(für Elektrotechniker und Technische Informatiker) - Nu - Institut für ...

mit Hilfe der LR-Zerlegung mit Spaltenpivotisierung. Arbeiten Sie einmal ohne und einmal mit
Äquilibrierung. Beurteilen Sie die Genauigkeit der Lösungen, indem Sie mit der exakten Lösung
vergleichen.
Aufgabe 5 (Cholesky-Zerlegung)
Gegeben seien
⎛
A = ⎝
25 -10 -5
-10 28 -10
-5 -10 13
⎞
⎛
⎠ ∈ R 3×3 und b = ⎝
a) Bestimmen Sie die Cholesky-Zerlegung A = LDL T .
5
-8
-7
⎞
⎠ ∈ R 3 .
b) Weisen Sie nach, daß die Matrix A symmetrisch und positiv definit ist.
c) Berechnen Sie die Determinante det A.
d) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem Ax = b.
Aufgabe 6 (Multiple-Choice)
Kreuzen Sie alle korrekten Aussagen an.
□ Für alle n ∈ N und A, B ∈ R n×n gilt det(A + B) = det(A) + det(B).
□ Sei A ∈ R n×n . Dann gilt: det(A) = 0 ⇔ 0 ist Eigenwert von A.
□ Führt man vor der LR-Zerlegung eine Äquilibrierung der Matrix durch, so kann auf die
Pivotisierung verzichtet werden.
□ Bei der Cholesky-Zerlegung A = LDL T der symmetrischen Matrix A ∈ R n×n sind die
Diagonaleinträge der Matrix D die Eigenwerte der Matrix A.
□ Die Lösung von A x = b per Gaußelimination benötigt n3
3 + O(n2 ) Operationen (nur
Multiplikationen und Divisionen).
Bei Fragen:
Dr. Maxim Larin, HG Raum 127, Sprechzeit: Mo, 14-15 Uhr, larin@igpm.rwth-aachen.de
Infos und Aufgabenblätter unter http://www.igpm.rwth-aachen.de/lehre/Numa_ET/2007ss