2x2 - IGT

Punktweise Konvergenz
§R1.1, S.1297
Erläuterung
Punktweise Konvergenz
§R1.1, S.1298
Die Funktion f : R → C sei 2π–periodisch und auf [0, 2π] integrierbar.
Wir können dann ihre Fourier–Koeffizienten c k = 〈 e k | f 〉 definieren,
Die Fourier–Koeffizienten fassen wir zur Fourier–Reihe zusammen:
∞∑
f(x) ∼ c k e ikx
k=−∞
Das n–te Fourier–Polynom hierzu ist die (endliche!) Summe
n∑
f n (x) = c k e ikx .
k=−n
Definition R1A (punktweise Konvergenz)
Wir sagen, die Fourier–Reihe von f konvergiert im Punkt x ∈ R,
wenn die Zahlenfolge f n (x) ∈ C für n → ∞ konvergiert.
Sie konvergiert im Punkt x gegen f(x), wenn f n (x) → f(x) gilt.
In diesem Falle (und nur dann) schreiben wir
f(x) = lim
n∑
n→∞
k=−n
c k e ikx kurz f(x) =
∞∑
k=−∞
c k e ikx .
Zu festem x ∈ R betrachten wir nun den Grenzübergang n → ∞.
Dirichlet–Kriterium zur punktweisen Konvergenz
§R1.1, S.1299
Dirichlet–Kriterium zur punktweisen Konvergenz
§R1.1, S.1300
Bei einer vorgelegten Funktion stellt sich die konkrete Frage:
In welchen Punkten konvergiert die Fourier–Reihe? und wogegen?
f(x)
Angenommen, im Punkt x ∈ R existieren die einseitigen Grenzwerte
f(x+) := lim
t↘0
f(x + t),
f(x−) := lim
t↘0
f(x − t).
Stetigkeit in x ist dann äquivalent zu f(x+) = f(x−) = f(x).
Das folgende Kriterium von Dirichlet möchte ich vorab in dieser
Graphik illustrieren. Ist f im Punkt x differenzierbar, so konvergiert die
Fourier–Reihe gegen f(x). Das gilt auch noch, wenn f in x stetig ist
und beide einseitigen Ableitungen existieren. Auch für Sprungstellen
können wir noch etwas aussagen: Die Fourier–Reihe konvergiert
gegen den Mittelwert! Um all diese Fälle präzise formulieren zu
können, schauen wir uns die nötigen einseitigen Grenzwerte an.
x
Im Falle f(x+) ≠ f(x−) hat f in x eine Sprungstelle.
Der Wert f(x) an der Sprungstelle x ist dabei völlig beliebig.
Wir nennen f sprungnormiert, wenn f(x) = 1 2[
f(x+) + f(x−)
]
gilt.
Die einseitigen Ableitungen sind, sofern existent, die Grenzwerte
f ′ f(x + t) − f(x+)
(x+) := lim
, f ′ f(x − t) − f(x−)
(x−) := lim
.
t↘0 t
t↘0 t
Stetigkeit f(x+) = f(x−) = f(x) und f ′ (x+) = f ′ (x−)
sind dann äquivalent zur Differenzierbarkeit im Punkt x.