) dt ′ + 

g ′ (x, t ′ ) 

∫t ′ 

t 

t 

h ′ (x, t ′ ) 

t+τ ∫ 

t 

∫t ′ 

t 

g ′ (x, t ′ ) 

h(x, t ′′ ) dt ′′ dt ′ + 

∫t ′ 

g(x, t ′′ )Γ(t ′′ )Γ(t ′ ) dt ′′ dt ′ + . . . 

t 

t+τ ∫ 

t 

h ′ (x, t ′ ) 

h(x, t ′′ )Γ(t ′ ) dt ′′ dt ′ 

∫t ′ 

t 

g(x, t ′′ )Γ(t ′′ ) dt ′′ dt ′ . . . 



Mittelwert: 

〈ξ(t + τ) − x〉 = 

t+τ ∫ 

+ 

t 

t+τ ∫ 

t 

h(x, t ′ ) dt ′ + 

g ′ (x, t ′ ) 

∫t ′ 

t 

t+τ ∫ 

t 

h ′ (x, t ′ ) 

∫t ′ 

t 

h(x, t ′′ ) dt ′′ dt ′ + . . . 

g(x, t ′′ )2δ(t ′′ − t ′ ) dt ′′ dt ′ + . . . 

Auswerten des Integrals: 

∫t ′ 

t 

g(x, t ′′ )2δ(t ′′ − t ′ ) dt ′′ = g(x, t ′ ) 

∫t ′ 

t 

2δ(t ′′ − t ′ ) dt ′′ = g(x, t ′ ) 



Mittelwert: 

〈ξ(t + τ) − x〉 = 

t+τ ∫ 

+ 

t 

t+τ ∫ 

t 

h(x, t ′ ) dt ′ + 

g ′ (x, t ′ ) 

∫t ′ 

t 

t+τ ∫ 

t 

h ′ (x, t ′ ) 

∫t ′ 

t 

h(x, t ′′ ) dt ′′ dt ′ + . . . 

g(x, t ′′ )2δ(t ′′ − t ′ ) dt ′′ dt ′ + . . . 

für τ ≪ 1: 

〈ξ(t + τ) − x〉 = h(x, t) · τ + 1 2 h′ (x, t)h(x, t)τ 2 + . . . + g ′ (x, t)g(x, t)τ + . . . 

⇒ D (1) 1 

(x,t) = lim 

τ→0 τ 〈ξ(t + τ) − x〉= h(x,t) + g′ (x,t)g(x,t) 



Ebenso erhält man D (2) (x, t) wieder aus: 

ξ(t + τ) − x 

= 

+ 

+ 

t+τ ∫ 

t 

t+τ ∫ 

t 

t+τ ∫ 

t 

h(x, t ′ ) dt ′ + 

t+τ ∫ 

g(x, t ′ )Γ(t ′ ) dt ′ + 

g ′ (x, t ′ ) 

∫t ′ 

t 

t 

h ′ (x, t ′ ) 

t+τ ∫ 

t 

∫t ′ 

t 

g ′ (x, t ′ ) 

h(x, t ′′ ) dt ′′ dt ′ + 

∫t ′ 

g(x, t ′′ )Γ(t ′′ )Γ(t ′ ) dt ′′ dt ′ + . . . 

t 

t+τ ∫ 

t 

h ′ (x, t ′ ) 

h(x, t ′′ )Γ(t ′ ) dt ′′ dt ′ 

∫t ′ 

t 

g(x, t ′′ )Γ(t ′′ ) dt ′′ dt ′ . . . 

〈[ξ(t + τ) − x] 2 〉 = (h(x, t) · τ) 2 + ( 1 

2 h′ (x, t)h(x, t)τ 2) 2 + . . . + g(x, t)g(x, t)τ + . . . 

⇒ D (2) (x,t) = 1 2 lim 

τ→0 

1 

τ 〈[ξ(t + τ) − x]2 〉= [g(x,t)] 2 

Höhere Momente: Für deltakorreliertes Rauschen gilt: D (n) (x,t) = 0 ∀n ≥ 3 


Fokker-Planck-Gleichung 1 

Mit diesen Entwicklungskoeffizienten 

D (1) (x, t) = h(x, t) + 1 2 

D (2) (x, t) = g 2 (x, t) 

D (n) (x, t) = 0 ∀n ≥ 3 

∂ 

∂x g2 (x, t) 

erhalten wir aus der Kramers-Moyal-Entwicklung: 

Ẇ(x,t) = 

[ 

] 

− ∂ 

∂x D(1) (x,t) + ∂2 

∂x 2 D (2) (x,t) W(x,t) = L FP W(x,t) 

(Fokker-Planck-Gleichung, 1914/17) 

lineare, partielle Differentialgleichung für W(x,t) 

reell, erster Ordnung in der Zeit: nicht invariant unter Zeitumkehr 


Fokker-Planck-Gleichung 2 

Einfaches Beispiel: Lineare Langevin-Gleichung ˙v(t) = −γv(t) + 

√ 

q 

2 Γ(t) 

D (1) = −γv und D (2) = q 2 = γkT 

m 

Stationärer Zustand: 

[ 

Ẇ(v, t) = ! 0 = γ + γv ∂ 

∂x + γkT 

m 

] 

∂ 2 

∂v 2 W(v) 

Die Maxwell-Verteilung W(v) = 

√ 

m 

2πkT 

mv2 

e− 2kT 

erfüllt obige Gleichung! 

Fokker-Planck-Gleichung für mehrere Variable: 

Ẇ(⃗x,t) = 

[ 

− ∑ i 

∂ 

D (1) 

∂x i i 

(⃗x,t) + ∑ i,j 

] 

∂ 2 

D (2) 

∂x i ∂x j ij 

(⃗x,t) W(⃗x,t) 


Zusammenfassung und Ausblick 


Zusammenfassung 

Langevin: 

Beschreibung einzelner Prozesse 

Bewegungsgleichung für Elementare Prozesse 

Fokker-Planck: 

Übergang zu Ensemble von Prozessen, Untersuchung der Wahrscheinlichkeit W(x, t), 

das Teilchen zur Zeit t am Orte x zu finden. 

Bewegungsgleichungen für Wahrscheinlichkeitsdichte 

Ẇ(x,t) = 

[ 

] 

− ∂ 

∂x D(1) (x,t) + ∂2 

∂x 2 D (2) (x,t) W(x,t) = L FP W(x,t) 

Kramers-Moyal-Entwicklung bis zur 2. Ordnung 

Für Markov-Prozesse verschwinden Ordnungen ≥ 3 


Vorschau 

Hier noch ein nettes Bild von Andreas :-) 


Ende 

Fragen zum Vortrag? 

Verwendete Quellen: 

The Fokker-Planck Equation, H. Risken, 1984 

Dynamik stochastischer Systeme (Vorlesungsskript), M. Janßen, 2001 


Übersprungene Folien 


Lineare Langevin-Gleichung 1 

Langevin-Gleichung ˙v = −γv + Γ(t) läßt sich für lineare Koeffizienten auswerten: 

Für v(t = 0) = v 0 : 

v(t) = v 0 e −γt + 

∫ t 

0 

e −γ(t−t′) Γ(t ′ ) dt ′ 

Korrelation: 

∫t 1 

∫t 2 

〈v(t 1 )v(t 2 )〉 = v0 2e−γ(t 1+t 2 ) + e −γ(t 1+t 2 −t ′ 1 −t′ 2 ) 〈Γ(t ′ 1 )Γ(t′ 2 )〉 dt′ 1 dt′ 2 

0 0 

= v0 2e−γ(t 1+t 2 ) + q ( 

2γ e 

−γ|t 1 −t 2 | − e −γ(t 1+t 2 ) ) 

Auswertung des Integrals: 

t∫ 

1 

0 

t∫ 

2 

0 

= q · 

= q 

2γ 

e γ(t′ 1 +t′ 2 ) 〈Γ(t ′ t 1 

1 )Γ(t′ 2 )〉 dt′ 1 dt′ 2 = q · ∫ 

min(t 1 ,t 2 ) 

∫ 

0 

e 2γt′ 1dt 1 = q · 

1 

2γ 

e 2γx∣ ∣x= t 1 +t 2 −|t 1 −t 2 | 

2 

( 

e γ(t 1 +t 2 ) · e −γ|t 1 −t2| − 1 

) 

0 

t∫ 

2 

0 

x=0 

e γ(t′ 1 +t′ 2 ) δ(t ′ 2 − t′ t )dt′ 1 dt′ 2 



Langevin-Gleichung ˙v = −γv + Γ(t) läßt sich für lineare Koeffizienten auswerten: 

Für v(t = 0) = v 0 : 

v(t) = v 0 e −γt + 

∫ t 

0 

e −γ(t−t′) Γ(t ′ ) dt ′ 

Korrelation: 

∫t 1 

∫t 2 

〈v(t 1 )v(t 2 )〉 = v0 2e−γ(t 1+t 2 ) + e −γ(t 1+t 2 −t ′ 1 −t′ 2 ) 〈Γ(t ′ 1 )Γ(t′ 2 )〉 dt′ 1 dt′ 2 

0 0 

= v0 2e−γ(t 1+t 2 ) + q ( 

2γ e 

−γ|t 1 −t 2 | − e −γ(t 1+t 2 ) ) 

Für γt 1 , γt 2 ≫ 1 ergibt sich: 〈v(t 1 )v(t 2 )〉 = q 

2γ e−γ|t 1−t 2 | 

Nach dem Gleichverteilungssatz: 

〈E〉 = m 2 〈[v(t)]2 〉 = m 2 

⇒ q = 2 γkT 

m 

q 

2γ 

! 

= 1 2 kT 



Geschwindigkeitsverteilungen schwierig zu beobachten. 

Besser: Mittleres Verschiebungsquadrat 〈(x(t) − x 0 ) 2 〉 

〈(x(t) − x 0 ) 2 〉 = 

= 

∫ t ∫ t 

0 

0 

〈[ 

t ∫ 

0 

〈v(t 1 )v(t 2 )〉 dt 1 dt 2 

v(t 1 ) dt 1 

] 2 〉 

= 

〈 

t ∫ 

0 

∫ t 

0 

v(t 1 )v(t 2 ) dt 1 dt 2 

〉 

Wissen von eben: 〈v(t 1 )v(t 2 )〉 = v 2 0 e−γ(t 1+t 2 ) + q 

2γ 

( 

e 

−γ|t 1 −t 2 | − e −γ(t 1+t 2 ) ) 

Integration: 

( 

∫t ∫t 

e −γ(t 1 +t 2 ) dt 1 dt 2 = 

0 

0 

∫t ∫t 

0 

0 

e −γ|t 1 −t 2 | ∫ 

dt 1 dt 2 = 2 · t 

1−e −γt 

γ 

0 

t∫ 

1 

0 

) 2 

e −γ(t 1 −t 2 ) dt 2 dt 1 = 2 γ t − 2 

γ 2 (1 − e−γt ) 



Geschwindigkeitsverteilungen schwierig zu beobachten. 

Besser: Mittleres Verschiebungsquadrat 〈(x(t) − x 0 ) 2 〉 

〈(x(t) − x 0 ) 2 〉 = 

= 

∫ t ∫ t 

0 

0 

〈[ 

t ∫ 

0 

〈v(t 1 )v(t 2 )〉 dt 1 dt 2 

v(t 1 ) dt 1 

] 2 〉 

= 

〈 

t ∫ 

0 

∫ t 

0 

v(t 1 )v(t 2 ) dt 1 dt 2 

〉 

Wissen von eben: 〈v(t 1 )v(t 2 )〉 = v0 2e−γ(t 1+t 2 ) + q ( 

2γ e 

−γ|t 1 −t 2 | − e −γ(t 1+t 2 ) ) 

( ) 

⇒ 〈(x(t) − x 0 ) 2 〉 = v0 2 − q (1−e γt ) 2 

2γ γ 2 + q 

γ 2 t − q 

γ 3 (1 − e −γt ) 

Für γt ≫ 1: 

〈(x(t) − x 0 ) 2 〉 = 2Dt mit D = q 

2γ 2 = kT 

mγ 

(Einsteins Resultat für die Diffusionskonstante, 1905)

Fokker-Planck-Gleichung

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