Fokker-Planck-Gleichung

Lineare Langevin-Gleichung 1
Langevin-Gleichung ˙v = −γv + Γ(t) läßt sich für lineare Koeffizienten auswerten:
Für v(t = 0) = v 0 :
v(t) = v 0 e −γt +
∫ t
0
e −γ(t−t′) Γ(t ′ ) dt ′
Korrelation:
∫t 1
∫t 2
〈v(t 1 )v(t 2 )〉 = v0 2e−γ(t 1+t 2 ) + e −γ(t 1+t 2 −t ′ 1 −t′ 2 ) 〈Γ(t ′ 1 )Γ(t′ 2 )〉 dt′ 1 dt′ 2
0 0
= v0 2e−γ(t 1+t 2 ) + q (
2γ e
−γ|t 1 −t 2 | − e −γ(t 1+t 2 ) )
Für γt 1 , γt 2 ≫ 1 ergibt sich: 〈v(t 1 )v(t 2 )〉 = q
2γ e−γ|t 1−t 2 |
Nach dem Gleichverteilungssatz:
〈E〉 = m 2 〈[v(t)]2 〉 = m 2
⇒ q = 2 γkT
m
q
2γ
!
= 1 2 kT
David Kleinhans, WWU Münster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 31