2x2 - IGT

Quadrat-integrierbare Funktionen
§R3.2, S.1353
Fourier–Analyse und Fourier–Synthese
§R3.2, S.1354
Die quadrat-integrierbaren Funktionen bilden den C–Vektorraum
{
ˆ
L 2 = L 2 T
}
([0, T ], C) := f : [0, T ] → C
∣ |f(x)| 2 dx < ∞ .
Hierauf haben wir als Skalarprodukt das Integral
〈 f | g 〉 := 1 T
ˆ T
0
0
f(x) g(x) dx.
Die quadrat-summierbaren Folgen bilden den C–Vektorraum
{
l 2 = l 2 ∞∑
}
(Z, C) := ˆf : Z → C
∣ | ˆf(k)| 2 < ∞ .
k=−∞
Hierauf haben wir als Skalarprodukt die Summe
〈 ˆf
∞∑
| ĝ 〉 := ˆf(k) ĝ(k).
k=−∞
Beide Vektorräume scheinen zunächst gänzlich verschieden. . .
Die Fourier–Entwicklung enthüllt jedoch: Sie gleichen sich!
Jeder Funktion f ∈ L 2 ordnen wir ihre Fourier–Koeffizienten ˆf ∈ l 2 zu:
F : L 2 → l 2 , f ↦→ ˆf mit ˆf(k) =
1
T
ˆ T
0
e −ikωx f(x) dx
Umgekehrt ordnen wir Koeffizienten ˆf ∈ l 2 die Funktion f ∈ L 2 zu:
F −1 : l 2 → L 2 , ˆf ↦→ f mit f(x) = ∞ ∑
k=−∞
ˆf(k)e ikωx
Diese Abbildungen sind C–linear und zueinander inverse Isometrien.
Die (verallgemeinerte) Parseval–Gleichung besagt nämlich:
‖f‖ = ‖ ˆf‖,
〈 f | g 〉 = 〈 ˆf | ĝ 〉, also
also
1
T
1
T
ˆ T
0
ˆ T
0
|f(t)| 2 dt =
f(t) g(t) dt =
∞∑
k=−∞
∞∑
k=−∞
| ˆf(k)| 2 .
ˆf(k) ĝ(k).
Fourier–Analyse und Fourier–Synthese
§R3.2, S.1355
Erläuterung
Die Fourier–Isometrie
§R3.2, S.1356
Erläuterung
Man spricht von Fourier–Analyse und Fourier–Synthese.
Wir können uns f zum Beispiel als akustisches Signal vorstellen.
Die Fourier–Analyse f ↦→ ˆf zerlegt das Signal f in sein Spektrum ˆf.
Die Fourier–Synthese bildet aus dem Spektrum die ursprüngliche
Aufnahme. Dabei geht keine Information verloren!
Wir können aus dem Spektrum jedoch auch gewisse Frequenzen
ausfiltern (abschwächen oder verstärken). Beispiel: Sie erinnern sich
vielleicht an die Fußball-Weltmeisterschaft 2010 und das Brummen
der Vuvuzela. Ihre typische Frequenz liegt bei ca. 230Hz und kann
ausgefiltert werden durch (digitale) Fourier–Analyse–Synthese.
Die Fourier–Isometrie ist höchst bemerkenswert und praktisch: Aus dem Signal f gewinnt man
das Spektrum ˆf und umgekehrt rekonstruiert man aus dem Spektrum ˆf das Signal f.
Die Aussage F −1 ◦ F = id L 2 und F ◦ F −1 = id l 2 bedeutet, dass F und F −1 zueinander
inverse Bijektionen sind. Sie sind zudem C–linear, also sogar Vektorraum-Isomorphismen.
Die Parseval–Gleichung besagt, dass F und F −1 die Norm erhalten: Für Funktionen f ist
dies das obige Integral, für Folgen ˆf die obige Reihe. Geometrisch bedeutet dies, dass die
Länge erhalten bleibt. Hieraus folgt bereits, dass auch Winkel und somit das Skalarprodukt
erhalten bleiben: Das ist die verallgemeinerte Parseval–Gleichung.
Wir sagen daher kurz, dass F und F −1 zueinander inverse Isometrien sind.
Eine Isometrie R 2 → R 2 können Sie sich leicht vorstellen: Sie erhält alle Längen und Winkel
und ist somit eine Drehung oder Spiegelung. Gleiches gilt auch für Isometrien des R 3 oder
allgemein des R n . Die Fourier–Analyse f ↦→ ˆf ist eine Isometrie der unendlich-dimensionalen
Räume L 2 ([0, 2π], C) und l 2 (Z, C). Diese Räume scheinen zunächst sehr verschieden: Folgen
sind noch recht übersichtlich, während es viel mehr Funktionen zu geben scheint.
Die Fourier–Isometrie L 2 ∼ = l 2 zeigt jedoch, dass sich beide Räume gleichen!
Die Kraft der Fourier–Isometrie beruht darauf, dass man Probleme transformieren und hernach
oft leichter lösen kann. Dies wollen wir an einem Anwendungsbeispiel illustrieren.