2x2 - IGT

Vollständigkeit der trigonometrischen Basis
§R1.3, S.1313
Ergänzung
Eindeutigkeit der Funktion
§R1.3, S.1314
Ergänzung
Die trigonometrischen Basisfunktionen 1, e it , e −it , e 2it , e −2it , . . .
sind vollständig: Sie lassen sich durch keine hierzu orthogonale
Funktion f erweitern. Ausführlich bedeutet das folgendes:
Satz R1F (Vollständigkeit der trigonometrischen Basis)
Die Funktion f : R → C sei 2π–periodisch und auf [0, 2π] integrierbar.
Gilt
ˆ 2π
t=0
e −ikt f(t) dt = 0
für alle k ∈ Z, so folgt f(x) = 0 für fast alle x ∈ R.
Anders gesagt: Für f ≠ 0 können nicht alle Fourier–Koeffizienten
verschwinden. (Wie in der Integrationstheorie üblich identifizieren wir
Funktionen, die fast überall gleich sind.) Dieser Satz ist die Grundlage
für die L 2 –Konvergenztheorie der Fourier–Reihen. Ein vereinfachter
Beweis findet sich in Meyberg–Vachenauer, Kapitel 10 §3.
Haben zwei Funktionen dieselben Fourier–Koeffizienten,
so sind sie gleich (überall bis auf eine Menge vom Maß Null):
Korollar R1G (Eindeutigkeit der Funktion)
Die Funktionen g, h: R → C seien periodisch und integrierbar.
Gilt
ˆ 2π
t=0
e −ikt g(t) dt =
ˆ 2π
t=0
e −ikt h(t) dt
für alle k ∈ Z, so folgt g(x) = h(x) für fast alle x ∈ R.
Beweis: Der Satz angewendet auf f = g − h liefert f = 0.
Nochmal anders gesagt: Die Fourier–Analyse f ↦→ ˆf ist injektiv.
Haben zwei Funktionen dasselbe Spektrum, so sind sie gleich.
Der folgende Satz sagt, dass auch die Fourier–Synthese injektiv ist.
Eindeutigkeit der Koeffizienten
§R1.3, S.1315
Ergänzung
Punktweise Konvergenz
§R1.3, S.1316
Ergänzung
Wenn wir eine 2π–periodische, integrierbare Funktion f : R → C als
eine überall konvergente trigonometrische Reihe darstellen können,
dann nur auf eine Weise, nämlich durch ihre Fourier–Koeffizienten.
Satz R1H (Eindeutigkeit der Koeffizienten)
Die Funktion f : R → C sei 2π–periodisch und auf [0, 2π] integrierbar.
Sei (c k ) k∈Z eine Folge von Koeffizienten c k ∈ C mit c k → 0 für k → ±∞.
Gilt
f(x) = lim
n∑
n→∞
k=−n
c k e ikx , d.h. kurz f(x) =
∞∑
k=−∞
c k e ikx ,
für alle x ∈ R (mit höchstens abzählbar vielen Ausnahmen), so folgt
c k = 1 ˆ 2π
e −ikt f(t) dt.
2π t=0
! Punktweise Konvergenz ist keineswegs selbstverständlich:
Satz R1I (Kolmogorov 1924)
Es gibt integrierbare Funktionen, also ´ 2π
0
|f(x)| dx < ∞,
deren Fourier–Reihe in keinem Punkt x ∈ R konvergiert.
Ein klein wenig mehr als Integrierbarkeit reicht fast überall:
Satz R1J (Carleson 1966, Hunt 1968)
Gilt ´ 2π
0 |f(x)|p dx < ∞ für ein p > 1, so konvergiert die Fourier–Reihe
fast überall gegen f, d.h. in allen x ∈ R N außer einer Nullmenge N.
! Konvergenz in allen Punkten hingegen wäre zu viel verlangt:
Satz R1K (Kahane & Katznelson 1966)
Zu jeder Nullmenge N ⊂ R existiert eine stetige Funktion,
deren Fourier–Reihe in den Punkten x ∈ N nicht konvergiert.
Diese Sätze sind extrem schwierig und dienen hier nur zur Illustration.