Fokker-Planck-Gleichung

Grundlagen 3
Charakteristische Funktion:
C ξ (x) := 〈e iuξ 〉 = ∫ e iux W ξ (x) dx
Fouriertransformierte von W ξ (x)
Berechnung der Momente:
M n := 〈ξ n 〉 = 1
i n
dn
du n C ξ (u)
∣
∣
u=0
Taylor-Entwicklung von C ξ (u) um u = 0:
∑
C ξ (u) = 1 + ∞
n=1
(iu) n
n!
M n
Kumulanten K n :
C ξ (u) =: e
∞∑
n=1
(iu) n
n!
K n
Kumulanten und Momente sind verknüpft:
K 1 = M 1 M 1 = K 1
K 2 = M 2 − M 2 1 M 2 = K 2 + K 2 1
K 3 = M 3 − 3M 1 M 2 + 2M 3 1 M 3 = K 3 + 3K 2 K 1 + K 3 1
.
.
David Kleinhans, WWU Münster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 8