Shape Optimization of Axisymmetric Bodies in Incompressible Flow

1 Shape Optimization of Axisymmetric Bodies in Incompressible Flow
Shape Optimization of Axisymmetric Bodies in
Incompressible Flow
Th. Lutz ∗ H. Schweyher ∗ S. Wagner ∗ R. Bannasch †
1 Einleitung
Zur Gewährleistung der Wirtschaftlichkeit von Luftschiffen ist bei der Auslegung auf eine
Minimierung von Gewicht und erforderlicher Antriebsleistung zu achten. Der Antriebsbedarf
hängt dabei wesentlich vom aerodynamischen Widerstand des Rumpfes ab, der ungefähr 2/3
des Gesamtwiderstandes ausmacht. Selbst eine kleine Reduktion des Rumpfwiderstandes kann
zu einer merklichen Treibstoffeinsparung führen, was sich in einer erhöhten Nutzlast oder einer
größeren Reichweite des Luftschiffes niederschlägt.
Erste systematische Untersuchungen zum Widerstand von Rotationskörpern wurden von Gertler
durchgeführt [6]. Ziel dieser experimentellen Arbeiten war die Bestimmung einer widerstandsoptimalen
U-Boot Kontur unter Berücksichtigung des Widerstandes der erforderlichen
Steuerflächen. Die Fragestellung nach der Laminarhaltung durch Formgebung bei mittleren
Reynoldszahlen wurde von Carmichael mit Hilfe von Fallversuchen im Pazifischen Ozean untersucht
[2]. Er konnte nachweisen, daß für Re L = 10 − 40 · 10 6 ausgedehnte laminare
Laufstrecken bei Rotationskörpern mit kleinem Längen-Durchmesser Verhältnis möglich sind.
Der untersuchte Körper (L/D =3, 33) basiert auf einem NACA 66er Laminarprofil und erbrachte
gegenüber herkömmlichen, turbulent umströmten Körpern eine Widerstandsreduktion
von bis zu 60 %. Hansen und Hoyt [8] führten an einem Laminarkörper experimentelle Untersuchungen
bis zu einer Reynoldszahl von Re V =4· 10 6 durch. Die theoretisch erwarteten
niedrigen Widerstandsbeiwerte konnten für diesen Reynoldszahlbereich bestätigt werden. Bei
den Experimenten zeigte sich eine starke Sensibilität der Umschlagsposition gegenüber kleinsten
Oberflächenstörungen.
Hertel schlug für die Anwendung bei Flugzeugrümpfen Konturen nach bionischem Vorbild mit
spitzer Nase und starkem Druckabfall auf den vordersten 40 % des Körpers vor [9]. Von
diesem ’Shark’-Körper (L/D =4, 55) versprach er sich eine erhebliche Reduzierung des Volumenwiderstandes
bei mittleren bis großen Reynoldszahlen. Wasserkanalversuche von Bannasch
ergaben für Körper mit pinguinähnlicher Gestalt sehr niedrige Widerstandsbeiwerte im mittleren
Reynoldszahlbereich [1].
Experimentelle Untersuchungen zum Widerstand von Rotationskörpern bei großen, auch für
Luftschiffe relevanten, Reynoldszahlen (Re V > 10 7 ) sind kaum bekannt. Beim Entwurf und
der Optimierung ist man daher weitgehend auf theoretische Methoden angewiesen. Erste
∗ Institut für Aerodynamik und Gasdynamik, Universität Stuttgart
† Institut für Bionik und Evolutionstechnik, Technische Universität Berlin

Shape Optimization of Axisymmetric Bodies in Incompressible Flow 2
computergestützte Widerstandsoptimierungen wurden von Parsons et al. [14] durchgeführt.
Im Auslegungspunkt (Re V =10 7 ) konnte eine theoretische Widerstandsreduktion von über 30
% gegenüber damals bekannten Laminarkörpern erzielt werden.
Zum Entwurf widerstandsarmer Rümpfe für kleinere Flugzeuge wurde von Zedan et al. [21]
eine inverse Methode basierend auf einer linear variierenden Dipolverteilung auf der Achse
verwendet. Der ausgelegte Rumpf weist im vorderen Teil ein langes Gebiet mit Druckabfall auf.
Es sollen dadurch bei Reynoldszahlen von Re V =10bis 30 · 10 6 noch laminare Laufstrecken
von 70 % möglich sein. Weitere numerische Formoptimierungen von Laminarrümpfen wurden
z. B. von Dodbele et al. [4] und Coiro et al. [3] durchgeführt.
Die meisten Widerstandsoptimierungen beschränken sich auf das Gebiet mittlerer Reynoldszahlen
(10 6 ≤ Re V ≤ 10 7 ), da in diesem Bereich durch Laminarhaltung eine sehr große
Widerstandsreduktion gegenüber turbulent umströmten Körpern möglich ist. Eine Ausnahme
in dieser Hinsicht stellen die Untersuchungen von Hess dar, der Widerstandberechnungen
für vollständig turbulent umströmte Rotationskörper durchführte [10]. Er kam zu dem
ernüchternden Ergebnis, daß der Widerstand bei turbulent umströmten Rotationsörpern sehr
insensitiv gegenüber Konturänderungen ist und lediglich eine leichte Abhängigkeit vom Längen-
Durchmesser Verhältnis besteht.
In der vorliegenden Arbeit wird untersucht, inwieweit sich der Widerstand von axial angeströmten
Rotationskörpern in inkompressibler Strömung durch Formgebung alleine reduzieren
läßt. Dabei wird die Minimierung des Widerstandes bei maximalem Körpervolumen und gegebener
Anströmgeschwindigkeit angestrebt. Die Widerstandsreduzierung durch aktive Maßnahmen,
wie Grenzschichtabsaugung, war nicht Gegenstand der vorgestellten Untersuchungen.
Es wird hierzu auf die umfangreichen Arbeiten von Goldschmied (z. B. [7]) verwiesen. Der
Einfluß eines Heckpropellers auf den Widerstand von Luftschiffrümpfen wird an anderer Stelle
diskutiert [13].
In den nachfolgenden Kapiteln werden zunächst grundsätzliche Überlegungen zur Widerstandsreduktion
durch Formgebung erörtert. Anschließend werden die theoretischen Verfahren zur
Nachrechnung und zur Optimierung von Rotationsköpern vorgestellt und durch Vergleich von
Berechnungsergebnissen mit Experimenten überprüft. Mit diesen Berechnungsmethoden wurden
erste Formoptimierungen für verschiedene Reynoldszahlbereiche durchgeführt. Die Ergebnisse
werden präsentiert und diskutiert. Detailliertere Informationen zum Optimierungsverfahrenfindensichin[19].
2 Vorüberlegungen zur Widerstandsminimierung durch
Formgebung
Ziel bei der aerodynamischen Optimierung eines Luftschiffes ist zunächst die Minimierung des
erforderlichen Leistungsbedarfes um eine bestimmte Nutzlast mit einer vorgegebenen Fluggeschwindigkeit
zu transportieren. Setzt man vereinfachend voraus, daß die Effizienz des Antriebes
konstant ist und die Nutzlast proportional zum Luftschiffvolumen und damit proportional
zum statischen Auftrieb ist, so läßt sich obiges Optimierungsziel in folgende Fragestellung
umformulieren: Welche Luftschiffkonfiguration hat bei vorgegebener Geschwindigkeit und Volumen
den geringsten Widerstand? Zur Untersuchung dieser Fragestellung sind bei Vergleichen
verschiedener Konfigurationen nachfolgend definierte dimensionslose Kennzahlen relevant (vgl.

3 Shape Optimization of Axisymmetric Bodies in Incompressible Flow
[18]):
Volumenbezogene Reynoldszahl:
50
Re V = U ∞V 1/3
ν
Volumenbezogener Widerstandsbeiwert:
(1)
W
c wV = ρ
U (2)
2 ∞V 2 2/3
Flight velocity [m/s]
40
30
20
10
Re V = 1 x 10 6
Lotte
Re V = 10 x 10 6
LZ N07
LZ 120
LZ 129
LZ 127
ZPG-3W
LZ 1
Re V = 100 x 10 6
Als Bezugslänge ist bei diesen Kennzahlen die Kubikwurzel
des Luftschiffvolumens V zu verwenden.
Eine inkonsistente Wahl der Bezugsgrößen, z. B.
Luftschifflänge bei Reynoldszahl und V 1/3 beim
Widerstandsbeiwert, führt zu falschen Ergebnissen
beim Widerstandsvergleich. Abb. 1 veranschau-
10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6
Body volume [m 3 ]
Abbildung 1: Volumenbezogene
Reynoldszahl von Luftschiffen
licht die Größenordnung der volumenbezogenen Reynoldszahl für verschiedene Luftschiffkonstruktionen
bei Höchstgeschwindigkeit. Die Spanne reicht dabei von Re V ≈ 5 · 10 6 für das
unbemannte Solarluftschiff ’Lotte’ bis zu Re V ≈ 150 · 10 6 für das LZ 129.
Trägt man nun den volumenbezogenen Wider- 0.050
standsbeiwert für einen axial angeströmten Rotationskörper
über Re V auf, so ergibt sich typi-
Turbulent flow
Natural transition
0.040
scherweise ein Verlauf wie er in Abb. 2 dargestellt
c
ist. Bei kleinen Reynoldszahlen (Bereich I, Re d
V
v
5 · 10 5 ) liegt der Widerstandsbeiwert für den Fall 0.030
des natürlichen Grenzschichtumschlages (ausgezogene
Linie) deutlich unterhalb des Verlaufes für
0.020
nahezu vollturbulente Körperumströmung (gestrichelte
Linie). In diesem Bereich sind ausgedehnte
laminare Laufstrecken möglich, was mit einem 0.010
sehr kleinen Reibungswiderstand verbunden ist. I II III
Bei einer Erhöhung der Re-Zahl wandert der Umschlagspunkt
mehr oder weniger schnell in Rich-
10 5 10 6 10 7 10 8
0.000
Re V
tung Körpernase, wodurch der Widerstandsbeiwert
Abbildung 2: Widerstandsverlauf
für einen axial angeströmten Rotationskörper
ansteigt. Zu Beginn dieses Übergangsbereiches
(Bereich II, 5 · 10 5 Re V 10 7 ) sind die
größten Widerstandseinsparungen durch Laminarhaltung
möglich. Das Gebiet großer Reynoldszahlen
(Bereich III, Re V 10 7 ) ist schließlich dadurch charakterisiert, daß der Körper fast
vollständig turbulent umströmt ist. Eine wichtige Aufgabe der Strömungsmechanik ist, wie
Körperkontur und zugehörige Druckverteilung zu gestalten sind, um den Grenzschichtumschlag
zu verzögern und ausgedehnte laminare Laufstrecken zu realisieren. Experimente zur
Umströmung von Rotationskörpern bei großen Reynoldszahlen liegen nur wenige vor.

Shape Optimization of Axisymmetric Bodies in Incompressible Flow 4
2.1 Formoptimierung bei Laminarkörpern
Für den Bereich kleiner Reynoldszahlen können sehr einfach ausgedehnte laminare Laufstrecken
durch Formgebung erzielt werden. Hierzu ist über ein langes Gebiet ab dem vorderen Staupunkt
ein leichter Druckabfall einzuführen (vgl. Körper von Hansen und Hoyt in Abb. 5). Der Umschlagspunkt
liegt dann im Bereich der maximalen Übergeschwindigkeit. Diese Laminarkörper
für kleine Re-Zahlen zeichnen sich durch eine sehr große Dickenrücklage aus. Zur Widerstandsminimierung
ist die Körperoberfläche nach dem Strömungsumschlag schnellstmöglich
zu verkleinern, da die Wandschubspannung bei turbulenten Grenzschichten vielfach höher als
bei laminaren Grenzschichten ist. Dazu ist ein starker Druckanstieg einzuführen, wobei jedoch
Ablösungen vermieden werden müssen. Je kleiner die Reynoldszahl, desto weniger Druckanstieg
ist möglich und desto schlankere Körpersindzuerwarten.
1.0
Bei einer Steigerung der Re-Zahl ist im vorde-
Transition point x trans
/L
0.8
0.6
0.4
0.2
laminar separation
LZ 129
Hansen & Hoyt body
Lotte
LZ N07
0.0
10 6 10 7 Re V
10 8
LZ 129
ren Körperbereich ein stärkerer Druckabfall erforderlich,
um die Grenzschicht laminar zu halten.
Dies kann entweder durch eine Vergrößerung des
Körperdurchmessers oder durch eine Vorverlagerung
des Punktes maximaler Dicke erreicht werden.
Der Vergrößerung des Körperdurchmessers
ist durch den maximal möglichen Druckanstieg
im hinteren Körperbereich Grenzen gesetzt. Insgesamt
ist zu erwarten, daß bei Steigerung von
Re die laminaren Laufstrecken kürzer und das
Längen-Durchmesser Verhältnis dieser widerstandsoptimierten
Laminarkörper größer wird.
Die genaue Kenntnis der Auslegungs-Reynoldszahl
ist daher beim Entwurf von Laminarkörpern wichtig.
Ein für kleine Re-Zahlen optimierter Körper
weist bei luftschiffrelevanten Reynoldszahlen u. U.
Abbildung 3: Umschlagsposition in
Abhängigkeit der Reynoldszahl
kürzere laminare Laufstrecken auf als ein konventioneller Luftschiffkörper, siehe Abb. 3. Es
ist daher wenig sinnvoll, einen typischen Laminarkörper wie den von Hansen & Hoyt bei Luftschiffrümpfen
einzusetzen.
Insgesamt kann festgehalten werden, daß lediglich bei kleinen unbemannten Luftschiffen ausgedehnte
laminare Laufstrecken durch Formgebung theoretisch möglich sind. Es ist jedoch
fraglich inwieweit die theoretischen Werte in der Praxis beim Auftreten von Konturunstetigkeiten
und Hüllenflattern realisiert werden können. Hierzu sind keine Untersuchungen bekannt.
2.2 Formoptimierung bei vollturbulenter Umströmung
Bei sehr großen, luftschiffrelevanten Reynoldszahlen (Re V 5 · 10 7 ) sind mit passiven Maßnahmen
keine ausgedehnten laminaren Laufstrecken zu erzielen. Für den Fall der vollturbulenten
Körperumströmung hängt der hier betrachtete volumenbezogene Widerstandsbeiwert
dabei offensichtlich nur sehr wenig von der genauen Geometrie des Rotationskörpers ab. Dies
bedeutet, daß bei vorgegebenem Re V nur sehr kleine Widerstandsreduzierungen durch Formoptimierung
möglich sind. Nach umfangreichen Untersuchungen von Hess [10] besteht im

5 Shape Optimization of Axisymmetric Bodies in Incompressible Flow
wesentlichen eine leichte Abhängigkeit des Widerstandsbeiwertes vom Längen-Durchmesser
Verhältnis. Mit Hilfe eines vereinfachten Verfahren von Truckenbrodt, welches keine detaillierte
Berechnung der Grenzschichtentwicklung erfordert, wurden die Widerstandsbeiwerte für
eine Vielzahl von Rotationskörpern mit unterschiedlichem L/D ermittelt. Die resultierenden
Werte stimmten mit dem für Rotationsellipsoide nach Truckenbrodt analytisch berechenbaren
Verlauf praktisch überein. Es ergab sich ein flaches Widerstandsminimum bei einem Längen-
Durchmesser Verhältnis von knapp über 3. Leider wurden die Untersuchungen bei konstanter
längenbezogener Reynoldszahl Re L und nicht für konstantes Re V durchgeführt. Durch diese
Inkonsistenz werden schlankere Körper benachteiligt (siehe auch [18]).
Basierend auf einer Näherungsformel von Hoerner [11] wurde daher eine eigene Abschätzung
günstiger Längen-Durchmesser Verhältnisse durchgeführt. Für Re V =10 8 resultierte ein sehr
flaches Widerstandsminimum bei Werten von L/D ≈ 5 bis 6 (vgl. [17]). In dieser Voruntersuchungen
wurden weitere passive Maßnahmen zur Widerstandsminimierung bei großen
Reynoldszahlen untersucht und mit dem in Abschnitt 3 vorgestellten Nachrechenverfahren
überprüft. Durch Einführen eines Druckanstieges nach dem Umschlagspunkt wurde beispielsweise
versucht, die Wandschubspannung zu verkleinern und so den Reibungswiderstand in
Bereichen großer umspülter Körperoberfläche zu reduzieren. Die untersuchten Ansätze brachten
jedoch keine signifikanten Verbesserungen gegenüber konventionellen Körperformen. Es
wurde daher entschieden mit Hilfe einer numerischen Optimierung nach weiteren Lösungen zu
suchen.
3 Berechnungsverfahren
3.1 Ermittlung der Außenströmung
Zur Berechnung der potentialtheoretischen Geschwindigkeitsverteilung um vorgelegte
Körperformen wird eine 3D-Panelmethode eingesetzt. Bei diesem Nachrechenverfahren
werden Quellpanels mit abschnittsweise konstanter Stärke verwendet, wobei die Singularitätenverteilung
mit Hilfe der externen Neumann Randbedingung bestimmt wird. Dieser
Low-Order Ansatz ist bei entsprechend feiner Diskretisierung völlig ausreichend. Ein modifizierter
Bezier-Spline dient zur Interpolation von Gometrie und Geschwindigkeitsverteilung
und liefert die für die Grenzschichtrechnung benötigten Eingabedaten. Bei Bedarf kann die
Verdrängungswirkung der Grenzschicht mit Hilfe der Transpirationstechnik simuliert werden,
wozu eine iterative Koppelung mit dem Grenzschichtverfahren erforderlich ist.
Das bei der Formoptimierung eingesetzte Potentialverfahren basiert auf einer linear variierenden
Quellverteilung auf der Achse des Rotationskörpers (siehe [19]). Im Gegensatz zu dem
normalerweise gewählten Vorgehen wird bei dieser Methode nicht die Körpergeometrie sondern
die Quellstärkenverteilung bei der Optimierung variiert. Die Kontur des Körpers entspricht
der Staustromfläche, die sich nach Erfüllung der Schließungsbedingung iterativ ermitteln läßt.
Die zugehörige Geschwindigkeitsverteilung ergibt sich aus der Differentation von Potentialoder
Stromfunktion auf der Körperoberfläche. Das gewählte Vorgehen entspricht im wesentlichen
dem von Pinebrook, der Optimierungen des stirnflächenbezogenen Widerstandsbeiwertes
durchführte [15].
Die bei der numerischen Optimierung verwendete indirekte Methode ist mathematisch exakt
und sehr recheneffizient. Nachteilig ist jedoch, daß sich nicht alle denkbaren Körperkonturen

Shape Optimization of Axisymmetric Bodies in Incompressible Flow 6
berechnen lassen (Körper mit Hinterschneidungen, L/D < 1). Eine ähnliche Problematik
liegt jedoch auch bei der Verwendung von Oberflächen-Singularitätenverfahren vor: Bei der
Formoptimierung muß die Körperkontur durch eine endliche Anzahl von Geometrieparametern
(z. B. Koeffizienten eines Polynomsplines) dargestellt werden, was ebenfalls eine gewisse
Einschränkung bedeutet.
3.2 Grenzschichtberechnung und Umschlagsermittlung
Basierend auf der potentialtheoretischen Geschwindigkeitsverteilung wird die Ermittlung der
Grenzschichtentwicklung mit Hilfe eines Integralverfahrens zur Berechnung laminar bzw. turbulent
anliegender Grenzschichten durchgeführt (siehe [5]). Das Verfahren wurde dazu auf die
Berechnung rotationssymmetrischer Grenzschichten erweitert. Krümmungseffekte werden bei
diesem Verfahren 1. Ordnung vernachlässigt. Die Anwendung der Methode erscheint jedoch
zulässig, da die Grenzschichtdicken im betrachteten Reynoldszahlbereich sehr viel kleiner als die
Krümmungsradiensind. Eine Ausnahme stellt der unmittelbare Nasenbereich dar. Obwohl die
Grundlagen dieses Integralverfahrens schon etwas älter sind, hat es sich zur Widerstandsberechnung
bewährt. Beim Originalverfahren wird der laminar-turbulente Übergang mit Hilfe eines
empirischen lokalen Umschlagskriteriums ermittelt. Dieses Kriterium wird derzeit noch bei der
Formoptimierung eingesetzt, da es sehr recheneffizient ist. Tritt vor dem Strömungsumschlag
eine laminare Ablösung auf, so wird an der Ablösestelle auf turbulente Grenzschichtrechnung
umgeschaltet. Der Zusatzwiderstand infolge laminarer Ablöseblasen wird nicht erfaßt.
Von mehreren Autoren wird auf die Unzulänglichkeiten der einfachen lokalen Kriterien bei
der Umschlagsermittlung an Rotationskörpern hingewiesen. Insbesondere bei langgestreckten
Körpern mit flachem Druckverlauf treten große Diskrepanzen zwischen verschiedenen Kriterien
auf. Dies resultiert aus dem Umstand, daß die Kriterien i. A. auf der Grundlage von Profilvermessungen
bei verhältnismäßig kleinen Reynoldszahlen und großen Druckgradienten korreliert
werden. Eine zuverlässigere Umschlagsermittlung versprechen halbempirische Methoden basierend
auf der linearen Stabilitätstheorie (e n -Methoden).
Zur Überprüfung optimierter Laminarkörper wurde daher im Nachrechenverfahren eine solche
e n -Methode implementiert. Die verwendete Methode basiert auf der Lösung der vollständigen
Orr-Sommerfeld Gleichung. Hierbei wird die räumliche Anfachung der Tollmien-Schlichting
Wellen für eine Vielzahl physikalischer Frequenzen ab dem primären Instabilitätspunkt berechnet.
Die benötigte Geschwindigkeitsverteilung innerhalb der Grenzschicht wird aus einer
Polynomapproximation der Falkner-Skan Profile gewonnen. Koppelparameter zum Integralverfahren,
welches für den laminaren Fall auch auf den ähnlichen Grenzschichtlösungen basiert, ist
der Formparameter H 32 .DerStrömungsumschlag wird an der Position angenommen, wo die
Envelope der Anfachungskurven dieser Störwellen einen bestimmten Wert überschritten hat.
Der kritische Wert e n dieses Anfachungsfaktors wird in Abhängigkeit des Turbulenzgrades
der Anströmung empirisch korreliert. Hierbei wird das genaue Spektrum der in die Grenzschicht
eindringenden Störungen sowie deren Anfangsamplitude nicht berücksichtigt. Diese
Vorgehensweise wird durch die für den 2D Fall erzielten guten und konsistenten Resultate
gerechtfertigt. Die implementierte Methode zur Umschlagsermittlung wurde durch zahlreiche
Vergleiche von berechneten und experimentell ermittelten Profilpolaren validiert. Erste Berechnungsergebnisse
für die Umschlagsermittlung axial angeströmter Rotationskörper wurden
in [12] vorgestellt. Es ist geplant diese aufwendige Methode künftig auch für die Formopti-

7 Shape Optimization of Axisymmetric Bodies in Incompressible Flow
mierung von Laminarkörpern einzusetzen.
Die Ermittlung des Widerstandsbeiwertes erfolgt nach der Formel von Young [20] aus den
Grenzschichtdaten am Rumpfende.
3.3 Optimierungsalgorithmus
Als Optimierungsalgorithmus für die vorliegenden Untersuchungen wurde die Evolutionsstrategie
nach Rechenberg [16] ausgewählt, da sie gegenüber herkömmlichen Gradientenverfahren
eine größere Chance zum Auffinden des globalen Optimums bezüglich einer Zielfunktion verspricht.
Nachteilig ist die vergleichsweise sehr hohe Anzahl der erforderlichen Optimierungsschritte.
In Anlehnung an den biologischen Entwurfsprozeß werden aus einer vorgegebenen Anzahl von
Ausgangsquellverteilungen (Eltern) durch Rekombination und zufälliger Mutation neue Quellverteilungen
generiert. Die zugehörigen Rotationskörper werden Anhand einer vorgegeben
Zielfunktion bewertet. Diese Zielfunktion wird aus den berechneten Widerstandsbeiwerten für
einen vorgegebenen Reynoldszahlbereich sowie einer Straffunktion bei Auftreten von Grenzschichtablösungen
gebildet. Je nach Anwendungsfall kann dabei der volumenbezogene, der
stirnflächenbezogene oder der auf die umspülte Oberfläche bezogene Widerstandsbeiwert minimiert
werden. Die Evolutionsstrategie beinhaltet eine automatische Steuerung der Mutationsschrittweite.
Weitere Informationen zum verwendeten Optimierungsalgorithmus finden sich
in [19].
3.4 Verfahrensvalidierung
Das im vorigen Abschnitt beschriebene Nachrechenverfahren wurde hinsichtlich der Widerstandsberechnung
für eine Vielzahl von Rotationskörpern überprüft. Abb. 4 zeigt ein Berechnungsergebnis
für einen luftschiffähnlichen Körper im Vergleich zu experimentellen Resultaten
von Gertler [6]. Sowohl bei den experimentellen Untersuchungen im Wasserkanal als auch bei
der theoretischen Berechnung wurde die Umschlagslage bei 5 % der Körperlänge fixiert. Für
den gesamten vermessenen Reynoldszahlbereich liegt eine sehr gute Übereinstimmung vor.
Als weiteres Beispiel sind in Abb. 5 potentialtheoretische Druckverteilung und Widerstandsverlauf
für den Laminarkörper von Hansen & Hoyt wiedergegeben. Die Übereinstimmung
von berechnetem und gemessenem Widerstandsverlauf bei natürlichem Umschlag ist zufriedenstellend.
Da der Turbulenzgrad des Kanals nicht bekannt war, wurde bei der theoretischen
Umschlagsermittlung ein kritischer Anfachungsfaktor von n =9angenommen. Bei
Re V =4· 10 6 ist ein drastischer Anstieg des berechneten Widerstandsbeiwertes zu verzeichnen.
Hier springt der Umschlagspunkt abrupt in Richtung Körpernase. Die Experimente deuten
ein etwas gemächlicheres Anwachsen des Widerstandes an. Bei Re V ≈ 10 6 sind die theoretischen
Widerstandsbeiwerte zu optimistisch. Aufgrund des starken Druckanstieges bei 70 % der
Körperlänge treten hier laminare Ablöseblasen auf, die von der Theorie zwar angezeigt werden,
deren Zusatzwiderstand jedoch nicht berücksichtigt wird. Bei den optimierten Laminarkörpern
(siehe Kap. 4) wurde auf eine Vermeidung von Grenzschichtablösungen geachtet.
Von Dodbele wurden verschiedene Umschlagskriterien auf ihre Anwendbarkeit bei Rotationskörpern
untersucht und mit Ergebnissen einer e n -Methode verglichen [4]. Zur Berechnung
der Grenzschicht wurde ein Finite-Differenzen Verfahren verwendet. Die Stabilitätsrechnung

Shape Optimization of Axisymmetric Bodies in Incompressible Flow 8
-0.5
0.050
0.040
Present method, transition at 5%
Experiment, turbulator at 5%
0.0
0.030
uncorrected
Froude - effect
c p v
10 6 10 7
c d
0.5
0.020
0.010
1.0
0.0 0.2 0.4
x/L
0.6 0.8 1.0
0.000
Re V
Abbildung 4: Potentialtheoretische Druckverteilung und Widerstandsverlauf für den Gertler
Körper 4154 (vgl. [6])
0.020
2 4 6 8 10 12
L / D
Abbildung 6: Volumenbezogener Widerstandsbeiwert
in Abhängigkeit des
Längen-Durchmesser Verhältnisses
mit dem Sally-Code ergab fur den X35-Körper von Parsons et al. [14] bei Re L =37, 14 · 10 6
eine Umschlagsposition von x/L =0, 185. Für denselben kritischen Anfachungsfaktor von
n =9erhält man mit der hier vorgestellten Methode den Umschlag bei x/L =0, 180.
0.030
Als letztes Beispiel ist in Abb. 6 der volumenbezogene
Widerstandsbeiwert für eine Reynoldszahl
0.028
von Re V =0, 4 · 10 8 in Abhängigkeit des Längen-
Durchmesser Verhältnisses dargestellt. Der Umschlagspunkt
wurde in Theorie und Experiment bei
0.026
5%derKörperlänge getriggert. Die nicht ausgefüllten
c d v
Quadrate stellen experimentelle Resultate
0.024
von Gertler dar, während die ausgefüllten Symbole
die Berechnungsergebnisse für verschiedene Rotationskörper
zeigen. Im untersuchten L/D Bereich
0.022
ist kein ausgeprägtes Widerstandsminimum zu erkennen.
Zudem scheint der genaue Verlauf der
unterschiedlichen Konturen, wie erwartet, weniger
ausschlaggebend zu sein. Die berechneten Widerstandsbeiwerte
stimmen sehr gut mit den experimentell
ermittelten Werten überein.
4 Ergebnisse und Diskussion
Das im vorigen Abschnitt und in [19] vorgestellte Optimierungsverfahren wurde zur Minimierung
des volumenbezogenen Widerstandsbeiwertes für drei verschiedene Reynoldszahlbereiche

9 Shape Optimization of Axisymmetric Bodies in Incompressible Flow
-0.5
0.040
0.030
Present method, natural transition (n=9)
Present method, transition at 1%
Experiment Hansen & Hoyt
0.0
c d v
0.020
c p
0.5
0.010
10 6 10 7 10 8
Lotte
LZ N07
LZ 129
1.0
0.0 0.2 0.4
x/L
0.6 0.8 1.0
0.000
Re V
Abbildung 5: Potentialtheoretische Druckverteilung und Widerstandsverlauf für den Hansen &
Hoyt Körper (vgl. [8])
herangezogen:
Optimierungsfall I : Re V =5· 10 6
Optimierungsfall II : Re V =2· 10 6 bis 1 · 10 7
Optimierungsfall III : Re V =1· 10 8
Die gewählte Ausgangsquellverteilung entsprach einer ellipsoidähnlichen Startgeometrie mit
einem Längen-Durchmesser Verhältnis von L/D =2, 3. Bei den vorgestellten Formoptimierungen
wurden 20 Quellabschnitte verwendet. Da Sprungstellen an den Abschnittsgrenzen
zugelassen waren entsprach dies einer Anzahl von 41 zu optimierenden Quellstärken. Die
Optimierung erfolgte in mehreren Stufen, wobei nach jeder Stufe die Ergebnisse von parallel
durchgeführten Optimierungen mit unterschiedlichem Schrittweitenfaktor zusammengeführt
wurden.
Es hat sich gezeigt, daß die Evolution bei den durchgeführten Formoptimierungen in nachfolgender
Reihenfolge ablief: Zunächst versucht der Optimierer den durch Grenzschichtablösung
verursachten Zusatzwiderstand zu reduzieren indem ein spitzes Heck ausgebildet wird. Anschließend
wird der Punkt maximaler Dicke verschoben um die bei der vorgegebenen Reynoldszahl
mögliche laminare Laufstrecke auszunutzen. Gleichzeitig wird das Längen-Durchmesser
Verhältnis variiert. In einem letzten Schritt wird der genaue Verlauf der Geschwindigkeitsverteilung
optimiert. Hierbei zeigt sich, daß kleine Welligkeiten im Falle einer turbulenten
Grenzschicht offensichtlich nur einen geringen Einfluß auf den Widerstand haben, sofern keine
Ablösungen auftreten. Bei einer laminaren Grenzschicht bewirken Welligkeiten in der Druckverteilung
eine Vorverschiebung des Umschlagspunktes. Dies wird vom Optimierer erkannt,
der die Geschwindigkeitsverteilung im relevanten Bereich vor dem Umschlagspunkt glättet.
Um eine Abhängigkeit des Optimierungsergebnisses von der Startgeometrie auszuschließen

Shape Optimization of Axisymmetric Bodies in Incompressible Flow 10
wurden verschiedene Ausgangsquellverteilungen getestet. Bei einer mehrstufigen Optimierung
konnte kein wesentlicher Einfluß der Startgeometrie festgestellt werden.
4.1 Ergebnisse für den Optimierungsfall I
Für das one-point Design bei Re VI =5· 10 6 resultiert ein langgestreckter Laminarkörper von
L/D =5, 24 mit großer Dickenrücklage (siehe Abb. 7). Die optimierte Geometrie wurde für
die dargestellte Nachrechnung im Heckbereich leicht geglättet. Nach dem bei der Optimierung
verwendeten lokalen Umschlagskriterium ist im Auslegungspunkt eine sehr lange laminare Laufstrecke
(x trans /L =0, 73) möglich. Dazu ist bei dieser Reynoldszahl nur ein relativ geringer
Druckabfall im vorderen Körperbereich erforderlich.
Der optimierte Körper zeigt ein interessantes Phänomen: Beim Vergleich von Körperkontur
und Druckverteilung in Abb. 7 wird deutlich, daß die maximale Übergeschwindigkeit stromab
des Punktes maximaler Dicke auftritt. Dadurch erfolgt der Umschlag (bei dieser Reynoldszahl)
erst nach dem Beginn der Körpereinschnürung. Die hohe turbulente Wandschubspannung
greift daher an einer verkleinerten umspülten Oberfläche an, was den Reibungswiderstand des
Körpers reduziert.
Die Analyse des optimierten Körpers zeigt einen extrem niedrigen Widerstandsbeiwert im Auslegungspunkt
(siehe Abb. 7). Bei Verwendung des lokalen Umschlagskriteriums liegt der volumenbezogene
Widerstandsbeiwert bei Re VI =5· 10 6 um ca. 30 % unter dem theoretischen
Wert für den Hansen & Hoyt Körper. Wird die Reynoldszahl jedoch nur geringfügig erhöht,
so springt der Umschlagspunkt in Richtung Körpernase, was zu einem abrupten Widerstandsanstieg
führt. Bei einer Verkleinerung von Re ist demgegenüber der Druckanstieg im hinteren
Körperteil zu groß, wodurch für (Re V ≤ 2, 5 · 10 6 ) eine laminare Ablösung ohne Wiederanlegen
angezeigt wird. Der Widerstandsverlauf ist für dieses Gebiet nicht abgebildet. Der nicht
geglättete Rotationskörper ist ausschließlich im Auslegungspunkt brauchbar.
Dies offebart die Problematik bei einem one-point Design: Je erfolgreicher die Optimmierung,
desto besser das Ergebnis im Auslegungspunkt und desto schlechter die Leistung außerhalb dieses
Punktes. Man liefert sich bei dieser one-point Optimierung daher auf Gedeih und Verderb
den Schwächen des verwendeten aerodynamischen Berechnungsverfahren aus. Im Falle der
Laminarkörper betrifft dies insbesondere das Umschlagskriterium. Unzulänglichkeiten in der
Umschlagsberechnung werden vom Optimierer ausgenutzt und können zu einem in der Praxis
unbrauchbaren Ergebnis führen. Es ist daher besser die Optimierung für einen ganzen Reynoldszahlbereich
mit genügender Sicherheit zum tatsächlichen Einsatzpunkt durchzuführen.
Eine Nachrechnung des optimierten Körpers mit der aufwendigen e n -Methode zeigt, daß der
Umschlag vermutlich bereits unterhalb der Auslegungs-Reynoldszahl in Richtung Profilnase
springt und zudem eine turbulente Grenzschichtablösung am Ende der Kontureinschnürung
auftritt. Erst oberhalb von Re V =5· 10 6 wird der Körper ablösefrei umströmt. Aufgrund des
frühen Umschlages ist der Reibungswiderstand in diesem Reynoldszahlbereich jedoch sehr hoch.
Bei der Umschlagsberechnung wurde ein kritischer Anfachungsfaktor von n =14verwendet,
was einer sehr turbulenzarmen Anströmung entspricht.

11 Shape Optimization of Axisymmetric Bodies in Incompressible Flow
-0.5
0.040
0.030
Natural transition (local Eppler criterion)
Forced transition at x/L = 0.01
Natural transition (e n method, n=14)
0.0
c d v
c p
0.020
0.5
0.010
Design point
1.0
0.0 0.2 0.4
x/L
0.6 0.8 1.0
Lotte
LZ N07
LZ 129
0.000
10 6 10 7 Re V
10 8
Abbildung 7: Potentialtheoretische Druckverteilung und Widerstandsverlauf des optimierten
Rotationskörpers I (Re VI =5· 10 6 )
4.2 Ergebnisse für den Optimierungsfall II
Um die zuvor geschilderten Probleme bei der one-point Optimierung zu vermeiden, wurde im
Fall II eine Optimierung für einen ganzen Reynoldszahlbereich (Re VII =2· 10 6 bis 1 · 10 7 )
durchgeführt. Der resultierende Körper weist gegenüber dem Resultat des Falles I ein kleineres
Längen-Durchmesser Verhältnis (L/D =3, 51) und einen vorverlagerten maximalen Durchmesser
auf (siehe Abb. 8). Der zur Laminarhaltung bei Re V =10 7 erforderliche Druckabfall
im vorderen Körperbereich hat sich gegenüber Fall I vergrößert. Hier bestimmt die obere
Auslegungs-Reynoldszahl wesentlich die Formoptimierung (vgl. Kapitel 2).
Wird bei der Nachrechnung dasselbe lokale Umschlagskriterium wie bei der Optimierung verwendet,
ergibt sich ein sehr niedriger Widerstandsbeiwert für den gesamten Auslegungsbereich
mit einem scharfen Anstieg bei der oberen Reynoldszahl Re V =10 7 . Das c w -Niveau liegt
jedoch bei kleineren Re-Zahlen (Re V ≤ Re VI =5· 10 6 ) erwartungsgemäß über den Werten
des optimierten Körpers I. Bei Verwendung des lokalen Umschlagskriteriums wird für den
gesamten Auslegungsbereich keine Grenzschichtablösung angezeigt.
Die Nachrechnung unter Verwendung der e n -Methode ergibt, daß das Vorspringen des Umschlags
beim Körper II bereits für Re V ≈ 5 · 10 6 zu erwarten ist (n = 14). Für Reynoldszahlen
unterhalb dieses Wertes zeigt das aufwendigere Berechnungsverfahren laminare Ablöseblasen
an, während das lokale Kriterium einen Grenzschichtumschlag vor der Ablösegrenze ermittelt.
Aufgrund der Unsicherheiten bei der Umschlsgsermittlung mit Hilfe einfacher lokaler Kriterien
ist bei künftigen Optimierungen von Laminarkörpern der Einsatz der e n -Methode geplant.

Shape Optimization of Axisymmetric Bodies in Incompressible Flow 12
-0.5
0.040
0.030
Natural transition (local Eppler criterion)
Forced transition at x/L = 0.01
Natural transition (e n method, n=14)
0.0
c d v
c p
10 6 10 7 10 8
0.020
Design region
0.5
0.010
Lotte
LZ N07
LZ 129
1.0
0.0 0.2 0.4
x/L
0.6 0.8 1.0
0.000
Re V
Abbildung 8: Potentialtheoretische Druckverteilung und Widerstandsverlauf des optimierten
Rotationskörpers II (Re VII =2· 10 6 bis 1 · 10 7 )
4.3 Ergebnisse für den Optimierungsfall III
Abschließend wurde eine Formoptimierung für den Bereich sehr großer, luftschiffrelevanter
Reynoldszahlen (Re VIII =1· 10 8 ) durchgeführt. Obwohl nicht geklärt ist, inwieweit laminare
Laufstrecken beim Auftreten von Konturunstetigkeiten und Hüllenflattern realer Luftschiffe
realisierbar sind, wurde bei der Optimierung ein natürlicher Grenzschichtumschlag angenommen.
Der resultierende Körper ist in Abb. 9 dargestellt. Die ungewöhnliche Kontur
(L/D =4, 26) weist im Gegensatz zu den bisher vorgestellten Laminarkörpern eine spitze Nase
auf. Dies ist mit einem starken Druckabfall auf den vorderen 20 % verbunden, wodurch die
Grenzschicht trotz der großen Reynoldszahl bis 15 % laminar gehalten werden kann (lokales
Umschlagskriterium). Es ist jedoch anzunehmen, daß der Umschlagspunkt bei kleinen Anstelloder
Schiebewinkeln infolge größerer Saugspitzen schneller vorwandert als bei stumpfen Bugformen.
Ähnliche spitznasige Konturen wurden bereits in Anlehnung an biologische Vorbilder
von Hertel vorgeschlagen [9].
Stromab des Umschlagpunktes weist der Körper einen kurzen, kräftigen Druckanstieg auf.
Hierdurch wird die Wandschubspannung der turbulenten Grenzschicht reduziert. Die Ursache
für die leichte Welligkeit in der Druckverteilung bei x/L ≈ 0, 8 konnte nicht geklärt werden.
Eine Glättung der Kontur in diesem Bereich brachte keine weitere Verringerung des Widerstandes.
Es ist anzumerken, daß der volumenbezogene Widerstand bei turbulenter Grenzschicht
nur sehr insensitiv gegenüber Konturänderungen ist. Körper mit sehr unterschiedlicher Gestalt
können daher einen fast identischen volumenbezogenen Widerstandsbeiwert aufweisen. Dieser
Umstand bereitet bei der numerischen Optimierung Probleme. Es ist daher nicht sichergestellt,
ob der gefundene Korper dem globalen Optimum nahekommt.
Die Berechnung des Widerstandsverlaufes unter Verwendung des lokalen Umschlagskriteriums
ergibt wiederum ein lokales Minimum bei der Auslegungs-Reynoldszahl. Der Gewinn gegenüber

13 Shape Optimization of Axisymmetric Bodies in Incompressible Flow
Körper Gertler 4154 Körper III R101 ZR IV Akron LZ 129 LZ 127
L/D 4 4,26 5,6 5,8 5,9 6,0 7,7
c dV 0,0149 0,0146 0,0157 0,0156 0,0155 0,0158 0,0163
Tabelle 1: Volumenbezogener Widerstandsbeiwert verschiedener Rotationskörper für Re V =
10 8 (lokales Umschlagskriterium)
der vollturbulenten Umströmung ist jedoch gering. Bei Verwendung der e n -Methode tritt
das Vorspringen des Umschlages, wie bei den übrigen Optimierungsfällen auch, bei kleineren
Reynoldszahlen auf.
Interessant ist nun, ob mit dem optimierten Körper bei sehr großen Reynoldszahlen Widerstandsreduzierungen
gegenüber bekannten Geometrien möglich sind. Dazu wurden Vergleichsrechnungen
unter Verwendung des lokalen Umschlagskriteriums bei der Auslegungs-
Reynoldszahl des Körpers III durchgeführt. Die in Tabelle 1 aufgeführten Ergebnisse zeigen,
daß gegenüber dem langgestreckten LZ 127 Rumpf eine Widerstandsreduktion von immerhin
10 % erzielt werden konnte. Im Vergleich zum besten Vergleichskörper (Gertler 4154) betrug
der Gewinn dagegen lediglich 2 %. Dies bestätigt die eingangs getroffene Aussage, daß
im Reynoldszahlbereich sehr großer Luftschiffe das Potential zur Widerstandsreduktion durch
Formgebung eher gering ist. Bei kleineren Reynoldszahlen sind jedoch erhebliche Verbesserungenauchgegenüber
bekannten Laminarkörpern möglich.
-0.5
0.040
0.030
Natural transition (local Eppler criterion)
Forced transition at x/L = 0.01
Natural transition (e n method, n=14)
0.0
c d v
c p
10 6 10 7 10 8
0.020
Design point
0.5
0.010
Lotte
LZ N07
LZ 129
1.0
0.0 0.2 0.4
x/L
0.6 0.8 1.0
0.000
Re V
Abbildung 9: Potentialtheoretische Druckverteilung und Widerstandsverlauf des optimierten
Rotationskörpers III (Re VIII =1· 10 8 )

Shape Optimization of Axisymmetric Bodies in Incompressible Flow 14
5 Zusammenfassung und Schlußfolgerung
Es wurden Verfahren zur Optimierung und Nachrechnung von axial angeströmten Rotationskörpern
in inkompressibler Strömung entwickelt und vorgestellt. Diese Methoden dienten
zum Entwurf widerstandsminimierter Körper für verschiedene Reynoldszahlbereiche. Die Resultate
der numerischen Optimierungen sowie eine Diskussion der Möglichkeiten zur Widerstandsreduzierung
durch Formgebung lassen sich zu folgenden Aussagen zusammenfassen:
• Bei kleineren bis mittleren Reynoldszahlen (Re V 10 7 ) sind ausgedehnte laminare
Laufstrecken durch Formgebung theoretisch möglich. Gegenüber turbulent umströmten
Körpern läßt sich der Widerstand drastisch reduzieren. Selbst im Vergleich zu bekannten
Laminarkörpern konnte der volumenbezogene Widerstandsbeiwert mittels Formoptimierung
um ca. 30 % verringert werden. Inwieweit diese Laufstrecken beim Auftreten
von Konturunstetigkeiten und Hüllenflattern realer Luftschiffe umsetzbar sind, ist nicht
geklärt.
• Im Bereich großer Reynoldszahlen (Re V 10 8 ) sind nur kurze laminare Laufstrecken
durch einen starken Druckabfall im Nasenbereich möglich. Der damit verbundene Widerstandsgewinn
ist bescheiden.
• Der volumenbezogene Widerstandsbeiwert von Rotationskörpern ist bei turbulenter Umströmung
sehr insensitiv gegenüber Konturänderungen. Dies erschwert die numerische
Formoptimierung. Das Potential zur Reduzierung des volumenbezogenen Widerstandsbeiwertes
durch Formgebung ist bei turbulenter Umströmung sehr klein. Diese Aussage
beschränkt sich auf den Gültigkeitsbereich des verwendeten aerodynamischen Berechnungsmodells
(starre Wände, Vernachlässigung des Krümmungseffektes bei der Grenzschichtberechnung,
keine Grenzschichtkontrolle).
• Eine one-point Optimierung für eine einzige Reynoldszahl liefert Körper, die außerhalb
ihres Auslegungspunktes ungünstig, z.T. unbrauchbar sind. Man liefert sich damit
den Schwächen des verwendeten aerodynamischen Berechnungsmodells aus. Bei
Laminarkörpern betrifft dies insbesondere die Umschlagsermittlung.
Die durchgeführten Untersuchungen haben gezeigt, daß mit der numerischen Optimierung in
Verbindung mit einem zuverlässigen und konsistenten aerodynamischen Berechnungsverfahren
ein wertvolles Entwurfswerkzeug zur Verfügung steht. Dabei stellt die Umschlagsermittlung
bei langgestreckten Rotationskörpern den größten Unsicherheitsfaktor dar. Zur Durchführung
künftiger Formoptimierungen von Laminarkörpern ist daher geplant, die e n -Methode zur Umschlagsermittlung
in das Optimierungsverfahren zu implementieren.
Bei der aerodynamischen Optimierung von Luftschiffen soll der Einfluß eines Heckpropellers
zur Schuberzeugung berücksichtigt werden. Das integrierte Design von Rumpf, Antrieb und
Steuerflächen verspricht ein größeres Potential an Widerstandsreduktion als die reine Formoptimierung
des Rumpfes.

15 Shape Optimization of Axisymmetric Bodies in Incompressible Flow
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