2x2 - IGT

Orthonormalität: Fundamentalbeispiel
§R2.1, S.1329
Erläuterung
Orthonormalität: Satz des Pythagoras
§R2.1, S.1330
Erläuterung
Wir definieren die Basisfunktion e k : R → C mit k ∈ Z durch
e k (x) := e ikx = cos(kx) + i sin(kx).
Die hierzu konjugierte Funktion ist e k (x) = cos(kx) − i sin(kx) = e −k (x).
Satz R2G (Orthonormalität)
Bezüglich des Skalarprodukts
〈 f | g 〉 := 1 ˆ 2π
f(x) g(x) dx
2π 0
gelten die Orthonormalitätsrelationen
{
1 für k = l (Normierung auf Länge 1),
〈 e k | e l 〉 =
0 für k ≠ l (paarweise Orthogonalität).
Das haben wir im vorigen Kapitel nachgerechnet und dann ausgiebig
für Fourier–Reihen genutzt. Man wiederhole den Beweis als Übung.
Satz R2H (Pythagoras)
Sei V ein K–Vektorraum mit Skalarprodukt 〈 − | − 〉.
Sind u 1 , . . . , u n orthogonal, also 〈 u k | u l 〉 = 0 für k ≠ l, so gilt
‖u 1 + · · · + u n ‖ 2 = ‖u 1 ‖ 2 + · · · + ‖u n ‖ 2 .
Sind e 1 , . . . , e n orthonormal und c 1 , . . . , c n ∈ K, so gilt demnach
‖c 1 e 1 + · · · + c n e n ‖ 2 = |c 1 | 2 + · · · + |c n | 2 .
Für jede Linearkombination f = ∑ c k e k gilt c k = 〈 e k | f 〉.
Nachrechnen: Die Norm erhalten wir aus dem Skalarprodukt:
∥ ∑ ∥
‖u k ‖ 2 ∥∥
2 〈 ∑ ∣ ∣∣
∑ 〉
= u k u l = ∑ ∑
〈 u k | u l 〉 = ∑ ‖u k ‖ 2
k
k l
k l
k
Speziell für u k = c k e k gilt dann ‖u k ‖ 2 = |c k | 2 ‖e k ‖ 2 = |c k | 2 .
Die Koeffizientenformel haben wir auf [S.1239] nachgerechnet.
Orthonormalisierung
§R2.2, S.1331
Erinnerung
Orthonormalisierung
§R2.2, S.1332
Erinnerung
Satz R2I (Laplace 1816, Gram 1883, Schmidt 1907)
Sei b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n eine Basis des Vektorraums U. Wir setzen
b ∗ 1 := b 1 ,
b ∗ 2 := b 2 − 〈 e 1 | b 2 〉e 1 ,
b ∗ 3 := b 3 − 〈 e 1 | b 3 〉e 1 − 〈 e 2 | b 3 〉e 2 ,
e 1 := b ∗ 1/‖b ∗ 1‖,
e 2 := b ∗ 2/‖b ∗ 2‖,
e 3 := b ∗ 3/‖b ∗ 3‖,
.
n−1
∑
b ∗ n := b n − 〈 e k | b n 〉e k , e n := b ∗ n/‖b ∗ n‖.
k=1
Auf diese Weise erhalten wir eine Orthogonalbasis b ∗ 1 , b∗ 2 , b∗ 3 , . . . , b∗ n
und eine Orthonormalbasis e 1 , e 2 , e 3 , . . . , e n von U. Es gilt also
{
{
〈 b ∗ k | b∗ l 〉 = 0 falls k ≠ l,
0 falls k ≠ l,
‖b ∗ und 〈 e k | e l 〉 =
k ‖2 falls k = l,
1 falls k = l.
Zur Wiederholung siehe Kimmerle–Stroppel, Lineare Algebra, §4.5.10.
Per Induktion über n zeigen wir: Ist b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n eine Basis des Vektorraumes U n ,
dann ist e 1 , e 2 , e 3 , . . . , e n eine Orthonormalbasis desselben Vektorraumes U n .
Für n = 1 ist die Aussage leicht nachzuprüfen: Der Vektor b ∗ 1 = b 1 ≠ 0 ist eine Basis des von
ihm aufgespannten eindimensionalen Vektorraumes U 1 . Wegen b ∗ 1 ≠ 0 gilt ‖b ∗ 1‖ ̸= 0, und
somit können wir e 1 = b ∗ 1/‖b ∗ 1‖ normieren. Damit ist e 1 eine Orthonormalbasis von U 1 .
Wir nehmen an, die Aussage gilt für n − 1, das heißt e 1 , e 2 , e 3 , . . . , e n−1 ist eine
Orthonormalbasis von U n−1 . Dann ist e 1 , e 2 , e 3 , . . . , e n−1 , b n eine Basis von U n .
Darüber hinaus ist e 1 , e 2 , e 3 , . . . , e n−1 , b ∗ n eine Orthogonalbasis von U n , denn nach Definition
b ∗ n = b n − ∑ n−1
k=1 〈 e k | b n 〉e k erzeugt e 1 , e 2 , e 3 , . . . , e n−1 , b ∗ n ebenso U n und zudem gilt
n−1
∑
〈 e l | b ∗ n 〉 = 〈 e l | b n 〉 − 〈 e k | b n 〉〈 e l | e k 〉 = 〈 e l | b n 〉 − 〈 e l | b n 〉 = 0.
k=1
Nach Voraussetzung ist dim U n = n, also muss b ∗ n ≠ 0 gelten, und wir können e n = b ∗ n/‖b ∗ n‖
normieren. Daraus folgt, dass e 1 , e 2 , e 3 , . . . , e n−1 , e n eine Orthonormalbasis von U n ist.
Dieses Verfahren funktioniert auch dann noch, wenn b 1 , . . . , b n nur ein Erzeugendensystem
von U ist aber nicht notwendig linear unabhängig. Wenn bei der Orthonormalisierung b ∗ n = 0
auftritt, dann ist b n eine Linearkombination von b 1 , . . . , b n−1 wird einfach weggelassen.