Fokker-Planck-Gleichung

Lineare Langevin-Gleichung 1
Langevin-Gleichung ˙v = −γv + Γ(t) läßt sich für lineare Koeffizienten auswerten:
Für v(t = 0) = v 0 :
v(t) = v 0 e −γt +
∫ t
0
e −γ(t−t′) Γ(t ′ ) dt ′
Korrelation:
∫t 1
∫t 2
〈v(t 1 )v(t 2 )〉 = v0 2e−γ(t 1+t 2 ) + e −γ(t 1+t 2 −t ′ 1 −t′ 2 ) 〈Γ(t ′ 1 )Γ(t′ 2 )〉 dt′ 1 dt′ 2
0 0
= v0 2e−γ(t 1+t 2 ) + q (
2γ e
−γ|t 1 −t 2 | − e −γ(t 1+t 2 ) )
Auswertung des Integrals:
t∫
1
0
t∫
2
0
= q ·
= q
2γ
e γ(t′ 1 +t′ 2 ) 〈Γ(t ′ t 1
1 )Γ(t′ 2 )〉 dt′ 1 dt′ 2 = q · ∫
min(t 1 ,t 2 )
∫
0
e 2γt′ 1dt 1 = q ·
1
2γ
e 2γx∣ ∣x= t 1 +t 2 −|t 1 −t 2 |
2
(
e γ(t 1 +t 2 ) · e −γ|t 1 −t2| − 1
)
0
t∫
2
0
x=0
e γ(t′ 1 +t′ 2 ) δ(t ′ 2 − t′ t )dt′ 1 dt′ 2
David Kleinhans, WWU Münster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 31