Skript zum Thema Elementargeometrie - Mathematik und ihre Didaktik

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Elementargeometrie
MSG – Mathematische Schülergesellschaft
Daniel Platt
(iii) Wir betrachten die beiden Dreiecke ∆ABC und ∆ACD. Nach Wechselwinkelsatz
gilt α 1 = α 2 und β 1 = β 2 . Außerdem haben beide Dreiecke die Strecke AC als
gemeinsame Seite.
Damit gilt nach dem Kongruenzsatz Winkel–Seite–Winkel: ∆ABC ≃ ∆ACD. Also
gilt insbesondere,dass die Dreiecksseiten AB undCD bzw. BC undAD diegleiche
Länge haben.
Tatsächlich gilt auch die Umkehrung dieses Satzes. Also genauer gesagt:
Satz 16. (Charakterisierung des Parallelogramms 2) Es sei ABCD ein Viereck.
(i) Ergänzen sich in ABCD benachbarte Winkel zu 180 ◦ , so ist ABCD ein Parallelogramm.
(ii) Haben in ABCD gegenüberliegende Winkel die gleiche Größe, so ist ABCD ein
Parallelogramm.
(iii) Haben in ABCD gegenüberliegende Seiten die gleiche Länge, so ist ABCD ein
Parallelogramm.
Beweis. WirbeweisenhiernurdiePunkte(i)und(iii).DerPunkt(ii)bleibtalsÜbungsaufgabe.
(i) In ABCD betrachten wir die Verlängerung der Seite AB über B hinaus und eine
Parallele zur Seite AD durch B. Diese Parallele sei p:
D
•C
p
A
α
β
φ
•
B
α ′
Dabei ist das Viereck in derSkizze extra beliebiggewählt. Wir wissen janochnicht,
dass ABCD tatsächlich ein Parallelogramm ist, sondern möchten das erst zeigen!
Mit den Bezeichnungen aus der Zeichnung gilt nur α = α ′ (Stufenwinkel). Außer-
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