Gruppentheorie und Quantenmechanik - Physikzentrum der RWTH ...

GruppentheorieundQuantenmechanik 

G.Roepstor 

AusarbeitungeineranderRWTHAachen imSommersemester1988gehaltenen 

10.Januar2002 Vorlesung

Inhaltsverzeichnis 

1GrundzugederQuantenmechanik 1.1DieSchrodinger-GleichungfureinspinlosesTeilchen... 1.4DerSpinderElektronen..................13 1.3DasProblemmehrererElektronen.............11 1.2DerHilbertraumderQuantenmechanik.......... 87 

1.5SymmetrienundErhaltungssatze.............16 1.5.3InnitesimaleTranslationen............19 1.5.4Rotationen.....................21 1.5.2TranslationenimhomogenenMagnetfeld.....18 1.5.1Translationen....................16 

1.5.8SymmetrienimweiterenSinne...........32 1.5.6ParitatundZeitumkehr..............25 1.5.7SymmetrienimengerenSinn............29 1.5.5InnitesimaleRotationen..............22 

2DarstellungenvonGruppen 2.3UnitareDarstellungen...................43 2.1Homomorphismen......................35 2.2LineareDarstellungen...................39 

2.4Reduzibilitat........................45 2.5ZweiSatzevonSchur....................50 

3DieTheoriederSU(2) 2.7DerCharaktereinerDarstellung..............58 2.6Orthogonalitatsrelationen.................56 

3.2ParametrisierungderSU(2)................66 3.1WiedrehtmandenSpin?.................61 

1

23.4KonstruktionirreduziblerDarstellungen.........72 

3.3DieinvarianteIntegration.................69 INHALTSVERZEICHNIS 

3.5EineRealisierungdurchBose-Operatoren.........79 

4KopplungvonDrehimpulsen 3.7Multipole..........................84 3.6HarmonischePolynome...................81 

4.2DieClebsch-Gordan-ReihenderSU(2)..........95 4.1MotivationundProblemstellung..............89 4.3DieClebsch-Gordon-Koezienten.............98 

4.4DasWigner-Eckart-Theorem................103 

5SpeziellePotentiale 4.5WirkungendesPauli-Prinzips...............108 4.6DieElektronenkonguration................113 5.1Das1/r-Potential......................119 5.1.2DerLenz-Runge-Vektor..............121 5.1.1Bindungszustnde..................119 119 

6Strahlungsubergange 5.2Dasr2-Potential.......................126 5.1.3DieSO(4)-Symmetrie................124 

6.3Ubergangsstrome......................137 6.1DieRayleigh-Entwicklung.................131 6.2DieWechselwirkungmitebenenWellen..........133 131 

6.6VerboteneUbergange....................144 6.5SpontaneEmission.....................141 6.4ElektrischeDipolubergange................140

INHALTSVERZEICHNIS 3 

Einleitung ImJahre1928erschiendieersteAusgabedesBuchesGruppentheorieundQuantenmechanikvonH.Weyl,einemGottingerMathematiker. 

dieenglischeUbersetzungfolgte.EbenfallsimJahre1931veroent- 

NachVorlesungen,dieeruberdengleichenGegenstandinPrinceton lichteE.P.WignerdasBuchGruppentheorieundihreAnwendungauf dieTheoriederAtomspektren.BeideBucherbliebenStandardwerke aufdiesemGebietfurGenerationenvonStudierenden.Inihnenwur- 

1928-29hielt,erschien1930eineuberarbeitetezweiteAuage,der1931 

physikalischenWeltbildes.ImeinzelnensetztesichfolgendeErkenntnis furdieQuantenmechanikdemPhysikersichtbarvorAugengefuhrt. DerBegriderSymmetriegehortevondaanzudenGrundlagendes dezumerstenmaldieBedeutungderDarstellungstheorievonGruppen 

durch: JedemquantenmechanischenSystemliegteineSymmetriegruppe desSystemsweitgehendfestlegt.DasAundendieserGruppeist zugrunde,diebereitsdurchihrebloeExistenzdasVerhalten 

EsisttypischfurdieQuantenmechanik,da,abgesehenvonei- 

derersteSchrittbeidertheoretischenAnalyseeinesvorgelegten Modells. 

pen.AusnahmenndenwirbeidendiskretenGruppen.Hierist gruppenlinearerRaumerealisiertsind.Mansprichtindiesem nigenAusnahmen,alleGruppenalskonkreteTransformations- 

ZusammenhangvonunitarenDarstellungenderabstraktenGrup- 

esmoglich,daeineSymmetrietransformationaucheinmalantiunitardargestelltwird,wiedieszumBeispielbeiderZeitumkehr 

derFallist.

4EineTransformationsgruppeistgenaudanneineSymmetriegrup- 

pe,wennderHamilton-OperatordesSystemsmitallenunitaren INHALTSVERZEICHNIS 

EsbestehteinengerZusammenhangzwischenSymmetriegruppen OperatorenderDarstellungkommutiert. 

Gelingtes,dieeinemProbleminnewohnendenSymmetrienzu undErhaltungsgroen.FureinekontinuierlicheGruppebedeutet diesdenUbergangzuderLie-AlgebradieserGruppe. 

DiestatistischeInterpretationderQuantenmechanik(i.e.eine erkennen,sokanneinedenSymmetrienangepatemathematische BehandlungzuentscheidendenVereinfachungenfuhren. raumlichkonstantePhasederWellenfunktionistnichtmebar) machtesnotwendig,denallgemeinerenBegriderprojektiven DarstellungeinerSymmetriegruppeeinzufuhren.DieserBegri fuhrtzwangslaugaufmathematischeKonstruktionenandenGruppenselbst,wieetwadieBildungvonzentralenErweiterungenunpeSO(3)zuderunitarenGruppeSU(2),mitderenHilfemanerst 

diesemZusammenhangderUbergangvonderorthogonalenGrup- 

inderLageist,dasAuftretenhalbzahligerSpinsinderNaturzu UberlagerungeneinerSymmetriegruppe.Ambekanntestenistin 

ManchmaltritdieNatureineAuswahlunterderVielzahlder moglichenDarstellungeneinerGruppe,wieetwabeidenn-Teil- 

verstehen. 

chensystemenununterscheidbarerTeilchen:DieDichotomieBose- 

InvielradikalererWeise,alsesinderQuantenmechanikmoglichist, FermiisteinesolcheEinschrankunginbezugaufdiePermutationsgruppe. 

wurdeindermodernenPhysikderElementarteilchenderSymmetriebegrialsLeitideeandenAnfanggestellt.DasheutegultigeStandardmodell,mitdemwirdiefundamentalenWechselwirkungenbeschreibenbeibleibtjedochungeklart,wodertiefereGrundfurdasAuftretenbestimmterEichgruppenzusuchenist.EsgibtAnzeichendafur,dader 

beruhtentscheidendaufdemKonzeptderlokalenEichsymmetrie.Hier- 

GrundineinerverborgenengeometrischenStrukturunsererWeltliegt,

einerStruktur,diesicherstbeiextremkleinenAbstandenzuerkennen INHALTSVERZEICHNIS gibtḊieseVorlesunghatsichzumZielgesetzt,dieStrukturenderQuan- 

5 

matischenBegrisbildungen,eigene,angeblich"physikerfreundliche" macht.Eswirdnichtversucht,unterUmgehungderetabliertenmathe- 

zeigen.DabeiwerdenAnleihenbeiderbestehendenMathematikge- 

tenmechanikundderinihremRahmenformuliertenModelleaufzu- 

BezeichnungenundBenennungenanihreStellezusetzen.Diesware schlechterStilundsollteineinervonVerantwortunggetragenenAusbildungderStudentenkeinenPlatzhabenraum-Operatoren,dieTheoriederselbstadjungierterErweiterungenvon 

imVordergrund.NichtbehandeltwirddieSpektraltheorievonHilbertgrenzt.GruppentheoriesowieDarstellungstheoriederGruppenstehen 

DiebenutzteMathematikwirdallerdingsaufeinMinimumbe- 

allenAbleitungenwerdendienotigenDierenzierbarkeits-Annahmen symmetrischenOperatorenunddieMatheorie.Uberhauptwirdmit Denitionsbereichewerdennichtexplizitgenanntoderkonstruiert.Bei unbeschranktenOperatorensehrlassigumgegangen:diezugehorigen 

tailsleichterganzen;indemvorliegendenManuskriptsindsiewegge- 

implizitvorausgesetzt.DerGewissenhaftekannsolchetechnischenDelassen,weilsiedenBlickaufdasWesentlicheverstellen,aufdiealgebraischeStrukturderQuantenmechanik.

6 INHALTSVERZEICHNIS

Kapitel1 

Grundzugeder Quantenmechanik 

1.1 DieSchrodinger-GleichungfureinspinlosesTeilchen 

DieeinfachsteSituation,aufdiederFormalismusderQuantenmechanikAnwendungndet,istdieBewegungeinesElektronsunterVernachlassigungseinesSpins.BewegtsichdasElektronvermogeseiner 

dieSchrodinger-Gleichung: elektrostatischenWechselwirkungineinemPotentialV(x),solautet 

DieMaeinheitensindsogewahlt,dah=1gilt;mbezeichnetdie [?1 

MassedesElektronsunddenLaplace-Operator;x2R3istder 2m+V(x)] (x;t)=i@@t (x;t) (1.1) 

OrtsvektorundtdieZeit. sikvor.JedochunterscheidetsichdieSchrodinger-Gleichungineinem wesentlichenPunktvonallenbekanntenklassischenGleichungen:Die 

PartielleDierentialgleichungenkommeninallenBereichenderPhy- 

unsererheutigenAuassungdieWellenfunktionselbstkeinebeobachtbare(d.h.mebare)Groedarstellt,obwohldasAbsolutquadratj 

istkomplexwertig.Damithangtzusammen,danach 

7 j2je-

8denfallsimPrinzipderBeobachtungzuganglichist1.DieNormierungs- 

bedingungKAPITEL1.GRUNDZUGEDERQUANTENMECHANIK 

Zd3xj begrenztdasWachstumsverhaltenvon ubernimmtdieRolleeinerRandwertbedingungimUnendlichen:Sie (x;t)j2=1 furgroejxj.NurdurchHinzunahmeeinersolchenBedingungwerdenbestimmteEnergieniveaus 

ausgezeichnet(etwabeimharmonischenOszillatoroderdemH-Atom). dingungfur (etwat=0)gultigist. BekanntlichfolgtausderRealitatvonV(x),dadieNormierungsbe- 

(1.2) 

tronunterworfenist,habenwirbislangnurdenelektrostatischenFall VondenelektromagnetischenWechselwirkungen,denendasElek- 

furalleZeitenerfulltist,wennsienurfureinefesteZeit 

betrachtet.InderallgemeinenSituation,wodasElektron(Ladung @Awechselwirktundwirauchnochzulassen,dadasViererpotentialA=(A0;?cA)zeitabhangigist,mussenwirvonderallgemeinen 

Schrodinger-Gleichung -e)miteinemauerem2elektromagnetischemFeldF=@A? 

ausgehen.Diessetztallerdingsvoraus,dawirallerelativistischenEffektevernachlassigendurfen. 

2m(1ir+eA)2?eA0] =i@@t (1.3) [1 

1.2 DerHilbertraumderQuantenmechanik 

DieNormierungsbedingungfurWellenfunktionen(zueinerfestenZeit, sodawirdenZeitparameternununterdruckenkonnen)fuhrtzudem cherweisezeitlichvariablePhasederWellenfunktionist,diesichderBeobachtung entzieht. 1DiegenaueAnalysezeigt,daesnureineraumlichkonstante,abermogli- 

eigenesel.magn.Feldauf,waswirhierauerachtlassen. aufdiesesFeldvernachlassigtwird:imallgemeinenbauteinebewegteLadungein 2MansprichtvoneinemauerenFelddann,wenndieRuckwirkungdesElektrons

BegriderNorm: 1.2.DERHILBERTRAUMDERQUANTENMECHANIK 

kk2=Zd3xj(x)j2 9 

dasSymbolL2(R3).Eshandeltsichhier,wiewirbereitswissen,um FurdieGesamtheitderFunktionen(x)mitkk0undSpur=1 

4SelbstderprojektiveRaumreichtimGrundenichtaus,umalleZustandezu

10 OperatorsdieEigenschaft undesistleicht,anhandeinersolchenkonkretenGestaltdesHamilton- KAPITEL1.GRUNDZUGEDERQUANTENMECHANIK 

gultigfuralle1;22L2(R3)nachzuweisen5. EinenOperatormitdieserEigenschaftnenntmanselbstadjungiert. (1;H2)=(H1;2); 

DieEigenschafthatzurFolge,daErwartungswerte(;H)grundsatzlichreellsindunddadasSpektrumeinessolchenOperatorsreellist. 

BeidesistvomphysikalischenStandpunktnotwendig,weilesgerade dieseGroensind,diegemessenwerdenkonnen.Wieauchimmerder 

adjungierteOperatorenbeschrieben,z.B. keinenFallverletzen:Hmuselbstadjungiertsein6. Hamilton-Operatorkonstruiertseinmag,dieseForderungdarferauf 

derImpulsP=(P1;P2;P3)durch[Pk](x)=1irk(x) WesentlicheGroeninderQuantenmechanikwerdendurchselbst- 

diekinetischeEnergieH0durch[H0](x)=?1 derOrtQ=(Q1;Q2;Q3)durch[Qk](x)=xk(x) derBahndrehimpulsL=QP(Vektorprodukt) 

diepotentielleEnergieVdurch(V)(x)=V(x)(x) 2m(x) 

selbstadjungiertenOperatorenaufdemHilbertraumeinesquantenme- 

EinenichtganzunproblematischeVerallgemeinerungbesagt,daalle 

jedems.a.OperatordieMevorschriftkennenodernicht.Esistwichtig halbinderFolgealsObservablenansprechen,ganzgleich,obwirnunzu chanischenSystemsmebareGroenbeschreiben.Wirwollensiedes- 

ratorist,nurfureinedichteMengevonVektorendesHilbertraumesrichtigsein. 5Strenggenommen,kanneinesolcheEigenschaft,daHeinunbeschrankterOpeschaft,dieunverzichtbarfurdiestatistischeInterpretationderQuantenmechanionsoperator.SeineUnitaritatbewirktdiezeitlicheKonstanzvonktk,eineEigen- 

rellesteinestarkstetigeunitareGruppebeschreibt.Mannennte?itHdenEvoluti- 

6Wiemanwei,istdieseForderungidentischmitderAnnahme,dae?itHfur ist.DiegenannteStetigkeitbesagt,dakt?sk!0furjt?sj!0:naturanon facitsaltus.

wartungswerte(;A)mitkk=1ausdruckbar7sind.Siebildendie sichklarzumachen,daalleMewertedurchgeeignetgewahlteEr- 

1.3.DASPROBLEMMEHRERERELEKTRONEN 11 

BruckezwischendemmathematischenFormalismusderQuantenmechanikunddemExperiment.SpezielleErwartungswerteerhaltenwir, 

nden,als8 wennAeinProjektorist.SieinterpretierenwiralsbedingteWahrscheinlichkeiten.Konkret:UnterderAnnahme,esliegederZustand 

vor,berechnetmandieWahrscheinlichkeitdafur,denZustand w( j)=(;P )=j( ;)j2 (1.8) zu 

Hiersind SpezielleLosungenderSchrodinger-GleichunghabendieGestalt undnormiertundP (x;t)=(x)e?itE =( ;). 

schreibteinenEigenvektordesHamilton-OperatorszudemEigenwert fureinreellesE.SieheienstationareLosungen.IndiesemFallbe- 

(1.9) 

E: 

1.3 DasProblemmehrererElektronen H=E (1.10) 

mungderEnergieniveausfureinAtomoderauchfureinIon.Inerster NaherungistdiesdasProblemvonnElektronenunterderWirkungihrergegenseitigenCoulomb-KrafteundderCoulomb-Anziehungdurch 

einen(alsunendlichschwerangenommenen)KernderKernladungszahl Laplace-Operator,sokonnenwirfurdenHamilton-Operatorschreiben: Z.Seix(i)derOrtsvektordesi-tenElektronsund(i)derzugehorige 

DaswichtigsteAnliegendertheoretischenAtomphysikistdieBestim- 

H^=Xi ?1 2m(i)?Ze2 jx(i)j!+Xi

12 AlsHilbertraum,aufdemdieserOperatordeniertist,muderRaum L2(R3n)gewahltwerden.DieserumfatalleWellenfunktionen KAPITEL1.GRUNDZUGEDERQUANTENMECHANIK 

dieaufdemKongurationsraumR3nvonnTeilchenquadratintegrabel sind.IndiesemRaumsinddieEigenwerteEunddieEigenfunktionen (x(1);:::;x(n)); 

zubestimmen:H=E.DerimLaboratoriumzubeobachtendeUbergangvoneinemstationarenZustandzueinemanderenistnurdurch 

EmissionoderAbsorptionvonPhotonenmoglich,derenBeschreibung 

feld-Approximationsinnvoll.Diesenimmtan,dasichjedesElektron unsversagt.FurdieschwerenAtome(groesZ)istjedochdieZentral- 

unserHamilton-Operatornochnichtvorsieht. 

derAtomhulleineinemZentralpotentialV(r)bewegt,dasvondem EineexpliziteundvollstandigeLosungdesEigenwertproblemsist 

KernundallenanderenElektronenimMittelerzeugtwird.Mangeht hierbeivonderfolgendenAufspaltungdesHamilton-Operatorsaus: 

mit H0^=Xi?1 2m(i)+V(ri);ri=jx(i)j H=H 0+H1 (1.13) (1.12) 

und DieseAufspaltungiststrengundkannnochkeinenFehlerverursachen. H1^=Xi

1.4.DERSPINDERELEKTRONEN DieBestimmungdurchLosungeinesVariationsproblemsineinem RaumspeziellerWellenfunktionen(Hartree-Fock-Funktionen). 13 

Operatoren.WirhabenalsodasEinteilchenproblemnureinmalzu WorinliegtnundieVereinfachung,wennwirdieEigenwertevonH0(an- 

stellevonH)aufsuchen?Antwort:H0isteineSummevonEinteilchen- losen,umalleEigenwertevonH0zukennen: 

potentialVsind.UnsereVorstellung,dadieElektroneneinesAtoms wobeidieEibeliebigeEnergie-EigenwertedesElektronsindemZentral- 

E=E1+E2++En (1.15) 

inSchalenangeordnetsind,sowieunsereVorstellungvomdemAufbau dieserSchalenunddieatomtheoretischeDeutungdesPeriodensystems derElementeberuhtentscheidendaufderKorrektheitderZentralfeld- Approximation,derangenommenenProportionalitatV(r)/r?1und 

1.4 demPauli-Prinzip. 

Bislanghabenwirunberucksichtigtgelassen,dadieElektroneneinen Spinbesitzen.EinekonsistenteBeschreibungdesElektrons,dieden DerSpinderElektronen 

BindungvonElektroneninAtomenkeineRollespielen,zeigendieTatsacheneinanderesBild.DiekorrekteBeschreibungderFeinstrukturder 

Problems.Obwohlesscheinenmag,darelativistischeEektebeider DieseGleichunggibtzugleicheinelorentz-kovarianteFormulierungdes Spinmiteinbezieht,istnuraufderBasisderDirac-Gleichungmoglich. 

WechselwirkungindenHamilton-Operator,wiewirsiegleichweiter untenvornehmenwollen,stellteineKorrekturdar,dieauseinerApproximationderDirac-Gleichungfolgt.DieseSpin-Bahn-Wechselwirkung 

Energieniveaus.Dennoch:ausPlatzmangelkonnenwiraufdieDirac- spielt,wiewirwissen,einewichtigeRollebeiderBestimmungder 

derSchrodinger-Gleichung.Ferner:dieEinbeziehungderSpin-Bahn- Ein-Elektron-AtomefolgteinzigausderDirac-Gleichungundnichtaus 

trons:bezuglicheinerbeliebigvorgegebenenRichtung(meistensdie Gleichungnichteingehen. EsgibtgenauzweiBasiszustandefurdiePolarisationdesElek-

14 nunalleweiterenFreiheitsgradedesElektronsauerachtlassen,sohabenwireshiermiteinemzweidimensionalenHilbertraumzutun,den 

wirdenSpinorraumnennen(seineElementeheienSpinoren)undden wirkurzmitC2bezeichnen9.DievollstandigeBeschreibungdesEin- demKongurationsraumeinfuhrenmitWertenimSpinorraum: Elektron-Hilbertraumeswirderreicht,wennwirnunFunktionenauf 

3-Richtung)kannderSpinso"oderso#gerichtetsein.Wennwir KAPITEL1.GRUNDZUGEDERQUANTENMECHANIK 

DerHilbertraumdieserFunktionenwirdmitL2(R3;C2)bezeichnet.In diesererweitertenTheoriedesElektronsbeschreibtk(x)k2dieDichte :R3!C2;kk2=Zd3xk(x)k2

1.4.DERSPINDERELEKTRONEN DieseEigenschaftistcharakteristischfuridentischeTeilchenmithalbzahligenSpin.MannenntsieFermionen.DieseBesonderheit,dieuns 

15 

beidenidentischenTeilchenbegegnet,wollenwireinwenigbeleuchten. 

deralleZustandedesvereinigtenSystems,sozusagendiegemeinsamen siemoglichenZustandebeschreiben,sogibtesstetseinenHilbertraum, dene(d.h.unterscheidbare)physikalischeSystemehinsichtlichderfur SindH1undH2zweiHilbertraume,mitdenenwirzweiverschie- 

vonnElektronenindemn-fachenTensorprodukt einzelnenElektrons,sowurdemanerwarten,dadieWellenfunktionen produktH1H2.IstalsoH=L2(R3;C2)etwaderHilbertraumeines Zustandeundnurdiese,umfat.DergesuchteRaumistdasTensor- 

nOi=1H=HHH(nFaktoren) zusuchensind.FurunterscheidbareTeilchenwarediesrichtig.ElektronensindjedochidentischeTeilchen,unddasPauliprinzipsagtuns,da 

dieZustandevonnElektronenineinemUnterraumliegen,denman dasn-fachealternierendeProduktderEin-Teilchen-Raumenennt: nî=1H=H^H^^H(nFaktoren) EingenaherterHamilton-Operatorfureinn-Elektronen-Atom,der (1.20) 

(1.19) 

H1+H2mit diegenannteSpin-Bahn-Wechselwirkungmiteinbezieht,istH=H0+ 

wobei H2=nXi=1(i)L(i)S(i) (1.21) 

[(i)](:::x(i):::)=(jx(i)j)(:::x(i):::) (r)= 2m2c21rdV 1 dr(r) (1.23) (1.22) 

HierbezeichnenL(i)undS(i)denBahndrehimpuls-bzw.denSpinoperatordesi-tenElektronsundL(i)S(i)derenSkalarprodukt.

16 SymmetrienundErhaltungssatze KAPITEL1.GRUNDZUGEDERQUANTENMECHANIK 

WirwollenbekannteTransformationenausderklassischenMechanik 1.5.1 aufdieQuantenmechanikubertragenundbeginnenmitdemeinfachstenBeispiel,namlichderTranslation: 

Translationen 

solchenTransformationverbinden. WirkonnenzweigrundsatzlichverschiedeneVorstellungenmiteiner x0=x+a;a2R3 

PassiveAuassung(einSystem,zweiBeobachter): dieTranslationbeschreibtdierelativePositionzweierBezugssysteme,KundK0,vondenenauseinphysikalischesSystem(d.h. 

seinZustand)beurteiltwird.IstindemSystemKderZustand durchdieWellenfunktionbeschrieben,sowirddergleicheZustandinK0durchdieWellenfunktion0beschrieben,wobeidie 

Tatsache,daessichumdengleichenZustandhandelt,durch 

AktiveAuassung(zweiSysteme,einBeobachter): ausgedrucktist. 0(x0)=(x) 

dieTranslationbeschreibteinenVorgang,beidemeinphysikalischesSystemalsGanzesumeinenVektoraverschobenwird. 

WarderursprunglicheZustanddurcheineWellenfunktionbeschrieben,sokannderneueZustanddurcheineWellenfunktiomenhangistdanndurch0(x)=(x?averandertbleibenunddurchxbezeichnetwerden.DerZusam- 

0beschriebenwerden,wobeidiebenutztenOrtskoordinatenun- 

BeideAuassungensindmathematischaquivalent:giltnamlich0(x+ a)=(x)furallex,sogiltauch0(x)=(x?a)furallexundumgekehrt.EswirddeshalbinZukunftnichtnotigsein,denUnterschied, 

gegeben.

1.5.SYMMETRIENUNDERHALTUNGSSATZE derindenbeidenBildernbesteht,zubetonen.Esistwichtigfurdas Verstandnis,damitderEinfuhrungeinerTransformation(wiehier 17 

ve,istwiederumirrelevant. bleibteinegesonderteForderungandiePhysikdeszugrundegelegten Systems.WelcheAuassungwirdabeivertreten,dieaktiveoderpassi- 

derTranslation)uberhauptkeineSymmetrieverbundenseinmu:dies 

dawirdenOperatorU(a):L2(R3)!L2(R3)einfuhren10: DernachsteSchrittinunsererAnalysederSituationbestehtdarin, 

DieserOperatorhateineReihevonEigenschaften11 1.U(a)isteinlinearerOperator,d.h.errespektiertSuperpositionen [U(a)](x)=(x?a) (1.24) 

2.EsgiltkU(a)k=kkfuralle,d.h.U(a)istunitarundrespektiertdamitnichtnurdieNormierungeinerWellenfunktion, 

vonWellenfunktionen. 

sondernerhaltauchalleWahrscheinlichkeitenw=j(; 3.EsgiltU(a)U(b)=U(a+b).DawirhierdenVektoraalseine fernund dergleichenTransformationunterworfenwerden).12 )j2(so- 

U(a)eineGruppevonunitarenOperatoren,kurz,eineunitare Variablebetrachten,sagtdies,dadieGesamtheitderOperatoren 

DerHamilton-OperatoreineseinzelnenkraftefreienTeilchensistH= ?=2m.FuralleimDenitionsbereichvonHgilt[U(a)H](x)= Gruppedeniert. 

OperatorU(a)vertauschtmitdemHamilton-Operator.Beachte:dies risierendeEigenschafteinerSymmetrievoruns.InWorten:derunitare U(a)H=HU(a),kurz:[U(a);H]=0,undwirhabenhierdiecharakte- 

[HU(a)](x),wiemandurcheineleichteRechnungbestatigt.Alsogilt 

(x)wirkt. deutlichzumachen,daU(a)aufdieFunktionundnichtaufdenFunktionswert istmitderAussageU(a)?1HU(a)=Hidentisch. 

11Wichtigauchhier:dieseEigenschaftenalleinmachenausU(a)nochkeine 10Wirschreibenhier[U(a)](x)anstellevonU(a)(x),umunmiverstandlich 

mationuberdievierWurzelnderGleichung4=1). Symmetrieoperation. dasSkalarprodukt.DiesfolgtausderDarstellung4(; 12EinlinearerOperatoraufeinemHilbertraum,derdieNormerhalt,erhaltauch )=Pk +k2(Sum-

18 1.5.2KAPITEL1.GRUNDZUGEDERQUANTENMECHANIK 

physikalischesSystemeinElektron(Ladung-e),dassichineinemraumlichwiezeitlichkonstantenMagnetfeldBbewegt.Esistanschaulich 

DasnachsteBeispielistkomplizierteraberlehrreich.Wirwahlenals TranslationenimhomogenenMagnetfeld 

Hamilton-FunktionHkl(p;q)=1 klar,daeinsolchesSystemtranslationsinvariantist.Dieklassische 

drucktdieseSymmetriedurch2mp?e2qB2 (1.25) 

aus.DaszugehorigequantenmechanischeProblemwirddurchdenHamilton- Operator Hkl(p+e2aB;q+a)=Hkl(p;q) (1.26) 

deniert.DerunitareOperatorU(a),dereineSymmetrietransformationaufdemHilbertraumausfuhrensoll,muhierandersgewahlt,d.h. 

[H](x)=1 2m(1ir?e2xB)2(x) (1.27) 

derneuenSituationangepatwerden: 

genuberdemursprunglichenAusdruckfurU(a),sokonnenwirsagen, NeuistdasAuftreteneinerx-abhangigenPhase13.DieAnderungge- 

[U(a)](x)=(x?a)exp(ie2[aBx]) (1.28) 

wirddurcheineEichtransformationbewirkt.Setzenwir 

sondetmanleichtPU(a)=U(a)Punddeshalb [P](x)=(1ir?e2xB)(x) (1.29) 

inoensichtlicherAnalogiezurklassischenSituation.Einnicht-klassischer Eektbestehtnundarin,dadiesodeniertenTranslationeni.a.nicht HU(a)=U(a)H (1.30) 

miteinanderkommutieren.VielmehrgiltfurzweiVektorenaundB 13Mit[aBx]bezeichnenwirdasSpatproduktausdendreiVektorena,Bundx. U(a)U(b)=U(a+b)exp(ie2[aBb]) (1.31)

1.5.SYMMETRIENUNDERHALTUNGSSATZE EsgiltjedochweiterhinU(0)=1undU(a)?1=U(?a),soda 19 

mitderfolgendenKonsequenz:einTeilchenderLadunge,dasineinemMagnetfeldBentlangderBerandungeinesParallelogramms,aufgespanntvondenVektorenaundb,verschobenwird,kehrtzwarzu 

U(a)U(b)U(?a)U(?b)=exp(ie[aBb]) (1.32) 

umfahrenenFlacheist.WirerkenneninM=FBdenmagnetischen seinemUrsprungzuruck.JedochnimmtseineWellenfunktiondenkonstantenPhasenfaktorexp(?ieFB)auf,wobeiF=abderVektorder 

FludurchdasParallelogramm.DaeinebeliebigeFlachedurcheine SummevonRechteckenapproximiertwerdenkann,istdieAussageallgemein:beidemUmfahreneinerFlacheerhaltdieWellenfunktioneinen 

konstantenPhasenfaktorderFormexp(?ieM),wobeiMdenmagnetischenFludurchdieseFlachebezeichnet.1tenmechanischbetrachtet,sehrwohlnichtabelscheZugehabenkann. 

wennsieklassischdurcheineabelscheGruppebeschriebenist,quan- 

DieVerletzungderKommutativitatzeigtsichstetsimAuftretenvon WirlernenandiesemBeispiel,dadieSymmetrieeinesSystems, 

PhasenfaktorenundberuhtaufderTatsache,dakonstantePhasen physikalischbedeutungslossind. 1.5.3 WirkehrenzuderSituationzuruck,indereineTranslationdurch InnitesimaleTranslationen 

dargestelltwird.Wirnehmenan,da(x?a)bezuglichaineine konvergenteTaylorreiheentwickeltwerdenkann: [U(a)](x)=(x?a) 

IndemwirhierdenImpulsP=?ireinfuhren,wird (x?a)=1Xn=01n!(?ar)n(x) 

mechanikderElektronen. 14ManvergleichehierzudenbekanntenAharanov-Bohm-EektinderQuanten- 

U(a)=1Xn=01n!(?iaP)n=e?iaP

20 WirnennendiesdieExponentialkonstruktionderunitarenGruppeU(a). DieGruppehatdreiGeneratoren,namlichdieKomponentenvonP. KAPITEL1.GRUNDZUGEDERQUANTENMECHANIK 

Wirhabengesehen,wiemanU(a)ausPkonstruiert.Wirkonnenaber auchdenumgekehrtenWeggehen: 

Wirnennen-iaPdieinnitesimaleTransformation15dereinparametrigenScharU(ta),t2R. 

?iaP=lim t!0t?1[U(ta)?1] (1.33) 

ragen.HierbewirkteineTranslation,daalleKoordinatengemeinsam umeinenVektoraverschobenwerden: UnsereBetrachtungenlassensichleichtaufn-Teilchensystemeubert- 

EineTaylorentwicklungergibt [U(A)](x(1);:::;x(n))=(x(1)?a;:::;x(n)?a) (1.34) 

AlsogiltauchhierU(a)=exp(?iaP),wobeiPdenGesamtimpuls (x(1)?a;:::;x(n)?a)=1Xk=01i!(?kXj=1ar(j))k(x(1);:::;x(n))(1.35) 

bezeichnet: WieinderklassischenMechanikkonnenwirdenieren:EinSystem heitabgeschlossen,wennestranslationsinvariantist,d.h.wenn P=P(1)+:::+P(n);P(j)=?ir(j) 

ratorenvonU(a)mitdemHamilton-Operatorvertauschen: furallea2R3gilt.DiesistmitderAussageaquivalent,dadieGene- 

[U(a);H]=0 

jedochunendlichvielei.Tn.:sieformennamlicheinen3-dimensionalenVektorraum, simalenTransformationen(i.Tn.).EsgibtnurdreiGeneratorenderTranslationen, 15ManbeachtedenbegriichenUnterschiedzwischenGeneratorenundinnite- 

[P;H]=0 

dervoniP1,iP2undiP3aufgespanntwird.Generatorensindselbstadjungiert,die i.Tn.sindesnicht.

1.5.SYMMETRIENUNDERHALTUNGSSATZE SelbstadjungierteOperatorenwieP,diemitHvertauschen,nennen wirErhaltungsgroen.EinBeispielfurviele:dasSystemvonnElektronenunterderWirkungihrergegenseitigenCoulomb-Abstoungist 

abgeschlossen.FormalfolgtdiesausderTatsache,dadiepotentielle EnergienurvondenDierenzenx(i)?x(k)abhangt.AlsKonsequenz 

21 

davonistderGesamtimpulsderElektroneneineErhaltungsgroe. 

hangmitdemDrehimpulsuntersuchen.Wirgehendabeivondemgeo- 

metrischenBegriaus.SeiR=(Rik)einereelle33-Matrix.Diedurch torenerhaltenbleibt:jRxj=jxj.BekanntlichistdiesmitderAussage RTR=1identisch,wennmanmitRTdietransponierteMatrixbe- 

sievermittelteTransformationdesR3,x0=Rx,heitorthogonal(wir sagenauch,RseieineorthogonaleMatrix),wenndieLangederVekzeichnet.WirerinnernandieRegelnfurDeterminanten: 

det(RS)=(detR)(detS) 

1.5.4 WirwollenunsnundenRotationenzuwendenundihrenZusammen- 

AusRTR=1folgt(detR)2=1undsomitdetR=1:orthogonale det(RT)=detR 

Matrizensindnichtsingular16underfullenR?1=RT.Dieorthogonalen det1=1 

TransformationenbildeneineGruppe,diemandieorthogonaleGruppe nenntundmitO(3)bezeichnet.DieUntergruppe 

heitspezielleorthogonaleGruppeoderkurzDrehgruppe.IstR2SO(3), soist-RinderNebenklassederjenigenMatrizen,derenDeterminante SO(3)=fR2O(3)jdetR=1g 

-1ist.DieMatrix-1isteinElementdieserNebenklasseundbeschreibt 

trittimmerdannauf,wennUnichtinvertierbarist. wendigerweiseU?1=U:nichtjederisometrischeOperatoristunitar.DerDefekt EineIsometrieimHilbertraum,kUk=kkerfulltzwarUU=1abernichtnot- 

16DiesesehreinfacheTatsachewirdfalschinunendlich-dimensionalenRaumen.

22 eineSpiegelung:x0=?x.JedeorthogonaleMatrixR2O(3)istalsoentwederspeziellorthogonal(eineDrehung)oderdasProdukteiner 

KAPITEL1.GRUNDZUGEDERQUANTENMECHANIK 

Drehung(namlich-R)undderSpiegelungsmatrix-1. tetdieTransformationsformel: WechseldesBezugssystems.FurdieWellenfunktioneinesTeilchenslau- 

AuchinderQuantenmechanikgibteineDrehungRAnlazueinem 

In0(Rx)=(x)konnenwirxdurchR?1xersetzenunddieBezeichnungU(R)=0einfuhren.Danngilt: 

(1.37) 0(x0)=(x) x0=Rx (1.36) 

DerhierdurcheingefuhrteOperatoristunitar17.Esgilt: [U(R)](x)=(R?1x) (1.38) 

U(R)U(S)=U(RS) U(R)?1=U(R)=U(R?1)=U(RT) U(1)=1 (1.40) (1.41) (1.39) 

Symmetriegruppe. Auchhiergilt:dieseEigenschaftenalleinmachenausSO(3)nochkeine VieleEinteilchenproblemesindrotationssymmetrisch.Seietwa 

derAusdruckfurdenHamilton-Operator.DannsinddiefolgendenbeidenAussagenaquivalent: 

[H](x)=[?=2m+V(x)](x) (1.42) 

DasPotentialistdrehinvariant:V(x)=V(Rx),d.h.Vhangtnur 

17DerGrundistsehreinfach:dasVolumenelementd3x,mitdemwirjj2integrieren,istinvariantgegenuberDrehungen.FurdieseEigenschaftwurdeesausreichen 

DerHamilton-OperatorvertauschtmitU(R),d.h.[U(R);H]=0. vonr=jxjab. 

anzunehmen,dajdetRj=1ist.

1.5.SYMMETRIENUNDERHALTUNGSSATZE 1.5.5 InnitesimaleRotationen 23 

WirbetrachtenDrehungenR(t),diestetigdierenzierbarvoneinem reellenParametertabhangenundR(0)=1erfullen.Dierenzierenwir nundieRelationR(t)TR(t)=1aufbeidenSeitenanderStellet=0, soerkennenwir,dajedeinnitesimaleRotationA=(dR=dt)(0)die Bedingung 

lenantisymmetrischenMatrizenaufdieseWeise;dennseiAeinesolche erfullt,d.h.Aistantisymmetrisch.Tatsachlichbekommenwirallereel- 

AT+A=0 (1.43) 

Matrix,sobeschreibtR(t)=exp(tA)einegeeigneteeinparametrige metrischeMatrizensichleichtparametrisierenlassen: ScharvonDrehungen18. DerVorteilderBeschreibungdurchAliegtnundarin,daantisym- 

A=0B@0 ?a2 a3 ?a3 a1 0 ?a1 a2 

sodaAx=axmita=(a1;a2;a3)furallex2R3ist.DiecharakteristischeGleichungdet(A?)=0einersolchenMatrixhatstetsdie 

Form3+!2=0mit!2=?SpurA2=2=jaj2: DasTheoremvonCaley-Hamiltonsagt,dadieMatrixAihreeigene charkteristischeGleichungerfullt,also 

01CA (1.44) 

MitHilfedieserMatrixidentitatlatsichdieExponentialreiheleicht aufsummieren, A3+!2A=0 (1.45) 

StetigkeitderFunktionf(t)=detexp(tA):daf(0)=1undf(t)2=1,istf(t)=1. 18Diesfolgtaus[exp(tA)]T=exp(tAT)=exp(?tA)=[exp(tA)]?1undder eA=1+sin! !A+1?cos! !2 A2 (1.46) 

Esgiltjedochnochmehr:R(t)=exp(tA)stellteineeinparametrigeUntergruppe vonSO(3)darundjedesElementR2SO(3)liegtineinersolchenUntergruppe.

24 undaufdieseWeisehabenwireineParametrisierungderDrehgruppe gewonnen.WegenderPeriodizitatdertrigonometrischenFunktionen KAPITEL1.GRUNDZUGEDERQUANTENMECHANIK 

konnenwirdenVektorasoeinschranken,dajajerfulltist. cosjaj.DeshalbistfurdieRotationR=eA AusxkafolgteAx=x,undausx?amitjxj=1folgtxeAx= 

WirbetrachtendieeinparametrigeGruppeU(etA)undberechnendie zugehorigeinnitesimaleTransformation: a=jaj=RichtungderDrehachse,!=jaj=Drehwinkel. 

[U(etA)](x)=(x?tax+O(t2)) 

mitL=x(?ir),demDrehimpulsoperator.DieinnitesimaleTrans- 

=(1?t[axr]+O(t2))(x) 

formationistalso?iaL,unddievonihrerzeugteeinparametrigeUn- 

tergruppegewinnenwirdurchdieExponentialkonstruktion: 

=(1?itaL+O(t2))(x) 

AufeineWellenfunktionvonnTeilchen(ohneSpin)wirkteineRotation inanalogerWeise: U(etA)=e?itaL (1.47) 

mationsgruppezueinerSymmetriewird.LassenwirnamlichdieTeil- 

chensomiteinanderwechselwirken,dadieZweikorperpotentialenur dieEigenschaft[U(R);H]=0.DieGeneratorenvonU(R)sinddiedrei KomponentendesGesamtdrehimpulses 

Esistoensichtlich,inwelchenSituationendiesoeingefuhrteTransfor- 

[U(R)](x(1);:::;x(n))=(R?1x(1);:::;R?1x(n)) (1.48) 

vondenAbstandenjx(i)?x(k)jabhangen,hatderHamilton-Operator 

Nurer(undnichtjederEinteilchen-Drehimpulsseparat)hatdieEigenschaft,eineeineErhaltungsgroezusein:[L;H]=0.HabendieTeil- 

L=L(1)++L(n) (1.49) 

hungunterworfenwerden,damiteineSymmetrieentsteht.Diesfuhrt chenzudemnochSpinfreiheitsgrade,somussendieseebenfallsderDre-

1.5.SYMMETRIENUNDERHALTUNGSSATZE dazu,damanindieSummeallerDrehimpulseauchnochdieSpins dereinzelnenTeilchenmiteinbeziehenmu.DiegenaueBeschreibung 25 

aberi.a.keineErhaltungsgroendarstellen,weildieWechselwirkung sowiediezugehorigenpartiellenDrehungen)zwardenierenkann,sie dieserSituationerfolgtspater. 

derTeilchenuntereinanderdiesnichtzulat.Damitkonnenpartielle EsistausdemGesagtenklar,damanEinzeldrehimpulse(eben- 

DrehungenauchkeineSymmetrienbeschreiben.IneinerwichtigenSituationistesjedochmoglich,einepartielleDrehgruppeeinzufuhren,dieinanderwechselwirken,dasnurvondemAbstandr=jx(1)?x(2)j 

gleichzeitigSymmetriegruppeist.Betrachtenwiretwaeinabgeschlos- 

abhangt.Hieristeszweckmaig,zunachstSchwerpunkts-undRelativkoordinateneinzufuhrensenesSystemvonzweiTeilchen,dievermogeeinesPotentialsV(r)mit- 

EineSymmetriegruppeistdanndurch =m1x(1)+m2x(2) m1+m2 ;x=x(1)?x(2) 

erklart.DiehierenthaltenenTranslationenfuhrenzurErhaltungdes Gesamtimpulses(klassisch:dieBewegungdesSchwerpunktesmitkonstanterGeschwindigkeit).DieDrehungenderRelativkoordinatenkonnen 

denbewegtenSchwerpunktalsZentrum.SiefuhrenzurErhaltungdes relativenBahndrehimpulsesLrel=?ixrx. (Pmi)?1Pmix(i): tenBezugssystemubertragenaufdasn-Korperproblem,wobei= NaturlichlatsichdieVorstellungvonDrehungenimmitbeweg- 

[U(a;R)](;x)=(?a;R?1x);a2R3;R2SO(3) (1.50) 

wiranschaulichauassenalsDrehungenderTeilchenkoordinatenum 

DurchUbergangzuinnitesimalenDrehungenndenwirleichtdieGeneratoren:essinddieKomponentenvon 

[U(R)](x(1);:::;x(n))=(+R?1(x(1)?);:::;+R?1(x(n)?)) (1.51) 

Lrel=L?QP (1.52)

26 undPdenGesamtimpulsbezeichnet. wobeiLdenGesamtdrehimpuls,QdenOrtsoperatordesSchwerpunktes19 KAPITEL1.GRUNDZUGEDERQUANTENMECHANIK 

lungstransformationx7!?x.InderklassischenMechanikfuhrteine InderGruppeO(3)ndenwirauerdenDrehungenauchdieSpiege- 

1.5.6 ParitatundZeitumkehr 

tungsgroePheitParitat: InvarianzdesSystemsgegenuberSpiegelungenzukeinerneuenErhaltungsgroe.DiesistandersinderQuantenmechanik:dieneueErhal- 

undselbstadjungiertist:wirkonnendamitPalsSymmetrietransformationundzugleichauchalsErhaltungsgroeauassen.Oensichtlich 

DieSituationistdadurchspeziell,daderOperatorPzugleichunitar [P](x(1);:::;x(n))=(?x(1);:::;?x(n)) (1.53) 

WellenfunktionlatsichineinenAnteilpositiverParitatundeinen AnteilnegativerParitatzerlegen.DieZerlegungisteindeutigundwird durchAnwendungderProjektoren12(1P)erreicht.BekanntlichhabendieKugelfunktionenYlm(;),diealsDrehimpuls-Eigenfunktionen 

giltP2=1,d.h.PbesitztdieEigenwerte1(undnurdiese).Jede 

einewichtigeRollespielen,einedenierteParitat,namlich(?1)l. 

le,dienurvonrik=jx(i)?x(k)jabhangen.Esistjedochnichtschwierig, tomatischdievolleO(3)-Symmetrie.DiesgiltfurdiekinetischeEnergie, Einteichenpotentiale,dienurvonri=jx(i)j,undZweiteilchenpotentia- 

VieleHamilton-Operatoren,dieSO(3)-invariantsind,besitzenau- 

invariantsind:[x(1)x(2)x(3)];x(1)L(2);PSu:s:w: adhocSO(3)-invarianteOperatorenzukonstruieren,dienichtO(3)- 

VektoreninderQuantenmechanikzuunterscheidensind,istleichtauszumachendukteeinespolarenVektorsmiteinemAxialvektordarstellen.Solche 

GroenwollenwirPseudoskalarenennen.WiediebeidenTypenvon AlledieseGroenhabeneinesgemeinsam:sielassensichalsSkalarpro- 

19d.h.[Q](x(1);:::;x(n))=(Pmi)?1(Pmix(i))(x(1);:::;x(n)).

Vektor,wenngilt20: 1.5.SYMMETRIENUNDERHALTUNGSSATZE Denition1EinSystemvondreiOperatorenA=(A1;A2;A3)heit 27 

U(R)?1AiU(R)=3Xk=1Rk iAk;R2SO(3) (1.54) 

TypischerweiseentstehenAxialvektorenalsVektorproduktevonpolarenVektoren.DamitistauchjederDrehimpulsLeinAxialvektor.Es 

gibtaberauchAxialvektoren,dienichtdurchProduktbildungentstehen,z.B.denSpinS(alsodenEigendrehimpuls)einesTeilchens. 

derkraftefreienBewegungeinesTeilchens:(?=2m) WirwendenunsnunderZeitumkehrzuunderlauternsieanhand 

heitaxial,wenngilt21:PAP=A. Denition2EinVektorAheitpolar,wenngilt:PAP=?A.Er 

neueLosungbeschriebenwird.Diesfuhrtunsdazu,denOperatorT Fragenwirhier,obmit dieAntwortnein.Manerkenntjedochsofort,dadurch (x;t)auch(x;?t)eineLosungist,solautet 

(x;t)=i_(x;t). 

derZeitumkehrdurch[T](x)=(x);2L2(R3) lenfunktion.Istnamlich zudenieren,alsodurcheineeinfachekomplexeKonjugationderWel- 

(x;t)diezeitlicheEntwicklungdesAnfangzustandes(x)= 

(x;0),soist(x;?t)diezeitlicheEntwicklungdes 

1.DerOperatorTistantilinear,d.h. 

(1.55) 

Anfangzustandes(x).DieEigenschaftendersoeingefuhrtenZeitumkehrsindstellungU(R)derDrehgruppedeniertwerdenkann. 

21DieweitereDienzierungunterdenVektorenberuhtoenbardarauf,daeine 20Wirsehenhier,daderVektorcharakternurinbezugaufeinebestimmteDar- 

T(c+c00)=cT+c0T0;c;c02C (1.56) 

furaxialeVektorengilt. bestimmteDarstellungU(R)derorthogonalenGruppeO(3)vorgegebenist,soda U(R)?1AU(R)=RAfurpolareVektoren,hingegenU(R)?1AU(R)=(detR)RA

282.DerOperatorTinvertiertdasSkalarprodukt: 


OperatorenmitdenEigenschaften1.und2.heienantiunitar22. (T;T0)=(0;) (1.57) 

3.IstderGrundzustandeinesHamilton-OperatorsHmit[T;H]= 0nichtentartet,sogiltT=cmitjcj=1.Diesheit:nach WahleinergeeignetenPhasewirdderGrundzustanddurcheine 

4.Istp(x)=eipxeineebeneWellemitdemImpulsp,sogilt Wasserstoatoms. reelleWellenfunktionbeschrieben,soetwaderGrundzustanddes 

Tp=?p.MannenntdaherauchTdenOperatorderBewegungsumkehr,unddieseBezeichnungistvielleichtsogarklarer 

unddemBegriZeitumkehrvorzuziehen.ImpulseundDrehimpulseandernihrVorzeichen:TPT=?P,TLT=?L.OrtsopeduktevomTypQPundQL,ebensowieHamilton-Operatorenratorenbleibenunverandert:TQT=Q.Deshalbgilt:Skalarpro- 

5.BewegtsicheinTeilchenineinemPotentialV(x),sogiltfur zeitumkehrinvariant. dievonsolchenGroeninlinearerWeiseabhangen,sindnicht 

wenndasPotentialreellist.DieEinfuhrungkomplexerPotentiale23 denHamilton-OperatorHdieBeziehung[T;H]=0genaudann, umkehr(ganzabgesehendavon,daeinsolcherHamilton-Operator dannnichtmehrselbstadjungiertware). verstotgegendieForderungnachInvarianzgegenuberderZeit- 

DerantilineareCharakterderZeitumkehrist,wasseinenGultigkeitsbereichbetrit,nichtaufdieSchrodinger-Theoriebeschrankt.Umdies 

hatnurU=TAzusetzenundT2=1auszunutzen. derKonjugationTundeinesunitarenOperatorsUgeschriebenwerdenkann:man 23EinebeliebteMethodeinderTheoriederStreuungvonNeutronenaneinem 22Mankannleichtzeigen,dajederantiunitareOperatorAalsProduktA=TU 

solcheTheorieverletztwesentlichePrinzipienderQuantentheorie. Festkorpers,denwirdurcheinenkomplexenBrechungsindexcharakterisieren.Eine durchdenKernmitzubeschreiben,inAnalogiezudemoptischenVerhalteneines Kernbestehtdarin,mitHilfekomplexerPotentialedieAbsorptionderNeutronen

mentarteilchenmitunitarerZeitevolutionU(t)=exp(?itH).Inrelati- 

vistischenTheoriengiltgrundsatzlichH0.EineZeitumkehrTmu, 

1.5.SYMMETRIENUNDERHALTUNGSSATZE einzusehen,denkenwirunsirgendeinerelativistischeTheoriederEle- 

29 

wennsiediesenNamenverdient,dieEigenschaftTU(t)=U(?t)Tbesitzen.GehenwirhierzuinnitesimalenZeitverschiebungenuber,so 

folgtTiH=iHT.DamithabenwirdiefolgendeAlternative:entweder giltTH=HTundTi=?iT oderTH=?HTundTi=iT. positiverEnergie,soistTeinZustandpositiverEnergieimersten,ein BedingungH0undscheidetfurunsaus.EsbleibtnurdieMoglichkeit,daTantilinearist. 

ZustandnegativerEnergieimzweitenFall.DerzweiteFallverletztdie ImerstenFallistTantilinear,imzweitenFalllinear.IsteinZustand 

Grund:Tistnichtselbstadjungiert.Diesbewirkt,damiteinersolchen voneinerObservablenTmitdenEigenwerten1zusprechen.Der SymmetriekeineErhaltungsgroeverbundenist.Denochsindmitder EsgiltzwarT2=1inderQuantenmechanik,dochwareesfalsch, 

Dipolmomentbesitzen. InvarianzgegenuberZeitumkehrvieleAuswahlregelnverknupft,z.B. kanneinneutralesSpin-12-Teilchen(etwadasNeutron)keinelektrisches 

Esistbemerkenswert,dadieNaturvonderzweitenMoglichkeit,eine denAbschnitt2.2)invariantlat,entwederunitaroderantiunitarist. standsraumes,diealleWahrscheinlichkeitenw( E.P.Wignerhatgezeigt,daeineallgemeineTransformationdesZu- 

Symmetriedarzustellen,wenigstensineinembekanntenFallGebrauch j)=j( ;)j2(siehe 

gemachthat. 

gegangenenAbschnittendenBegriderSymmetriegruppeallgemein WirwollennunnachderDiskussioneinigerBeispieleindenvoran- 

1.5.7 SymmetrienimengerenSinn 

fassen.WirdenkenunseinphysikalischesSystem.Esbenennenheit

30 seinenZustandsraumHundseinenHamilton-OperatorHkennen.Sei GeineabstrakteGruppeundU(g):H!Hfurjedesg2Gentweder KAPITEL1.GRUNDZUGEDERQUANTENMECHANIK 

unitaroderantiunitar,soda 

furalleg;g02Gerfulltist24.IstU(g)furjedesg2Gunitar,sonennen wirdieAbbildungg7!U(g)eineunitareDarstellungderGruppeG.Die U(g)U(g0)=U(gg0);U(e)=1 (1.58) 

individuellenOperatorenU(g)derDarstellungUheiendieDarsteller. FurdenFall,dadieschwachereBedingung 

projektivenDarstellungderGruppeG. mitc(g;g0)2Cundjc(g;g0)j=1erfulltist,sprechenwirvoneiner U(g)U(g0)=c(g;g0)U(gg0) (1.59) 

Denition3.Gilt[U(g);H]=0furalleg2G,soheitGeine SymmetriegruppeimengerenSinnfurdasphysikalischeSystemund DieExistenzeinerSymmetriegruppehatdiefolgendeoensichtliche g7!U(g)ihreDarstellung. Konsequenz: Ist2HeinstationarerZustand,d.h.giltH=E,so sindauchalleZustandeU(g)(g2G)stationarundzwar 

den,konnenwirsagen,daU(g)aufdiesemRaumoperiert,ohneihn DaEigenlosungenzumgleichenEigenwerteinenlinearenRaum25bil- 

zumgleichenEigenwertE. 

zuverlassen: HE=fjH=EgisteininvarianterUnterraumfurdie 

neutraleElementinG. 25DieDimensioneinessolchenRaumeskannendlichoderunendlichsein.ImallgemeinenstelltsichdieDimensionjedochalsendlichheraus. 

24Wirschreibenallgemeingg0furdasGruppenproduktundbezeichnenmitedas DarstellungUderSymmetriegruppeG.

schreibteineTeildarstellungUEvonU,wobeisichdieDarstellerUE(g) 1.5.SYMMETRIENUNDERHALTUNGSSATZE DieEinschrankungvonU(g)aufdeninvariantenUnterraumHEbe- 

31 

vonU(g)nurdadurchunterscheiden,daihrWirkungsbereichuberHE nichthinausgeht. 

AeineErhaltungsgroe,sobeschreibtU(s)=exp(isA)mits2R genannt,wenn[A;H]=0gilt.EsbestehteinwichtigerZusammenhang zwischendiesemKonzeptunddemBegriderSymmetrie:Seinamlich EinselbstadjungierterOperatorAaufHwirdeineErhaltungsgroe 

eineeinparametrigeunitareGruppevonSymmetrietransformationen; TransformationaufeineErhaltungsgroe. parametrigeSymmetriegruppedurchUbergangzuderinnitesimalen dennesgilt[U(s);H]=0furalles2R.Umgekehrtfuhrtjedeein- 

SeiteineLosungderSchrodinger-GleichungHt=i_t,soda DieExistenzeinerErhaltungsgroeAerlaubteinigeFolgerungen: 

SeitirgendeineLosungderSchrodinger-Gleichung.Dannistder giltAt=atfuralleZeitent. A0=a0(AnimmtzurZeitt=0denEigenwertaan).Dann 

Erwartungswert(t;At)unabhangigvonderZeitt.DieseAussagelatsichnochverscharfen.Zutmitktk=1undAexistiertevonA,d.h.esgibteinW-MaaufR,soda26 

einezeitlichkonstanteWahrscheinlichkeitsverteilungderMewer- 

furalles2Runabhangigvonterfulltist.EinBeispiel:ineinemabgeschlossenenSystemistnichtnurderErwartungswert 

(t;eisAt)=Zd(a)eisa 

MitAistauchjedesPolynomPn(A)mitreellenKoezienteneineErhaltungsgroe.MitdergebotenenmathematischenVorsicht 

kannmansogarbehaupten,dajedeFunktionf(A)eineErhal- 

desImpulseszeitlichkonstant,sondernauchdiegesamteImpulsverteilung. 

.SiewirdauchdiecharakteristischeFunktiondesW-Maesgenannt. 26DiehierbeschriebeneFunktionvonsistdieFourier-TransformiertedesMaes tungsgroeist.DasProblembestehtlediglichdarin,demSymbol

32 f(A)eineBedeutungzugeben.WirwollenaufdiesesProblem hiernichteingehen. KAPITEL1.GRUNDZUGEDERQUANTENMECHANIK 

SeiEeinEnergie-EigenwertundHEderRaumderzugehorigen Eigenlosungen.DanngiltAHEHE.Allgemeiner:JederinvarianteUnterraumvonHistaucheininvarianterUnterraumvonA 

undumgekehrt.HattenwireshiermitgewohnlichenMatrizenH undAzutun,solieesichderSachverhaltauchsoausdrucken: 

FurdieTheoriedesMeprozessesbedeutetdieRelation[A;H]= HundAhabeneingemeinsamesSystemvonEigenfunktionen, 

0,daMessungenderObservablenHundAkompatibelsind, sindalso"gemeinsamdiagonalisierbar". 

d.h.siesichnichtgegenseitigbeeinussen.Insbesonderekonnen 

DiehieraufgefuhrtenBehauptungensindsoelementar,daesdem HundAzugleichmitbeliebigerGenauigkeitgemessenwerden; 

Leseruberlassenwird,sieimeinzelnenzuverizieren. esexistiertkeineUnscharfe-RelationfurkommutierendeGroen. 

lungunterdenvierKoordinatenderRaum-Zeit.DiesistaufjedenFall DasbisherbenutzteSymmetriekonzeptgibtderZeiteineSonderstel- 

1.5.8 SymmetrienimweiterenSinne 

dannnichtwunschenswert,wennwirzueinerrelativistischenTheorie innerhalbderSchrodinger-Theoriegelangenwir,wennwirdieBedingung[U(g);H]=0aufgeben. 

unitareDarstellungeinerGruppeGaufH.Wirdenieren Sei(H;H)einphysikalischesSystemundg7!U(g)einebeliebige derTeilchenubergehenwollen.ZueinerallgemeinerenBegrisbildung 

abhangigvonderZeitt.Danngilt:istteineLosungderSchrodinger- GleichungHt=i_t,soauchgt=Ut(g)tfurjedesg2G.Auchhier Ut(g)=e?itHU(g)eitH (1.60) 

operiert,jedochistihreWirkungselbstzeitabhangigundkanndeshalb gilt,dadieGruppeGaufdemRaumder(zeitabhangigen)Losungen nichtzuErhaltungsgroenfuhren.DerNutzesdesneuenKonzeptesist dahersehrbegrenzt.WirbetrachtenzweiBeispiele.

1.5.SYMMETRIENUNDERHALTUNGSSATZE Galilei-Transformationen. 33 

digkeitzweierBezugssystemeinterpretieren,fuhrtderAnsatz FureinebeliebigeGeschwindigkeitv,diewiralsRelativgeschwin- 

j0(x0;t0)j=j(x;t)j x0=x+vt (1.61) 

auf t0=t (1.62) 

0(x;t)=eif(x;t)(x?vt;t) (1.63) 

?=2mdarstellt.DannistdietransformierteWellenfunktion0(x;t) genaudanneineLosungderselbenGleichung,wenndiefolgendenbeidenDierentialgleichungenerfulltsind: 

@@tf(x;t)=?12mv2 rf(x;t)=mv (1.64) 

nehmen,da(x;t)eineLosungderSchrodinger-GleichungmitH= miteinerzunachstbeliebenreell-wertigenFunktionf.Wirwollenan- 

MitderFestsetzungf(0;0)=0wirddieLosungeindeutig: f(x;t)=mvx?12mv2t (1.66) (1.65) 

sogiltinderTatUt(v)=exp(?itH)U(v)exp(itH)mit Schreibenwirnun[Ut(v)t](x)=t(x?vt;t)eif(x;t) 

[U(v)](x)=(x)eimvx (1.67) 

oderU(v)=exp(imvQ).DieGeneratorenderDarstellungUsind diedreiKomponentenvonmQ.ObwohlderOrtsoperatorQkeine (1.68) 

Erhaltungsgroeist,habenwirdennochmitseinerHilfedieGalilei- TransformationenindemRaumL2(R3)beschrieben. DiegenaueGestaltdesHamilton-OperatorsHistirrelevant.Entscheidentistnur,dasichderSchwerpunktmitkonstanterGeschwindigkeit 

bewegt: Galilei-Invarianzndenwirbeiallenabgeschlossenenn-Teilchensystemen. 

e?itHQeitH=Q+tP=m (1.69)

punktesundPdenOperatordesGesamtimpulses.Genauwievorher, 34 HierbezeichnetmdieGesamtmasse,QdenOrtsoperatordesSchwer- 


sindauchhierdieKomponentenvonmQdieErzeugerderDarstellungU.AnderGestaltderFunktionf(x;t)andertsichnichts;wir 

mussendarinnurmalsdieGesamtmasseundxalsdieKoordinaten desSchwerpunktesinterpretieren. 

invariant.GesuchtisteinegeeigneteBeschreibungderTranslationen. Seialso TranslationenimhomogenenE-Feld. DasProblemeinesElektronsimhomogenenE-Feldisttranslations- 

derHamilton-Operator.Wirgehenausvon[U(a)](x)=(x?a).Da dieskeineSymmetrietransformationensind,konstruierenwir [H](x)=(?=2m?exE)(x) (1.70) 

Ut(a)=e?itHU(a)eitH =exp(?iaP?t[H;aP]) =eieaEtU(a) =exp?ie?itHaPeitH 

Hierbeihabenwirausgenutzt,da[H;P]=?ieEund[H;[H;P]]=0 gilt.AlsResultaterhaltenwirdieSymmetrietransformationen 

ObwohldieTranslationendamitaufdemRaumderLosungenderBewegungsgleichungoperieren,konnenwirausdieserWirkungkeinevektorielleErhaltungsgroeableiten.Jedochgilthier,daUt(a)genaudann 

[Ut(a)t](x)=t(x?a)eieaEt (1.71) 

imengerenSinn. konstant,unddiesebeidenOperatorenerzeugeneineSymmetriegruppe tungsgroe.WahlenwiretwaE=(0;0;E3),sosindP1undP2zeitlich unabhangigvontist,wenna?Egilt:fursolcheaistaPeineErhal-

Kapitel2 

DarstellungenvonGruppen 

soernurgelernthat,denrechtenGlaubenvondenIrrlehrenzu 

Inwelchemsichzeigt,daeiner, scheiden,durchausimstandeist, auchuberDingezureden,vondenenerkeineAhnunghat. 

2.1 Homomorphismen StefanHeym,Ahasver 

DieUntersuchungderStrukturvonGruppen,ihrerBeziehungenuntereinanderundihrerDarstellungenberuhtaufeinemzentralenBegri, 

demdesHomomorphismus,ausdemweiterewichtigeBegrieableitbar 

HwirdeinHomomorphismusgenannt,wennsiedieGruppenstruktur sind. Denition4.EineAbbildungf:H!GzwischenGruppenGund respektiert,d.h.wennfuralleh;h02Hgilt: UnterKernundBildeinesHomomorphismusfverstehenwirdieMengen 

f(hh0)=f(h)f(h0) 

Kerf=fh2H:f(h)=eg Imf=ff(h):h2Hg 35 (2.1) (2.2)

wobeiedasneutraleElementinGbezeichnet. 36 KAPITEL2.DARSTELLUNGENVONGRUPPEN 

1.KerfundImfsindUntergruppenvonHbzw.G.Kerfistso- 

Esistleicht,diefolgendenAussagenzubeweisen: gareineinvarianteUntergruppe1vonH,undjedeinvarianteUn- 

tergruppeistKerneinesHomomorphismus.Ineinerabelschen 2.Kerfisttrivial(bestehtnurauseinemElement)genaudann, GruppeistjedeUntergruppeinvariant. 

gilt.AlsoistfbijektivodereinIsomorphismusgenaudann,wenn wennfinjektivist;fwirdsurjektivgenannt,wennImf=G 

3.Bezeichnenwirmit1dietrivialeGruppe(siebestehtnuraus H=G. sowohlKerftrivialistalsauchImf=Ggilt.Wirschreibendann 

Istf:H!GeinHomomorphismusundK=Kerfdiezugehorige 1!GundG!1eindeutig. einemElement),sosindfurjedeGruppeGdieHomomorphismen 

dieNebenklassehKH.DaKinvariantinHist,gilthK=Kh H=KauffolgendeWeisezukonstruieren:Zuh2Hbetrachtenwir (Rechts-undLinksnebenklassensindidentisch).FurzweiTeilmengen invarianteUntergruppevonH,soistesmoglich,eineFaktorgruppe 

A;BHschreibenwirAB=fab:a2A;b2Bg.DasProduktzweier 

BezuglichdersoerklartenMultiplikationbildendieNebenklasseneine NebenklassenistwiedereineNebenklasse: 

Gruppe,inderKdieRolledesneutralenElementesubernimmt. (hK)(h0K)=h(Kh0)K=h(h0K)K=(hh0)(KK)=(hh0)K 

Satz1(KanonischeZerlegungeinesHomomorphismus.)JederHomomorphismusf:H!GbesitzteineeindeutigeDarstellungderArt 

sogiltf1(h)=hKundf2(hK)=f(h);f3istdiekanonischeEinbettung wobeif1surjektiv,f2bijektivundf3injektivist.SetzenwirK=Kerf, Hf1!H=Kerff2!Imff3!G 

k2Kgilt. einerUntergruppe. 1EineUntergruppeKHheitinvariant,wennhkh?12Kfuralleh2Hund

2.1.HOMOMORPHISMEN verkettenlassen,wobeiwiederHomomorphismenentstehen.EineSequenzvonzweiHomomorphismen 

DiewichtigsteEigenschaftvonHomomorphismenist,dasiesich 37 

denierteinenHomomorphismusf0f:G!G00.Dashierdurchde- 

Gf!G0f0 

nierteVerknupfungsgesetzistassoziativ.Oftbegegnenwirumfangrei- 

cherenSequenzen: 

EinesolcheSequenzheitexaktanderStellen,wenngilt:Imfn?1= Kerfn.Sieheitexakt,wennsieanjederStelleexaktist.DieverschiedenenSituationen,diewirschonfruherdiskutierthaben,lassensich 

auchdurchexakteSequenzencharakterisieren: 

fn?2 ?!Gn?1fn?1 ?!Gnfn ?!Gn+1fn+1 ?! 

1!Kf!G!1:fistbijektiv. Hf!G!1 1!Kf!H :fistsurjektiv. :fistinjektiv. 

1!K!Hf!G!1:K=KerfundG=H=Kerf. 1!Kerf!H!Imf!1:dieseSequenzistexaktfur HundGistihreFaktorgruppe. Etwasvereinfachend:KisteineinvarianteUntergruppevon 

1.Beispiel.AlleVielfachenderganzenZahlnformeneineUntergruppe nZderadditivenGruppederganzenZahlen.DieFaktorgruppeZn= alleHomomorphismenf:H!G. 

Z=nZheitzyklischeGruppederOrdnungn: 

dern-tenEinheitswurzeln(LosungenderGleichungzn=1)oderauch MankannZnebensogutidentizierenmitdermultiplikativenGruppe 1!nZ!Zmodn ?!Zn!1 

ellenZahlenauassen;dieFaktorgruppeR=ZistdasEinheitsintervall mitdenDrehungeneinesregularenn-Ecks. 2.Beispiel.WirkonnendieganzenZahlenalsUntergruppederre-

mitEndpunktenidentiziert.DieseGruppebeschreibtmanambequemstenalsdieunitareGruppeineinerDimension,U(1)=fexp(i2t): 

KAPITEL2.DARSTELLUNGENVONGRUPPEN 38 

0t

2.2.LINEAREDARSTELLUNGEN LineareDarstellungen 39 

JederlineareRaumL(auchVektorraumgenannt)istinnaturlicher WeisemiteinerGruppeverknupft.DiesistdieGruppeAut(L)der AutomorphismenvonL,alsodieGruppederlinearenAbbildungen einSuperpositionsprinzipwirksamist,benutzteinenreellenoderkom- 

A:L!L,dieumkehrbarsind.JedephysikalischeTheorie,inder plexenVektorraumzurBeschreibungihrerZustande.Dawirallenun- 

serenBetrachtungendieQuantentheoriezugrundelegen,wollenwir stetsvoraussetzen,daLeinkomplex-linearerRaumist.IstLendlich- 

miteinerkomplexennn-Matrix(Aik)identiziertwerden3,wobei einerBasismitdemRaumCnundjedeTransformationA:L!L detA6=0gilt.Wirsehenso,daAut(Cn)mitGL(n;C)ubereinstimmt. DarstellungoderauchkurzDarstellungderGruppeGaufdemDarstellungsraumL.DieDarstellungheittreu,wenn 

Denition5.EinHomomorphismusD:G!Aut(L)heitlineare 

dimensionalundistseineDimensionn,sokanndieserRaumnachWahl 

exaktist. 1!GD 

IstderDarstellungsraumendlich-dimensionalundnseineDimension, ?!Aut(L) 

menteinerGruppedieidentischeTransformationdeseindimensionalen einfachsteDarstellungistdietrivialeDarstellung:sieordnetjedemEle- 

RaumesCzu.UmdieseSituationanzudeuten,schreibenwireinfach sosprechenwirvoneinern-dimensionalenDarstellungderGruppe.Die 

partielleAntwortgeben. objedeGruppeeinetreueDarstellungbesitzt.Daraufkonnenwireine treu,wennGnichtnurauseinemElementbesteht.DieFrageentsteht, D(g)=1furalleg2GoderauchD=1.DieseDarstellungistnicht 

stellungmitn=jGj.DiesedurchdiefolgendeKonstruktionausgezeich- Satz2Jedeendliche4Gruppebesitzteinetreuen-dimensionaleDar- 

xi2C,sogiltAx=Pix0ieimitx0i=PkAikxk. PiAikeierklart.Istx=PixieieinallgemeinerVektormitdenKomponenten 3BeiVorgabeeinerBasisfeigwirdeinelineareTransformationAdurchAek= ZahlderElementewirddieOrdnungderGruppeGgenanntundmitjGjbezeichnet. 4EineGruppeheitendlich,wennsieendlichvieleGruppenelementebesitzt.Die

neteDarstellungDregheitdieregulareDarstellungeinerendlichen 40 Gruppe. KAPITEL2.DARSTELLUNGENVONGRUPPEN 

istderRaumallerFunktionenf:G!C.Identizierenwirjedesg2G Konstruktion.SeiV(G)derfreieVektorraumuberderGruppeG:dies g6=h,sobesitztjedesf2V(G)dieDarstellung mitderFunktiong:G!C;g(h)=1,fallsg=h,undg(h)=0,falls 

d.h.wirbetrachtenV(G)alseinenVektorraummitderBasisG.Auf f=Xh2Gf(h)h 

diesemVektorraumwirktdieGruppeGdurchMultiplikationvonlinks: 

OensichtlichhandeltessichhierumeineDarstellungmitderDimensionn=jGj.Umzuentscheiden,obsietreuist,bestimmenwirden 

Dreg(g)f=Xh2Gf(h)gh (2.3) 

treu.2 Diesfuhrtaufgh=h(alleh),alsoaufg=e,d.h.dieDarstellungist KernvonDreg,alsoalleg2GmitDreg(g)f=ffurallef2V(G). 

tur:ihreElementesindentweder0oder1: dieserBasishabendieDarstellungsmatrizenDreg(G)einespezielleStruk- 

DurchKonstruktionbesitztV(G)eineausgezeichneteBasis.Bezuglich 

1.Beispiel.DiezyklischeGruppeZn=(a;a2;:::;an=e)hatein Dreg(g)hh0=(1h=gh0 0sonst (2.4) 

erzeugendesElementa.ZurBeschreibungderregularenDarstellung genugtes,furdiesesElementdieDarstellungsmatrixanzugeben: 

Dreg(a)= 0 B@ 100 

010 01 001 . ....... 00 1 CA

2.2.LINEAREDARSTELLUNGEN treueDarstellungbesitztmitn

tenhalbierenden.DiesliefertunsdieDarstellung zweiElemente:a=Drehungum2=3,b=SpiegelunganeinerSei- 

42 KAPITEL2.DARSTELLUNGENVONGRUPPEN 

D(a)=0@?12?12p3 12p3 ?121A;D(b)= 10 0?1! 

JedePermutationderdreiEckenistsoerreichbar.Tatsachlichhaben wiralsoeine2-dimensionaleDarstellungdersymmetrischenGruppe S3konstruiert,wobeiirrationaleZahlenunterdenMatrixelementen auftreten.Dieslatsichvermeiden.DieselbenDecktransformationen konnenwirnamlichauchandersbeschreiben.Seiene1,e2unde3die dreiVektorenvomMittelpunktzudenEckpunktendesDreiecks.Es gilte1+e2+e3=0,unddieGruppeS3permutiertdieseVektoren.Je wahlene1unde2und zweidieserVektorenbildeneineBasisallerVektorenderEbene.Wir 

InMatrizenschreibweise: a:e17!e2;e27!e3;e37!e1 

D0(a)= b:e17!e2;e27!e1;e37!e3 

AufdieseWeisehabenwirerreicht,daalleDarstellungsmatrizennur 0?1 1?1!;D0(b)= 01 10! 

nesolcheDarstellungvongroemVorteil.ObwohldieDarstellungen ganzzahligeMatrixelementebesitzen.FurdieKristallographieistei- 

DundD0ansichverschiedensind(dieMatrizensindverschieden), beschreibenbeideDarstellungendennochdieselbenlinearenTransformationenderEbene(inverschiedenenKoordinaten).Manwurdesie 

damitalsaquivalentempnden.Waswirnunbrauchen,isteinallgemeinerAquivalenzbegri. 

Aut(L0)mitdim(L)=dim(L0)=nheienaquivalent,wenneineli- 

Denition6ZweiDarstellungenD:G!Aut(L)undD0:G! 

furalleg2Ggilt. neareundumkehrbareAbbildungT:L!L0existiert,soda TD(g)=D0(g)T

NachdemwirinbeidenRaumeneineBasisgewahlthabenundwir somitD(g)undD0(g)alsMatrizenauassendurfen,besagtdieseDe- 2.3.UNITAREDARSTELLUNGEN 43 

multiplikationzutunhaben. TD(g)=D0(g)Tgilt,wobeiwireshiermiteinergewohnlichenMatrix- 

nitiongerade,daeinenichtsingularenn-MatrixTexistiert,soda 

2.3 InderQuantenmechanikistmanvorwiegendanDarstellungeneiner GruppedurchunitareOperatorenaufeinemHilbertrauminteressiert. UnitareDarstellungen 

Wirwerdendeshalbannehmen,daderDarstellungsraumHeinHilbertraumist,undwerdenmitAut(H)dieGruppeallerinvertierbareduktinvariantlassen.DamitistAut(H)alsdieGruppeallerunitaren 

zueinerendlichenoderunendlichenMatrix. linearenTransformationenU:H!Hbezeichnen,diedasSkalarpro- 

OperatorenUaufHgekennzeichnet.NachWahleinerBasis5wirdU Denition7EinHomomorphismusD:G!Aut(H)heitunitare 

Spielraumstarkeingeschranktist.DadieseBesorgnisfurendliche DarstellungderGruppeGaufdemHilbertraumH. 

(oderauchkompakte)Gruppenunberechtigtist,zeigtdasfolgende Mankonntenunmeinen,dadurchdieForderungderUnitaritatder 

Satz3JedelineareDarstellungeinerendlichenGruppeaufeinemVek- 

klassische(A.Hurwitzzugeschriebene)Ergebnis. torraumendlicherDimensionistbezuglicheinesgeeignetgewahltenSka- 

larproduktesunitar. 

annehmen.DasSkalarproduktaufLwirdinzweiSchrittenkonstruiert: ZumBeweisbetrachtenwireineDarstellungD:G!Aut(L),wobei LlediglicheinlinearerRaumist,dessenDimensionwiralsendlich 1.WahleeineBasisfeiginLunddenieremitihrerHilfeein 

vollstandigesSystemvonVektoren. 5UntereinerBasisineinemHilbertraumverstehenwirstetseinorthonormiertes vorlaugesSkalarprodukthx;yi=Pxiyi,wobeix=Pxieiund y=PyieibeliebigeVektoreninLsind.

442.DenieredasendgultigeSkalarproduktals 

KAPITEL2.DARSTELLUNGENVONGRUPPEN 

EsbesitztdurchKonstruktiondieEigenschaft (x;y)=1 jGjXg2GhD(g)x;D(g)yi 

furjedesg2G:2(D(g)x;D(g)y)=(x;y) 

ihreininvariantesMamit(G)=1,dasmandasHaarscheMa nennt.ZurKonstruktiondesSkalarprodukteskonnenwirdanneinIntegralandieStellederSummesetzenrungsfahigist.IstnamlichGeinekompakteGruppe,soexistiertauf 

Bemerkung:DieArtdesBeweiseszeigt,daderSatzverallgemeine- 

DasursprunglicheSkalarprodukthx;yikonntevorgegebensein:Wir beginnenalsomiteinerlinearenundstetigenDarstellungderkompaktenGruppeGdurchbeschrankte(nichtnotwendigunitare)Operatoren 

kannerreichtwerden,dadieseDarstellungunitarwird. aufeinemHilbertraumH.DurcheineAnderungdesSkalarproduktes 

(x;y)=Zd(g)hD(g)x;D(g)yi 

dieeuklidischeGruppe,dieGalilei-GruppeunddieLorentz-Gruppe. pakt,wohlaberlokalkompakt:SoetwadieGruppederTranslationen, Auchfureinelokalkompakte(nichtkompakte)GruppeGexistiertstets VieleGruppen,diemaninderPhysikbetrachtet,sindnichtkom- 

KlassederlokalkompaktenGruppengenugtesalsonicht,sichaufdas eininvariantesMa.Esistjedochnichtnormierbar6:(G)=1. 

StudiumderunitarenDarstellungenzubeschranken. derFormelfur(x;y)wohldeniertist,undderBeweisversagt.Furdie IndieserSituationkannnichtbewiesenwerden,dadasIntegralin 

deradditivenGruppeR3ubereinstimmt.HierstimmtdasHaarscheMamitdem LebesgueschenMauberein:d(x)=dx1dx2dx3. 6MansiehtdiesambestenanderGruppederTranslationen,dieformalmit

2.4.REDUZIBILITAT Reduzibilitat 45 

WirkehrenzurallgemeinenSituationeinerlinearenDarstellungD: ineinfachereBestandteilezuzerlegen. G!Aut(L)zuruck.Mitunteristesmoglich,einesolcheDarstellung Denition8EinTeilraumL1Lheitinvariant,wennD(g)L1 L1furalleg2gilt.IstL1einechter7TeilraumvonL,soheitdieDarstellungDreduzibel.IneinemsolchenFalldeniertdieEinschrankung 

undwirschreibenD1D.EineDarstellung,diekeinenechteninvariantenTeilraumbesitzt,heitirreduzibel. 

allerDarstellerD(g)aufL1eineTeildarstellungD1:G!Aut(L1), 

geeigneteWahlderBasisinLerreichen,daalledarstellendenMatrizen Wirwollennunannehmen,daD:G!Aut(G)reduzibelseimit dim(L)=nunddim(L1)=n1

gegebenenDarstellunggefunden.DieentscheidendeFragelautetdann: Nehmenwiran,wirhattenbereitseineninvariantenTeilraumeiner 46 KAPITEL2.DARSTELLUNGENVONGRUPPEN 

ZerfalltdieDarstellung?DieFragelatsichnichtdadurchbeantworten, damanfurirgendeineBasis,dieaufdieDreiecksblockstruktur(2.9) erfulltsein.Vielmehrmuuntersuchtwerden,obesuberhaupteine fuhrt,nachpruft,obhierinQ=0gilt.Imallgemeinenwirddiesnicht Basisgibt,furdiedieBedingungQ=0erfulltist.Dieseschwierige Arbeitwirdunsabgenommen,wennD:G!Aut(H)eineunitare DarstellungaufeinemHilbertraumHist:HabenwirnamlichinH1 auchseinorthogonalesKomplementH2=H?1ein(abgeschlossener) einen(abgeschlossenen)invariantenTeilraumvonHgefunden,soist invarianterTeilraum,wiemansehrleichtbeweist.EsgiltsodannH= H1H2undD=D1D2.MitanderenWorten: 

DarstellungkommtunsderSatz3zuHilfe,derunsgestattet,beiend- 

InderallgemeinenSituationeinerlinearen(nichtnotwendigunitaren) Satz4JedereduzibleunitareDarstellungzerfallt. 

strukturzunden,durchdiedieDarstellungunitarwird.Deshalbha- 

benwirdaswichtigeErgebnis: lichenGruppenundendlich-dimensionalenRaumen,eineHilbertraum- 

ausgedehntwerden.DazubeachtemandieBemerkungimvorigenAbschnitt. 

Beispielen. Dalokalkompakte(abernichtkompakte)Gruppenreduziblenicht- 

1.BeispielDurch 

Bemerkung:AuchdieserSatzkannsinngemaaufkompakteGruppen Satz5JedereduzibleDarstellungeinerendlichenGruppezerfallt. 

zerfallendeDarstellungenbesitzen,zeigenwirnunandreimarkanten 

wirdeinezweidimensionalereduzibleDarstellungderadditivenGruppederkomplexenZahlenbeschrieben.Siezerfalltnicht;dennfurjedes 

D(z)= 1z 01!z2C (2.10) 

z6=0besitztdieMatrixz?1D(z)Jordan-Gestalt.AusderAlgebraist

2.4.REDUZIBILITAT bekannt,daeineJordan-MatrixderDimensionn>1nichtdiagonalisierbarist. 

47 

2.BeispielDurch 

wirdeine(n+1)-dimensionaleDarstellungdereuklidischenGruppe D(a;R)= Ra 01!R2O(n);a2Rn (2.11) 

E(n)beschrieben(s.S.26).SiebesitztdieTeildarstellungD1(a;R)=R, zerfalltabernicht. undZeitx0=Rx+vt+a 3.BeispielDienichtrelativistischenTransformationenvonRaum 

bildendievolleGalilei-Gruppe.Einetreue5-dimensionaleDarstellung t0=t+ R2O(3);v;a2R3;2R (2.12) 

dieserGruppeist,wiemansichleichtuberzeugt,durch D(;a;v;R)=0B@Rva 

gegeben.Siezerfalltnicht,obwohlsiezweiTeildarstellungen9enthalt. 01 001 1 CA (2.13) 

eineDarstellungD:G!Aut(L)eineninvariantenTeilraumbesitzt. unddasVerfahrenderVereinfachunglatsichsolangefortsetzen,bis MoglicherweisebesitzteineDarstellungmehrereinvarianteTeilraume, Wirhabendiskutiert,welcheVereinfachungensichergeben,wenn 

dieDarstellernachWahleinerdiesenTeilraumenangepatenBasisalle dieBlockdreiecksgestalt 

D(g)= 0 B@ D 1(g) D2(g)... 0. 0Dn(g) 1 CA (2.14) 

9DieDarstellersindRbzw.Rv 01.

ndet,daschlielichalleDarstellungenDiirreduzibelwerden(also annehmen,wobeidieReduktionnotwendigerweisedadurcheinEnde 48 KAPITEL2.DARSTELLUNGENVONGRUPPEN 

keineechteninvariantenTeilraumemehrbesitzen).KonnenwirdieBaschwinden,sozerfalltdieDarstellungDvollstandiginirreduzibleTeildarstellungenDi,undwirschreibendannkurzD=D1D2Dn 

oderauch sissogarsoeinrichten,daalleBlockeoberhalbderBlockdiagonalever- 

SindindieserZerlegungeinigeTeildarstellungenaquivalent,sofassen wirsiezusammenundschreiben D=nMi=1Di (2.15) 

wobeijedeZahlmidieVielfachheit10angibt,mitderDiinDvorkommt. WirnennenauchmidieMultiplizitatvonDiinD. D=m1D1m2D2 (2.16) 

Denition10EineDarstellung,diedirekteSummeirreduziblerDarstellungenoderselbstirreduzibelist,heitvollreduzibeloderdiskret 

Wirhabengelernt,daunitareDarstellungenautomatischzerfallen, reduzibel. wennsiereduzibelsind.Sinddie(unitaren)Teildarstellungenreduzibel, zerfallensiewiederum,undsoweiter.Esmagscheinen,dadurchdiesenVorgangmanschlielichdiegewunschteZerlegungderDarstellung 

inirreduzibleBestandteileerreicht.Diesistaberin1-dimensionalen nurabzusehen,wennesminimaleinvarianteTeilraumegibt.Diesebrauchenjedochnichtzuexistieren,wiewirunsaneinemsehreinfachen 

fureinSchrodinger-TeilchenbesitztvieleinvarianteTeilraume.Jeder funktionen,derenImpulsspektrumineinerfestenTeilmengeBdesIm- 

dieserRaumekannbeschriebenwerdenalsGesamtheitallerWellenpulsraumesbeheimatetist: 

Raumenimallgemeinennichtgarantiert.EinEndederZerlegungist Beispielklarmachenkonnen.DieDarstellung(1.24)derTranslationen 

lichist,wollenwirauchmi=1alsmoglichenWertzulassen. 10Dawirzulassen,dadieDimensiondesDarstellungsraumesabzahlbarunend- 

(x)=ZBd3peipx~(p) (2.17)

2.4.REDUZIBILITAT DieMengeBR3mumebarseinundeinpositivesMabesitzen.MinimaleMengendieserArtgibtesabernicht;dieDarstellungist 

49 

nichtdiskretreduzibel.TatsachlichleistetdasFourierintegralhierdie kompakteGruppen. ZerlegunginirreduzibleBestandteile:EinIntegraltrittandieStelle derSumme,unddieseErscheinungistcharakteristischfurvielenichtnissedesletztenAbschnittesfeststellen: 

konnenwirimSpezialfallderendlichenGruppenaufgrundderErgeb- 

FurkompakteGruppenistdieSituationgunstiger.Insbesondere 

Satz6Jedeendlich-dimensionaleDarstellungeinerendlichenGruppe istdiskretreduzibel. InHinblickaufdieAnwendungeninderQuantenmechanikbedeutsamer 

istdiskretreduzibel,unddieirreduziblenunitarenDarstellungenhaben Satz7(Peter-Weyl)JedeunitareDarstellungeinerkompaktenGruppe istjedochdasPendantdazu: 

Bemerkung:NaturlichlatdasPeter-Weyl-TheoremdieMoglichkeit alleendlicheDimension. zu,dainderZerlegungD=D1D2unendlichvieleSummandenauftreten.WichtigistnurdieAussage,dadieZerlegunginFordamentaleTheoremebnetdenWegzurBehandlungwichtigerGruppen 

einerSummeundnichtinFormeinesIntegralsgeschieht11.Diesesfun- 

inderQuantenphysik,soderSO(n)-Gruppen,derSU(n)-Gruppenund anderer. tenirreduziblenDarstellungeneinerendlichenGruppeGistendlich. BezeichnenwirdieDimensionendieserDarstellungenmitn1;n2;:::nk mitgeteiltwerden:DieAnzahlkderKlassenzueinanderinaquivalen- 

EineBesonderheitderendlichenGruppensollhiernochohneBeweis 

undsetzen 

legung(bisaufAquivalenz).AuchdieseFragekannpositiventschiedenwerdenfur diehierbetrachtetenGruppen.Diesistaberkeinesfallsselbstverstandlich,wieaus 11EinProblem,dashiernichtnaherterortertwird,istdieEindeutigkeitderZer- 

n(G;s)=ns1+ns2+:::+nsk (2.18) 

tegralzerlegungenihrerDarstellungenndet. Gegenbeispielenhervorgeht,diemanbeieinigennichtkompaktenGruppenundIn-

derGruppeGdeniert.FurgewisseWertevonshabendieseZahlen sohabenwiraufdieseWeisecharakteristischeZahlenn(G;s)(s=0,1,2,...) 50 KAPITEL2.DARSTELLUNGENVONGRUPPEN 

eineelementareBedeutung12: Satz8(Burnside) 

FureineendlicheGruppeistesdahermoglich,eineListeallerirreduziblerDarstellungenanzulegen(alsoeineListeendlichvielerMatrizen) 

(2.20) n(G;0)=k=AnzahlderKlassenvonG n(G;2)=jGj=OrdnungvonG: (2.19) 

dieseListevollstandigist. undanhanddesRelationendesBurnside-Theoremszuuberprufen,ob sen.DieRelation6=n21+n2+n23besitztnureineLosung:n1=n2= 1;n3=2.DiedreiirreduziblenDarstellungenmitdenDimensionen 1,1,2sindunsbereitsbekannt.EshandeltsichumdietrivialeDarstellungD1=1,diealternierendeDarstellungD2=1(siehe(2.8))und 

dieDarstellung,diedurchdieDecktransformationeneinesgleichseitigenDreiecks(sieheS.29)beschriebenwird.DieseListeistvollstandig; 

jedeweitereirreduzibleDarstellungmuzueinerDarstellungindieser 

BeispielDiesymmetrischeGruppeS3enthalt6Elementein3Klas- 

2.5 Listeaquivalentsein. 

ZerfallteinegegebeneDarstellunginTeildarstellungen,sokonnenwir, ohneaufdieinvariantenTeilraumeeingehenzumussen,denZerfall ZweiSatzevonSchur 

auchreinalgebraischcharakterisieren.Grobgesprochen:jemehrOperatorenmiteinergegebenenDarstellungvertauschen,umso"reduzibler" 

erweistsiesich. 

EinOperatorP:L!Lmit06=P2=P6=1heitProjektor.Jede L=L1L2.DieDarstellungistdamitblockdiagonal,d.h.siezerfallt. G!Aut(L)habedieinvariantenTeilraumeL1undL2undesgelte WirbeginnenmitdereinfachstenSituation:DieDarstellungD: 

gilt. zueinandersind,d.h.wenneinElementhinderGruppeexistiert,sodag1h=hg2 12ZweiGruppenelementeg1undg2gehorenzurselbenKlasse,wennsiekonjugiert

2.5.ZWEISATZEVONSCHUR ZerlegungL=L1L2gibtAnlazueinemProjektorP(erannulliert VektoreninL2).UmgekehrtdeniertjederProjektorineindeutiger 51 

Eigenschaft13 unsererSituationgenugtalsodieAngabeeinesProjektorsPmitder WeiseeineAufspaltungdesRaumesLinzweidirekteSummanden.In 

Wirwollennunannehmen,dadieDarstellungDdiskretreduzibelist undinnirreduzibleBestandteilezerfallt.IndieserSituationexistieren D(g)P=PD(g)furalleg2G (2.21) 

minimaleProjektorenP1;:::;Pn,soda P1+:::+Pn=1 PiPk=0(i6=k) (2.22) 

Darausfolgtunmittelbar,daalleOperatorenA,derenSpektralzerlegungdieFormA=1P1+2P2+:::+nPn 

UmstandenhatmanaufdieseWeisealleOperatorenAkonstruiert,die annimmt,mitderDarstellungDvertauschen:D(g)A=AD(g).Unter (i2C) (2.25) 

D(g)Pi=PiD(g)(i=1;:::;n) (2.24) (2.23) 

OperatoreneineabelscheAlgebra.Eskannaberdurchaussein,da weitereOperatorenAmitD(g)A=AD(g)existieren,dienichtdie mitDvertauschen.IstdiesderFall,soformendiemitDvertauschbaren 

zweiirreduzibleTeildarstellungenvonDzueinanderaquivalentsind: Form(2.25)besitzen.DieswirdimmerdannderFallsein,wennwenn OperatorenA,dielediglicheinePermutationsolcherTeildarstellungen 

EigenschaftistverknupftmitdemAuftreteneinerMultiplizitat>1, bewirken,habennichtdieGestalt(2.25).HierverliertdieAlgebrader 

d.h.einerVielfachheit,mitderdieirreduziblenTeildarstellungeninD sinddannnichtmehrgemeinsamdiagonalisierbar.DerVerlustdieser OperatorenAmitD(g)A=AD(g)dieEigenschaftabelschzusein;sie 

BedingungPD(g)P=D(g)Pbesagt,dadieDarstellungreduzibelist,d.h.sie 1?Pgilt,wennsiefurPerfulltist.Manmachesichfolgendesklar:Dieschwachere auftreten.WennnamlichinderZerlegung(2.16)mi>1furwenigstens 

besitztdieBlockdreiecksgestalt(2.9). 13Esisttrivial,dadiegleicheRelationfurdenkomplementarenProjektorQ=

einigilt,soistdieDarstellungnichtmultiplizitatsfrei.Wirkommen nunzudemallgemeinenBegri. 52 KAPITEL2.DARSTELLUNGENVONGRUPPEN 

auflinearenRaumenLundL0,sobezeichnenwirmitR(D;D0)den Denition11SeienDundD0DarstellungendergleichenGruppeG AD(g)furalleg2G.FurD=D0istR(D;D)isteineAlgebra.Die linearenRaumallerlinearenAbbildungen14A:L!L0mitD0(g)A= DarstellungDheitmultiplizitatsfrei,wennR(D;D)abelschist. 

anderverbinden?DieersteerfreulicheNachrichtkommtunsvoneinem vonAbbildungensprechen,diezweiDarstellungenDundD0mitein- 

Satz(deroftdas1.SchurscheLemmagenanntwird): Wasistgewonnen,wennwir,stattvonTeilraumenzureden,nurnoch 

Gauf(endlich-dimensionalen)RaumenLundL0,soistjedesA2 Satz9(Schur)SindDundD0irreduzibleDarstellungeneinerGruppe R(D;D0)entwedereinIsomorphismusoderesgiltA=0. Beweis.SeiA2R(D;D0)undA6=0.Oenbarsind Ker(A)=fx2L:Ax=0g Im(A)=fAx2L0:x2Lg (2.26) 

nachVoraussetzungkeineechtenTeilraumebesitzen,kommennurvier invarianteTeilraumebezuglichDbzw.D0.DaaberbeideDarstellungen (2.27) 

FalleinBetracht: Ker(A)=L;Im(A)=0 Ker(A)=0;Im(A)=L0 Ker(A)=0;Im(A)=0 =)T=0 

DieserSatzhateinebemerkenswerteKonsequenz,wennwirhierinD= Ker(A)=L;Im(A)=L0 =)T=Isomophismus 

D0setzen(bekanntals2.SchurschesLemma): =)Widerspruch2 

maps,alsoetwa"Verechtungsabbildungen". 14InderenglischsprachigenLiteraturheiensolcheAbbildungenintertwining

2.5.ZWEISATZEVONSCHUR Satz10(Schur)IstDeineirreduzibleDarstellungeinerGruppeGauf einemRaumLendlicherDimension,sogiltR(D;D)=f1:2Cg. 53 

Beweis:SeiA2R(D;D).NachWahleinerBasisinLkonnenwirA einerirreduziblenDarstellung. InWorten:NurdieVielfachendesEinheitsoperatorsvertauschenmit 

alsMatrixauassen.DerFundamentalsatzderAlgebragarantiert,da det(A?1)=0eineLosung2Cbesitzt.FurdiesesistA?1 nichtinvertierbar,alsokeinIsomorphismus.AndererseitsgiltA?12 R(D;D).DeshalbfolgtA?1=0aufgrunddesvorhergehendenSatzes. 2DieserSatzendlichhatvielebedeutendeAnwendungen.Einedavon Satz11JedeirreduzibleDarstellungeinerabelschenGruppeisteindimensional. 

Beweis:Ausgh=hg,gultiginabelschenGruppen,folgtD(g)D(h)= D(h)D(g)ineinerDarstellungD.IstDirreduzibel,sofolgtausdem 

betritdieabelschenGruppen. 

nal.2 jederTeilrauminvariant,abernurdereindimensionaleRaumbesitzt vorhergehendenSatzD(h)=(h)1.FureinesolcheDarstellungist keineechtenTeilraume.FolglichistderDarstellungsraumeindimensio- 

Satz12DerHamilton-OperatornimmtinirreduziblenDarstellungen vonSymmetriegruppeneinenEigenwertan. EineandereAnwendungbetritdiePhysikunmittelbar. 

ZumbesserenVerstandnisseidaranerinnert,daderHamilton-Operator HdieSymmetriegruppe15Gbesitzt,wennU(g)H=HU(g)mitg2G Bestandteilezerlegtwerden: fureineunitareDarstellungUgilt,wobeialleOperatorenaufdemgleichenHilbertraumHdeniertsind.NunkannUimmerinirreduzible 

auchnichtkompakteGruppenunddiedamitverbundenenIntegralzerlegungenin nehmen,daGeinekompakteGruppeist.MitetwasmehrAufwandistesmoglich, 15DamitdiefolgendenBetrachtungenmathematischkorrektsind,wollenwiran- 

U=U1U2::: 

dieBetrachtungeinzubeziehen.

wirkt,sogiltHH1H;dennHundU(g)sindgemeinsamdiagonalisierbar.DieEinschrankungdesHamilton-OperatorsaufdenTeilraustellungU1.Sein=dim(H1),sonenntmanndieMultipizitatoderden 

BetrachtenwiretwadenTeilraumH1H,aufdemdieDarstellungU1 54 KAPITEL2.DARSTELLUNGENVONGRUPPEN 

H1=E11fureinreellesE1,denEnergie-EigenwertvonHinderDar- 

H1wollenwirmitH1bezeichnen.EsgiltH12R(U1;U1)unddamit 

einehaugbeobachteteErscheinung.EsgehortzudenfestenGlaubenssatzendesPhysikers,daeineEntartungstetsihrenUrsprungin 

einer(moglicherweiseverborgenen)SymmetriedesProblemshat,so InderQuantenphysikistdieEntartungvonEnergie-Eigenwerten n-fachentartet. EntartungsgraddesEigenwertesE1.MansagtauchderEigenwertsei 

daderEntartungsgradnalsDimensioneinerirreduziblenDarstellungerklartwerdenkann.AlsFolgedieserAuassunggibteskeintungdannauchwiederaufheben.SofuhrtdasEinschalteneinesMagnetfeldesbekanntlichzumZeeman-Eekt. 

"zufallige"Entartung.EineStorungdieserSymmetriekanndieEntar- 

R(D;D0)konstruierenkonnen,wiewirnunzeigenwollen. nutzlichist,warumlineareAbbildungenundOperatorenVorrangvor VektorenundTeilraumenhaben.EinwichtigesArgumentist,dawir EsgibtweitereGrunde,warumdiealgebraischeBetrachtungsweise 

Satz13SeiGeineendliche(allgemeiner:kompakte)Gruppe,Dund D0zweiDarstellungenvonGaufdenRaumenLundL0.Fureine beliebigelineareAbbildungA:L!L0seiA0:L!L0durch 

deniert.DannistA02R(D;D0)undjedesElementvonR(D;D0) A0=1 jGjXg2GD0(g)AD(g?1) (2.28) 

kannaufdieseWeiseerhaltenwerden.IstGeinekompakteGruppe mitdemHaarschenMa,solautetdie(2.28)analogeFormel: 

Beweis:DurchunmittelbareRechnungbestatigtmanD0(g)A0=A0D(g), alsoA02R(D;D0).IstnunAbereitsinR(D;D0),sozeigtdieKonstruktion,daA=A0gilt.2 

A0=Zd(g)D0(g)AD(g?1) (2.29)

2.5.ZWEISATZEVONSCHUR nenphysikalischenSituationeneingesetztwerden.SeietwaU:G! DiesesonutzlicheMittelunguberdieGruppekanninverschiede- 

55 

Aut(H)eineunitareDarstellungeinerGruppeG,dienur"naherungsweise"alseineSymmetriegruppefurdenHamilton-OperatorsH(mit 

symmetrischenAnteilvonHals demZustandsraumH)aufgefatwerdenkann.Wirdenierendannden 

bzw. H0=1 jGjXg2GU(g)HU(g?1) (2.30) 

IstHselbstadjungiert,soauchH0.Wirschreibensodann H0=Zd(g)U(g)HU(g?1) (2.31) 

undnennenH1densymmetrieverletzendenAnteildesEnergie-Operators. IngunstigenSituationenistH0durchAusnutzungderSymmetrieleicht H=H0+H1 (2.32) 

zudiagonalierenundH1sobeschaen,daeinestorungstheoretische Behandlungmoglichist. Hamilton-OperatorH,dernichtmitPvertauscht,wirdparitatsverletzendgenannt.EinsolcherOperatorbesitztdiekanonischeZerlegung 

H=H0+H1ineinenparitatserhaltendenAnteil, 1.Beispiel.In(2.53)wurdederParitatsoperatorPeingefuhrt.Ein 

undineinenAnteil, H0=12(H?PHP); H0=12(H+PHP); (2.34) (2.33) 

derdieParitateinesZustandesumkehrt.MannenntH0aucheinenskalarenundH1einenpseudoskalarenOperatoraufgrunddiesesVerhaltens 

unterP. Operator 2.Beispiel.EinasymmetrischerKreiselwirddurchdenHamilton- H=J21 21+J2 22+J23 23 (2.35)

eschrieben,wobeiJ=(J1;J2;J3)derkorperfestenDrehimpulsist. 56 DerOperatorbesitztdieZerlegungH=H0+H1ineinenrotationssymmetrischenAnteil, 

KAPITEL2.DARSTELLUNGENVONGRUPPEN 

undeinensymmetriebrechendenTerm H0=J2 2; 1=1311+12+13 (2.36) 

mit1+2+3=0. H1=1J21+2J2+3J23; i=1i?1 (2.37) 

2.6 IndiesemAbschnittbetrachtenwirnurDarstellungen,dieirreduzibel sind.WirwollendiefundamentalenSatzevonSchuraufsieanwenden Orthogonalitatsrelationen 

konnen.WirmussenzuvordiefolgendeFragebeantworten:Wennzwei R(D;D0)sagen?Oensichtlichgilt:JedesElementA2R(D;D0)mit undzeigen,dawirausihnenweitereinteressanteRelationenherleiten DarstellungenDundD0aquivalentsind,waslatsichuberdenRaum A6=0isteinIsomorphismus(1.LemmavonSchur).SindAundA0zwei nichtverschwindendeElementeinR(D;D0),sosindsielinearabhangig: Schur).Damitgilt: A=A0.DennA?1A02R(D;D),alsoA?1A0=1(2.Lemmavon 

dimR(D;D0)=(1DundD0sindaquivalent 

benwireinweiteresWerkzeug,dieMittelunguberdieGruppe,zur DasErgebnisisteinerOrthogonalitatsrelationschonsehrahnlich.Ha- 

0DundD0sindinaquivalent (2.38) 

Verfugung,sokonnenwirdarausOrthogonalitatsrelationenfurdieMatrizenvonirreduziblenDarstellungenableiten.Wirwollenzunachstannehmen,dieGruppeGseiendlich. 

fI:2CgfureinengewissenIsomorphismusI:L!L0.Seifeig eineBasisinLundfIeigdiekorrespondierendeBasisinL0.Dannsind 1.Fall.DundD0sindaquivalent,gleichbedeutendmitR(D;D0)=

2.6.ORTHOGONALITATSRELATIONEN nichtlangernotig,sievoneinanderzuunterscheiden.Fureinebeliebige diedarstellendenMatrizeninbeidenDarstellungengleich,undesist 57 

MatrixAgiltdann 

wobeiesgelingt,durchSpurbildungaufbeidenSeitenzuberechnen: jGjXg2GD(g)AD(g?1)=1 1 (2.39) 

SpurA=n(dimL=dimL0=n).SeispeziellAdiejenigeMatrix, SpurA=jkundsomit dieanderStelle(j;k)eine1undsonstnurNullenaufweist,soist 

2.Fall.DundD0sindinaquivalent,gleichbedeutendmitR(D;D0)= jGjXg2GDij(g)Dk`(g?1)=1ni`jk 1 (2.40) 

f0g.WirwahleneinebeliebigeBasisfeig,i=1;:::ninLundeinebeliebigeBasisfe0jg,j=1;:::n0inL0.Fureinebeliebigen0n-MatrixA 

istPgD(g)AD0(g)=0undsomit 

SelbstverstandlichkonnendieOrthogonalitatsrelationen(2.40-41) jGjXg2GDij(g)D0k`(g?1)=0 1 (2.41) 

ineinersolchenWeiseverallgemeinertwerden,dasiefureinebeliebige kompakteGruppeGmitdemHaarschenMaGultigkeithaben16: Zd(g)Dij(g)D0k`(g?1)=((1=n)i`jkD=D0 Erinnernwirunsdaran,daeskeineEinschrankungbedeutet,wennwir 0 D6=D0 (2.42) 

annehmen,DundD0seienunitareDarstellungen:durcheinegeeignete WahlderBasisinLundL0istalsoerreichbar,dadieDarstellerder GruppeGunitareMatrizensind.IndiesemFallkonnenwirinden obigenFormelnD0k`(g?1)durchD0`k(g)ersetzen. 16WirschreibenhiervereinfachendD6=D0,fallsDundD0nichtaquivalentsind.

2.7 58 DerCharaktereinerDarstellung KAPITEL2.DARSTELLUNGENVONGRUPPEN 

Spurbildung: WirstellennundieFragenachdenInvarianten:dassindGroen,die klassecharakterisieren.DiewichtigsteInvariantegewinnenwirdurch inaquivalentenDarstellungengleichsindundsomitdieAquivalenz- 

Denition12DiekomplexwertigeFunktion 

heitCharakterderDarstellungD.Erwirdprimitivgenannt,wennD irreduzibelist. (g)=SpurD(g) (2.43) 

AusderDenitionfolgtunmittelbar,daaquivalenteDarstellungenden tionist17,d.h.8g;h2G:(hgh?1)=(g).Esgilt gleichenCharakterhaben,ferner,daderCharaktereineKlassenfunk- 

unitarangenommenwerden.FurkompakteGruppenhabenwirindem fallsGkompaktist.Grund:diedarstellendenMatrizenkonnenals (g?1)=(g) (2.44) 

stellungenmitdemselbenCharaktersindaquivalent.Diesistnichtrich- 

tigfurnichtkompakteGruppen.EinBeispiel:DieDarstellungen D(x)= 10 01! D0(x)= 1x 01! CharakterbereitseinvollstandigesInvariantensystem,d.h.zweiDar- 

(x)=2,sindabernichtaquivalent. deradditivenGruppederreellenZahlenhabendengleichenCharakter (2.45) 

Wirwollenunsjetztvorstellen, 

seieineListevoninaquivalentenundirreduziblenDarstellungeneiner kompaktenGruppemitDimensionenni.DerZerlegungD=m1D1 D1;D2;D3;::: 

Wertan.Beweis:Spur(D(h)D(g)D(h)?1)=SpurD(g). 17MitanderenWorten:nimmtjederAhnlichkeitsklassevonGeinenkonstanten

m2D2:::einerDarstellungDnachirreduziblenBestandteilen18entsprichteineebensolcheZerlegungihresCharakters: 

2.7.DERCHARAKTEREINERDARSTELLUNG 59 

d.h.CharakterevonreduziblenDarstellungenlassensichstetsineindeutigerWeiseinprimitiveCharakterezerlegen,wobeidieKoezientenmigeradedieMultiplizitatenunddamitnaturlicheZahlensind. 

ausdenErgebnissendesvorigenAbschnittes(vgl.(2.42)): FurprimitiveCharaktereifolgteineOrthogonalitatsrelationdirekt 

=m11+m22+::: (2.46) 

FuhrenwirdieNormeinesCharaktersdurch Zd(g)i(g)k(g)=(1i=k 0i6=k (2.47) 

ein,sondenwirunterderZerlegung(2.46) kk2=Zd(g)j(g)j2 

DerminimaleWertderrechtenSummeist1.Ertrittgenaudannauf, wenndieDarstellungDirreduzibelist.Also: kk2=m21+m2+::: (2.48) 

EinBlickindieResultatedesvorigenAbschnitteslehrt(vgl.(2.42)): Satz14EineDarstellungistgenaudannirreduzibel,wennihrCharakterdieNorm1besitzt. 

Zd(g)Di(g)k(g)=((1=ni)1i=k 

unmittelbareineAussagefureineallgemeineDarstellungD,inderdie Hierbezeichnet"1"eineni-dimensionaleEinheitsmatrix.Hierausfolgt 0 i6=k (2.49) 

irreduzibleDarstellungDk(Dimensionnk)mitderMultiplizitatmk vorkommt:DerOperator 

giltmi1. 18Wirsetzenmi=0,wennDiinderZerlegungvonDnichtauftritt.Imubrigen Pk=nkZd(g)D(g)k(g) (2.50)

aum,derzurTeildarstellungmkDkgehort(dieserTeilraumhatdie isteinProjektorinR(D;D).ErprojiziertaufdeninvariantenUnter- 

60 KAPITEL2.DARSTELLUNGENVONGRUPPEN 

Dimensionmknk).WirsehenaufdieseWeise,daesausreicht,eine ListeallerprimitivenCharaktereeinerkompaktenGruppezubesitzen, umjedebeliebigeDarstellungsoweitausreduzierenzukonnen,dawir 

WillkurdesPhysikersuberlassen. Zerlegungeines"Konglomerats"mkDkinseinemkBestandteilegibtes dannkeinkanonischesVerfahrenmehr:jedeweitereZerlegungistder dieTeildarstellungenmkDkalselementareBausteineerhalten.Furdie 

aufk: mkdieDarstellungDkineinervorgelegtenDarstellungDauftritt,so berechnenwireinfachdenCharakter(g)=SpurD(g)undprojizieren Sindwirnurdaraninteressiertzuerfahren,mitwelcherMultiplizitat 

DieswirdimweiterenVerlaufunsererUntersuchungenvomgroenNutzensein. 

mk=Zd(g)(g)k(g) (2.51)

Kapitel3 

DieTheoriederSU(2) 

wieschonimAbschnitt1.4erwahnt,diePauli-Matrizen BeiderBeschreibungdesSpinseineseinzelnenElektronsbenutztman, 3.1 WiedrehtmandenSpin? 

1= 01 10! 2= 0?i i0! 3= 10 0?1! 

JededieserMatrizenwirktalsOperatoraufdemHilbertraumC2.ZugleichfassenwirsiealsBasisvektoreneinesreellen3-dimensionalen 

(3.1) 

Basiswechselhat,wennerdurcheineDrehungdesKoordinatensytems isomorph,undwirkonnendeshalbuntersuchen,welcheWirkungein DieserRaumistdemgewohnlichen3-dimensionaleneuklidischenRaum Raumesauf,demRaumderhermiteschenspurfreien22-Matrizen. 

Pauli-Matrizenals hervorgerufenwird.ZujedemR2SO(3)erhaltenwirdie"gedrehten" 

Hilbertraum?Genauer:GibteszujedemR2SO(3)einu2SU(2),so DieFragelautet:EntsprichtdieserDrehungeineTransformationim 0k=XiRiki (3.2) 

da uku?1=XiRiki 61 (3.3)

62 erfulltist1?IndiesemFallwurdenwirsagen,dajedesSystem(3.2)von "gedrehten"Pauli-MatrizendemursprunglichenSystemunitaraquivalentsei.EineandereSprechweiseware,dadieDrehungRdurchden 

konkret: Satz15Zujedemu2SU(2)existiertgenaueinR2SO(3),soda seerzeugtwerden.DiehierdurchvermittelteAbbildungf:SU(2)! SO(3)isteinHomomorphismus.Sieisteine2:1-AbbildungindemSin- 

dieGleichung(3.3)erfulltist.AlleR2SO(3)konnenaufdieseWei- 

KAPITEL3.DIETHEORIEDERSU(2) 

OperatoruaufdemHilbertraumC2reprasentiertwird.Wirbehaupten 

Kerf=f1;?1g=Z2. ne,dauund?udiegleicheRotationRergeben.Insbesonderegilt DieverschiedenenTeilaussagendiesesSatzeslassensichineinerAussagezusammenfassen:DieSequenz 

istexakt. 1?!Z2?!SU(2)f 

BeweisdesSatzes.Furjedesx2R3denierenwir ?!SO(3)?!1 (3.4) 

x= x1+ix2 x3 x1?ix2 ?x3 ! 

Wirerhaltensojedehermiteschespurfreie22-Matrix.Furjedesu2 (3.5) 

Wegen R3mitx0=uxu?1.DiehierdurchvermittelteAbbildungistlinear. SU(2)istuxu?1wiedereinesolcheMatrix,undfolglichexistiertx02 

EsgiltsogarR2SO(3).Grund:AlstopologischerRaumistSU(2)zusammenhangend(mankommtstetigvoneinemPunktzumanderen), 

istsienormerhaltend,alsoorthogonal:x0=RxmitR=f(u)2O(3). ?jx0j2=detx0=det(uxu?1)=detx=?jxj2 

unddieAbbildungu7!detf(u)iststetigmitWerteninf1g.Der leistetauchcubeijcj=1diegleichenDienste,unddurchdet(cu)=1kannc geeignetfestgelegtwerden. 1EsgenugtdieMatrizeninSU(2)stattinU(2)zusuchen;dennmitu2U(2)

grunden-1alsWertnichtauftreten.EineeinfacheUberlegungzeigt, Wert+1trittsicherauf(z.B.furu=1).DannkannausStetigkeits- 

3.1.WIEDREHTMANDENSPIN? 63 

gen,dajedesR2SO(3)erhaltlichist,erinnernwirdaran,daeine beliebigeRotationalsR=expAmit daf(uu0)=f(u)f(u0)undf(1)=1erfulltsind.Umnunzuzei- 

A=0B@0 ?a2 a3 ?a3 a1 0 ?a1 a2 

darstelltwerdenkann.DerinnitesimalenRotationAordnenwirdie 01CA 

MatrixÂ=?i2azu: 

a1+ia2 a3 a1?ia2 ?a3 !=?12ia DannlautetunsereBehauptung,dau=expÂdasProblem lost.Esgenugt,dieentsprechendeBehauptungfurinnitesimaleRotationenzuverizieren: 

8x2R3:uxu?1=(Rx) 

tionenderPauli-Matrizen:[a;x]=2i(ax).Wirkommennunzu DieseFormelistaberinhaltlichidentischmitdenVertauschungsrela- 

8x2R3:[Â;x]=(Ax) 

derBehauptung,daessichbeifumeine2:1-Abbildunghandelt,bei deruund?uaufdasgleicheRabgebildetwerden.Angenommen,wir hattenzweiLosungenuundu0zugegebenemR.Denierev=u0u?1. teschen22-Matrizen:dasleistetnurv=1.Auerdemgiltv2SU(2) DannvertauschtvmitallenMatrizenxundfolglichmitallenhermi- 

unddeshalbdetv=2=1.SomitergebensichdiebeidenLosungen 

d.h.genauuund?u(undkeineweiterenMatrizen)fuhrenzumglei- 

=?1 =1 ) u0=?u u0=u 

penelemente,diemitjedemGruppenelementvertauschen)bestehtaus chenR.DasZentrumderGruppeSU(2)(dassinddiejenigenGrup-

64 1und-1.DiesesindzugleichdiejenigenElementederSU(2),dieauf R=1abgebildetwerden.SiebildendenKerndesHomomorphismus KAPITEL3.DIETHEORIEDERSU(2) 

f:SU(2)!SO(3).2 wandtschaftnaherbeleuchtetwerden. penSU(2)undSO(3).InvierweiterenAnmerkungensolldieseVer- 

DerSatz15demonstriertdieengeVerwandtschaftderbeidenGrup- 

1.NachDivisiondurchdasZentrumwerdendiebeidenGruppen 

2.SU(2)undSO(3)sindlokalisomorph:Zujedemu2SU(2)exi- 

isomorph: 

stierteineUmgebung2vonu,diestetigundbijektivaufeineUm- 

gebungvonR=f(u)inSO(3)abgebildetwird. 

SU(2)=Z2=SO(3) 

3.f:SU(2)!SO(3)beschreibteine3-dimensionaleDarstellung thogonaleTransformationeneinesreellenRaumes:x0i=PkRikxk. derGruppeSU(2)(oderkannsoaufgefatwerden).Sieistunitar Vermogez0i=PkRikzkkonnenwirsieaberebensogutalsspezielleunitareTransformationendesHilbertraumesC3auassen, 

unddamitgiltf:SU(2)!Aut(C3).Wirwerdenspatersehen, 

undirreduzibel.Erlauterung:NormalerweisesindDrehungenor- 

4.SU(2)istdieuniverselleUberlagerungsgruppederDrehgruppe dadieseDarstellungdurchdieDrehimpulsquantenzahl`=1 charakterisiertist. SO(3).Sieistdamitdie"kleinste",bisaufIsomorphieeindeutige,einfachzusammenhangendeGruppeG,die"groer"alsSO(3) 

IndemletztenPunktwirdeinwichtigesKonzeptbeidentopologischen ist. 

Sequenz Gruppenangesprochen,daswirkurzerlauternwollen.Ineinerexakten 

einmalvonderGruppenstrukturabsehen,sosindSU(2)undSO(3)topologische 1!K!Gf 

Raume,zuderenBeschreibungwirlokaldreireelleParameterbenotigen.UmgebungenindiesenRaumenkonnenwirdaherdurchUmgebungenimR3beschreiben. 

2GemeintisteineUmgebungUinderGruppenmannigfaltigkeit;dennwennwir ?!H!1 (3.6) 

BeiderWahlvonUhatmannurSorgezutragen,daU\(?U)=;erfulltist.

vonstetigenHomomorphismen,woHzusammenhangend,Geinfach 3.1.WIEDREHTMANDENSPIN? zusammenhangendundKdiskret(alsovolligunzusammenhangend) 65 

ist,heitfeineUberlagerungsabbildung(UA),undeineuniverselleUA dann,wennjedeweitereUA 1!K0!G0f0 

eine:G0!Ggilt.JedederhierangesprochenenGruppenG;G0usw. dieEigenschafthat,daf0uberffaktorisiert,d.h.wennf0=fefur ?!H!1 

senwerden:AufdieserTatsacheberuhtBedeutungundTragweitedes gesamtenKonzeptes.Trivialist,dadieuniverselleUGeinereinfach tigkeit(bisaufIsomorphie)deruniversellenUGkannallgemeinbewie- 

wirdUberlagerungsgruppe(UG)vonHgenannt.ExistenzundEindeu- 

daGruppeunduniverselleUGimmerlokalisomorphsind.IneinerUA (3.6)gibtn=jKj(auchn=1moglich)dieZahlder"Blatter"an, zusammenhangendenGruppeHmitHzusammenfallt.Weiterhingilt, 

auf,dieinderPhysikeineRollespielen: Flache,diediekomplexeEbeneuberdecken. mitderHuberdecktwird,ahnlichdenBlatterneinerRiemannschen Wirzahlennun(ohneBeweis)wichtigeFallevonuniversellenUA's 

1!Z2!SU(2)?!SO(3)!1 1!Z!R?!SO(2)!1 1!Z!R?!U(1)!1 (3.8) (3.9) (3.7) 

1!Z2!SU(2)SU(2)?!SO(4)!1 1!Z2!SL(2;R)?!LOG(3)!1 (3.10) 

HierbezeichnetLOG(n)dieLorentz-Gruppe3innDimensionen(n-1 1!Z2!SL(2;C)?!LOG(4)!1 (3.11) 

Raum-undeineZeitdimension).Manstelltleichtfest,dadieGruppe (3.12) 

LOG(2),imGegensatzzuihrenhoherenSchwestern,einfachzusammenhangendisttederEinheit:dassinddiejenigenLorentz-Transformationen,diestetigmit 

Transformationenverbundenwerdenkonnen. der44-EinheitsmatrixdurcheinenWeginnerhalbderGruppeallerLorentz- 3Genaugesprochen,betrachtenwirhiernurdieZusammenhangskomponen-

66 3.2 ParametrisierungderSU(2) KAPITEL3.DIETHEORIEDERSU(2) 

EinebeliebigeMatrixu2SU(2)hatdieGestalt 

UmgekehrtgehortjedeMatrix,diedieseGestalthat,zurGruppeSU(2). u= bd?b 

d!;jdj2+jbj2=1 (3.13) 

reelleGroenc0;c1;c2;c3,diesog.Caley-Parameter,indemman komplexeZahlen,dieeinereinschrankendenBedingunggenugen,zur DamitstehtunseinebequemeParametrisierungderGruppedurchzwei Verfugung.VonhierausgelangtmanzueinerBeschreibungdurchvier 

setztundsiederBedingungb=c2+ic1 d=c0+ic3 (3.15) (3.14) 

unterwirft.Dieszeigt,dadieSU(2)alstopologischeMannigfaltigkeitmitder3-SphareS3,alsomitderOberacheeinerHyperkugelim 

c20+c21+c2+c23=1 

R4vomRadius1identiziertwerdenkann.DadieS3einfachzusammenhangendundkompaktist,giltdiesauchfurdieSU(2). 

SO(3)namlich,gelangtmanzueinerParametrisierungderDrehgruppe SO(3)durchdieCaley-Parameter: IneinemweiterenSchritt,durchdieUberlagerungsabbildungSU(2)! 

R=0B@c20?c21?c2+c23 2(?c0c2?c1c3)c20+c21?c2?c23 2(?c0c1+c2c3)2(?c0c3?c1c2)c20?c21+c2?c23 2(c0c2?c1c3) 2(c0c3?c1c2) 2(c0c1+c2c3) 1 CA(3.16) 

gleichenR.DiesoentstehendeMannigfaltigkeitistnichtmehreinfach dePunkteaufderS3identizieren;denn(ci)und(?ci)fuhrenzum DieSO(3)alsMannigfaltigkeitdarfnaturlichnichtunmittelbarmitder S3identiziertwerden.Dazuistnotig,dawirzuvorgegenuberliegen- 

zusammenhangend(nichtjedergeschlosseneWeglatsichaufeinen Punktzusammenziehen).

3.2.PARAMETRISIERUNGDERSU(2) SU(2)kennengelernt,namlich NunhabenwirschonbeidemBeweisdesSatzes15gewisseu2 67 

mita=fa1;a2;a3g2R3und!=jaj.Wirfragenunsnun,ob durchdieseFormeleineParametrisierungdergesamtenSU(2)erreicht u=expÂ;Â=?i2a; (3.17) 

werdenkann.DieBeantwortungverlangtSorgfaltvonuns.MitHilfe derMatrixidentitat kanndieExponentialreiheaufsummiertwerden: 4Â2+!21=0 (3.18) 

VergleichehierzudieanalogeFormel(1.46).DieCaley-Parameterlassen sichnunleichtdurchdenVektoraausdrucken: expÂ=(cos!2)1+(2!sin!2)Â (3.19) 

c0=cos!2 ci=ai !sin!2 (i=1;2;3) (3.21) (3.20) 

fuhrt,unddamiterreichenwirnurdie"Halfte"vonSU(2),namlich4 Abernunerkennenwir,dadieEinschrankung0!aufc00 

ErstdieErweiterung0!2unddamit fu2SU(2):Spuru0g 

bringtdasgewunschteErgebnis:eineUberdeckungdergesamtenSU(2). DasGebiet(3.22)stellteineKugelvomRadius2dar,sodaden 0jaj2 (3.22) 

PunktenderKugeloberachenureinElementderGruppeentspricht: ren,erhaltenwireinetopologischeMannigfaltigkeit,diederSphareS3 dieMatrix-1.IndemwirallePunktederKugeloberacheidentizie- 

ausSpuru0undSpurv0folgtkeineswegsimmerSpuruv0. isomorphist,wiezuerwartenwar. 4Esistleichteinzusehen,dadieserTeilderSU(2)keineUntergruppeist;denn

68 Winkelvariable:WirwahlenPolarkoordinatenfurdenVektoramit UnserZielisteineParametrisierungderSphareS3durchgeeignete KAPITEL3.DIETHEORIEDERSU(2) 

jaj2: a1=!sincos 

Dieskonnenwirin(3.20-21)einsetzen: a3=!cos a2=!sinsin 

c1=sin!2sincos c2=sin!2sinsin c0=cos!2 (3.24) (3.25) (3.23) 

wobei;PolarkoordinatenderS2sindunddieRichtungderDrehachsebeschreiben.DerBereich,uberdendieWinkelvariieren,ist: 

DiedreiWinkel!2;;erweisensichsomitalsPolarkoordinatenderS3, c3=sin!2cos (3.26) 

eineandereParametrisierung(furihnhandelteesumLagekoordinaten L.Euler,alsersichmitdemVerhaltendesKreiselsbefate,bevorzugte 0!2 0 02 (3.27) 

meParameterderSO(3),aberauchjedesElementu2SU(2)kannso desKreisels).DienachihmbenanntenEuler-Winkel;;sindbeque- 

geschriebenwerden: wobeiuk(!)=e?i!k=2=cos!2?i(sin!2)k u=u3()u2()u3() k=1;2;3 (3.29) (3.28) 

ursprunglichenParametrisierung(3.13)istleichthergestellt: DiesenGruppenelementenentsprecheninderDrehgruppeSO(3)Drehungenumdiek-AchsemitdemWinkel!.DerZusammenhangmit 

d=exp(i+ b=exp(i? 2)cos2 2)sin2 (3.30) (3.31)

DarausergebensichdieCaley-Parameter: 3.3.DIEINVARIANTEINTEGRATION 69 

c0=cos+ c1=sin? 2sin2 2cos2 c3=sin+ c2=cos? 2cos2(3.33) 2sin2(3.32) 

EinegenaueInspektiondieserDarstellungzeigt,wiederDenitionsbereichzuwahlenist: 

ZurParametrisierungderGruppeSO(3)genugtes,wennimIntervall [0;2]variiert. 04 0 02 (3.34) 

Voraussetzungist,dawirdieGruppegeeignetparametrisierthaben, WirwollennundasHaarscheMafurdieGruppeSU(2)bestimmen. 3.3 DieinvarianteIntegration 

sein,jederstetigenFunktionf:SU(2)!RihrenMittelwertzuzuordnen, 

WassolldasHaarscheMaleisten?MitseinerHilfemuesmoglich sodastetigeFunktionenaufderGruppealsstetigeFunktioneninden Gruppenparameternangesehenwerdenkonnen. 

soll sodaM[f]einerInvarianzforderunggenugt:Furallev;v02SU(2) M[f]=Zd(u)f(u); (3.35) 

gelten.Furfestesvundv0heitu7!v0uv?1eineTranslationinder Gruppe.Indemwirjedesu2SU(2)miteinemPunktderSphareS3 M[f]=Zd(u)f(v0uv?1) (3.36) 

identizierenunddieCaley-ParameterfcigzurBeschreibungheranziehen, 

u= c2?ic1c0+ic3! c0?ic3?c2?ic1 c20+c21+c2+c23=1;(3.37)

70 lassensichdieTranslationenalsAbbildungen KAPITEL3.DIETHEORIEDERSU(2) 

derSphareinterpretieren.Wirwollenjetztzeigen,daessich,anschaulichgesprochen,umDrehungenderSpharehandelt,wennwir 

tv0;v:S3!S3;u7!v0uv?1 (3.38) 

sieunsinden4-dimensionalenRaumeingebettetdenken.DerR4, xi=rci(i=0;1;2;3)(0r

ineinemeinfachenZusammenhang, DasOberachenmastehtmitdemVolumenmad4x=dx0dx1dx2dx3 3.3.DIEINVARIANTEINTEGRATION 71 

unddieJacobi-DeterminantefurdenUbergangzuPolarkoordinatenist leichtausgerechnet: d4x=r3drd3; (3.43) 

Hierbeihabenwirxi=rciund(3.23-26)benutzt.Jetztkonnenwir @(x0x1x2x3) 

schreiben: @(r!)=14r3(1?cos!)sin (3.44) 

WirinterpretierendasErgebnisanschaulichso:EineMittelunguber d3=14(1?cos!)d!d2 d2=sindd (3.46) (3.45) 

dieSphareS2(d.h.uberdiemoglichenRichtungenderDrehachse),(2) MittelunguberalleWertedesDrehwinkels!mitdemGewicht1?cos!, dieGruppeSU(2)vollziehtsichinzweiSchritten,(1)Mittelunguber 

Satz17FurjedestetigeFunktionfaufderGruppeSU(2)istdas zugrundegelegtwerdenmu. wobeiimGegensatzzurSO(3)der"vergroerte"Bereich0!2 

Mitteldurch 

gegeben. M[f]=1 82Z2 0d!(1?cos!)Z 0dsinZ2 0df(!;;)(3.47) 

alsoaufdenaufdenKonjugationsklassenkonstantist,d.h.esgilt IndenAnwendungenkommtesoftvor,dafeineKlassenfunktionist, 

IneinersolchenSituationvereinfachtsichdieVorschrift(3.47).Die FunktionfistgenaudannKlassenfunktion,wennfinvariantistge- 

8u;v2SU(2):f(uv)=f(vu) (3.48) 

genuberallenTranslationentv;v.DieElemente(v;v)formeneineUn- 

tergruppevonSU(2)SU(2),diesog.Diagonalgruppedesdirekten

72 Produktes.SieistderGruppeSU(2)isomorph.DasBildderDiagonalgruppeuntertistdieUntergruppeSO(3)SO(4).WelcheUntergruppe?Aus 


handelt,diedenCaley-Parameterc0unddamitdenDrehwinkel!erhalten.SieformeneineUntergruppe=SO(3).Klassenfunktionensind 

folgt,daessichbeit(v;v)umgenaudiejenigenSO(4)-Transformationen Spur(vuv?1)=Spuru (3.49) 

dersichgemaderFormel2cos!2=Spuruberechnet.KlassenfunktionenaufderGruppesindFunktionenvon!allein.DerMittelwerteiner 

Satz18Jedemu2SU(2)isteinDrehwinkel!2[0;2]zugeordnet, alsoeinfachFunktionenvon!.Damitfolgt: 

Klassenfunktionistdurch 

gegeben. M[f]=1 2Z2 

TypischeKlassenfunktionensindCharakterevonDarstellungen. 0(1?cos!)f(!)d! (3.50) 

auchinderParametrisierungderSU(2)durchdieEuler-Winkel;; zukennen.IndiesemFallerhaltmaneineandereJacobi-Determinante: Manchmalistesnutzlich,dieBeschreibungdesinvariantenIntegrals 

unddamitdiefolgendeVorschriftfurdieBerechnungdesMittelwertes: @(x0x1x2x3) @(r)=r3 8sin (3.51) 

FurdieBeschreibungvonKlassenfunktionensinddieEuler-Winkeljedochnichtbesondersbequem. 

0df(;;) (3.52) M[f]= (4)2Z4 1 0dZ 0dsinZ2 

3.4 KonstruktionirreduziblerDarstellungen 

WirbeginnenmiteinerVoruberlegung.DieSU(2)isteineMatrixgruppe;ihreMatrizenwirkenaufSpinorenz=(z1;z2)2C2.Mankannden

linearenFunktionenf(1;2)vonzweikomplexenVariablenauassen RaumC2,ineineranderenBetrachtungsweise,auchalsdenRaumaller 3.4.KONSTRUKTIONIRREDUZIBLERDARSTELLUNGEN 73 

gemaderKorrespondenz 

u2SU(2)aufdemRaumC2entsprichteineWirkungvonuaufdem Wirscheibenvereinfachend=(1;2)undf().DerWirkungvon (z1;z2)()f(1;2)=z11+z22 

GenaugenommenistdieseDarstellung-wirhabensieD1=2genanntnichtsanderesalsdievertrauteDarstellungderSU(2)aufC2.Denn, 

(3.53) Funktionenraum: hD1=2(u)fi()=f(uT) 

Gestaltf=z1f1+z2f2,d.h.z1undz2sinddieKoordinatenvonf, indemwirindemFunktionenraumdieBasis,bestehendausdenbeiden Funktionenf1()=1undf2()=2,einfuhren,hatjedeFunktiondie undbeidieser(naturlichen)WahlderKoordinatenkannD1=2mitder Matrixuidentiziertwerden5. torraumaller6PolynomeP()von=(1;2).EineDarstellungD: SU(2)!Aut(L)erklarenwirdurch DiefolgendeKonstruktiongehtaufH.Weylzuruck.SeiLderVek- 

eines(endlich-dimensionalen)VektorraumesLundndeteinenaturlicheIsomorphie L00=L.DavonhabenwirhierGebrauchgemacht.JedemlinearenOperatorA: 5BekanntlichstudiertmaninderTheoriederVektorraumedenDualraumL0 [D(u)P]()=P(uT) ;u2SU(2) (3.54) 

L!LentsprichteindualerOperatorA0:L0!L0.Esgilt(AB)0=B0A0.Eine durchdieVorschriftD(g)=D(g?1)0furalleg2G.Mansagt,Dseikonjugiert DarstellungDeinerGruppeGaufLinduziertimmereineDarstellungDaufL0 

giltaberD=D.InunsererSituationhabenwirz2C2,2(C2)0undf2(C2)00. wiederumeineDarstellungDaufdemRaumL00.UnterderIsomorphieL00=L oder,wiewirauchschreibenkonnen:D(g)=(D(g)T)?1.NaturlichinduziertD e0i(ek)=ikinL0sinddieDarstellerMatrizen,sodaD(g)ik=D(g?1)kigilt, zuD.NachWahleinerBasis(ei)inLundderzugeordnetendualenBasis(e0i)mit 

-inderMatrizenschreibweise-diekonjugierteDarstellungdurchD(u)=(uT)?1 beschreiben;D(u)=uistautomatischerfullt.AnstellevonDhabenwirD1=2 GehenwirvonderidentischenDarstellungD(u)=uderSU(2)aus,sokonnenwir geschrieben. Variablen1und2mitkomplexenKoezienten.DieDimensiondesRaumesList abzahlbarunendlich. 6GemeintsindselbstverstandlichPolynomebeliebigenGradesinzweikomplexen

74 larproduktinLeinzufuhren,sodaDzueinerunitarenDarstellung MitHilfedesHaarschenMaesaufderGruppegelingtes,einSka- 


wird7: 

rianteTeilraumesindleichtzunden.FurdieWerte DieWahlvonîstimGrundeirrelevant.Wirwahlen^=(1;0).Inva- 

(P;Q)=2Zd(u)P(u^)Q(u^) (3.55) 

sinddieTeilraumeLj=fP2L:P(t)=t2jP()g 

j=0;12;1;32;2;52;::: (3.56) 

lynomevomGrade2j.MitDjbezeichnenwirdieTeildarstellungauf alleinvariantbezuglichD.DieVektoreninLjheienhomogenePo- 

(3.57) 

demRaumLj.DajedesPolynomP2LalsSummehomogenerPolynomegeschriebenwerdenkann,unddaeineunitareDarstellungzerfallt, 

erhaltenwireineZerlegunginFormeinerdirektenSumme: 

WirkonnennuneineBasisinLaushomogenenPolynomenPjmso L=MjLj ;D=MjDj 

bestimmen,dafurfestesjundm=?j;?j+1;:::;j?1;jgeradeder TeilraumLjaufgespanntwird: Pjm()=" 2(j+m)!(j?m)!#1=2j+m (2j+1)! 1 j?m 

durch Damitfolgtdim(Lj)=2j+1.DieMatrizenderDarstellungDjsind 2 (3.58) 

gegeben.ZumbesserenVerstandnisbetrachtenwirdieeinfachstenFalle: Pjm0(uT)=XmPjm()Djmm0(u) (3.59) 

7DieswurdeaufdenSeiten30-31ausfuhrlichdiskutiert. 

1.DerFallj=0.EsistP00()=1,dim(L0)=1undD0(u)=1fur DarstellungD0=1derSU(2). alleu2SU(2).Eshandeltsichhieroensichtlichumdietriviale

3.4.KONSTRUKTIONIRREDUZIBLERDARSTELLUNGEN 2.DerFallj=1/2.Esist 75 

aufgrunddereingangsangestelltenUberlegungenkannmanL1=2 EinbeliebigerVektorinL1=2hatdieGestaltz11+z22,und P1212()=1 P12?12()=2 

struktionihrenAusgangnahm.Fazit:Beidervonunsgewahlten BasisistD1=2(u)=u,d.h.D1=2erweistsichalsdieidentische DarstellungderSU(2). mitdemSpinorraumC2identizieren,vondemdiegesamteKon- 

3.DerFallj=1.AnstellederBasisP11;P10;P1?1kannmanauch dieBasis 

Q2()=p3 Q1()=p3 2i(21+2) 2(21?2) (3.61) (3.60) 

benutzen.DannzeigteinekleineRechnung,da Q3()=p312 (3.62) 

gilt,wobeiR2SO(3)dieGestalt(3.16)besitzt,wennu2SU(2) Qk(uT)=3Xi=1Qi()Rik (k=1;2;3) (3.63) 

inderForm(3.37)vorliegt.DieDarstellungD1istalsoaquivalent zurUberlagerungsabbildungf:SU(2)!SO(3).Wirkonnen 

WirkommennunzudenallgemeinenAussagen: ist,diesichausdemBasiswechselergibt. schreiben:D1(u)=Sf(u)S?1,wobeiSeineunitare33-Matrix 

jedesjsinddieDarstellungsmatrizenDj(u)unitar.DerCharakterder DarstellungDjist Satz19DiePolynomePjmbildeneineorthonormierteBasisinL.Fur 

j(!)=sin(2j+1)(!=2) sin(!=2) (3.64)

76 (!=Drehwinkel).JedederDarstellungenDjistirreduzibel;siesind paarweiseinaquivalentzueinanderundstelleneinevollstandigeListe KAPITEL3.DIETHEORIEDERSU(2) 

gilt vonirreduziblenDarstellungendar,d.h.jedeweitereirreduzibleDarstellungderSU(2)istaquivalentzueinerderDarstellungenDj.Es 

DarstellungenderGruppeSO(3).Darstellungenmithalbzahligemj FolglichsindDarstellungenmitganzzahligemjzugleichauchunitare Dj(?u)=(?1)2jDj(u) (3.65) 

sind"zweiwertige",d.h.projektiveDarstellungenderSO(3). Beweis.WirwahlendieParametrisierungderSU(2)durchdieEuler- Winkel;;.Wirsetzen=uT^furu2SU(2)und^=(1;0),so da 

NunfuhrenwirnochdieKonstante 2=?ei(?)=2sin(=2) 1=e?i(+)=2cos(=2) (3.66) 

cjm=" (3.67) 

einunderhaltenso 2(j+m)!(j?m)!#1=2 (2j+1)! (3.68) 

Pjm(uT^)=cjmj+m =cjme?im"cos2#j+m"?sin2#j?me?ij(3.70) 1 j?m 2 (3.69) 

JetztkonnenwirdasSkalarproduktberechnen: (Pjm;Pj0m0)= =jcjmj2Ijmjj0mm0 (4)2Z4 2 0dZ 0dsinZ2 0dPjm(uT^)Pj0m0(uT^) (3.72) (3.71) 

wobeiwir Z4 0dei(m0?m)=4mm0 Z2 0dei(j0?j)=2jj0

ausnutztenunddieAbkurzung 3.4.KONSTRUKTIONIRREDUZIBLERDARSTELLUNGEN 77 

Ijm=Z 0dsin"cos2#2(j+m)"sin2#2(j?m) 

einfuhrten.Indemwirsin=2sin(=2)cos(=2)setzenundsodann (3.73) 

dieneueIntegrationsvariable==2einfuhren,kannIjmaufein bekanntesIntegralzuruckgefuhrtwerden: 

Alsogiltjcjmj2Ijm=1unddamit Ijm=4Z=2 0d[cos]2(j+m)+1[sin]2(j?m)+1=2(j+m)!(j?m)! (2j+1)!(3.74) 

Dawirnachgewiesenhaben,dadieBasisinLorthonormiertist,wird jederunitareOperatorDj(u)bezuglichderBasisfPjm;?jmjg (Pjm;Pj0m0)=jj0mm0 (3.75) 

inLjzueinerunitarenMatrix:DieDarstellungenDjsindunitar. von!einenReprasentanteninderKlassezuwahlen,z.B. nurvondemDrehwinkel!abhangenkann,genugtesfurjedenWert WirberechnennundenCharakterj.DaeralsKlassenfunktion 

u3(!)= e?i!=2 0 ei!=2! 

DannistPjm(u3(!)T)=cjmhe?i!=21ij+mhei!=22ij?m 

0 

=e?im!Pjm() (3.77) (3.76) 

Also und Djmm0(u3(!))=e?im!mm0 j(!)=jX m=?je?im!=sin(2j+1)(!=2) (?jm;m0j) (3.78) 

sin(!=2) (3.79)

78 WirberechnennundasSkalarproduktderCharakterezweierDarstellungenDjundDj0unterBenutzungvonSatz18: 


M[jj0]=1 =2Z 2Z2 

0dsin(2j+1)sin(2j0+1) 0d!(1?cos!)sin(2j+1)!=2 sin!=2 sin(2j0+1)!=2 sin!=2(3.80) 

DieDarstellungDjistirreduzibel,weilihrCharakterdieNorm1hat =jj0 (=!=2) (3.82) (3.81) 

(Satz14).ZweiDarstellungenDjundDj0mitj6=j0sindinaquivalent, weilihreCharaktereorthogonalzueinandersind.DieListefDj;j= 0;1=2;1;3=2;:::gderirreduziblenDarstellungenistvollstandig;denn raktergelten:8jM(j)=0,d.h. gabeeseineweitereirreduzibleDarstellung,somutefurihrenCha- 

Z 

stetigenFunktionenf()aufdemIntervall[0;]mitf(0)=f()=0 WeildasFunktionensystemsinn(n=0;1;2;:::)furdenRaumaller 0dsin(2j+1)[(2)sin] 

PjmhomogenvomGrade2jsind,giltPjm(?uT)=(?1)2jPjm(uT) vollstandigist,folgt8(2)sin=0,d.h.=0.Darausfolgt:(0)= DimensionderDarstellung=0,alsoeinWiderspruch.DadiePolynome SU(2)!SO(3)werdenabergenauuund?uaufdasgleicheR2 undsomitDj(?u)=(?1)2jDj(u).BeiderUberlagerungsabbildung SO(3)abgebildet.DamitergebensichdierestlichenAussagendesSatzes. 

Jede(unitare)DarstellungDderSU(2)hatihreeigenen(selbstad- 

2. jungierten)GeneratorenJ=fJ1;J2;J3g.Denitionsgemagilt fura=fa1;a2;a3gmitreellenKomponenten.InderDarstellungD= DjbestatigtmanleichtdurchUbergangzudeninnitesimalenSU(2)- D(e?ia=2)=e?iaJ (3.83) 

TransformationendieausderQuantenmechanikbekanntenFormeln: 

CharaktereinestetigeFunktion.Beachte,daf()=(2)sindieBedingung f(0)=f()=0erfullt. 8Wirnutzenhiernaturlichaus,dadieDarstellungstetigist.Folglichistder (J1+iJ2)mm0=[(j?m+1)(j+m)]1=2m;m0+1(3.84)

3.5.EINEREALISIERUNGDURCHBOSE-OPERATOREN (J1?iJ2)mm0=[(j+m+1)(j?m)]1=2m;m0?1(3.85) 79 

InderirreduziblenDarstellungDjnimmtderOperatorJ2-wieerwartet-denEigenwertj(j+1)an. 

3.5 WirvariierendasThemadesvorangegangenenAbschnittes,indemwir eineMethodevorstellen,dievonJ.SchwingerindiePhysikeingefuhrt EineRealisierungdurchBose-Operatoren 

(J21+J2+J23)mm0=j(j+1)m;m0 (J3)mm0=mm;m0 (3.87) (3.86) 

wurde.BekanntlichkanndereindimensionalequantenmechanischeOszillatordadurchbehandeltwerden,damanseinenHamilton-Operator 

indiefolgendeFormbringt:H=!(aya+12) DieOperatorenaunday,diedieVertauschungsrelationen 

erfullen,spielenauchinanderenBereichenderQuantenphysikeinewesentlicheRolleundwerdenkurzBose-Operatorengenannt.Esistublich 

[a;ay]=1 (3.88) 

den(normierten)GrundzustanddesOszillatorsmitdemSymbolj0izu belegenundalleangeregtenZustandejnidarauszukonstruieren: 

DerFormalismuslatsichohneweiteresaufdend-dimensionalenharmonischenOszillatorausdehnen,indemwirschreiben: 

pn!j0i (n=1;2;3;:::) jni=(ay)n 

DieVertauschungsrelationennehmenhierdieForman: H=dXi=1!i(ayiai+12) 

[ai;ak]=0 [ayi;ayk]=0 [ai;ayk]=ik (3.89)

80 dieBedingungenaij0i=0undh0j0i=1bisaufeineirrelevantePhase (i;k=1;:::;d).DerGrundzustandeinessolchenOszillatorsistdurch KAPITEL3.DIETHEORIEDERSU(2) 

charakterisiert,wahrenddieAnregungszustandedurch 

beschriebensind.DieayiheienErzeugungsoperatoren,dieaiVernichtungsoperatoren.Nunseid=2und 

J2=12i(ay1a2?ay2a1) J1=12(ay1a2+ay2a1) (3.91) 

(ay1)n1(ay2)n2 pn1!n2!j0i (3.90) 

DannerfullendiesodeniertenOperatorendieVertauschungsrelationenderDrehimpulskomponenten: 

(3.93) J3=12(ay1a1?ay2a2) (3.92) 

DamitsinddieseOperatorendieErzeugereinerDarstellungderSU(2) aufdemZustandsraumLdeszweidimensionalenOszillators.Analog [Jk;J`]=iJm (k;`;m=1;2;3zyklisch) 

struktion,betrachtetSchwingerhomogenePolynomeindenbeidenEr- 

zeugungsoperatorenay1unday2unddeniertdieZustande jj;mi=(ay1)j+m(ay2)j?m 

derEinfuhrunghomogenerPolynome(3.58)inderWeylschenKon- 

(?jmj).ManndetdurchbloeAnwendungderVertauschungs- 

q(j+m)!(j?m)!j0i (3.94) 

himpulskomponentenaufdieBasisvektoren: relationen(3.88)undderBedingungaij0i=0dieWirkungderDre- 

(J1?iJ2)jj;mi=q(j?m+1)(j+m)jj;m?1i(3.96) (J1+iJ2)jj;mi=q(j+m+1)(j?m)jj;m+1i(3.95) 

(J21+J2+J23)jj;mi=j(j+1)jj;mi J3jj;mi=mjj;mi (3.98) (3.97)

festemjeineninvariantenTeilraumLjaufspannen,aufdemdieDarstellungDjderSU(2)wirkt.Esistauchklar,daLindiedirektlatorraumvonSchwingerdemWeylschenRaumderPolynomevollizustandejj;mizufestemjundvariablemmauseinemZustand,etwa 

isomorph. jj;ji,abzuleiten: DurchrekursiveAnwendungderFormel(3.95)gelingtes,dieBasis- 

EinVergleichmit(3.82-85)lehrt,dadieOszillatorzustandejj;mimit 3.6.HARMONISCHEPOLYNOME 81 

SummederRaumeLj(j=0;12;1;:::)zerfallt.DamitistderOszil- 

DerZustandjj;jientspricht-anschaulichgesprochen-derphysikalischenSituation,inderderDrehimpulsindie3-Richtungweist(der 

jj;mi="(j+m)! (j?m)!(2j)!#1=2(J1?iJ2)j?mjj;ji (3.99) 

EigenwertvonJ3istmaximal). 

3.6 DieMethodevonWeyl,dieEinfuhrunghomogenerPolynome,besitzt vieleinteressanteVarianten.WirdiskutiereneineweitereVariante. HarmonischePolynome 

Polarkoordinaten: Seix=fx1;x2;x3gderOrtsvektoreinesTeilchensundr;;seine x1=rsincos x2=rsinsin 

MitHilfederKugelfunktionenY`mdenierenwir x3=rcos 

(?`m`;`=0;1;2;:::).DieFunktionenH`m(x)erweisensich alsPolynome,homogenvomGrade`.Dieeinfachstenharmonischen H`m(x)=r`Y`m(;) (3.100)

82 Polynomesind: `mq4 KAPITEL3.DIETHEORIEDERSU(2) 

10 111 00 1x3p2(x1ix2) 

2`+1H`m(x) 

20 2212q32(x1ix2)2 21q32x3(x1ix2) 12(2x23?x21?x2) 

ihminseinerTheoriedesElektromagnetismusbenutztundheienharmonischePolynome,weilsieLosungenderLaplace-GleichungH=0 

Darstellungsraumder(2`+1)-dimensionalenDarstellungD`derSO(3). IhreDarstellungsmatrizensinddurch allerharmonischenPolynome,diehomogenvomGrade`sind.Lìst 

DieharmonischenPolynomewurdenvonJ.C.Maxwelleingefuhrt,von sind.ZugleichbeschreibensiefurfestesèineBasisinL`,demRaum 

gegeben.EshandeltsichhierumdiegleichenMatrizen,diewirschon H`m0(R?1x)=XmH`m(x)D`mm0(R) (3.101) 

dings,danundasArgumentnichtusondernRheitund`nurder fruher(Abschnitt3.4)konstruierthaben,mitdemUnterschiedallerfunktionenwerdeninderQuantenmechaniksoeingefuhrt,dagilt: 

wirkurzbegrunden. Werte0;1;2;:::fahigist(vgl.dieAussagedesSatzes19).Dieswollen AusgangspunktistderBahndrehimpulsL=x(?ir).DieKugel- 

(L1?iL2)Y`m=q(`?m+1)(`+m)Y`m?1(3.103) (L1+iL2)Y`m=q(`+m+1)(`?m)Y`m+1(3.102) 

Manerkennt:EshandeltsichhierumeinenSpezialfallderRelationen (L21+L2+L23)Y`m=`(`+1)Y`m L3Y`m=mY`m (3.105) (3.104) 

(3.94-97)furganzzahligesj.DieKenntnisvonY``genugt,umY`mfur

allgemeinesmzukonstruieren(Gleichung(3.98)): 3.6.HARMONISCHEPOLYNOME 83 

Y``(;)=(?1)`=(?1)` 

2``!s(2`+1)! 

4 ei`sin` x1+ix2 r ` (3.106) 

Y`m(;)=vut(`+m)! (2`)!(`?m)!(L1?iL2)`?mY``(;)(3.108) (3.107) 

DamiterhaltenwirdiefolgendeDarstellungfurdieharmonischenPolynome: 

AndieserDarstellungwirduberhaupterstdeutlich,daessichum H`m(x)=(?1)` 2``!"2`+1 4(`+m)! 

Polynomehandelt9. (`?m)!#1=2(L1?iL2)`?m(x1+ix2)`(3.109) 

FurdenLaplace-Operatorkannmanschreiben: =1r2ddrr2ddr?L2 

alleùndm. Benutzenwirnun(3.99)und(3.104),sofolgtinderTatH`m=0fur 

(3.110) 

giltinsbesondereH`m(?x)=(?1)`H`m(x).Dieswirdgewohnlichso ausgedruckt10:DieKugelfunktionenY`mhabendieParitat(?1)`. DadieharmonischenPolynomeH`mhomogenvomGrade`sind, 

istbequemfurdiesesWinkelpaarzuschreiben.DasOberachenma istdurch WirfassendieWinkelundalsKoordinatenderSphareS2auf.Es 

L2(S2)verknupft: gegeben.MitderSphareS2istinnaturlicherWeiseeinHilbertraum d=sindd 

Polynom,wennk=1;2;oder3.IstPhomogenvomGrade`,soauchLkP. 10EntsprichtxdenWinkeln;,so?xdenWinkeln?;2?.Deshalbgilt 9Beachte:IstP(x)einPolynominx1;x2;x3,soistLkP(x)wiedereinsolches L2(S2)=ff:S2!C:Rdjf()j2

84 te)Basis.Diesbedeutetkonkretzweierlei: IndiesemHilbertraumbildendieKugelfunktioneneine(orthonormier- 


1.OrthogonalitatundNormierung,d.h. 

2.Vollstandigkeit,d.h.jedeFunktionf2L2(S2)kannnachKugelfunktionenentwickeltwerden: 

=ZdY`m()Y`0m0()=``0mm0 (3.111) (Y`m;Y`0m0)def 

f()=1X` c`m=ZdY`m()f() m=?`c`mY`m() `X (3.113) (3.112) 

DieersteEigenschaftwirdindenVorlesungenuberQuantenmechanik behandelt,diezweiteEigenschafterfordertetwasAufwand(insbesondereMethodenausderFunktionalanalysis). 

3.7 InderElektrostatikbegegnetmandenharmonischenPolynomenbei derMultipolentwicklungdesPotentials.DerWegzueinersolchenEntwicklungfuhrtuberdieLegendre-PolynomeP`().Gewohnlichwerden 

dieLegendre-PolynomedurchihreerzeugendeFunktiondeniert: 

Multipole 

(?11;0ur0=jx0j).EineandereWeise,Legendre-Polynomeein- 

r!`P`(cos#) (3.114) 

P`(cos#)=q4 2`+1Y`0(#;0) (3.115)

3.7.MULTIPOLE NochinteressanterwirdderZusammenhangmitdenKugelfunktionen durchdasfolgendeResultat. 85 

Satz20(AdditionstheoremfurKugelfunktionen)Esseien(;)und mitee0=cos#.Danngilt (0;0)diePolarkoordinatenzweierEinheitsvektoreneunde0imR3 

Beweis.WirschreibenY`m(e)furY`m(;),Y`m(e0)furY`m(0;0)und setzen P`(cos#)=4 2`+1P`m=?`Y`m(;)Y`m(0;0) (3.116) 

AusderUnitaritatderDarstellungD`derGruppeSO(3)folgtdieRotationsinvarianzdiesesAusdruckes,d.h.8R2SO(3):S`(Re;Re0)= 

S`(e;e0)=XmY`m(e)Y`m(e0) (3.117) 

S`(e;e0),mitdemResultat,daS`nureineFunktionvonee0=cos# ist.Wirberechnensie,indemwirdieWahle0=f0;0;1gtreen.In 

Somit diesemFallgilt#=undq4 2`+1S`(e;e0)=q4 

2`+1Y`m(e0)=m0 

unterAusnutzungvon(3.114).2 DieGleichungen(3.113),(3.115)undH`m(x0)=r0`Y`m(0;0)fuhren 2`+1Y`0(;0)=P`(cos) 

Satz21(Multipolentwicklung)Sei(x)eineLadungsverteilungmit (x)=0furjxj>R.DannexistierteineEntwicklung unsdirektzudemnachstenResultat. 

wobei(r;;)diePolarkoordinatenvonxsindund Zd3x0(x0) jx?x0j=1X`=0f`(;) r`+1 (r=jxj>R) (3.118) 

Dieq`msindIntegralederharmonischenPolynomeuberdieLadungsverteilung: 

f`(;)=q4 2`+1P`m=?`q`mY`m(;) (3.119) 

q`m=q4 2`+1Rd3x(x)H`m(x) (3.120)

86 tipolmomentederLadungsverteilung: DiedurchdasIntegral(3.119)eingefuhrtenGroennenntmandieMul- 


`=0q00=Gesamtladung `=1q1m=Dipolmoment 

DieUbertragungdieserFormelnausderElektrostatikindieQuantenphysikistnunsehrleicht.InverschiedenenSituationen(spharisch 

`=3q3m=Oktupolmomentetc. `=2q2m=Quadrupolmoment 

unsallgemeinvor,einsolchesSystembesteheausnTeilchenmitden asymmetrischeAtomkerne,Ionen,Molekuleusw.)mochtemandieMul- 

Ladungenqi(i=1;:::;n).DienormierteWellenfunktionsei(x(1);:::;x(n)). tipolmomentederLadungsverteilungbestimmen,wenndieWellenfunk- 

tiondesVielkorperproblemsalsbekanntvorausgesetztwird.Wirstellen DannhatmaninallenFormelnderElektrostatiknurdieLadungsdichte11 

einzusetzen.Ergebnis:DieMultipolmomentesindErwartungswerte,d.h. esexistierenOperatorenQ`m,soda (x)=Zd3x(1):::Zd3x(n)nXi=1qi(x(i)?x)j(x(1);:::;x(n))j2(3.121) 

teOperatoren,derenErwartungswertemitden(statischen)Megroen Andersausgedruckt:InderQuantenmechaniksinddieMultipolmomen- 

q`m=(;Q`m) (3.122) 

denFormeln(3.119)und(3.120): ubereinstimmen.DieGestaltdieserOperatorenfolgtunmittelbaraus [Q`m](x(1);:::;x(n))=q4 

halten: UnterDrehungen(s.(1.48))zeigendieseOperatorendasfolgendeVer- 

2`+1Pni=1qiH`m(x(i))(x(1);:::;x(n)) 

U(R)Q`m0U(R?1)=XmQ`mD`mm0(R) (3.124) (3.123) 

nischenPolynome.Furfestes`transformierensichdieOperatoren DiesisteineKonsequenzdesTransformationsverhaltensderharmo- 

11Hierbezeichnet(x)die3-dimensionaleDiracscheDeltafunktion.

3.7.MULTIPOLE fQ`m;?`m`gwiedieBasisvektoreneinerirreduziblenDarstellungderGruppeSO(3).WirnennensolcheOperatoreninderQuantenmechanikdeshalbirreduzibleTensoroperatoren.Wirkommenaufdiesen 

87 

BegriimnachstenKapitelnocheinmalzuruck.

88 KAPITEL3.DIETHEORIEDERSU(2)

Kapitel4 

KopplungvonDrehimpulsen 

Vektorenaddieren.DieanalogeAussagefurdieQuantenmechanikeines 4.1 AusderklassischenMechanikwissenwir,daDrehimpulsesichwie MotivationundProblemstellung 

n-KorperproblemswurdeindemAbschnitt1.5.5diskutiert1:Esgiltdie gleicheRegel,diesmalfurdieOperatoren: 

WelcheDrehimpulsoperatorensindnunErhaltungsgroen?AusderangenommenenSO(3)-Invarianz2folgt,danurderGesamtdrehimpulsL 

L=L(1)+L(2)+:::+L(n) 

eineErhaltungsgroeist,undselbstdieseAussagebleibtkorrektnur 

pulsLnochseinSpinSseparaterhalten,sondernlediglichdieSumme ElektronimrotationssymmetrischenPotentialwederseinBahndrehim- 

derSpin-Bahn-Kopplung(s.Abschnitt1.4)istselbstfureineinzelnes solange,wiewirdenSpinvernachlassigendurfen.WegenderExistenz 

J=L+S.InFormeln:Esgiltweder[L;LS]=0noch[S;LS]=0, wohlaber[L+S;LS]=0. selwirkungmiteinanderstehen.IneinemsolchenFallistdieSU(2)eine J=J(1)+:::+J(n)eineErhaltungsgroe,weildieElektroneninWech- 

1VergleichehierzuinsbesonderedieFormeln(1.48)und(1.49). 

FureinSystemvonnElektronenware,unterUmstanden,nurnoch 

simultanenDrehungenallerinihmauftretendenVektorenist. 2DieAnnahmebestehtkonkretdarin,daderHamilton-Operatorinvariantunter 89

90 Symmetriegruppe,unddieKomponentendesGesamtdrehimpulsesJ sinddieErzeugereinerunitarenDarstellungderSU(2)aufdemHilbertraumdern-Teilchenzustande:Furjedesu2SU(2)existiertalsoein 

KAPITEL4.KOPPLUNGVONDREHIMPULSEN 

funktionhat,munochimDetailstudiertwerden. unitarerOperatorU(u),dermitdemHamilton-Operatorkommutiert zungengehort).WelcheWirkungderOperatorU(u)aufeineWellen- 

(washierimmerangenommenwerdensollundzuunserenVorausset- 

einesAlkaliatomeshandeln.DerzugrundeliegendeHilbertraumistH= ElektronineinemPotentialV(r)unterdemEinuderSpin-Bahn- Wechselwirkung.HierbeikonnteessichetwaumdasValenzelektron WirbeginnenmitdemeinfachstenphysikalischenSystem,einem 

L2(R3;C2)unddieWirkungderSU(2)wirddurch 

ist.DerHamilton-Operator beschrieben,wobeif:SU(2)!SO(3)dieUberlagerungsabbildung [U(u)](x)=u(R?1x) u2SU(2) R=f(u) (4.1) 

wurdeschonimAbschnitt1.3vorgestellt.Esempehltsich,H=H0+ H1mitH1=LSzuschreiben.DerSinndieserAufspaltungliegt H=?=2m+V+LS 

gilt,d.h.unterVernachlassigungderSpin-Bahn-Wechselwirkungsind darin,danun 

sowohlderSpinSalsauchderBahndrehimpulsLErhaltungsgroen. [H0;L]=[H0;S]=0 

unabhangigvoneinandergedrehtwerdenkonnen4: SU(2),alsoeinerProduktgruppe3,dieesermoglicht,daSpinundOrt DiesbedeutetdieExistenzeinerSymmetriegruppevonderArtSU(2) 

MengeallerPaare(g;h)mitg2undh2H.DurchdieVerknupfungsvorschrift (g;h)(g0;h0)=(gg0;hh0)wirdGHzueinerGruppe. 3SindGundHGruppen,soverstehtmanunterderProduktgruppeGHdie [U(u;v)](x)=u(R?1x) u;v2SU(2) R=f(v) 

DarstellungderSU(2)verstandenwerdenkann. werdenkann.Diesdurfenwirtun,weiljedeDarstellungderSO(3)auchalseine dengewohnlichenDrehungeneinesOrtvektorsx,durchdieGruppeSO(3)ersetzt 4WirbenutzenuberalldieGruppeSU(2),selbstdann,wennsieeinmal,wiebei

4.1.MOTIVATIONUNDPROBLEMSTELLUNG WirbetrachtennurgebundeneZustandedesElektrons.IhnenentsprechenEigenwertederEnergie.AufjedemEigenwertraumistdie 

91 

vonSU(2)SU(2)verknupftundistausdiesemGrund2(2`+1)-fach JedesEnergieniveauistdahermiteinerirreduziblenDarstellungDs;` SU(2)durcheinederDarstellungenD`(`=0;1;2;:::)vertreten. Spin-SU(2)durchdiezweidimensionaleDarstellungD1=2,dieBahnentartet(vonweiterenzufalligenEntartungeneinmalabgesehen).Die 

2(2`+1)Basiszustande,diedenEigenraumLs;àufspannen,sind Y`m() 10! ; Y`m() 01! 

NunstudierenwirdenvollenHamilton-OperatorH=H0+H1undbemerkeneineReduktionderSymmetrie:nichtdieSU(2)SU(2),sondern 

dieDiagonalgruppeSU(2)beschreibtnunmehrdieSymmetrie5.Die (4.2) (?`m`) 

L+SeineErhaltungsgroeist.Damitsindwiraufgefordert,dieDarstellungDs;`derProduktgruppeaufdieDiagonalgruppeeinzuschranken, 

diejaeineUntergruppedarstellt,unddiesobestimmteDarstellung verminderteSymmetriehatzurFolge,danurnochdieKombination 

Ls;`:EristeinTensorproduktLsL`,gebildetausdenvertrauten auszureduzieren;dennnursoerhaltenwirdieneuenEigenwertraume, 

DarstellungsraumenLjderGruppeSU(2)(siehedieAbschnitte3.4- wennauchnichtautomatischdieneuenEnergie-Eigenwerte. 

5).IneinerabstraktenNotationkonntenwirdieBasisvektoren(4.2) DieListe(4.2)derBasisvektorenzeigtdieStrukturdesRaumes 

ProjektiondesSpinsaufdie3-Richtungbeschreibt.Diehiergemachte Beobachtunglatsichnaturlichverallgemeinern: auchsymbolischdurchjsij`mikennzeichnen,wobei=12die 

Satz22SindGundHzweiGruppen,sohatjedeirreduzibleDarstellungD:GH!Aut(L)dieGestalteinesTensorproduktes,d.h.es 

existierenirreduzibleDarstellungenD1:G!Aut(L1)undD2:H! g2Gundh2Hgilt. Aut(L2),sodaL=L1L2undD(g;h)=D1(g)D2(h)furalle 

alleElementederDiagonalgruppedieForm(u;u). 5ZurErinnerung:Ist(u;v)dasallgemeineElementinSU(2)SU(2),sohaben

92 Kurz,kenntmandieirreduziblenDarstellungenvonGundH,sokennt mansievonGH.DerformaleBeweisdieserTatsachebleibtdemLeser KAPITEL4.KOPPLUNGVONDREHIMPULSEN 

istdieIrreduzibilitatderDarstellungderProduktgruppe. uberlassen.DiewesentlicheVoraussetzungfurdieGultigkeitdesSatzes 

stimmteAnteiledesHamilton-Operators.DemVerlustanSymmetrie korrespondierteinsehrallgemeinerBegriderDarstellungstheorie: spielsgemachthaben,wardieReduktionderSymmetriedurchbe- 

DieandereBeobachtung,diewirbeiderDiskussionunseresBei- 

Aut(L)einesubduzierteDarstellungvonH. Denition13SeiD:G!Aut(L)eineDarstellungundHGeine Untergruppe,sobezeichnetmandieEinschrankungdesHomomorphismusDaufdieUntergruppeHalsSubduktionundnenntD:H! 

WirwerdensubduzierteDarstellungen,soweitIrrtumerausgeschlossen stellungen,diesichausDarstellungeneinergroerenGruppeergeben. sind,mitdemgleichenBuchstaben(etwaD)kennzeichnen.Grobgesprochen:SubduzierteDarstellungeneinerGruppeHsindsolcheDar- 

BeiunseremBeispielgingenwirvon 

aus,umschlielichdurchdieEinschrankungu=veinesubduzierte DarstellungderSU(2)zuerhalten.WirstoensomitaufeinenbesonderenTypvonDarstellungen,aufdiedirektenProdukte. 

Ds;`(u;v)=Ds(u)D`(v) u;v2SU(2) 

nerGruppeG,soheitdiedurchD(g)=D1(g)D2(g)bestimmte Denition14SeienDi!Aut(Li)(i=1;2)zweiDarstellungenei- 

DarstellungD:G!Aut(L1L2)dasdirekteProduktderDarstellungenD1undD2.EswirdmitD=D1D2bezeichnet. 

Anmerkung:Istdim(Li)=ni0istdieDarstellungDsD`

4.1.MOTIVATIONUNDPROBLEMSTELLUNG umzudemonstrieren,daderVerlustanSymmetriesichimmernach WirwolleneinweiteresBespielausderAtomphysikheranziehen, 93 

aufdemHilbertraumL2(R6)gegeben,d.h.wirvernachlassigenden demgleichenMustervollzieht.EsseiH=H0+H1derHamilton- OperatoreinesZweielektronenatoms,wieinGleichung(1.11)deniert, 

SU(2),weildieOrtsvektorenx(1)undx(2)unabhangigvoneinanderge- 

Spin,berucksichtigenaberdieCoulombabstoungH1derbeidenElektronen.OhneH1ndenwirndenwirdieSymmetriegruppeSU(2)drehtwerdenkonnen.Konsequenz:sowohlL(1)alsauchL(2)sindErhaltungsgroen.DenirreduziblenDarstellungenD`;`0derProduktgruppgenraumL`L`0aufspannen,sind 

entsprechen(2`+1)(2`0+1)-fachentarteteEnergienieveausE`;`0des ungestortenHamilton-OperatorsH0.DieBasiszustande,diedenEi- 

(i=Winkelkoordinatenvonx(i)).WirwerdendieseZustandeauch Y`m(1)Y`0m0(2) ?`0m0`0 ?`m` 

H=H0+H1besitzteineverminderteSymmetrie,entsprechenddem symbolischdurchj`mij`0m0ibeschreiben.DervolleHamilton-Operator 

SU(2)vomTypD`D`0,undjederdarinenthaltenenTeildarstellungDj tungsgroe.DurchdieSubduktionentstehenProduktdarstellungender nurnochderGesamtbahndrehimpulsL(1)+L(2)istjetzteineErhal- 

UbergangvonderProduktgruppezurDiagonalgruppe.Konsequenz: 

allgemeinzuformulieren: entsprichteinEigenwertE``0jvonH;diesistdurchdenSatz12garantiert.DieBeispielemotivierenuns,denzugrundeliegendenGedanken 

Denition15IstfDa:a=1;2;:::geinevollstandigeListevon inaquivalenten,unitarenundirreduziblenDarstellungeneinerkompaktenGruppeG,soheitdiefurjedesWertepaara;bexistierendeZerlegung 

eineClebsch-Gordan-ReihederGruppeG. DaDb=McmabcDc mabc2f0;1;2;:::g (4.3) 

WirhabensomitindenMultiplizitatenmabcweiterecharakteristische ZahlenderGruppeGgefunden.SowiewirdieClebsch-Gordan-Reihe

94 eingefuhrthaben,istsienurfurkompakteGruppensinnvoll.Dennwir benutztenhierbeidasPeter-Weyl-Theorem(Satz7aufSeite34).Mituntergeschiehtes,wiebeiderSU(2),daalleProduktdarstellungen 


(4.3)auf.Diesistnichtimmerso:SchonimFallederSU(3)ndetman Multiplizitatenmabc2. Werte0oder1fahig,d.h.eineDarstellungDctrittodertrittnichtin multiplizitatsfrei6sind.IneinemsolchenFallistmabcnurderbeiden 

dannnn-Matrizenmitn=nanb.DieGleichung(4.3)sagtkonkret, nana-Matrizenaufzufassen.DieTensorprodukteDa(g)Db(g)sind Daendlichdimensional.Damitistesmoglich,dieDarstellerDa(g)als DawirGalskompaktvorausgesetzthaben,istjedeDarstellung 

daeineunitarenn-MatrixC(abhangigvonaundb)existiert,derart 

furalleg2Ggilt. Da(g)Db(g)=C McmabcDc(g)!C?1 (4.4) 

trixelementeClebsch-Gordan-Koezienten. Denition16DieMatrixCheitClebsch-Gordan-Matrix,ihreMa- 

DieMatrixCistleidernichteindeutig,undesbedarfeinigerKonventionen,umdenWertderClebsch-Gordan-Koezientenfestzulegen. 

Satz23SeiD=DaDbundCundC0zweiCG-Matrizen,diedas Problem(4.4)losen,sogiltC0=AC,wobeiAeineunitareMatrix inR(D;D)ist.IstumgekehrtA2R(D;D)unitarundCeineCG- unitareA2R(D;D)dieForm freiundsindPcdieminimalenProjektoreninR(D;D),sohatjedes Matrix,sobeschreibtACebenfallseineCG-Matrix.IstDmultiplizitats- 

PhysikalischeAussagenbleibenvonsolchenKonventionenunberuhrt. 

DerBeweisfolgtunmittelbarausderTatsache,dadieMatrixC0C?1 A= c:mabc=1eicPc X (c2R) (4.5) 

mitallenDarstellernD(g)vertauscht,somitinR(D;D)liegt,und ausderTatsache,daR(D;D)abelschist,wennDmultiplizitatsfrei 6SiehedieAusfuhrungenimAbschnitt2.5.

ist(vergleichedieallgemeineDiskussioninAbschnitt2.5).Wirsehen, 4.2.DIECLEBSCH-GORDAN-REIHENDERSU(2) daesnotigist,allePhasencinAbhangigkeitvonaundbfestzulegen.FurdieGruppeSU(2)wurdedieserstmaligvonE.U.Condonund 

G.H.Shortley1935inihremMonumentalwerkTheTheoryofAtomic meinakzeptiert. Spectradurchgefuhrt.DiehiergetroeneKonventionistheuteallge- 

95 

KoezientenaufderBasisderCondon-Shortley-Konvention. BestimmungderCG-ReihenfurdieSU(2),(2)BestimmungderCG- EssindzweiProbleme,denenwirunsjetztzuwendenwollen:(1) 

AudderVektorrechnungistdieDreiecksungleichungbekannt: 4.2 DieClebsch-Gordan-ReihenderSU(2) 

InderTheoriedesDrehimpulsesndetmaninteressanteParallelen, undwirwollendeshalbdenfolgendenSprachgebraucheinfuhren:Drei jjaj?jbjjja+bjjaj+jbj 

Quantenzahlenj1;j2;j32f0;1=2;1;3=2;:::gerfullendieDreiecksbeziehung,wenngilt(1) 

Esistublich,diesenSachverhaltdurcheinbesonderesSymbolzum (2) j1+j2+j3=0(mod1) 

Ausdruckzubringen: jj1?j2jj3j1+j2 

DiesodenierteFunktionistsymmetrischunterPermutationenihrer (j1j2j3)=(1;falls(1)und(2)gilt; 

Argumente,undesgilt 0 sonst (4.6) 

Xj(2j+1)(j1j2j)=(2j1+1)(2j2+1) Xj(j1j2j)=min(2j1+1;2j2+1) (4.7) 

Wirzeigennun,dadieZahlen(j1j2j)mitdenMultiplizitatender CG-Reihenubereinstimmen. (4.8)

96 alleCG-ReihendieGestalt Satz24FurdieDarstellungenDj(j=0;12;1:::)derSU(2)haben KAPITEL4.KOPPLUNGVONDREHIMPULSEN 

InsbesonderesindalleProduktdarstellungenmultiplizitatsfrei. Dj1Dj2=Xj(j1j2j)Dj (4.9) 

Spuru: undberechnendenCharakterderProduktdarstellung,wobei2cos(!=2)= Beweis.WirfassendieDarstellerDj(u),u2SU(2),alsMatrizenauf 

SpurDj1(u)Dj2(u)=SpurDj1(u)SpurDj2(u) =j1(!)j2(!) 

m1=?j1j2X j1X 

= j=jj1?j2jjX j1+j2 Xm2=?j2e?i(m1+m2)! 

DabeihabenwiraufdieFormel(3.79)zuruckgegrien.DieMultiplizitat m=?je?im!=Xj(j1j2j)j(!) 

ausnutzen: indemwirdenCharakter=j1j2aufjprojizierenunddabei(3.81) derDarstellungDjinDj1Dj2berechnenwirgemaderFormel(2.51), 

DamitistderSatzbewiesen.2 WirkonnenjetztdieDiskussionunseressehreinfachenBeispiels M[j1j2j]=(j1j2j) (4.10) 

ausdemvorigenAbschnittzuEndefuhrenunderinnerndaran,da dieSpin-Bahn-KopplungbeidenAlkaliatomen(einElektronaufder auerenSchale)oderauchbeidemWasserstoatomzurFeinstruktur fuhrt.DiesewirdnuncharakterisiertdurchdieZerlegung 

SieerklartaufeinfacheWeisedieDublettstrukturderSpektrallinien, soweitessichumUbergangeindenGrundzustand(`=0)handelt.DieseSituationndenwiretwabeidenberuhmtenNatrium-D-Linienmit 

DsD`=D`+sD`?s s=12;`1 

5890bzw.5896Angstrom.DerSpin-Bahn-TermhatkeinenEinuauf

denGrundzustand;dieangeregtenNiveaus(`1)spalteninjezwei benachbarteNiveausauf,diedurchdenGesamtdrehimpulsj=`12 

4.2.DIECLEBSCH-GORDAN-REIHENDERSU(2) 97 

charakterisiertsind: `=1 A j=3=2 

`=0 ?? j=1=2 

DieAufspaltungisterfahrungsgemaklein,sodamandieSchrodingerscheStorungstheoriein1.Ordnunganwendendarf.Furfestes`seiEdie 

ungestorteEnergie.DiebeidendurchdieSpin-Bahn-Wechselwirkung 

Spin-Bahn-Wechselwirkung Feinstrukturdurch 

darausentstehendenEnergienEjergebensichals unterBenutzungvon(1.21-23).DieMittelwertevonundLSsind bezuglichderRadialwellenfunktiondesungestortenProblems(abhangig Ej=E+hihLSi 

ùndj)zubilden.DerzweiteMittelwertlatsichohneAufwandbestimmen: 

2hLSi=hJ2?L2?S2i =j(j+1)?`(`+1)?s(s+1) 

von`)undderEigenfunktiondesGesamtdrehimpulses(abhangigvon 

DerersteMittelwertistschwierigerzubestimmen.IstdasPotential =(`?`?1j=`?s j=`+s 

V(r)jedochnegativundstrebtesstrengmonotongegen0furr!1, (s=12) 

inUbereinstimmungmitderBeobachtung.UberdieGroenordnung sogiltV0(r)>0,alsohi>0unddamit 

desEektes,inEinheitenmc2,latsichebenfallseineallgemeineAussagemachen.Esgilt 

mc2=O(4) hi =e2 

E`+s?E`?s=(`+12)hi>0 

hc=(137;036:::)?1

macht,heitdarumauchdieFeinstrukturkonstante.Sieerweistsichals 98 DieKonstante,diesichaufdieseWeiseinderAtomphysikbemerkbar KAPITEL4.KOPPLUNGVONDREHIMPULSEN 

FurdasH-AtomkonnenalleRechnungenselbstverstandlichexplizit diefundamentaleKonstantefurdieQuantenelektrodynamik(QED). durchgefuhrtwerdenmitdemErgebnis: 

VergleichtmandiesesErgebnismitstrengenRechnung(Sommerfeld, hi= n3`(`+1)(2`+1) mc24 n1:Hauptquantenzahl 

JordanundPauli)furdasH-AtomaufderBasisderDirac-Gleichung, Enj=mc22641+0@ n?(j+12)+q(j+12)2?21A2375?1=2 

schenRechnungbiszurOrdnung4.Abweichungenstellensicherst beiderOrdnung6ein.Wiemansieht,fuhrtdieDirac-Theorieauf EntwicklungnachvolligeUbereinstimmungmitdernichtrelativisti- 

(j+12=1;2;:::;n;n=Hauptquantenzahl),sondetmandurcheine 

wirderstdurchdieWechselwirkungdesElektronsmitdenVakuum- desNiveauEnjist2(2j+1)-fachentartet.DieEntartungbezuglich` Niveaus,dieunabhangigvonderDrehimpulsquantenzahl`sind.Je- 

uktuationendesStrahlungsfeldesaufgehoben(Lambshift)undkann 

4.3 imRahmenderQuantenelektrodynamikberechnetwerden. 

lungDj,wieimAbschnitt3.5geschehen,symbolischmitjjmizube- 

zeichnenundfurdieBasisvektorendesProduktraumesLj1Lj2 jj1m1j2m2idef 

Esistbequem,dieBasisvektoreninLj,demVektorraumzurDarstel- 

DieClebsch-Gordon-Koezienten 

gewahltundsetzenn=(2j1+1)(2j2+1).AusdemSatz24folgt, zuschreiben.WirbetrachtendieQuantenzahlenj1undj2alsfest =jj1m1ijj2m2i

Koezientennennenundmitj1 

4.3.DIECLEBSCH-GORDON-KOEFFIZIENTEN daeineunitarenn-MatrixCexistiert,derenElementewirdieCG- 99 

bezeichnen,sodaderdurchm1m2m! j2 j 

beschriebeneBasiswechseldieProduktdarstellunginirreduzibleBestandteilezerlegt.AusderDenitionfolgtunmittelbar: 

jjmi=X m1m2 m1m2m!jj1m1j2m2i j1 j2 j (4.11) 

DurchAnwendungderOperatorenJ3=J(1) (j1j2j)=0 ) m1m2m!=0 j13+J(2) 

j2 3auf(4.11)unter j 

Ausnutzungvon(3.96)gewinnenwirdieAussage 

LassenwirandererseitsdieOperatorenJ1iJ2=(J(1) (m1+m2?m) m1m2m!=0 j1 j2 j 

(J(2) 1iJ(2) 1iJ(1) 2)+ (4.12) 

dieRekursionsformeln: 2)auf(4.11)wirkenundbenutzen(3.94-95),soerhaltenwir q(jm+1)(jm) m1m2m1! 

=q(j1m1+1)(j1m1) j1m11m2m! 

j2 j 

+q(j2m2+1)(j2m2) m1m21m! j1 j2 j2 j 

eineszweidimensionalenGittersZ2zuordnen,alsdessenKoordinaten AllenCG-Koezientenmitgegebenenj1;j2;j3konnenwirPunkte (4.13) 

wirx=j1?m1undy=j2?m2wahlen.DennichtverschwindendenCG-KoezientenentsprechenPunkte(x;y)2Z2,dieentwederauf

100 Seitensindparallelundgleichlang.DurchRekursionsindallePunkte demRandeoderimInnereneinesSechsecksliegen;gegenuberliegende KAPITEL4.KOPPLUNGVONDREHIMPULSEN 

m2=j?j1undm=jgilt(siehedieAbbildung:diePfeilegeben einenEckpunktauszusuchen.Wirwahlendenjenigen,furdenm1=j1, leauseinemKoezientenableitenkonnen.Esistzweckmaig,hierfur miteinanderverknupft.Diesbedeutet,dawirdieCG-Koezientenal- 

dieRichtungan,indiedieRekursionverlauft).IstderzugehorigeKoezientreell,sosindalleKoezientenreell,unddieCG-Matrixist 

orthogonal:CTC=1. 2j2 "y @@@@@@@@@ Start@@@@@@@@@ p666 

@@R@@R 

-- 

j x=j1?m1 

p y=j2?m2 

p 1+j2?jx+yj1+j2+j 0x2j1 0y2j2 

WirkonnennochuberdasVorzeichendesausgewahltenKoezienten b 

verfugen-alsozwischenCund?Cwahlen-undverlangen x! 2j1 

j1j?j1j!0 j2 j 

(=0nurdann,wenndieDreiecksbedingungverletztist).Diesistder (4.14) 

hungCTC=1zurNormierungderCG-Koezienten,sokommtman InhaltderKonventionvonCondon&Shortley.NutztmandieBezie-

nacheinerlangerenRechnungaufdenAusdruck 4.3.DIECLEBSCH-GORDON-KOEFFIZIENTEN 101 

ausdemmannunalleCG-KoezientendurchRekursionberechnen 

j1j?j1j!=vut j2 j (j1?j2+j)!(j1+j2+j+1)!(j1j2j)(4.15) (2j1)!(2j+1)! 

kann.MitdemWissen,daalleCG-Koezientenreellsind,konnen wirdieUmkehrungvon(4.11)inderfolgendenFormangeben: 

DieCG-KoezientenbesitzeneineReihevonSymmetrien,die-wie jj1m1j2m2i=Xjm m1m2m!jjmi j1 j2 j (4.16) 

E.Wignererkannte,sichbesseroenbaren,wennmanzudensog.3j- Symbolenubergeht: m1m2m!def j1 j2 j =(?1)j1?j2+m p2j+1 m1m2?m! 

MankanndenSinnderWigerschen3j-Symboleauchdarinsehen,da j1 j2 j (4.17) 

Drehimpuls0gekoppeltwerden: mitihrerHilfedreiDrehimpulsemitdenQuantenzahlenj1;j2;j3zum 

SiebeschreibensomitdieProjektionderDarstellungDj1Dj2Dj3auf j00i=X m1m2m3 m1m2m3!jj1m1ijj2m2ijj3m3i j1 j2 j3 (4.18) 

diedarinenthalteneTeildarstellungD0. gen: EineandereSchreibweisedes3j-SymbolshatT.Reggevorgeschla- 

264?j1+j2+jj1?j2+jj1+j2?j 

DasRegge-SymbolhatuberraschendeEigenschaften: j1?m1 j1+m1 j2?m2 j2+m2 j?m j+m 3 75 (4.19) 

1.AlleneunElementedesRegge-Symbolssindnichtnegativeganze Zahlen(d.h.anderenfallsistestrivialerweiseNull).

1022.EsisteinmagischesQuadrat:JedeZeileundjedeSpaltehatdie 

gleicheSummej1+j2+j. KAPITEL4.KOPPLUNGVONDREHIMPULSEN 

3.EsandertnichtseinenWertbeizyklischerVertauschungvonZeilenoderSpalten. 

4.EsandertnichtseinenWertbeiSpiegelunganderHauptdiagonalen.(DiesistderInhaltdersog.Regge-Symmetrie.) 

5.BeiVertauschungvonzweiZeilenoderzweiSpaltenerhaltdas Regge-SymboleinenFaktor(?1)j1+j2+j.EineFolgedavonist,da esverschwindet,wennj1+j2+jungeradeistundzweiZeilen 

DurchAusnutzungderSymmetriendesRegge-Symbolsistesmoglich 6.DasquadrierteRegge-SymbolistimmereinerationaleZahl. oderzweiSpaltengleichsind. 

daskleinsteElementindielinkeobereEckezubringen.Dieshilftdie CG-KoezienteninmoglichstokonomischerWeisezuberechnen.Man beginntdieBerechnungmitderFormel 2640n12n13 n21n22n23 n31n32n33 3 75=(?1)n23+n32"n12!n21!n13!n31! n!n22!n33!n23!n32!#1=2 

(n=j1+j2+j+1)undfuhrtdurchRekursionalleRegge-Symbole (4.20) 

daraufzuruck: pn11n264n11n12n13 n21n22n23 n31n32n33 3 75=pn23n32264n11?1 n21 n31 n32?1 n12 n22 n23?1 n33 n13 375 ?pn22n33264n11?1 n21 n31 n22?1 n12 n32 n33?1 n23 n13 

CG-Koezientenwerdenhaugbenotigt,undmanchedavonhaben (4.21) 3 75 

sehreinfacheWerte: j1j2m!=j;j1+j2jm j1j2j (4.22)

4.4.DASWIGNER-ECKART-THEOREM m00m!= j00j 0j0 0m0m!=jj0mm0 j (4.23) 103 

m12m12!=sjm+1 

m?m00!=(?1)j?m j j+120 

p2j+1jj0mm0 (4.25) (4.24) 

Insbesonderekannmanaus(4.24)ablesen,wiemanausDrehimpulszustandenjjmieinenSU(2)-invariantenZustandkonstruiert: 

m12m12!=sjm j j?12 2j+1 (4.26) 

Aus(4.25-26)folgt,wiewirangesichtsderSpin-Bahn-Wechselwirkung j00i=Xm(?1)j?m p2j+1jjmijj?mi (4.27) 

furdasH-AtomoderfurdieAlkali-AtomedenElektronenzustandmit denQuantenzahlenj;mdesGesamtdrehimpulseskonstruieren: 

jjmi= 8 >: ?r`+12?m r`+12+m 2`+1Y`m?1=210+r`+12?m 2`+1Y`m?1=210+r`+12+m 2`+1Y`m+1=201j=`+12 

EineoftbenutzteSymmetrierelationderCG-KoezientenimZusammenhangmitdemPauli-Prinzipist 

2`+1Y`m+1=201j=`?12 (4.28) 

m1m2m!=(?1)j1+j2?j j2 j m2m1m! j2 j1 j 

4.4 DasWigner-Eckart-Theorem (4.29) 

bleDarstellungDjkommtoftmithoherMultiplizitatdarinvor.Wir EsseiUeineunitareDarstellungderSU(2)aufeinemHilbertraumH. ImallgemeinenisteinesolcheDarstellungreduzibel,unddieirreduzi- 

konnendeshalbdavonausgehen,daesaufvielfacheWeisemoglichist,

104 Vektorenjm2HfurgewisseWertevonjundfur?jmjso anzugeben,daKAPITEL4.KOPPLUNGVONDREHIMPULSEN 

furalleu2SU(2)erfulltist.Wennwirauchnochzulassen,dajm gelegentlichderNullvektorist,sokonnenwiro.B.d.A.annehmen,die U(u)jm0=XmDjmm0(u)jm (4.30) 

Vektorenjmseienfurallejundmdeniert.AngesichtsderEigenschaft(4.30)hatsichfolgenderSprachgebraucheingeburgert:Mansagtzunehmen,dieVektorenjmbildenselbsteineBasisinH:Wirhaben 

kanonischeBasisderDarstellungDj.Dasdarfnichtdazuverleitenan- 

dasSystemderVektorenjmmitfestemjtransformiertsichwiedie nichteinmalvorausgesetzt,daessichumnormierteVektorenhandelt.IndenAnwendungenbegegnetmansolchenVektorenaufvielfache 

wennwiretwaeinenzweitenSatzvonVektoren Weise,undesbleibtdieStrukturvonSkalarproduktenzuuntersuchen, gleichenEigenschaften-ausgedrucktin(4.30)-besitzt,vorunshaben. Satz25UnterdengenanntenBedingungengiltjm2H,dergenaudie 

furgewissekomplexeZahlencjunabhangigvonm. Beweis.1.Fall:j6=j0.jmund ( j0m0;jm)=cjjj0mm0 

j0m0gehorenorthogonalenTeilraumen (4.31) 

lungenderSU(2)inaquivalentsind. HjundHj0an,weildieaufdiesenTeilraumenoperierendenDarstel- 

2.Fall:j=j0,m6=m0.jmund HjmundHj0m0an,weildieaufdiesenTeilraumenoperierendenDarstellungenderU(1)inaquivalentsind7. 

j0m0gehorenorthogonalenTeilraumen 3.Fall:j=j0,m=m0.WennJ1;J2;J3dieErzeugerderDarstellungU sind,sogiltfur?jm

( DadieWurzelausdruckeungleichNullsind,mussendieZahlencj= 4.4.DASWIGNER-ECKART-THEOREM jm;jm)unabhangigvonmsein.2 105 

reduziblenDarstellungtransformieren,auchOperatorenkonnendiese Eigenschaftbesitzen. NichtnurVektorenkonnensichwiediekanonischeBasiseinerir- 

Denition17ExistiertfurfestesjeinSatzvonOperatorenfTjm: ?jmjgaufdemHilbertraumH,sodafuralleu2SU(2) 

roperatorvomTypjunterderDarstellungU. erfulltist,soheitTeinirreduziblerTensoroperatoroderkurzTenso- 

U(u)Tjm0U(u?1)=XmDjmm0(u)Tjm (4.32) 

Bemerkung:ObwohldieDenitionfurdieSU(2)vorgenommenwurde,istes,wiemanleichtsieht,ohneweiteresmoglicheineahnliche 

DenitionfurjedekompakteGruppezugeben.ZugleichistdieseDe- OperatorenA1;A2;A3aufHbildeneinenVektoroperator,wenn nitioneineVerallgemeinerungdesKonzeptes"Vektoroperator":Drei 

mitR=f(u)gilt,wobeiSU(2)f!SO(3)dieUberlagerungsabbildung U(u)AkU(u?1)=XiRikAi (4.33) 

soerhaltenwirdieaquivalenteFormulierung bezeichnet.GehenwirhierzuinnitesimalenTransformationenuber, 

AufdieseWeisekonnenvielebekannteOperatoren,wiederOrtsoperatorQ,derImpulsoperatorPundalleDrehimpulsoperatorenL,S, 

0 j=k (4.34) [Aj;Jk]=[Jj;Ak]=(iA`j;k;`=1;2;3zyklisch 

Jetc.alsVektoroperatorenerklartwerden.Esistnunleicht,ausden KomponentenA1;A2;A3einesbeliebigenVektoroperatorsdiekanonischenKomponentenA1m(m=?1;0;1)einesTensoroperatorsvom 

Typ1imSinnederDenition13zuformen: A1m=8>:?1 p2(A1?iA2)m=?1 1p2(A1+iA2)m=1 

A3 m=0 (4.35)

106 ZurVerizierungkannmanetwa(3.100)fur`=1heranziehen. WirstudierennundieAnwendungeinesTensoroperatorsvomTyp KAPITEL4.KOPPLUNGVONDREHIMPULSEN 

j1aufVektorenj2m2(j2fest):Tj1m1j2m2 DieGleichungen(4.30)und(4.32)zusammenergeben,dadiesogewonnenenVektoreneineninvariantenTeilraumvonHaufspannen,auf 

demUdurchdieDarstellungDj1Dj2vertretenist.DieseDarstel- 

KoezentendenierenwirVektoren lungkanninirreduzibleBestandteilezerlegtwerden:MitHilfederCG- 

die,fallssienichtverschwinden,diegewunschtenTeilraumeaufspan- 

jm=X m1m2 m1m2m!Tj1m1j2m2 

j2 j 

nen.DieRelationlatsichumkehrenundwirerhalten 

DieseDarstellungerlaubtesnun,dieallgemeineGestaltvonMatrixelementeneinesTensoroperatorszubestimmen. 

Satz26(Wigner-Eckart-Theorem)Seienfj2m2gundf vonVektorenmitdemdurch(4.30)beschriebenenTransformationsverhaltenundTeinTensoroperatorvomTypj1.Dannexistierenkomplexe 

Zahlen,unabhangigvonm1;m2;m,diewirmit jmgzweiSatze 

Tj1m1j2m2=Xjm m1m2m!jm j1 j2 j 

bezeichnenundreduzierteMatrixelementenennen,soda ( jkTj1kj2) 

gilt. ( jm;Tj1m1j2m2)= m1m2m!( j1 j2 j jkTj1kj2) (4.36) 

Beweis.DieBehauptungfolgtdirektausderGleichung(4.4)undSatz 25.2

4.4.DASWIGNER-ECKART-THEOREM tenmechanikkonnenkeineTensoroperatorenvomhalbzahligenTyp EineKonsequenzdiesesSatzes:UnterdenObservablenderQuan- 

107 

vorkommen,alsokeinevomTyp1/2,3/2usw.;dennalleErwartungswerteeinessolchenOperatorsinZustandenmitfestemDrehimpulgenundganzzahligenDrehimpulsenhervorgehen.AbersolcheZustanddet.WirmutenschonErwartungswertevonsolchenZustandenbetrachten,dieausSuperpositionenvonWellenfunktionenmithalbzahli- 

wurdenverschwinden,weilderzugehorigeCG-Koezientverschwin- 

gibtesnichtinderNatur8.InderQuantenfeldtheorietretendagegen tungsoperatoreinesElektronsmit`=0isteinsolcherOperator. TensoroperatorenvomTyp1/2auf:JederErzeugungs-oderVernich- 

auchSkalare.IstalsoTeinskalarerOperator,soreduziertsichdas Wigner-Eckart-TheoremaufdieAussage: ren,dieimherkommlichenSinneinvariantgenanntwerden.Sieheien TensoroperatorenvomTyp0sindnaturlichallediejenigenOperato- 

Abschnitt3.7kennengelernt.EshandeltsichdabeiumdieMultipoloperatorenQ`m.AufgrundihrerDenitionhabendieseOperatorennoch 

eineweitereentscheidendeEigenschaft:siebesitzeneinedenierteParitat.SeinamlichPderParitatsoperator,sogilt 

TensoroperatorenvomTyp`(`=0;1;2;:::)habenwirbereitsim ( jm;Tj0m0)=( jkTkj)jj0mm0 

meeinedenierteParitatbesitzen.Damitistnunklar,daErwartungs- 

wertevonQ`minZustandendenierterParitatgleichNullsind,wenn` DiesfolgtganzeinfachausderTatsache,dadieharmonischenPolyno- 

PQ`mP=(?1)`Q`m (4.37) 

denKernen,nochbeidenElementarteilchenstatischeelektrischeDipolmomente(oderOktupolmomenteetc.).WelchenGesamtdrehimpuls 

ungeradeist.WirbeobachtendeshalbwederbeidenAtomen,nochbei jmuderGrundzustandeinesAtoms(einesKerns,einesElementarteilchensimRuhsystem)mindestensbesitzen,damiteinelektrisches 

verbietet,alsnichtrealisierbarerklart. gung(j2j)=1folgtj1.FurdenErwartungswerterhaltenwir Quadrupolmomentbeobachtetwerdenkann?AusderDreiecksbedin- 

8DiesistderInhalteinersog.Superauswahlregel,diesolcheSuperpositionen

108 danndenAusdruck KAPITEL4.KOPPLUNGVONDREHIMPULSEN 

hj0jQ2mjji= 0m!(jkQ2kj) j2j 

alsdiewirdasreduzierteMatrixelementwahlen,wobeiwirdieNormierunghj0jji=0voraussetzen. 

d.h.dasQuadrupolmomentistdurcheineZahlvollkommenbestimmt, (4.38) 

4.5 Beieinemn-KorperproblemvonidentischenTeilchentrittdurchdie Statistik9ofteineReduktionderSymmetrieein,geradeso,alsob WirkungendesPauli-Prinzips 

eineantisymmetrischeOrtsfunktionbeschrieben: WirbetrachteneineinfachesBeispiel. einsymmetriebrechenderTermimHamilton-Operatorvorhandenware. ZweiElektronenohneBerucksichtigungihrerSpinswerdendurch 

BewegendieElektronensichineinemZentralpotentialundbleibtdie gegenseitigeCoulomb-Abstoungunberucksichtigt,sokonntemanSymmetrietransformationenderArt 

(x(1);x(2))=?(x(2);x(1)) 

vermuten,daman,ohnedieEnergiezubeeinussen,diebeidenOrtsvektorenunabhangigvoneinanderdrehenkann.Dadiesdennochnicht 

0(x(1);x(2))=(R?1 1x(1);R?1 2x(2)) R1;R22SO(3) 

dasPauli-Prinzipverletzt:0istnichtmehrantisymmetrisch,essei richtigist,erkenntmandaran,dadiesoerhalteneWellenfunktion0 

erwartet,dieEinzeldrehimpulseErhaltungsgroensind,sondernnur nereDiagonalgruppeubrig.Diesauertsichso,danicht,wiezuvor dennR1=R2.MitanderenWorten,dasPauli-Prinzipvermindertdie Symmetrie;vondergroerenGruppeSO(3)SO(3)bleibtnurdieklei- 

dieWellenfunktionensymmetrischeimzweitenFallantisymmetrischeFunktionen Bose-Einstein-StatistikoderderFermi-Dirac-Statistikgenugen.ImerstenFallsind derTeilchenkoordinaten. 9ManunterscheidetBosonenundFermionen,jenachdem,obdieTeilchender

4.5.WIRKUNGENDESPAULI-PRINZIPS nochderenSummeL=L(1)+L(2):DasPauli-Prinzipbewirkteine KopplungderDrehimpulse,soalsobdieElektronenmiteinanderin 109 

tronenspins.FurdenRaumC4=C2C2derSpinzustandezweier ElektronenbildendiefolgendenVektoreneineBasis: Wechselwirkungstunden. WirerweiternnundieBetrachtungdurchEinbeziehungdesElek- 

sm= 8 >< p21001?0110s=0m=0 > : 1 1p21001+0110s=1m=0 1010 

0101 s=1m=1 

CG-Koefzientenbestimmt.AlsErgebniserhaltenwirantisymmetrischeSpinfunktionenfurdenGesamtspins=0,dagegensymmetrische 

furs=1.WirdnuneinebestimmteSymmetrieerzwungen,z.B.durch dasPauli-PrinzipfurdieGesamtwellenfunktion,trittdamitzugleich eineKopplungderElektronenspinseinundwirerhaltenZustandemit deniertemGesamtspins.DiesenEektsehenwirbeidemHeliumatom.Denn,insoweitwirdieSpin-Bahn-WechselwirkungvernachlassigenundzufalligeEntartungenausschlieendurfen,isthierjederstationareZustandeinProduktauseinerOrts-undeinerSpinfunktion. 

bzw.SymmetriederSpinfunktion,undwirhabenesmitGesamtwel- 

derVertauschung10vonx(1)undx(2).DieserzwingtdieAntisymmetrie DieOrtsfunktionistentwedersymmetrischoderantisymmetrischunter lenfunktionenderfolgendenArtzutun: 

DiehierbeiauftretendenLinearkombinationenwurdenmitHilfeder s=1m=?1 

wobei s(x(1);x(2))=(?1)ss(x(2);x(1)) s(x(1);x(2))sm 

gruppe,namlichdiesymmetrischeGruppeS2.JedemEigenwertderEnergieent- 

sprichteineirreduzibleDarstellungdieserGruppe,sofernkeinezufalligeEntartung vorliegt.DiebeidenirreduziblenDarstellungensind=1und=?1. 10FormalentsprichtderVertauschungderOrtskoordinateneineSymmetrie-

110 gilt.DasTermschemadesHeliumatomsbestehtauseinemSingulett- Termsystem(s=0)undeinemTriplett-Termsystem(s=1),dienicht KAPITEL4.KOPPLUNGVONDREHIMPULSEN 

ArtenvonHelium-Atomen,undhatdieseParheliumundOrthoheliumgenannt.DerGrundzustanddesHeliumsisteinSingulett-Zustanobachtetwerden11.Manhatdeshalbzunachstgeglaubt,esgabezwei 

undwirdmit11Sbezeichnet.DasZerfallendesSpektrumsinSingulettundTriplettserienndetmanauchbeidenErdalkalien,beiQuecksil- 

istalsoeinefuralleZweielektronensystemetypischeErscheinung. ber,CadmiumundZinksowieallenIonenmitzweiauerenElektronen, tuationalsotypischfurdieElementederdrittenHauptgruppedesPeri- 

odensystems.WirbeginnenmitderKonstruktionderSpinfunktionen, dieeinem8-dimensionalenRaumangehoren,aufdemdieDarstellung AlsnachstesBeispielstudierenwirein3-Elektronensystem,eineSi- 

interkombinieren,zwischendenenalsokeineStrahlungsubergangebe- 

derSU(2)wirkt.DemTeilraummits=3=2gehorennursymmetrischeSpinfunktionenan;erist4-dimensionalundbesitztdiekanonische 

D1=2D1=2D1=2=2D1=2D3=2 

Basis: 

sm= 8 >< 1p3101001+100110 101010 m=3=2 

1p3100101+011001 +011010 m=1=2 > : +010110 010101 m=?1=2 

HieristdemPauli-PrinzipRechnunggetragen,wenndieOrtsfunktion totalantisymmetrischist.DieEnergieniveaus,diezus=3=2gehoren, m=?3=2 

liegendenNiveausbestehen,wasdurchdieSpin-Bahn-Kopplungerklartwerden kann.StrahlungsubergangezwischenZustandenmitgleichgerichtetenSpins("") Zustandeeinfach,dieTriplett-Zustandedagegenausausdreidichtbeieinander- 

11EineUntersuchungderSpektrenbeihoherAuosungergibt,dadieSingulett- undZustandenmitentgegengerichtetenSpins("#)sindextremunwahrscheinlich.

4.5.WIRKUNGENDESPAULI-PRINZIPS machensichdadurchbemerkbar,dasiebeigenugenderAuosungeine FeinstrukturvonvierdichtbeieinanderliegendenNiveauszeigen.Man 111 

demGesamtspins=1=2.DieSymmetriederzugehorigenSpinfunktionenisteinwenigverwickelter.Furden4-dimensionalenVektorraumL4 

sprichtdannvoneinemQuartett-Termsystem. 

derDarstellungD1=2D1=2wahlenwireinubervollstandigesSystem AuerdembeobachtetmaneinDublett-Termsystementsprechend 

1sm=8>:1 vonsechsBasisvektoren: p2101001?100110m=1=2 

2sm=8>:1 p2011001?010110m=?1=2 p2011010?101001m=1=2 

3sm=8>:1 p2010110?100101m=?1=2 p2100110?011010m=1=2 

DieverknupfendeRelationlautet p2100101?011001m=?1=2 1 

durchdieesimPrinzipmoglichwarezweiderBasisvektorenzueliminieren.DieWillkur,dieineinersolchenProzedursteckt,hatihre 

1sm+2sm+3sm=0 (m=12) (4.39) 

ndetfurdieSkalarproduktediefolgendenWerte: Ursachedarin,dadieDarstellungDs(s=12)zweifachauftritt.Man 

Esistnunmoglich,dieBeschreibungdergenanntenSituationubersichtlicherzugestalten,indemmandenRaumC2C2C2zum 

(4.40) (ism0;ksm)=(mm0 ?12mm0i6=k i=k 

DarstellungsraumderGruppeG=SU(2)S3erklart,undzwardurch diefolgendeWirkungdersymmetrischenGruppeS3: v1v2v37!v(1)v(2)v(3)

112 wobei KAPITEL4.KOPPLUNGVONDREHIMPULSEN 

formation AufdieVektorenismangewandt,bewirkteinePermutationdieTrans- 

vi=10oder01;2S3 

ism7!det(i) 

WirkungderGruppeGist.WirschreibendiesenRaumalsTensorprodukt,L4=C2C2,indemwirdenBasisvektorendiefolgendeGestalt 

geben: wobeidieVektorensmmits=12einekanonischeBasisfurdieidentischeDarstellungderSU(2)bilden;insbesonderegilt(sm0;sm)= 

mm0.DieVektoreneidagegenerfullendieBeziehungen ism=smei (i=1;2;3) 

sewirddeutlich,daderRaumL4eininvarianterTeilraumunterder Hierbeiistdet=1dieSignaturderPermutation.AufdieseWei- 

(ei;ek)=(1i=k e1+e2+e3=0 

fuhren.EinePermutation2S3bewirktnundiefolgendeTransformation: 

werden,dievomZentrumeinesgleichseitigenDreieckszudessenEcken undkonnensomitgeometrisch-anschaulichalsVektoreninterpretiert ?12i6=k 

dadieGruppeGaufL4irreduzibelundtreudargestelltist,alsDs(u) EinVergleichmitdenAusfuhrungenAbschnitt2.2(Beispiel4)lehrt, detD0()mit(u;)2G,wobeiD0diezweidimensionaleirreduzible ei7!dete(i) 

funktionenzukonstruieren: dreiElektronenmitdemGesamtspins=12alsSummenuberProdukt- 

Darstellung12derGruppeS3bezeichnet(sieheS.29). DernachsteSchrittbestehtnundarin,Gesamtwellenfunktionenfur 3Xi=1i(x)smei macht.DieseTatsachebenotigenwirjedochnicht. 12SetzenwirD00()=detD0(),sogiltD00=D0,wiemansichleichtklar x=fx(1);x(2);x(3)g2R9 (4.41)

EineaufdieseWeisekonstruierteGesamtwellenfunktionistnormiert, wenngilt12k1?2k2+12k2?3k2+12k3?1k2=1 

4.6.DIEELEKTRONENKONFIGURATION 113 

wobeik:kdieNorminL2(R9)bezeichnet.EineVerschiebungi7! i+ verandertdieGesamtwellenfunktionnicht,sodawirdieFreiheit (4.42) 

haben,diedreiOrtsfunktionendurchdieRelation 

genausdemPauli-Prinzip.EinePermutationderOrtskoordinatenkann miteinanderzuverknupfen.WeitereeinschrankendeBedingungenfol- 

1+2+3=0 

sobeschriebenwerden: x=fx(a);x(b);x(c)g a=(1) 

undeineunitareDarstellungderS3durchdieVorschrift,alleTeilchenkoordinatenzupermutieren: 

"U()Xiismei#(x)=Xii(?1x)smdete(i) DieentscheidendeSymmetriebedingungfurdiedreiOrtsfunktionenist (4.43) 

c=(3) b=(2) 

Rechnunggetragen. DennnursofolgtU()=det1,d.h.nursoistdemPauli-Prinzip 82S3 i(x)=(i)(x) (4.44) 

nenmiteinander.AlsZustandeeinessolchenSystemskommenstreng 4.6 IneinemAtommitmehralseinemElektronwechselwirkenalleElektro- 

DieElektronenkonguration 

genommennurWellenfunktioneninBetracht,indenenalleTeilchenkoordinatenmiteinanderkorreliertwerden:VomZustandeineseinzelnen 

Elektronskanndabeinichtgesprochenwerden,erbleibtundeniert.

114 denZustandendereinzelnenElektronensprechenkann.DieNaherung, Dennochzeigtessich,damanbeieinemAtominNaherungvon KAPITEL4.KOPPLUNGVONDREHIMPULSEN 

ximation(s.Abschnitt1.3).Eshandeltsichdabeiumdiestationaren vondemKernundallenubrigenElektronenimMittelerzeugtwird. ZustandejedeseinzelnenElektronsineinemeektivenPotential,das dieeinesolcheBeschreibungmoglichmacht,istdieZentralfeldapprolenfunktionwirddannausProduktenderEinteilchenwellenfunktionen 

fur2s-Elektronenandersaussiehtalsfur4f-Elektronen.DieGesamtwel- 

Imallgemeinenmumansogardavonausgehen,dadiesesPotential aufgebautunterBerucksichtigungdesPauli-Prinzips. WertdesBahndrehimpulses`charakterisiert.DieZustandefurfestes ist.DeshalbwirdjederEinteilchenzustanddurcheinenbestimmten `werden-inderReihenfolgewachsenderEnergie-durchdieZahln ZudenAnnahmengehort,dadasPotentialrotationssymmetrisch 

numeriert,diemandieHauptquantenzahlnennt.WiebeimH-AtombeginntmandieZahlungstetsbein=`+1.JedochistdieReihenfolgeder 

nichtmehrderFall.BeimGangdurchdasPeriodensystemkommtes Energieniveausmitverschiedenemnundìmallgemeinenandersalsbei Atomenuberhauptnichtvonàb:diesistbeikompliziertenAtomen demH-Atom.ZumBeispielhangtdieEnergiebeiwasserstoahnlichen 

n=4,`=2.Esgibtaberimmer2(2`+1)verschiedeneZustandemit drehimpulsesunddesSpins.DieseZustandewerdenaquivalentgenannt. gleichemnundèntsprechenddenmoglichenEinstellungendesBahn- 

vor,dadasNiveaumitn=5,`=0tieferliegtalsdasNiveaumit 

DieVerteilungderElektronenuberdieZustandemitverschiedenenn benennund`besetzt,sosprichtmanvoneinerabgeschlossenenSchale. dieselbenWertevonnund`haben.SinddaheralleZustandemitgege- 

DasPauli-Prinzipgestattetnicht,damehrals2(2`+1)Elektronen 

und`nenntmandieElektronenkonguration.SohatderGrundzustand desAluminiumsdieKonguration undesistersichtlich,dahierdieK-Schale(n=1,`=0),diebeidenL-Unterschalen(n=2,`=0undn=2,`=1)sowiedie 

1s22s22p63s23p 

terstellt,derGesamtspinvondem3p-Elektronalleinbestimmtwird: M-Unterschalemitn=3,`=0abgeschlossenist.Dabeiwirdun- 

DerGrundzustandhatalsos=12.ZugleichbietetdasAluminiumein

Beispielfurein3-Elektronensystem,wennwiralleValenzelektronenauf 4.6.DIEELEKTRONENKONFIGURATION derM-SchaleindieRechnungeinbeziehen.DieallgemeineAnalyseeinessolchenSystems,diewirindemvorigenAbschnittdurchgefuhrt 

zufolgeProduktwellenfunktionengebildetausder3s-Ortsfunktionu0 habenunddiedieZentralfeldapproximationnichtbenutzte,latauch undder3p-Ortsfunktionu1auftreten13: 1=u0(1)fu0(2)u1(3)?u1(2)u0(3)g 2=u0(2)fu0(3)u1(1)?u1(3)u0(1)g 

115 

eineBeschreibungdes3s23p-Zustandeszu,wobeiderApproximation 

Approximationzuerfassen.Zuberucksichtigensindimwesentlichen WirdiskutierennundasallgemeineProblem,KorrekturenzurZF- 3=u0(3)fu0(1)u1(2)?u1(1)u0(2)g 

zweiAnteiledesHamilton-OperatorsH=H0+H1+H2: 1.DieDierenzH1zwischenderCoulomb-WechselwirkungderElek- 

2.DieSpin-Bahn-WechselwirkungH2. tronenuntereinanderunddermittlerenWechselwirkung,diebe- 

reitsdurchdasZentralfeldberucksichtwurde. 

DasLS-Kopplungsschema.Hiernimmtmanan,daderzuerwartendeEektvonH1denvonH2uberwiegt.IndieserSituationistvohaltungsgroeunddamitauchJ?L=S=PiS(i).DasPauli-Prinzip 

allenBahndrehimpulsennurnochderenSummeL=PiL(i)eineEr- 

EigenfunktionenwerdennaherungsweisealsLinearkombinationenvon verhindert,dadieindividuellenSpinoperatorenS(i)Erhaltungsgroen sind.DieGrobstrukturderbeobachtetenNiveauskannalsodurchdie EigenwertevonL2undS2gutbeschriebenwerden.Diezugehorigen ZustandeneinesEnergieniveausvonH0berechnet(keineKongurationsmischung).DiessindendlichvieleZustande(namlich2,6,1014 

oder18),unddasProblemreduziertsichdarauf,dieEigenwerteeiner Drehimpulses`=1.Ebensobenutzenwirianstellevonx(i)alsArgumentinden Einteilchenfunktionen.DieentstehendenFunktionensindunnormiert. Matrixzubestimmen.IneinemzweitenSchrittberucksichtigtmanH2. 13WirunterdruckenhierdieAbhangigkeitvonderRichtungsquantenzahlmdes

116 JetztistnurnochJeineErhaltungsgroe,undmanbeobachteteine KopplungvonLundSinFormderFeinstruktur,derenNiveausdurch KAPITEL4.KOPPLUNGVONDREHIMPULSEN 

dieEigenwertevonL2,S2undJ2,alsodurchQuantenzahlen`;s;j EnergieniveausvonH0+H1konstruiertwerden,unddiesistwiederumeinMatrixproblem.DerAnwendungsbereichdieserNaherungisgeregtenleichtenAtomenistdieNaherungnichtmehranwendbar. 

Dasjj-Kopplungsschema.Hiernimmtmanan,daderzuerwar- 

bestimmtwerden.MitzunehmenderOrdnungszahloderbeistarkan- 

beschrankt.AufdieseWeisekonnendieNiveausderleichtenAtome EigenfunktionenalsLinearkombinationenvonWellenfunktioneneines charakterisiertwerden.DieNaherungbestehtdarin,dadiewahren 

derenSummeJ(i)=L(i)+S(i).AuchhiererlaubtmankeineKongurationsmischung,umdennumerischenAufwandinGrenzenzuhaltentendeEektuberwiegendvonH2bestimmtwird.Dieindividuellen 

BerucksichtigtmandannnochH1,sobleibtnurJ=PiJ(i)alsErhaltungsgroeubrig.BeiderimletztenSchrittbenutztenNaherung 

BahndrehimpulseundSpinssindkeineErhaltungsgroen,wohlaber 

WellenfunktioneneinesEnergieniveausvonH0+H2konstruiert.In werdendieNiveausdurchdieEigenwertevonJ(i)2undJ2charakterisiertunddiewahrenEigenfunktionenalsLinearkombinationenvon 

auf.BeisehrschwerenAtomenbeobachtetmanZwischenstufenzwischenderLS-undderjj-Kopplung.FurvieleAtomeistwederdieeine 

WirklichkeittrittdieserKopplungstypinreinerFormuberhauptnicht 

zusatzlicheWechselwirkungsenergie nochdieandereNaherungbrauchbar. IneinkonstantesMagnetfeldBgebracht,besitzteinAtomeine 

wobeiBdasBohrscheMagnetonbezeichnet.DieAbweichungvon g=2(derVorhersagederDirac-Theorie)wirdeinemanomalenma- 

H3=BB(L+gS) g?2=0;00231928::: 

undmitHilfederQuantenelektrodynamikberechnenbarist. selwirkungdesElektronsmitdemStrahlungsfeldhervorgerufenwird gnetischenMomentdesElektronszugeschrieben,dasdurchdieWech- 

tergruppederSU(2)beschrieben,diedenDrehungenumdieAchse chen,unddieverbleibendeU(1)-SymmetriewirddurchdiejenigeUn- 

DieSU(2)-SymmetriewirddurchdieAnwesenheitvonH3gebro-

3-Achse,sohandeltessichoenbarumdieGruppe desMagnetfeldesentspricht.GebenwirdemB-FelddieRichtungder 4.6.DIEELEKTRONENKONFIGURATION 117 

G=( 

DaGeineabelscheGruppeist,sinddieirreduziblenDarstellungenvon ei 0e?i!:0

118 nungerreichtmandiesdurchden(nuralsNaherunggedachten)Ansatz verschiedenemjvernachlassigbarsind.InderPraxisderStorungsrech- 


ist,diemanleichtbestimmenkann: S=rJ,wobeireinefurjedes(`sj)-NiveaucharakteristischereelleZahl 

=J2+S2?L2=j(j+1)+s(s+1)?`(`+1) 2rj(j+1)=2rJ2=2JS=J2+S2?(J?S)2 

DerOperatorH3erhalt(mitg=2)dieFormBjBj(J3+S3)= BjBj(1+r)J3.BezeichnenwirdieEigenwertevonJ3mitm,soergebensichdieEnergieniveauszu 

E`sjm=E`sj+BjBjg`sjm g`sj=1+j(j+1)+s(s+1)?`(`+1) 2j(j+1) (4.49) (4.48) 

DieKonstanteg`sjwirdLande-Faktorgenannt. beobachtetenNiveauseherdenEigenwertenvonH0+H3miteiner DerPaschen-Back-Eekt.InstarkenMagnetfeldernentsprechendie 

Alkali-AtomenerhieltenwirsoEnergieniveaus durchH2verursachtenFeinstruktur.DasMagnetfeldhebtdieEntarzahlenm2f?`;:::;`gund=12derValenzelektronen)auf.BeidetungderNiveausvonH0(ausgedrucktindenmagnetischenQuanten- 

InderNaherungg=2sindhierimallgemeinen(d.h.wennjm+2j

Kapitel5 

SpeziellePotentiale 

Punktteilchen,dassichgemdenGesetzenderklassischenMechanikin tionVdreimalstetigdierentierbarist,angenommenwerdensoll,so einemrotationssymmetrischenPotentialV(r)bewegt,wobeidieFunk- 

ImJahre1873bewiesJ.BertranddenfolgendenSatz:Gegebenein 

wohlwirkeinehnlicheBedingunginderQuantenmechanikformulieren knnen,sinddennochdiesePotentialeauchhierinbesondererWeise Bedingung,dajedebeschrnkteBahndesTeilchensgeschlossenist1.Ob- 

erlennurdiebeidenPotentialfunktionenar2und?a=r(a>0)die 

hohenGradanSymmetriebesitzen. ausgezeichnet:SiefhrenzuHamilton-Operatoren,dieeinenunerwartet 

5.1.1 Das1/r-Potential 

AlsGrundlagefrdieDiskussionwhlenwirdasModelldesH-Atoms. Hierbeiistesbequem,grundstzlichalleEnergienundLngeninsogenanntenatomarenEinheitenanzugeben: 

hmc?1=a0=0;52917710?8cm(BohrscherRadius) mc22=e2=a0=27;21165eV(2Rydberg) 

Bindungszustnde 

heitgeschlossen,oderperiodisch,wennx(t+T)=x(t)freinTundalletgilt. 1EineBahnx(t)heitbeschrnkt,wennjx(t)j

120 BeidieserWahlderEinheitenvereinfachtsichderAusdruckfrden Hamilton-Operator: KAPITEL5.SPEZIELLEPOTENTIALE 

schriebenwerden,soda DerHilbertraumL2(R3)kannalseinedirekteSummeH?H+ge- 

H^=?=2?1=r (5.1) 

gilt.ZugleichistH?derkleinsteabgeschlosseneTeilraumvonH,der 2H+ 2H? ) (;H)>0 (;H)

n,dieunterdemNamenzugeordneteLaguerreschePolynomebekannt EshandeltsichbeidenFunktionenLn(y)umPolynomevomGrad 5.1.DAS1/R-POTENTIAL 121 

sind: Ln(y)=1n!eyy?dn 

= nXk=0n+ n?k(?y)k dyn(e?yyn+) k! (5.7) (5.6) 

5.1.2 nierenwirihrantisymmetrischesProduktals FrzweiVektoroperatoren2AundBmitKomponentenAiundBide- DerLenz-Runge-Vektor 

EshatdieEigenschaften: 1.A^BistwiedereinVektoroperator,istalsoinsbesondereselbstadjungiert. 

A^B=12(AB?BA) (5.8) 

2.A^B=?BÂ,insbesonderegiltAÂ=0. 3.KommutierenAiundBkfri6=k,sofolgtA^B=AB. ImZusammenhangmitdem1/r-Potentialsindfrunsdiefolgenden VektoroperatorenvonInteresse: 

Frdendurch(5.1)deniertenHamilton-Operatorergebensichdie P^=?ir L^=x(?ir) G^=x=r F^=?x=r3 

Kommutatoren 

i[H;G]=F^L i[H;P]=F i[H;L]=0 

vonnunanvorausetzen,dadieKomponenteneinesVektoroperatorsselbstadjungierteOperatorensind. 

2DerBegridesVektoroperatorswurdeimAbschnitt4.4diskutiert.Wirwerden

122 Unteranderemfolgtnuni[H;P^L]=F^L 

KAPITEL5.SPEZIELLEPOTENTIALE 

sodaderVektoroperatorR=P^L?G mitHkommutiertundsomiteineErhaltungsgredarstellt.Mannennt RdenLenz-Runge-Vektor.ErgehtindenklassischenAusdruckfrden (5.9) 

PL).AndererseitsgiltLP=LG=0,soda LR-Vektorber,wennmanPundLdurchihreklassischenAusdrcke ersetzt.AusdenDenitionenfolgtdieBeziehungL(P^L)=12i(LP? 

erflltist(gleichbedeutendmitRL=0). NachdemwirdasantisymmetrischeProduktzweierVektoroperatorenkennengelernthaben,wollenwirnundassymmetrischeProdukt 

LR=0 (5.10) 

einfhren.EsistdurchAB=12i(AB+BA) deniertundhatdiefolgendenEigenschaften: (5.11) 

1.ABistwiedereinVektoroperator(insbesondereselbstadjungiert). 

2.AB=BA 3.AA=?iAA 4.KommutierenAiundBkfri6=k,soistdiesgleichbedeutendmit 5.DieGleichungAB=CistquivalentdenRelationen AB=0. 

[Aj;Bk]+[Bj;Ak]=2iC` j;k;`=1;2;3zyklisch

himpulsLsichdurchLL=Lausdrckenlassen.Darberhinausgilt:Ist Esistnunbemerkenswert,dadieKommutatorrelationenfrdenDre- 

5.1.DAS1/R-POTENTIAL 123 

AeinVektoroperator,soistdieBeziehungLA=Aerlt.Insgesamt stellenwirfest,daderDrehimpulsundderLenz-Runge-Vektordrei wichtigealgebraischeRelationenbefriedigen, dienahelegen,aufdemHilbertraumH?denVektoroperator LL=L LR=R M=(?2H)?1=2R RR=?2HL; (5.12) 

einzufhren,umdieRelationensymmetrischerzugestalten: LL=L LM=M MM=L (5.14) (5.13) 

erhaltenwirschlielichJJ=J 

DurchEinfhrungderLinearkombinationen J=12(L+M) KK=K K=12(L?M) 

KomponentenvonJalsauchdieKomponentenvonKdenVertau- 

und[Ji;K`]=0fri;`=1;2;3.Darausistersichtlich,dasowohldie (5.15) 

tenweisekommutieren,sinddiesobestimmtensechsOperatorendie schungsrelationenvonDrehimpulsengengen.DaJundKkomponen- 

ErzeugereinerunitrenDarstellungderGruppeG=SU(2)SU(2)auf H?.DieGruppeGisteineSymmetriegruppefrdenTeildesHamilton- Operators,derdurchEinschrnkungvonHaufdenTeilraumH?entstellungvonGist.ImPrinzipknntenalleirreduziblenDarstellungen 

zugehrigeEigenraumTrgereinern2-dimensionalenirreduziblenDartungeinesjedenNiveausEndadurch,da,wienochzubeweisenist,desteht.DieExistenzdieserSymmetriegruppeerklrtdien2-facheEntar- 

(j;k)mitj;k=0;12;1;:::undDarstellern 

beidiesemProblemeineRollespielen,und(2j+1)(2k+1)wredie DimensiondesDarstellungsraumes.WegenLR=LM=0giltjedoch Dj(u)Dk(v) u;v2SU(2)

124 J2=K2,alsoj=k,undnurDarstellungenvomTyp(j;j)knnen auftreten.WirhabenjetztnurnochdieDimension(2j+1)2dieser KAPITEL5.SPEZIELLEPOTENTIALE 

Darstellungmitn2gleichzusetzen,umdieBeziehungzwischenjund derHauptquantenzahlnzubekommen: 

nalgruppedesProduktesSU(2)SU(2)beschrieben.DieEinschrnkung DaL=J+Kist,werdendiegewhnlichenDrehungendurchdieDiago- 

n=2j+1 (5.16) 

reduzibleProduktdarstellung (Subduktion)derDarstellung(j;j)aufdieDiagonal-SU(2)ergibtdie 

DjDj=2j 

d.h.beigegebenemndurchluftdieDrehimpulsquantenzahlàlleWerte M`=0D` 

zwischen0undn?1inbereinstimmungmitdemErgebnisderelementarenAnalysedesWasserstoproblems.DadieOperatoren(?2H)?men,mssensiebereinstimmen.DiehierfrverantwortlicheRelation 

und4J2+1berallinH?dengleichenEigenwert(nmlichn2)anneh- 

giltberallinHundltsichauchdurcheinedirekteRechnungausden Denitionenherausbesttigen.WieinderklassischenMechanikgilt: R2=1+2H(L2+1) (5.17) 

Ekzentrizittbezeichnet. KlassischgiltR2=2frelliptischeBahnen,wobeidienumerische R2

mssendamitrechnen,daeinediskreteinvarianteUntergruppeKvonG 5.1.DAS1/R-POTENTIAL existiert,dietrivialdargestelltwird,sodainWahrheitH=G=Kdie 125 

ist.Wirbekommenleichteinenberblick,wennwiralleMglichkeiten auisten3: gesuchteSymmetriegruppeist,weilnurHundnichtGtreudargestellt 

(1,1),(1,-1) (1,1),(-1,1) K SO(3)SU(2) SU(2)SO(3) SU(2)SU(2) G=K 

ZurEntscheidungdieserFrageistesnotwendig,einesymmetriegerechte (1,1),(-1,1),(1,-1),(-1,-1)SO(3)SO(3) (1,1),(-1,-1) SO(4) 

BasisinH?einzufhren.WirgehendabeivonderBasis(5.2)ausund konstruierenmitHilfederCG-KoezientendieneueBasisals 

EineunitreDarstellungU:G!Aut(H?)kanndanndurch jm1m2=X`m m1m2m!2j+1 j j ` `m j=0;12;1;:::(5.18) 

deniertwerden.DadieEigenrumevonHzugleichdieinvariantenTeilrumedieserDarstellungsind,istGtatschlicheineSymmetriegruppe. 

DaGaufjedemdieserTeilrumeirreduzibeldargestelltist,istdieWir- 

(5.19) U(u;v) jm01m02=X m1m2 jm1m2Djm1m01(u)Djm2m02(v) u;v2SU(2) 

wirfordern,daTransformationenU(u;u)mitgewhnlichenDrehungen kungvonGbisaufeinenIsomorphismuseindeutigfestgelegt.Wenn zuidentizierensind,sokanneinsolcherIsomorphismusI:H?!H? (unterHeranziehungdes2.SchurschenLemmas)nurvonderForm 

DenitiondesVektorsMin(5.13):anstellevonMhttenwireben- sein.DiegleicheFreiheitderPhasenwahlhattenwirbereitsbeider Iǹm=cn`ǹm jcn`j=1 

Gruppen,diezudergleichenLie-Algebra,d.h.zurLie-AlgebraderSU(2)SU(2) fhren. 3Hierbezeichnet12SU(2)die22-Einheitsmatrix.DieListeenthltalleLie-

126 sogutIMI?1einfhrenknnen.AusdiesemGrundistkeinePhasenwahlinirgendeinerWeiseausgezeichnet.Die(5.4)eingefhrtePhase 

KAPITEL5.SPEZIELLEPOTENTIALE 

sistentsind. cn`=(?1)n?`?1hatdenZweck,da(5.13)und(5.18)miteinanderkon- 

DieDarstellungUhatdiefolgendenEigenschaften: 

Diesbedeutet,daessichinWahrheitumeinetreueDarstellungder U(?1;1)=U(1;?1)=(?1)2j U(1;1)=U(?1;?1)=1 

wurden,beruhtentscheidendaufderUngleichungH

5.2.DASR2-POTENTIAL entsprechen.ZurBehandlungdesEigenwertproblemssetztman 127 

erhltdieadjungiertenOperatorenals ai^=rm! 2xi+s1 2m!@ @xi (i=1;2;3); (5.21) 

undndetso ayi^=rm! 2xi?s1 2m!@ 

H=!Xi(ayiai+12) @xi (5.23) (5.22) 

zusammenmitdenkanonischenVertauschungsrelationen(abgekrztCCR 

DernichtentarteteGrundzustandwirddurcheineGau-Funktionbeschrieben: 

[ai;ak]=[ayi;ayk]=0 vomenglischencanonicalcommutationrelations) 

(x)=Ne?m!r2=2 [ai;ayk]=ik (5.24) 

HierbeiistNeinegeigneteNormierungskonstante.DieseFunktionlst simultandiedreiDierentialgleichungen undminimiertausdiesemGrunddieEnergie;dennfreineallgemeine normierteWellenfunktiongilt(;H)=!Pi(kaik2+12). ai=0 (i=1;2;3) (5.25) 

Frbeliebigesc=fc1;c2;c3g2C3setzenwir 

DenHilbertraum,dervonallenVektorenderForm ay(c)=Xiayici 

aufgespanntwird,wollenwirmitHnbezeichnen.AufjedemdieserRumenimmtHeinenEigenwertEnan,undzwaristEn=(n+3=2)!. 

ay(c(1))ay(c(n)) c(i)2C3 

DieszeigtmandurchbloeAnwendungderCCR.Manndetleicht dimHn=12(n+1)(n+2);

128 undsomitwchstdieEntartunghnlichschnellanwiebeidemCoulomb- Potential.InderhiergewhltenDarstellungwurdendieEigenfunktionen KAPITEL5.SPEZIELLEPOTENTIALE 

abstrakteingefhrt.SielassensichnatrlichauchalskonkreteFunktionen,d.h.alsBessel-Hermite-Funktionenberechnen.DasSystemdieser 

FunktionenistvollstndiginH,undsomitgilt 

nochistdieUrsachederEntartungschnellgefunden:Sieliegtineiner RotationsinvarianzalleinkanndieEntartungnichterklren.Den- 

H=1Mn=0Hn 

Transformationunterwirft: U(3)-InvarianzdesModells.Eszeigtsichnmlich,dasowohlHalsauch dieCCRerhaltenbleiben,wennmandieOperatorenaieinerunitren 

Dennesfolgt a0i=Xk(u?1)ikak a0yk=Xiayiuik 

u2U(3) (5.26) 

DamitdieGruppeU(3)zurSymmetriegruppedes3-dimensionalenOszillatorswird,istnotwendig,dawireineunitreDarstellungUaufH 

unddamitbeweistmanaufdirektemWegediegewnschteInvarianz. angebenknnen,sodaU(u)aykU(u)?1=Xiayiuik fralleu2U(3)gilt.DieseForderungistgleichbedeutendmit (5.27) 

wobeiwirdienatrlicheWirkungvonuaufC3benutzen.Aufdem GrundzustandsolldieGruppetrivialdargestelltsein: U(u)ay(c)=ay(uc)U(u) 

DamitistaberdieWirkungvonU(u)aufHbereitseindeutigfestgelegt: U(u)= (5.28) 

U(u)ay(c(1))ay(c(n))=ay(uc(1))ay(uc(n)) (5.29)

5.2.DASR2-POTENTIAL reduziert.MitetwasmehrAufwandkannmansogarbeweisen:dieTeil- 

Zugleichwirddeutlich,dafrjedesnderRaumHndieDarstellungU 129 

sindnichtalleirreduziblenDarstellungenderU(3)oderderSU(3)in reduzibelundstimmtmitdemn-fachensymmetrischenTensorprodukt deridentischenDarstellungberein.ImGegensatzzurGruppeSU(2) darstellungUnderU(3)aufHnmitderDimension12(n+1)(n+2)istir- 

dieserWeiseerhltlich.WiebeidemCoulomb-Potentialistesauchhier 3-dimensionaleneuklidischenRaumeszudeuten.Andererseitsistdie nichtmglich,dieU(3)geometrisch,d.h.alsTransformationsgruppedes 

DieParittermittelnwirohneProbleme: lassensichdahernachihremDrehimpulsundihrerParittklassizieren. cherWeiseinderU(3)alsUntergruppevorhanden.DieZustndeinHn GruppeO(3),dieeinegeometrischeInterpretationbesitzt,innatrlitergruppeSO(3)ndetmandieZerlegung: 

DurchEinschrnkungderDarstellungUnderGruppeU(3)aufdieUn- 

Un(?1)=(?1)n 

wobeiberalle`mit0`nundn=`mod2zusummierenist. DiesltsichzumBeispieldadurchbeweisen,damandenCharakterder UnjSO(3)=MD` 

reduziblenDarstellungermitteltundihnnachprimitivenCharakteren 

undLsenderRadialwellengleichungdieBasisermitteln,diederSymmetriegruppeSO(3)angepatist.Manndet 

Separationsansatz ǹm(x)=Rn`(r)Y`m() zerlegt.MankannallerdingsauchaufdirektemWege,nmlichdurchden 

mit Rn`(r)=(m!)3=4"2(n?` 

Kn`(y)=e?y=2y`=2L`+1=2 ?(n+`+3 2)! 

(n?`)=2(y) 2)#1=2Kn`(m!r2) 

wobeiwiederumdiezugeordnetenLaguerreschenPolynomeauftreten, diein(5.6)deniertwurden.AuchbeiWahldieserBasissindnursolche Quantenzahlennund`zugelassen,frdie0`nundn=`mod2 (y0) 

gilt.

130 KAPITEL5.SPEZIELLEPOTENTIALE

Kapitel6 

Strahlungsubergange 

oderAbsorptionvonPhotonen.WillmandieStrahlungsubergangein Strengebeschreiben,somutenalleUberlegungenaufderBasisder InderAtom-,Molekul-undKernphysikerhaltenwirwichtigeInformationenuberdieinnereStrukturdurchBeobachtungderEmission 

Quantenelektrodynamikdurchgefuhrtwerden.Indersemiklassischen 

WellemitdemWellenvektorkundderFrequenz!zuordnet.Unser daseinemPhotonmitdemImpulshkundderEnergieh!eineebene behandeltwird,machtmanGebrauchvondemKorrespondenzprinzip, Approximation,beiderdasStrahlungsfeldalsklassischesMaxwell-Feld 

erstesZielistdieEntwicklungvoneikxnachKugelwellen. 

SpharischeBessel-FunktionenwerdendurchihreerzeugendeFunktion eingefuhrt: 6.1 DieRayleigh-Entwicklung 

denneineReihenachsteigendenPotenzencosn#geordnetkanndurch EinesolcheEntwicklungderExponentialfunktionistimmermoglich; eizcos#=1X`=0i`(2`+1)j`(z)P`(cos#) (6.1) 

bloeUmordnungalseineReiheindenLegendre-PolynomenP`(cos#) existierenfurdiespharischenBessel-Funktionensehreinfachegeschlos- geschriebenwerden.ImGegensatzzudengewohnlichenBessel-Funktionen 131

132 seneAusdrucke: KAPITEL6.STRAHLUNGSUBERGANGE 

z2j1(z)=sinz?zcosz z3j2(z)=(3?z2)sinz?3zcosz zj0(z)=sinz 

InderNahevonz=0besitzendieseFunktionendasfolgendeVerhalten1: usw: 

DerfolgendeSatzbeschreibtdieEntwicklungeinerebenenWellenach j`(z)= (2`+1)!!+O(z`+2) spharischenBessel-FunktionenundharmonischenPolynomenH`m. (6.2) 

R3undx2R3.Danngilt Satz27(Rayleigh-Entwicklung)EsseienundrdieBetragevonk2 

ZumBeweisschreibtmank=e,x=re0,z=rundee0=cos#. eikx=41X`=0i`(r)?`j`(r)`X 

Aus(6.1),demAdditionstheoremfurKugelfunktionen(Satz20)sowie m=?`H`m(k)H`m(x) (6.3) 

aus(3.99)folgtdanndasResultat. Sind(;0)und(r;)diePolarkoordinatenvonkbzw.x,sokonnen wir(6.3)auchinderfolgendenWeiseschreiben: 2 

Darausfolgtdannunmittelbar eikx=41X`=0i`j`(r)`X m=?`Y`m(0)Y`m() (6.4) 

NunseicdieLichtgeschwindigkeitund!=cdieFrequenz.Daei(kx?!t) j`(r)Y`m()=i?` 

eineLosungderWellengleichungist,folgtaus(6.5) 4Zd0eikxY`m(0) (6.5) 

1Mansetzt(2`+1)!!=135(2`+1) c2@t2?!j`(r)Y`m()e?i!t=0 @2 c=! (6.6)

6.2.DIEWECHSELWIRKUNGMITEBENENWELLEN DiehierdurchkonstruiertenLosungenderWellengleichungbezeichnet manalsKugelwellen.EliminierenwirdiezeitabhangigeFunktione?i!t, 133 

oderauch,indemwirvon(3.109)Gebrauchmachen, soerhaltenwir 

1r2ddrr2ddr?`(`+1) (+2)j`(r)Y`m()=0 (6.7) 

6.2 DieWechselwirkungmitebenenWel- 

+2!j`(r)=0 (6.8) 

ternwirdieBeschreibungderebenenWelleso,dasiealsLosungender UmauchdieSpinfreiheitsgradedesPhotonszuberucksichtigen,erweilen 

undrA=0gilt.EineebeneWellewurdedanndieGestalt Maxwell-GleichungenimVakuumerscheinen.Hierfuristnotwendig,ein genugt.WirkonnendurchWahlderEichungerreichen,daA0=0 ViererpotentialA=(A0;?cA)anzugeben,dasderWellengleichung 

annehmen,wobeik2R3,a2C3und A(x;t)=

gefuhrt, 134 HierbeiwurdenwiraufdieFourier-TransformiertederStromdichte KAPITEL6.STRAHLUNGSUBERGANGE 

dienunihrerseitseineRayleigh-Entwicklunggestattet: ~j(k;t)=Zd3xeikxj(x;t); (6.11) 

~j`(k;t)=4i``X ~j(k;t)=1X`=0~j`(k;t) 

BeiAnwendungen,diewirimAugehaben,werdendieelektrischen m=?`H`m(k)Zd3x(r)?`j`(r)H`m(x)j(x;t)(6.12) 

StromeausschlielichdurchdieBewegungderLadungstragerinnerhalb WellenlangederStrahlunggrogegenuberdenLineardimensionender Stromverteilung2.Wennaberr1uberallimIntegrationsgebietgilt, einesMolekuls,einesAtomsoderKernesverursacht.Gewohnlichistdie konnenwirvon(6.2)Gebrauchmachenunderhaltensonaherungsweise: 

IndieserNaherungwerdenwiraufdieMultipolmomentederStromverteilunggefuhrt:g`m(t)=q4 

~j`(k;t)= (2`+1)!!`X 4i` m=?`H`m(k)Zd3xH`m(x)j(x;t) (6.13) 

vontwollenwirfurdenAugenblickunterdrucken)nichtirreduzibel Furfestes`sinddieMomenteg`m;?`m`,(dieAbhangigkeit 2`+1Zd3xH`m(x)j(x;t) (6.14) 

unterderSO(3),wasmandaranerkennt,dag`meinerseitseinVektor,andererseitsaberaucheinTensorvomTypìst.DieserCharakter 

derMomentewirddeutlicher,wennwireineBasistransformationvornehmen.Allgemeingesprochen,konnenwirjedemVektora2C3seine 

10?13cm.OderdieAtomphysik:allecharakteristischenLiniendesWasserstospektrumserfullendieBedingung>4?1a0mit?1137,wobeia0der 

2NehmenwirdieKernphysik:dieKernesenden-StrahlenimMeV-Bereichaus, entsprechendeinerWellenlangevon10?10cm.DerKernradiusistdagegennur BohrscheRadiusist.

6.2.DIEWECHSELWIRKUNGMITEBENENWELLEN "spharischen"Komponenten[a]m(m=+1;0;?1)zuordnen3,indem wirsetzen: 135 

[a]mdef =q43H1m(a)=8>:?1 p2(a1+ia2)m=+1 

AufdieSituationa=g`mangewandt,liefertdieseinenTensor[g`m1]m2, 1p2(a1?ia2)m=?1 a3 m=0 (6.15) 

D1derSO(3)bestimmtsind:ImTeilchenbildstehenùnd1furden dessenTransformationseigenschaftendurchdieProduktdarstellungD` wir,sobaldwirdieProduktdarstellungnachdembekanntenVerfahren ausreduzieren: Bahndrehimpulsbzw.SpindesPhotons.IrreduzibleTensorenerhalten 

Konkretheitdies,dawirmitHilfederCG-KoezientenzudenKomponenten 

`1 D`D1=M j=`1Dj 

g`jm=X m1m2 m1m2m![g`m1]m2 ` 1 j 

sind.AndererseitsistnungèinirreduziblerTensorvomTypj.Die ubergehen,dieebenfallsalsMomentederStromdichteinterpretierbar (6.16) 

UmkehrungdieserTransformationlautet: 

IstadiekomplexeAmplitudederebenenWellemitderInformation [g`m1]m2=Xjm m1m2m!g`jm ` 1 j 

uberdiePolarisation,sosindwiraufgefordertdasProduktag`mzu (6.17) 

berechnen.Wirstellenzunachstfest,dafurbeliebigeVektorena;b2 

Folglich, C3gilt: 

ag`m1=Xab=Xm(?1)m[a]?m[b]m 

jmm2(?1)m2[a]?m2Xjm m1m2m!g`jm ` 1 j 

Basisubergehen,wobeiSO(2)SO(3)alleDrehungenumdie3-Achseenthalt. 3Gruppentheoretischbedeutetdiesnaturlich,dawirzueinerSO(2)-angepaten (6.18)

136 weist:k=f0;0;g.AusderTransversalitatsbedingungka=0folgt Wirvereinbarennun,daderImpulsdesPhotonsindie3-Richtung KAPITEL6.STRAHLUNGSUBERGANGE 

danna3=[a]0=0,und[a]+1istdieAmplitudeeinerrechtszirkularen Welle(SpinundImpulsdesPhotonsstehenparallel),wahrend[a]?1die AmplitudeeinerlinkszirkularenWelleist(SpinundImpulsdesPhotons 

tederStromdichtean: stehenantiparallel).ManbezeichnetdieQuantenzahlmin[a]mauch alsdieHelizitatdesPhotons. WirgebennundieexplizitenAusdruckefurdieeinfachstenMomen- 

g01m(t)=Zd3x[j(x;t)]m g100(t)=?1 p3Rd3xxj(x;t) (6.20) (6.19) 

HierbeimachtenwirvondenallgemeinenFormeln 

g1m(t)=iZd3x[xj(x;t)]m (6.21) 

m1m2 X m1m20![a]m1[b]m2=?1 

10 p3ab 

Gebrauch. m1m2 m1m2m![a]m1[b]m2=i[ab]m 1 1 1 

Stromdichtealszeitlichkonstantunddivergenzfreivorausgesetztwerdendarf("stationareStrome").SoferndiestationareStromdichtej(x) 

InderklassischenElektrodynamikistdieStromdichtegrundsatzlichreell.FernerkenntmaneinTeilgebietderElektrodynamik,wodie 

Momenteg`jmidentischalsFolgedesSatzesvonGau,z.B.gilt furgroejxjhinreichendschnellgegenNullstrebt,verschwindenviele 

DieerstenichttrivialeGroeistdanndasmagnetischeMomentm,das durch g01m=g100=g12m=0 

eingefuhrtwirdundmitdemvonunsdeniertenMomentfur`=j=1 ineinemeinfachenZusammenhangsteht:g1m=2i[m]m. m=12Rd3xxj(x)

6.3.UBERGANGSSTROME Ubergangsstrome 137 

oneinesPhotonsnureineinzigesgeladenesTeilchen(Elektron,Proton OftistdieAnnahmezutreend,daanderEmissionoderAbsorpti- 

usw.)beteiligtist.DennochkonnenwirwederinderAtomhullenochim KerneinsolchesTeilchenisoliertbetrachten,weilesTeileinesgroerenVerbandesist,dessenmoglicheZustandedurchMehrteilchenwellenfunktionenbeschriebenwerden.Wirwollenannehmen,daessich 

hierbeiumgleichartigeTeilchenderMasseMundderLadungqhandelt,derenWellenfunktionen;0usw.entwedersymmetrischoder 

DerLadungsoperatorQ(x;t)istdurchseineMatrixelementeauffolgendeWeisebestimmt: 

antisymmetrischunterderVertauschungderTeilchenkoordinatensind. 

HierhabenwirdieBezeichnungen(~x)=(~x;0),0(~x)=0(~x;0)und (0;Q(x;t))=qZd~xnXk=1(x(k)?x)0(~x;t)(~x;t) 

d~x=d3x(1)d3x(n) 

eingefuhrt.SuchtmannunnacheinemVektorfeldJ(x;t),dasmitQ(x;t) zusammendieKontinuitatsgleichung ~x=fx(1);:::;x(n)g 

erfullt,sobietetsichdieDenitionan: rJ(x;t)+@@tQ(x;t)=0 

2iMZd~xnXk=1(x(k)?x)n0(~x;t)r(k)(~x;t)?(~x;t)r(k)0(~x;t)o q (0;J(x;t))= 

DieserAnsatzberucksichtigtnichteinenetwavorhandenenSpinder TeilchenundlatModikationenaueracht,dieausderDirac-Theorie furSpin-1/2-Teilchenfolgen. (6.22)

138 benwirinAnlehnungandenklassischenAusdruck: FurdieWechselwirkungsenergieeinerebenenWelleA(x;t)schrei- 

KAPITEL6.STRAHLUNGSUBERGANGE 

inersterOrdnungberucksichtigtwerden.ManbeginntalsomitLosungenderSchrodinger-GleichungfurdasungestorteProblem;wirwollen 

DieseEnergie,alsTeildesHamilton-Operators,sollstorungstheoretisch H1(t)=?Zd3xA(x;t)J(x;t) (6.23) 

insbesondereannehmen,daund0stationareLosungensind: 0(~x;t)=0(~x)e?iE0t (~x;t)=(~x)e?iEt 

mochte.DerersteSchritt4inRichtungaufdiesesZielistdieBestimmungdesZeitintegrals 

H1(t)Ubergange!0,furdiemandieUbergangsrateberechnen ZwischenzweiZustandendieserArtvermitteltdieWechselwirkung 

I=Z1 

=?Z1 ?1dt(0;H1(t)) 

HierdurcherhaltdasMatrixelement ?1dtZd3x

6.3.UBERGANGSSTROME 1.E0>E:AbsorptionvonPhotonenausdemumgebendenStrahlungsfeld.IndiesemFallgilt 

139 

2.E0E,diebeidenProzesse 

2.0!(induzierteEmission) 1.!0(optischesPumpen) 

dengleichenWirkungsquerschnittbesitzen. unddiePolarisationahaben. 6SieheL.I.Schi,QuantumMechanics,Chap.X.Sec.35. 5Hierbeiwirdangenommen,daallePhotonendenImpulshk,dieEnergieh!

140 6.4 ElektrischeDipolubergange KAPITEL6.STRAHLUNGSUBERGANGE 

EineinvielenSituationenbrauchbaredrastischeNaherungbestehtdarin,in(6.11)dieExponentialfunktioneikxdurch1zuersetzen,wenn 

Entwicklungbedeutetdies,dawirnurdenerstenTerm,alsodenmit j(x;t)der(komplexe)Ubergangsstromist.ImRahmenderRayleigh- `=0,berucksichtigen.IndieserNaherungmussenwirlediglichdas Integral 

EinBlickaufdieDenition(6.22)desStromoperatorslehrt,daessich bestimmen.WirbemuhenunsumeineVereinfachungdiesesAusdruckes. g00=Zd3x(0;J(x;0)) (6.29) 

hieroenbar-bisaufdenFaktorq=M-umeinMatrixelementdesGesamtimpulsesPhandelt:g00=(q=M)(0;P) 

FurdenungestortenHamilton-OperatorH,derauerderkinetischen EnergienurPotentialtermeenthalt,triteinwichtigerSachverhaltzu, (6.30) 

soda P=M=i[H;Q] Q^=x(1)++x(n); (6.31) 

g00=i(E0?E)(0;qQ) (6.33) (6.32) 

Wirerinnernunsnunandiein(3.122)eingefuhrtenMultipoloperatoren Q`mundschreiben(furE0>E)mitihrerHilfedasErgebnis(6.33)um: 

proportionalist. Wirsehenso,dag01einemelektrischen(Ubergangs-)Dipolmoment g01=i!(0;Q1) =?1;0;+1 (6.34) 

DrehimpulsaufgrundderSO(3)-InvarianzvonH.Wirschreibendaher jjmianstellevonundjj0m0ianstellevon0.DasWigner-Eckart- TheoremerlaubtnuneineDarstellungdurchreduzierteMatrixelemente: 

hj0m0jQ1jjmi= mm0!hj0kQ1kji 1j Anfangs-undEndzustandhabenimallgemeineneinendenierten 

(6.35)

Diesbegrundetdie 6.5.SPONTANEEMISSION 141 

fursolcheUbergange. Anfangs-undEndzustandhabenimallgemeineneinedenierteParitataufgrundderO(3)-InvarianzvonH.DaderDipoloperatorQ1 

ndenwirdie dieParitat-1besitztunddamitdieParitateinesZustandesumkehrt, 

1.Auswahlregel: (1jj0)=1 

DieexperimentelleSituationistoftdadurchcharakterisiert,daim 2.Auswahlregel:Anfang-undEndzustandhabenentgegengesetzteParitat(RegelvonLaporte). 

AnfangszustandjjmialleWertederRichtungsquantenzahlmgleichwahrscheinlichsind,fernerauchdadurch,daimEndzustandjj0m0idequerschnitt,derimPrinzipvonmundm0abhangt,ubermmittelnund 

Wertvonm0nichtfestgestelltwird.WirwerdendeshalbdenWirkungs- 

uberm0summierenunderreichensoeineVereinfachung;denn Xmm0 mm0! 

unddersobestimmtetotaleWirkungsquerschnittwirdunabhangigvon 1j j0 0mm0!=2j0+1 1jj0 3 0 (6.36) 

derPolarisationderelektromagnetischenStrahlung: tot=42 3c2j0+1 

6.5 SpontaneEmission 2j+1jhj0kQ1kjij2 (6.37) 

NebenderinduziertenEmissionbeobachtetmandenVorgangderspontanenEmission,beidemdasSystemunterAussendungeinesPhotons 

einenUbergangE0!Evollzieht,unabhangigdavon,obeinauereselektromagnetischesFeldvorhandenistodernicht.AufdieseWeise 

erhaltjederangeregteZustandeineendlicheLebensdauer.DieQuantenelektrodynamikgibteineBeschreibungauchdiesesVorganges,indem 

sieihn,wiealleanderenProzesse,aufdieWechselwirkungmitdem

142 quantisiertenPhotonfeldzuruckfuhrt.EshatnichtanVersuchengefehlt,diehierzunotwendigeRechnungaufsemiklassischenBodennach- 

KAPITEL6.STRAHLUNGSUBERGANGE 

zuvollziehen,jedochmitzweifelhaftenErfolg:DieAbleitungensindne- 

belhaftundkeineswegsuberzeugend. furAbsorption,induzierteundspontaneEmissionineinerfestenRelationzueinanderstehenmussen,wenndiePlanckscheStrahlungsformelrichtigist.WirwollendiesenGedankenhierkurzerlauternund 

Bereits1917hatA.Einsteingezeigt,dadieWahrscheinlichkeiten 

an,dadieWandedesHohlraumesTeilchenderMasseMundderLagewichtmitderStrahlungimHohlraumbenden.WirnehmenweitelicheTemperaturTbesitzenundsichimthermodynamischenGleich- 

stellenunsvor,wirhatteneinenHohlraum,dessenWandedieeinheitdungqenthalten,diesichinverschiedenenBindungszustandendenierterEnergie,ParitatunddeniertemDrehimpulsaufhalten.Vondiesen 

TeilchenwerdenimGleichgewichtproZeiteinheitgleichvielPhotonen 

I(!)derPhotonenmitderEnergieh!,dieproZeitundFlacheaufdie E0?EvonBindungsenergienentsprechen.WirfragennachderZahl naturlichnursolcheFrequenzenauftreten,dieeinermoglichenDierenz derFrequenz!emittiertwieabsorbiert.EskonneninunseremModell 

WandtreenunderhaltenausderPlanckschenTheoriedieAntwort 

mit=(kBT)?1undh=1.IstN(E)dieAnzahlderTeilchenin I(!)=!3 

derWand,diedieEnergieEbesitzen,soergibtsichdieRate(=Zahl 2c2e!?1?1 (6.38) 

derEreignisseE!E0proZeit)furdieAbsorptioneinesPhotonsder Energieh!alsdasProdukt wobeitotderfurdenUbergangverantwortlichetotaleWirkungsquerschnittist,dessenDimension(Flache)?1ist.DergleicheWirkungsquerschnittbeschreibtauchdeninduziertenAnteilderEmission:totI(!)N(E0). 

wobeidieLebensdauerdesangeregtenNiveausE0bezeichnet7.Die HinzukommtallerdingsdieRatefurdenspontanenProze,?1N(E0), GesamtratefurdieEmissioneinesPhotonsderEnergieh!istdeshalb 7Genauer:?1istdiepartielleBreite,diedemUbergangE0!Eentspricht. 

Ra=totI(!)N(E) 

Re=[totI(!)+?1]N(E0)

AusderBedingungRa=Refolgtdann 6.5.SPONTANEEMISSION 143 

?1=totI(!) N(E0)?1! N(E) 

zenderklassischenstatistischenMechanikgenugen.Wirnehmenalso, Wirwollennunannehmen,dadieTeilcheninderWanddenGeset- 

!=E0?E (6.39) 

wieesdieBoltzmann-Verteilungvorschreibt: konkretgesprochen,an,dieeinzelnenEnergieniveausseiensobesetzt, 

Aus(6.38)und(6.39)folgtdanndieBeziehungzwischenLebensdauer N(E0)=e?E N(E) 

undtotalemWirkungsquerschnitt: e?E0 

DieeinfacheAbleitungunddasErgebnisistverbluend,weildieTemperaturhierbeinureineHilfsrollespieltundinderEndformelnicht 

2c2tot (6.40) ?1=!3 

totdieDipolnaherung(6.37),sogelangenwirzuderAussage mehrvorkommt8.DawirauchkeinespeziellenAnnahmenubertot gemachthaben,giltdieFormelsogarallgemein.Benutzenwirnunfur 

Esbleibtzuerwahnen,dah=mitdernaturlichenLinienbreitedes UbergangesE0!Eidentiziertwerdenkann. ?1=43!c32j0+1 2j+1jhj0kQ1kjij2 (6.41) 

Gesamtbreite.Da?1mitderRatefurdiespontaneEmissionubereinstimmt,folgt GesamtbreitealsSummederpartiellenBreitenunddieLebensdaueralsdieinverse ausdemexponentiellenZerfallsgesetz. StehennamlichverschiedeneZerfallskanaleE0!Eioen,soerrechnetsichdie 

dagegenmiteinementartetenElektronengaszutun,sotrittinunsererRechnungdie FermiverteilungandieStellederBoltzmann-Verteilung.Hierdurchwirdnebender wirmitklassischerStatistikderTeilcheninderWandrechnendurfen.Habenwires 8DieTemperaturunabhangigkeitderLebensdaueristnursolangerichtig,als 

weildasPauli-PrinzipdenUbergangE0!Ebehindert,undzwarumsostarker,je vollstandigerdasNiveauEbesetztist.InsolchenSituationenistdieLebensdauer TemperaturnocheinweitererParameter,namlichdieFermi-EnergieEFeingefuhrt. zusatzlichenFaktor[exp(EF?E)+1]?1vermindertist,wasplausibelerscheint, temperaturabhangig. DasErgebnisderneuenRechnungzeigt,dadiepartielleBreite(6.40)durcheinen

144 6.6 VerboteneUbergange KAPITEL6.STRAHLUNGSUBERGANGE 

Esistdenkbar,dafurgewissestationareZustandeund0dasMatrixelement(0;Q1m)verschwindet,zumBeispieldann,wenndiefur 

nichtauf,undeswaredannzuprufen,obderderFolgetermmit`=1 nemsolchenFalltrittderTermmit`=0inderEntwicklung(6.13) einenendlichenBeitragliefert.DannwaredieserBeitragzwardominant,aberdennochumeineFaktorakleiner9alsBeitragemit`=0 

elektrischeDipolubergangegultigenAuswahlregelnverletztsind.Inei- 

Allgemein:HatdasemittierteoderabsorbiertePhotoneinenBahndre- 

Faktor(a)2kleiner,undderUbergangwareweitgehendunterdruckt. himpuls`>0,soenthaltdieUbergangsrateeinenUnterdruckungsfak- 

normalerweiseseinwurden.DieUbergangsratewaresomitumeinen 

tor(a)2`("Drehimpulsbarriere"),undmansprichtvoneinemverbote- 

nenUbergang. torsberechnetwerden.AllehierfurnotwendigenTensoroperatorenlei- 

tensichvondemStromoperatorab.DieKonstruktionvollziehenwirin UmeinenverbotenenUbergangnaherzuanalysieren,mussenMatrixelementeeinesfurdenUbergangcharakteristischenTensoropera- 

Schritt: zweiSchritten,diedenFormeln(6.14)und(6.16)entsprechen.Erster 

ZweiterSchritt: G`m=q4 G`jm=X 2`+1Zd3xH`m(x)J(x;0) (6.42) 

WirwollendieStrukturderhiereingefuhrtenOperatorennaherunter- 

m1m2 m1m2m![G`m1]m2 ` 1 j (6.43) 

wollenwireinigeDenitionentreen. hen.DamitdieentstehendenAusdruckenichtunubersichtlichwerden, suchen,indemwirvonderFormel(6.22)furdenStromoperatorausge- 

fP1;P2;P3gmitsichselbstisteinTensoroperatorvomTyp`mitden Denition18Das`-facheTensorprodukteinesVektoroperatorsP= 

deniert,wobei(x)durch(3.120)gegebenist. 9Hierist=!=cundaderLadungsradius,denmandurchnqa2=Rd3x(x)jxj2

Komponenten 6.6.VERBOTENEUBERGANGE [P]`m=q4 2`+1H`m(P) (6.44) 145 

istdassymmetrischeTensorprodukt(Aj1Aj2)jvomTypjeinTensoroperatormitdenKomponenten 

j2mitdenKomponentenAj1m1undBj2m2.Furjedesjmit(j1j2j)=1 Denition19EsseienAj1undBj2TensoroperatorenvomTypj1bzw. 

wobeifA;Bg=AB+BAdenAntikommutatorbezeichnet. (Aj1Aj2)jm=X m1m2 m1m2m!12fAj1m1;Bj2m2g j2 j (6.45) 

Denitionenbenutzend,konnenwireinemsolchenTeilcheneineReihe DieSchrodinger-TheorieeineseinzelnenTeilchensbenotigtnurden 

vonTensoroperatorenzuordnen, HilfealleObservablenvonInteressekonstruiertwerdenkonnen.Unsere OrtsoperatorQunddenImpulsoperatorPalsBausteine,mitderen 

vondeneneinigephysikalischeBedeutungbesitzen,z.B.erhaltenwir dieDrehimpulskomponentenals ([Q]`1[P]`2)`m; 

WirerinnernandieimAbschnitt6.3beschriebeneSituationvonn gleichartigenTeilchenderMasseMundderLadungq,mitOrtsoperatorenQ(k)undImpulsoperatorenP(k),k=1;:::;n.Aus(6.22)und 

(6.42)folgtzunachst 

([Q]1[P]1)1m=i[QP]1m 

undsomit G`m=q 2MnXk=1[Q(k)]`mP(k)+P(k)[Q(k)]`m (6.46) 

[G`m1]m2=q 2MnXk=1n[Q(k)]`m1;[P(k)]1m2o (6.47)

146 Schlielichfolgtaus(6.43)und(6.45) KAPITEL6.STRAHLUNGSUBERGANGE 

Insbesondereerkennenwirin G`jm=qMnXk=1[Q(k)]`[P(k)]1jm (6.48) 

denOperator,derfurdieelektrischenDipolubergangeverantwortlich ist.UnterdenOperatoren(6.47)bendensichauch-voneinemFaktor2iabgesehen-diespharischenKomponentendesOperatorsMdes 

G1m=2i[M]1m M= 2MnXk=1L(k) q L(k)=Q(k)P(k) (6.49) 

G01m=(q=M)[P(1)+:::+P(n)]1m 

magnetischenMomentes: 

Strahlungsubergange!0,diedurch(0;G1m)dominiertwerden, (6.50) 

gnetischeUbergange,alleanderenalselektrischeUbergangebezeichnet. werdenUbergange,diedurchG`jmmit`=jvermitteltwerden,alsma- 

bezeichnetmandaherauchalsmagnetischeDipolubergange.Allgemein 

gibtkeineStrahlungsubergange,diedurchdenOperatorG100vermitteltwerden,selbstdannnicht,wenn(0;G100)6=0gilt.WirerhaltennamlicheinenGradientenalsBeitragdiesesMatrixelementeszum 

EinegesonderteBetrachtungerfordertderFall`=1;j=0:Es 

PhotonsundkseinImpuls,sogiltak=0(Transversalitatsbedingung), Transformierten~j(k)hatdieFormck.IstaderPolarisationsvektordes sodawiraufdieseWeisekeinenBeitragzua~j(k)bekommen,und Ubergangsstromj(x).Andersausgedruckt,derBeitrag10zurFourier- 

28)liefern.DieseUberlegunghatgezeigt,dakeinePhotonzustande damitkannG100keinenBeitragzudenWirkungsquerschnitten(6.27- 10EineeinfacheRechnungzeigt,dadieserBeitragzu~j(k)sichexplizitals 

schreibenlat. (i=3)kZd3x(0;xJ(x))=?(i=p3)k(0;G100)

`=1,gleichzeitigaberdenGesamtdrehimpulsj=0besitzt(antiparalleleStellungvonSpinundBahndrehimpuls). 

DasWigner-Eckart-TheoremerlaubtdieDarstellung produziertwerdenkonnen,beidenendasPhotondenBahndrehimpuls 6.6.VERBOTENEUBERGANGE 147 

sobaldAnfangs-undEndzustandeinendeniertenDrehimpulsbesit- 

hjfmfjG`jmjjimii= mmimf!hjfkG`jkjii j ji zen.BeachtenwirdaruberhinausnochdieParitatderdurch(6.47)ein- 

gefuhrtenOperatoren,PG`jmP=(?1)`+1G`jm; soerhaltenwirdieAuswahlregeln,dieauchdieverbotenenUbergange miteinschlieen. (6.51) 

MagnetischeUbergange:ji!jfmit(jjijf)=1undj1. ElektrischeUbergange:ji!jfmit(jjijf)=1undj1. DierelativeParitatvonAnfangs-undEndzustandist(?1)j+1. 

EinUbergangheitstriktverboten,wennerdieallgemeingultigenAuswahlregelnverletzt.DiesistfurjedenUbergangji=0!jf=0der 

DierelativeParitatvonAnfangs-undEndzustandist(?1)j. 

Fall,ungeachtetobAnfangs-undEndzustanddiegleicheParitatbesitzenodernicht.UbergangederArt0!0werdenerstinhoheren 

OrdnungenderStorungstheoriemoglich.AneinemsolchenProzesind dann(mindestens)zweiPhotonenbeteiligt,wobeidreiFalleunterschiedenwerdenkonnen: 

1.ZweiPhotonenwerdenineinemElementarprozeabsorbiert. 2.EinPhotonwirdabsorbiertuntergleichzeitigerAussendungeines 3.ZweiPhotonenwerdenineinemElementarprozeemittiert. anderenPhotons(inelastischeStreuung).

Gruppentheorie und Quantenmechanik - Physikzentrum der RWTH ...

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