Kontextfreie Sprachen & Kellerautomaten

Elimination von !-Regeln
Satz 3.19 (Elimination von !-Regeln)
Für jede kontextfreie Sprache L gilt, dass L – { " } durch eine kfG ohne "-Regeln
erzeugt werden kann.
[Derartige Grammatiken werden als "-freie Grammatiken bezeichnet.]
Anmerkungen:
Dieser Satz deckt zwei Fälle ab:
1. " * L. Dann ist L – { " } = L, und deswegen gibt es eine "-Regel-freie
Grammatik G, die L erzeugt, d.h. L = L(G).
2. " ! L. Dann gibt es eine "-freie Grammatik G, die L – { " }erzeugt. Für die
Erzeugung des leeren Wortes kann G um eine einzige "-Regel angereichert
werden, die nur an der Erzeugung des leeren Wortes beteiligt ist.
Im Beweis wird daher der Fall "-freier Sprachen behandelt (Fall 1). Fall 2 erfordert
dann nur den oben angesprochenen Schritt der Ergänzung um eine "-Regel zur
Erzeugung des leeren Wortes.
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [39]
Elimination von !-Regeln – Beweis von Satz 3.19
Sei " * L und G = (!, N, P, S) eine kontextfreie Grammatik mit L = L(G).
• Wir gehen davon aus, dass alle nutzlosen Symbole aus G eliminiert wurden (vgl.
die Sätze 3.14, 3.16 und 3.18).
• Wir erweitern die Grammatik um ein neues Nichtterminalsymbol, S 0 , das als
Startsymbol fungiert. Ausserdem führen wir die Regel S 0 # S ein.
• Die neue Grammatik G' erzeugt genau die gleiche Sprache wie die Grammatik
G, denn zu jeder G-Ableitung S ! * G w mit w ! L(G) gibt es eine
korrespondierende G'-Ableitung S 0 ! * G' w, und zwar S 0 ! * G' S !* G' w.
• Diese Erweiterung der Grammatik führt dazu, dass das Startsymbol von G' nicht
aus der rechten Seite einer Regel auftritt.
Beispiel
S # ASA | aB A# B | S B# b | "
Einführung des neuen Startsymbols S 0
S 0 # S S # ASA | aB A# B | S B# b | "
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [40]