Skript zum Thema Elementargeometrie - Mathematik und ihre Didaktik

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Elementargeometrie
MSG – Mathematische Schülergesellschaft
Daniel Platt
Sei also ∆ABC ein beliebiges Dreieck. Wie üblich seien a = BC, b = AC, c = AB.
Weiter seien α, β und γ die Innenwinkel bei den Eckpunkten A, B und C. Es seien w α ,
w β , w γ die Winkelhalbierenden der entsprechenden Winkel.
• C
P •
•
A
w α
b
I
a
c
B
•
Wir bemerken nun folgendes: Jeder Punkt, der auf w α liegt, hat von den Seiten b und
c den gleichen Abstand. Im Bild ist das für einen zufälligen Punkt P, der auf w α liegt,
verdeutlicht. Außerdem: Jeder Punkt, der auf w β liegt, hat von den Seiten a und c den
gleichen Abstand.
• Es sei nun I der Schnittpunkt von w α und w β . Wir zeigen nun: I liegt auch auf
w γ . I hat denselben Stand zu den Dreiecksseiten a, b und c (wie oben gesagt). Also
hat insbesondere I den gleichen Abstand zu a und b. Allerdings: w γ ist genau die
Gerade, die alle Punkte entält, die von a und b den gleichen Abstand haben. Also
enthält w γ auch den Punkt I. Also liegt schneiden sich w α , w β und w γ in einem
Punkt I. Das zeigt die Behauptung (iii).
• I ist gleich weit von allen Dreiecksseiten entfernt. Der Kreis, der diese Entfernung
als Radius hat, ist Inkreis in ∆ABC. Also hat ∆ABC einen Inkreis. Das zeigt die
Behauptungen (i) und (iv).
• I ist der einzige Punkt, der zu allen Dreiecksseiten den gleichen Abstand hat.
Kein anderer Punkt kann auf allen Winkelhalbierenden gleichzeitig liegen. Und ein
Punkt,derbeispielsweisenichtaufw α liegt, hatzudenSeitenbundcverschiedenen
Abstand.AlsokanndieserPunktnichtInkreismittelpunktsein.AlsoistI dereinzig
mögliche Inkreismittelpunkt. Weiterhin sehen wir, dass der Inkreisradius eindeutig
ist. Also ist für ∆ABC der Inkreis eindeutig. Das zeigt die Behauptung (ii).
Ist nun also ∆ABC ein beliebiges Dreieck, so konstruieren wir den Inkreis folgendermaßen:
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