Freitag 13.12.2013

Mathematik für Physiker I, WS 2013/2014 Freitag 13.12
Beweis: Für alle n, m ∈ N mit m ≥ n gilt
∣ m∑ ∣∣∣∣ a k ≤
∣
k=n
m∑
|a k |
und die Konvergenz von ∑ ∞
n=0 a n folgt mit dem Cauchy-Kriterium Satz 9 für Reihen.
Mit §4.Lemma 2.(b) und §4.Lemma 5.(a) folgt auch
∣ ∣
∣ ∞∑ ∣∣∣∣ a n =
∣ ∣ lim
n=0
n→∞
k=0
∣ ∣
n∑ ∣∣∣∣ ∣∣∣∣ n∑
a k = lim
n→∞
k=0
k=n
a k
∣ ∣∣∣∣
≤ lim
n→∞
n∑
|a k | =
k=0
∞∑
|a n |.
n=0
Genau wie die Konvergenz komplexer Reihen läßt sich auch die absolute Konvergenz
dieser Reihen an Real- und Imaginärteil ablesen.
Lemma 5.11 (Absolute Konvergenz komplexer Reihen)
Eine komplexe Reihe ∑ ∞
n=0 a n ist genau dann absolut konvergent wenn die beiden reellen
Reihen ∑ ∞
n=0 Re(a n) und ∑ ∞
n=0 Im(a n) absolut konvergent sind.
Beweis: ”=⇒” Sei ∑ ∞
n=0 a n absolut konvergent, d.h. es ist ∑ ∞
n=0 |a n| < ∞. Nach
§3.Lemma 3.(a) und Satz 4.(a) ist dann auch
∞∑
|Re(a n )|
n=0
∞∑
|Im(a n )|
n=0
≤
≤
∞∑
|a n | < ∞ und
n=0
∞∑
|a n | < ∞,
n=0
d.h. die beiden reellen Reihen ∑ ∞
n=0 Re(a n) und ∑ ∞
n=0 Im(a n) sind absolut konvergent.
”⇐=” Da die beiden Reihen ∑ ∞
n=0 Re(a n) und ∑ ∞
n=0 Im(a n) absolut konvergieren sind
A :=
∞∑
∣ Re(a n ) ∣ < ∞ und B :=
n=0
Nach §3.Lemma 3.(a) gilt für jedes k ∈ N stets
∞∑
∣ Im(a n ) ∣ < ∞.
|a k | ≤ √ 2 max{| Re(a k )|, | Im(a k )|} ≤ √ 2(| Re(a k )| + | Im(a k )|),
also folgt für jedes n ∈ N auch
n∑
|a k | ≤ √ ( n∑
2 | Re(a k )| +
k=0
k=0
n=0
)
n∑
| Im(a k )| ≤ √ 2(A + B).
k=0
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