2x2 - IGT

Fazit: Fourier–Analyse
S.1361
Erläuterung
Fazit: Differenzieren und Integrieren
S.1362
Erinnerung
Die Funktion f : R → C sei T –periodisch und auf [0, T ] integrierbar.
Wir zerlegen f in Harmonische zur Grundfrequenz ω = 2π/T :
f(t) ∼
∞∑
k=−∞
ˆf(k) e ikωt mit ˆf(k) =
1
T
ˆ T
t=0
e −ikωt f(t) dt
Diese Analyse zerlegt das Signal f in sein Spektrum ˆf : Z → C.
Linearität: Aus f = αg + βh mit α, β ∈ C folgt ˆf = αĝ + βĥ.
Konjugation: Aus f = g folgt ˆf(k) = ĝ(−k).
Ist f = f reell, so folgt ˆf(−k) = ˆf(k).
Ist f gerade bzw. ungerade, so gilt ˆf(−k) = ± ˆf(k).
Zur Vereinfachung betrachten wir meist den Fall T = 2π und ω = 1.
Fourier–Reihen können wir formal integrieren und ableiten:
Ist f integrierbar und F (t) = ´ t
0
f(τ) dτ eine Integralfunktion, so gilt
f(t) ∼
∞∑
k=−∞
k≠0
ˆf(k) e ikωt ⇐⇒ F (t) ∼ c 0 +
∞∑
k=−∞
k≠0
ˆf(k)
ikω e ikωt
Der Koeffizient c 0 spielt hierbei die Rolle der Integrationskonstanten.
Man kann c 0 berechnen durch Integration oder Punktprobe F (0) = 0.
Glattheit von f entspricht schnellem Abklingen von ˆf:
Für jede integrierbare Funktion f gilt ˆf(k) → 0 für |k| → ∞.
Ist f sogar n–mal stetig differenzierbar, so folgt k n ˆf(k) → 0.
Umgekehrt: Gilt ˆf(k) ≤ c/|k| 1+α für alle k ≠ 0 und Konstanten c, α > 0,
dann konvergiert ∑ ˆf(k)ek gleichmäßig gegen eine stetige Funktion f.
Gilt sogar ˆf(k) ≤ c/|k| n+1+α , so ist f mindestens n–mal stetig diff’bar.
Fazit: reelle Schreibweise
S.1363
Erläuterung
Fazit: Dirichlet–Kriterium
S.1364
Erläuterung
Für die reelle Schreibweise erinnern wir an das vorige Kapitel:
f(t) ∼ a 0
∞
2 + ∑
a k cos(kωt) + b k sin(kωt) =
k=1
∞∑
ˆf(k)e ikωt .
k=−∞
Aufgrund der Euler–Formel e ikωt = cos(kωt) + i sin(kωt) gilt
Zu f wie oben betrachten wir das n–te Fourier–Polynom
f n (t) ∼
n∑
k=−n
ˆf(k)e ikωt
Wir sagen, die Fourier–Reihe von f konvergiert im Punkt x ∈ R,
wenn die Zahlenfolge f n (x) ∈ C für n → ∞ konvergiert.
a k = ˆf(k) + ˆf(−k), b k = i [ ˆf(k) − ˆf(−k)
]
,
ˆf(k) = a k − ib k
2
a k + ib k
, ˆf(−k) = .
2
Im Falle a 0 = 0 können wir dies formal integrieren zu
F (t) ∼ const +
∞∑
k=1
−b k
kω cos(kωt) + a k
kω sin(kωt).
Angenommen, in x ∈ R existieren die einseitigen Grenzwerte f(x±).
Wenn die Fourier–Reihe in x konvergiert, dann gegen den Mittelwert:
f n (x) → 1 2
[
]
f(x+) + f(x−)
für n → ∞.
Angenommen, es existieren die einseitigen Grenzwerte f(x±) und
zudem die einseitigen Ableitungen f ′ (x±). Dann konvergiert die
Fourier–Reihe von f im Punkt x, und zwar gegen obigen Mittelwert.
Spezialfall: Ist f in x differenzierbar, so folgt f n (x) → f(x).