Kontextfreie Sprachen & Kellerautomaten

Chomsky Normalform
Definition 3.20
Eine kontextfreie Grammatik G = (!, N, P, S) liegt in Chomsky Normalform vor, falls
alle Regeln von G eine der folgenden Formen haben
• A # B C
• A # a
• S # "
mit A, B, C ! N und a ! !.
Anmerkung:
• Es gibt (echt) expandierende Regeln mit zwei nichtterminalen Symbole auf der
rechten Seite (und somit binär verzweigende Strukturbäume) und
• abschliessende Regeln mit genau einem terminalen Symbol auf der rechten Seite,
sowie gegebenenfalls als Sonderfall (für die Ableitung des leeren Wortes) für
das Startsymbol eine "-Regel (S # ").
Satz 3.21
Für jede kontextfreie Sprache L gibt es eine kfG G in Chomsky-Normalform, die L
erzeugt, d.h. mit L = L(G).
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [47]
Chomsky Normalform – Beweis Satz 3.21
Aufbauend auf den Sätzen 3.14 und 3.19 können wir davon ausgehen, dass es zur
Sprache L eine erzeugende kfG G gibt, in der alle nutzlosen Symbole und alle "-
Regeln (ausser im Fall " ! L, die Regel S # ") eliminiert sind.
Wir haben zwei Typen von Regelumformungen durch zu führen:
• Einer-Regeln, d.h. Regeln der Form A# B, mit A, B ! N, werden umgewandelt
in Regeln mit zwei oder mehr Symbolen auf der rechten Seite.
• Alle verbleibenden Regeln werden in die Normalform gebracht, d.h. in Regeln
mit der zulässigen Länge der rechten Seite
• Länge 2 für Regeln mit Nichtterminalen auf der rechten Seite
• Länge 1 für Regeln mit Terminalen auf der rechten Seite
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [48]