(für Elektrotechniker und Technische Informatiker) - Nu - Institut für ...

Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule
Institut für Geometrie und Praktische Mathematik
Höhere Mathematik IV (für Elektrotechniker und
Technische Informatiker) - Numerik — SS 2007
Aufgabe 1 (Gaußsche Eliminationsverfahren)
Dr. Steffen Börm — Dr. Maxim Larin
3. Übung
Lösen Sie mit dem Gaußsche Eliminationsverfahren das linearen Gleichungssystem:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 2 −4 x −6
Ax = b ⇒ ⎝ 2 1 3 ⎠ ⎝y⎠ = ⎝ 5⎠ .
−3 1 6 z −2
Aufgabe 2 (LR-Zerlegung und Determinante)
Gegeben sind
A =
Bestimmen Sie
⎛
⎜
⎝
2 −2 1 −2
1 2 0 2
−6 6 1 8
7 −10 10 −5
⎞
⎟
⎠ , b 1 =
⎛
⎜
⎝
3
−21
−1
41
⎞
⎟
⎠ und b 2 =
a) die LR-Zerlegung (ohne Pivotisierung und Äquilibrierung) der Matrix A,
b) die Lösungen der linearen Gleichungssysteme Ax 1 = b 1 und Ax 2 = b 2 und
c) die Determinante der Matrix A.
⎛
⎜
⎝
2
−3
−6
3
⎞
⎟
⎠ .
Aufgabe 3 (LR-Zerlegung mit Spaltenpivotisierung)
Gegeben sind
A =
⎛
⎜
⎝
4 14 6 14
2 −1 7 3
8 4 6 4
2 −5 −12 −9
⎞ ⎛
⎟
⎠ und b = ⎜
⎝
6
−7
−24
−5
a) Lösen Sie die Gleichung Ax = b durch LR-Zerlegung mit Spaltenpivotisierung ohne Äquilibrierung,
und geben Sie auch die Permutationsmatrix P mit PA = LR an.
b) Berechnen Sie die Determinante der Matrix A.
⎞
⎟
⎠ .
Aufgabe 4 (LR-Zerlegung mit Äquilibrierung)
Lösen Sie in dreistelliger Gleitpunktarithmetik das lineare Gleichungssystem
⎛
⎞
1.23 12500 −12500
⎛ ⎞
1.23
⎝ 0.56 0.51 0 ⎠x = ⎝ 1.07 ⎠
0 100 −102
−2

mit Hilfe der LR-Zerlegung mit Spaltenpivotisierung. Arbeiten Sie einmal ohne und einmal mit
Äquilibrierung. Beurteilen Sie die Genauigkeit der Lösungen, indem Sie mit der exakten Lösung
vergleichen.
Aufgabe 5 (Cholesky-Zerlegung)
Gegeben seien
⎛
A = ⎝
25 -10 -5
-10 28 -10
-5 -10 13
⎞
⎛
⎠ ∈ R 3×3 und b = ⎝
a) Bestimmen Sie die Cholesky-Zerlegung A = LDL T .
5
-8
-7
⎞
⎠ ∈ R 3 .
b) Weisen Sie nach, daß die Matrix A symmetrisch und positiv definit ist.
c) Berechnen Sie die Determinante det A.
d) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem Ax = b.
Aufgabe 6 (Multiple-Choice)
Kreuzen Sie alle korrekten Aussagen an.
□ Für alle n ∈ N und A, B ∈ R n×n gilt det(A + B) = det(A) + det(B).
□ Sei A ∈ R n×n . Dann gilt: det(A) = 0 ⇔ 0 ist Eigenwert von A.
□ Führt man vor der LR-Zerlegung eine Äquilibrierung der Matrix durch, so kann auf die
Pivotisierung verzichtet werden.
□ Bei der Cholesky-Zerlegung A = LDL T der symmetrischen Matrix A ∈ R n×n sind die
Diagonaleinträge der Matrix D die Eigenwerte der Matrix A.
□ Die Lösung von A x = b per Gaußelimination benötigt n3
3 + O(n2 ) Operationen (nur
Multiplikationen und Divisionen).
Bei Fragen:
Dr. Maxim Larin, HG Raum 127, Sprechzeit: Mo, 14-15 Uhr, larin@igpm.rwth-aachen.de
Infos und Aufgabenblätter unter http://www.igpm.rwth-aachen.de/lehre/Numa_ET/2007ss