Freitag 13.12.2013

Mathematik für Physiker I, WS 2013/2014 Freitag 13.12
Beweis: Es seien
s n :=
n∑
a k beziehungsweise t n :=
k=1
n∑
2 k a 2 k
k=0
für jedes n ∈ N die Partialsummen der Ausgangsreihe beziehungsweise der kondensierten
Reihe. Nach Satz 4.(b) ist ∑ ∞
n=1 a n genau dann konvergent wenn die Folge (s n ) n≥1
nach oben beschränkt ist und die kondensierte Reihe ∑ ∞
n=0 2n a 2 n ist genau dann konvergent
wenn die Folge (t n ) n∈N nach oben beschränkt ist. Es ist also nur zu zeigen, dass
(s n ) n≥1 genau dann nach oben beschränkt ist wenn (t n ) n∈N dies ist.
”=⇒” Sei also (s n ) n≥1 nach oben beschränkt, d.h. es gibt ein C ∈ R mit s n ≤ C für
jedes n ∈ N mit n ≥ 1. Für jedes n ∈ N mit n ≥ 1 gilt a 2 n ≤ a k für alle k ∈ N mit
2 n−1 < k ≤ 2 n , da die Folge (a k ) k∈N als monoton fallend vorausgesetzt ist, also auch
Für jedes n ∈ N folgt weiter
2 n−1 a 2 n =
2 n ∑
k=2 n−1 +1
a 2 n ≤
2 n ∑
k=2 n−1 +1
a k .
t n =
n∑
n∑
n∑
2 k a 2 k = a 1 + 2 · 2 k−1 a 2 k ≤ a 1 + 2
k=0
k=1
k=1 l=2 k−1 +1
k=1
2 k ∑
a l ≤ 2 ·
2 n ∑
a k = 2s 2 n ≤ 2C,
d.h. auch die Folge (t n ) n∈N ist nach oben beschränkt.
”⇐=” Nun nehme umgekehrt an das (t n ) n∈N nach oben beschränkt ist, es gibt also ein
C ∈ R mit t n ≤ C für jedes n ∈ N. Wieder da die Folge (a n ) n∈N monoton fallend ist
haben wir für jedes n ∈ N und alle k ∈ N mit 2 n ≤ k < 2 n+1 stets a k ≤ a 2 n und somit
auch
2 n+1 ∑−1
k=2 n a k ≤
2 n+1 ∑−1
k=2 n a 2 n = 2 n a 2 n.
Ist also n ∈ N, so ergibt die Bernoullische Ungleichung §1.Lemma 6 zunächst 2 n −1 ≥ n
und damit ist auch
∑n−1
s n ≤ s 2 n −1 =
k=0
2 k+1 ∑−1
d.h. die Folge (s n ) n≥1 ist nach oben beschränkt.
∑n−1
a l ≤ 2 k a 2 k = t n−1 ≤ C,
l=2 k k=0
Wir wollen das Kriterium einmal dazu verwenden, die Konvergenz der Reihe
∞∑
n=1
1
n α
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