2x2 - IGT

Anwendung auf die Sägezahnfunktion
§R3.1, S.1345
Anwendung auf die Sägezahnfunktion
§R3.1, S.1346
Sei f : R → R ungerade, 2π periodisch, f(x) = x − π für 0 < x < 2π.
2
0
−2
−2 0 2 4 6 8 10 12 14
Die Sägezahnfunktion f ist beschränkt, also quadrat-integrierbar.
Ihre Fourier–Reihe konvergiert im quadratischen Mittel, ‖f − f n ‖ → 0.
Aufgabe: Man bestimme die Fourier–Reihe von f und gewinne aus
der Parseval–Gleichung den Grenzwert der Reihe ∑ ∞
k=1 1/k2 .
Anwendung auf die Rechteckfunktion
Sei f : R → R ungerade, 2π–periodisch, f(x) = 1 für 0 < x < π.
1
0
−1
−4 −2 0 2 4 6 8 10
§R3.1, S.1347
Die Rechteckfunktion f ist beschränkt, also quadrat-integrierbar.
Ihre Fourier–Reihe konvergiert im quadratischen Mittel, ‖f − f n ‖ → 0.
Aufgabe: Man bestimme die Fourier–Reihe von f und gewinne aus
der Parseval–Gleichung den Grenzwert der Reihe ∑ ∞
j=0 1/(2j + 1)2 .
Lösung: Die Fourier–Reihe von f kennen wir bereits [S.1265]:
f(x) ∼
∞∑
k=1
−2
k sin(kx)
Konvergenz im quadratischen Mittel und Parseval–Gleichung besagen:
∞∑
k=1
4
k 2 = 1 π
ˆ 2π
0
(x − π) 2 dx = 1 π
Hieraus folgt die bemerkenswerte Gleichung
∞∑
k=1
1
k 2 = π2
6 .
[ (x − π)
3
3
] 2π
0
= 2π2
3 .
Dass diese Reihe konvergiert, ist leicht zu beweisen. (Vielleicht wissen Sie noch, wie man es
mit den Mitteln der HM1/2 zeigen kann). Nun können wir endlichen den Grenzwert berechnen!
Mit den starken Werkzeugen der Fourier–Theorie fällt uns das Ergebnis geradezu in den Schoß.
Anwendung auf die Rechteckfunktion
Lösung: Die Fourier–Reihe von f kennen wir bereits [S.1257]:
f(x) ∼
∞∑
j=0
4
π(2j + 1) sin( (2j + 1)x ) .
§R3.1, S.1348
Konvergenz im quadratischen Mittel und Parseval–Gleichung besagen:
∞∑
j=0
Hieraus folgt die Gleichung
16
π 2 (2j + 1) 2 = 1 ˆ 2π
f(x) 2 dx = 2
π 0
∞∑
j=0
1
(2j + 1) 2 = π2
8 .
Diesen Wert kann man alternativ auch aus ∑ ∞
k=1 1/k2 = π 2 /6 ableiten. Sehen Sie wie?
Hinweis:
∑
Man kann die ungeraden und die geraden Terme getrennt summieren und erhält
∞
k=1 1/k2 = ∑ ∞
j=0 1/(2j + 1)2 + ∑ ∞
j=1 1/(2j)2 , die zweite Reihe ist 4 ∑ ∞
k=1 1/k2 .