Skript zum Thema Elementargeometrie - Mathematik und ihre Didaktik

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• • Elementargeometrie MSG – Mathematische Schülergesellschaft Daniel Platt C α β B β ′ • M α ′ • A Beweis. Es sei (wie in der Skizze dargestellt) M der Mittelpunkt des Kreises. Weil alle drei Eckpunkte A, B und C auf dem Kreis liegen, haben die Strecken MA, MB, MC die gleiche Länge. Also sind die Dreiecke ∆MAC und ∆MCB gleichschenklig. Für die eingezeichneten Winkel gilt also: α = α ′ und β = β ′ (Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck). Außerdem gilt für Innenwinkelsumme im Dreieck ∆ABC: 180 ◦ = α ′ +β ′ +(α+β) Und wenn wir in dieser Gleichung α ′ = α und β ′ = β einsetzen, so erhalten wir: 180 ◦ = 2α+2β Und wenn wir beide Seiten der Gleichung durch 2 teilen: 90 ◦ = α+β Alsohat∆ABC beiC tatsächlich einenrechtenWinkel.DieswargeradedieBehauptung. In diesem Beweis haben wir verwendet, dass die Strecke AB durch den Mittelpunkt M des Kreises k geht. In sehr vielen Fällen ist dies allerdings nicht der Fall. Der Umfangswinkelsatz liefert auch für diesen Fall eine sehr hilfreiche Aussage: Satz 7. Gegeben sei ein Kreis k mit Mittelpunkt M und eine Kreissehne AB. (Also eine Strecke, deren Endpunkte auf der Kreislinie liegen) Weiter sei C ein Punkt auf der Kreislinie, der auf der gleichen Seite von AB liegt wie M. 6
• • • • Elementargeometrie MSG – Mathematische Schülergesellschaft Daniel Platt Dann gilt: Der Mittelpunktswinkel über AB bei C ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel über AB. Mit den Bezeichnungen aus der folgenden Skizze also: α = 2β C β •M α A • B Beweis. Wir betrachten als Hilfslinie die Strecke CM. Weiter bezeichnen γ, γ ′ , γ ′′ , δ, δ ′ , δ ′′ die in der Skizze markierten Winkel: C δ γ γ ′′ δ ′′ •M α A γ ′ δ ′ • B Unser Ziel ist also, zu zeigen, dass α = 2·(γ +δ). 7
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