Fokker-Planck-Gleichung

Langevin: Entwicklungskoeffizienten 2
ξ(t + τ) − x =
t+τ ∫
t
h(ξ(t ′ ), t ′ ) + g(ξ(t ′ ), t ′ )Γ(t ′ ) dt ′
Entwicklung von h und g um x = ξ(t):
h(ξ(t ′ ), t ′ ) = h(x, t ′ ) + h ′ (x, t ′ )(ξ(t ′ ) − x) + . . .
, für g entsprechend
ξ(t + τ) − x =
t+τ ∫
t
+
h(x, t ′ ) dt ′ +
t+τ ∫
t
t+τ ∫
g(x, t ′ )Γ(t ′ ) dt ′ +
t
h ′ (x, t ′ )(ξ(t ′ ) − x) dt ′ + . . .
t+τ ∫
t
g ′ (x, t ′ )(ξ(t ′ ) − x)Γ(t ′ ) dt ′ + . . .
Iterieren:
t+τ ∫
= h(x, t ′ ) dt ′ +
+
+
t
t+τ ∫
t
t+τ ∫
t
t+τ ∫
g(x, t ′ )Γ(t ′ ) dt ′ +
g ′ (x, t ′ )
∫t ′
t
t
h ′ (x, t ′ )
t+τ ∫
t
∫t ′
t
g ′ (x, t ′ )
h(x, t ′′ ) dt ′′ dt ′ +
∫t ′
g(x, t ′′ )Γ(t ′′ )Γ(t ′ ) dt ′′ dt ′ + . . .
t
t+τ ∫
t
h ′ (x, t ′ )
h(x, t ′′ )Γ(t ′ ) dt ′′ dt ′
∫t ′
t
g(x, t ′′ )Γ(t ′′ ) dt ′′ dt ′ . . .
David Kleinhans, WWU Münster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 21