Fokker-Planck-Gleichung
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Lineare Langevin-<strong>Gleichung</strong> 2<br />
Geschwindigkeitsverteilungen schwierig zu beobachten.<br />
Besser: Mittleres Verschiebungsquadrat 〈(x(t) − x 0 ) 2 〉<br />
〈(x(t) − x 0 ) 2 〉 =<br />
=<br />
∫ t ∫ t<br />
0<br />
0<br />
〈[<br />
t ∫<br />
0<br />
〈v(t 1 )v(t 2 )〉 dt 1 dt 2<br />
v(t 1 ) dt 1<br />
] 2 〉<br />
=<br />
〈<br />
t ∫<br />
0<br />
∫ t<br />
0<br />
v(t 1 )v(t 2 ) dt 1 dt 2<br />
〉<br />
Wissen von eben: 〈v(t 1 )v(t 2 )〉 = v0 2e−γ(t 1+t 2 ) + q (<br />
2γ e<br />
−γ|t 1 −t 2 | − e −γ(t 1+t 2 ) )<br />
( )<br />
⇒ 〈(x(t) − x 0 ) 2 〉 = v0 2 − q (1−e γt ) 2<br />
2γ γ 2 + q<br />
γ 2 t − q<br />
γ 3 (1 − e −γt )<br />
Für γt ≫ 1:<br />
〈(x(t) − x 0 ) 2 〉 = 2Dt mit D = q<br />
2γ 2 = kT<br />
mγ<br />
(Einsteins Resultat für die Diffusionskonstante, 1905)<br />
David Kleinhans, WWU Münster – <strong>Fokker</strong>-<strong>Planck</strong>-<strong>Gleichung</strong> – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 32
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