Fokker-Planck-Gleichung

Kramers-Moyal-Entwicklung (fwd) 1
Mit M n (x ′ , t, τ) = 〈[ξ(t + τ) − ξ(t)] n 〉| ξ(t)=x ′ = ∫ (x − x ′ ) n P(x, t + τ|x ′ , t) dx gilt:
C(u,x ′ ,t, τ) = 1 + ∞ ∑
(iu) n M n (x ′ ,t,τ)
n=1
n!
{= ∫ e iu(x−x′) P(x, t + τ|x ′ , t) dx}
Rücktransformation:
P(x, t + τ|x ′ , t) = 1
2π
= 1
2π
∞∫
−∞
e −iu(x−x′ )
∞∫
−∞
[
1 + ∞ ∑
e −iu(x−x′) C(u, x ′ , t, τ) du
(iu) n M n (x ′ ,t,τ)
n!
n=1
]
du
Auswertung des Integrals:
∞∫
(iu) n e iu(x−x′) =
1
2π
−∞
Partielle Integration liefert später:
∫
f(x ′ ) ·
(− ∂
∂x) n
δ(x − x ′ ) dx ′ =
(
− ∂
∂x) n
δ(x − x ′ )
( ) n
− ∂ ∫
∂x f(x) δ(x − x ′ ) dx ′
David Kleinhans, WWU Münster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 18