Freitag 13.12.2013

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Mathematik für Physiker I, WS 2013/2014 <strong>Freitag</strong> 13.12 Es ist beispielsweise nach Satz 7 0, 6 = 2 3 = 1 − 1 3 < ∞ ∑ n=0 (−1) n 2n + 1 < 1 − 1 3 + 1 5 = 13 15 = 0, 86, und um eine bessere Abschätzung zu erhalten, berechnen wir einige weitere Partialsummen s n n = 0 1 n = 1 0, 666666 n = 2 0, 866666 n = 3 0, 723809 n = 4 0, 834920 n = 5 0, 744011 n = 6 0, 820934 n = 7 0, 754267 n = 8 0, 813091 n = 9 0, 760459 n = 18 0, 798546 n = 19 0, 772905 n = 28 0, 794016 n = 29 0, 777067 n = 98 0, 787923 n = 99 0, 782898 n = 198 0, 786654 n = 199 0, 784148 n = 998 0, 785648 n = 999 0, 785148 es ist also 0, 785148 < ∑ ∞ n=0 (−1)n /(2n + 1) < 0, 785648. Die Konvergenz der Leipnitz Reihe ist sehr langsam, wir brauchen bereits 1000 Summanden um nur drei Nachkommastellen der Summe sicher zu kennen. Wir summieren die Leipnitz Reihe jetzt in einer anderen Reihenfolge auf 1 + 1 5 − 1 3 + 1 9 + 1 11 − 1 7 + · · · =: ∞ ∑ d.h. es werden je zwei positive gefolgt von nur einem negativen Term genommen. Ist n ∈ N so stehen in der n-ten Dreiergruppe also der (2n)-te und der (2n + 1)-te positive Summand der Leipnitz-Reihe gefolgt vom n-ten negativen Summanden der Leipnitz- Reihe, d.h. a 3n = 1 4 · (2n) + 1 = 1 8n + 1 , a 3n+1 = n=0 a n 1 4 · (2n + 1) + 1 = 1 8n + 5 , a 3n+2 = − 1 4n + 3 . Wir fassen die Summanden der umgeordneten Reihe ∑ ∞ n=0 a n in Dreierblöcken zusammen und erhalten die geblockte Reihe ( 1 + 1 5 − 1 ) ( 1 + 3 9 + 1 11 7) − 1 ∞∑ + · · · = b n mit b n = a 3n + a 3n+1 + a 3n+2 = 1 8n + 1 + 1 8n + 5 − 1 4n + 3 (8n + 5)(4n + 3) + (8n + 1)(4n + 3) − (8n + 1)(8n + 5) = (8n + 1)(8n + 5)(4n + 3) 13-8 = n=0 24n + 13 (8n + 1)(8n + 5)(4n + 3) > 0
Mathematik für Physiker I, WS 2013/2014 <strong>Freitag</strong> 13.12 für ∑ jedes n ∈ N. Für jedes n ∈ N mit n ≥ 13 haben wir weiter b n ≤ 25/n 2 also auch n k=13 b k ≤ 25 · ∑∞ k=1 1/k2 < ∞, d.h. die Partialsummen der Reihe ∑ ∞ n=0 b n sind nach oben beschränkt und nach Satz 4.(b) konvergiert die Reihe ∑ ∞ n=0 b n. Nach Lemma 8 konvergiert damit auch die Reihe ∞∑ a n = n=0 ∞∑ n=0 b n > 1 + 1 5 − 1 3 + 1 9 + 1 11 − 1 7 = 3734 ∞ 4095 = 0, 911843 . . . > ∑ (−1) k 2k + 1 . In dieser Reihenfolge aufsummiert erhalten wir also eine andere Summe. Tatsächlich läßt sich zeigen, dass 1 + 1 5 − 1 3 + 1 9 + 1 11 − 1 7 + · · · = π + ln(2) 4 gilt. Die Summation unendlicher Summen ist also ” nicht kommutativ“ sondern kann wie in diesem Beispiel von der Reihenfolge der Summanden abhängen. Das ist natürlich ein eher unerfreuliches Phänomen. Von besonderen Interesse sind jetzt die ” guten Reihen“, die unabhängig von der Summationsreihenfolge immer gegen denselben Wert konvergieren. Derartige Reihen nennt man manchmal unbedingt konvergent, es wird sich aber gleich herausstellen, dass es eine einfache äquivalente Beschreibung gibt, die sogenannte absolute Konvergenz. Definition 5.2 (Absolute Konvergenz) Sei K ∈ {R, C}. Eine Reihe ∑ ∞ n=0 a n in K heißt absolut konvergent, wenn die reelle Reihe ∑ ∞ n=0 |a n| konvergent ist, wenn also ∑ ∞ n=0 |a n| < ∞ ist. Letzteres gilt dabei nach Satz 4.(b). Beispielsweise ist jede konvergente reelle Reihe mit nur nicht negativen Summanden trivialerweise auch absolut konvergent, was schon einen großen Teil unserer bisher behandelten Beispiele abdeckt. Nach Satz 1 ist für jedes q ∈ C mit |q| < 1 die geometrische Reihe ∑ ∞ n=0 qn absolut konvergent denn die Reihe der Beträge ∞∑ |q n | = n=0 ∞∑ |q| n ist wieder eine konvergente geometrische Reihe. Die geometrische Reihe wird sich als eines der wichtigsten Beispiele absolut konvergenter Reihen herausstellen. Nicht absolut konvergent ist dagegen die Reihe ∑ ∞ n=1 (−1)n /n. Wir wollen uns überlegen, dass die absolute Konvergenz einer Reihe eine stärkere Eigenschaft als ihre Konvergenz ist, dies ist zwar anhand der Definition nicht offensichtlich, läßt sich aber mit dem Cauchy- Kriterium des vorigen Abschnitts beweisen. Lemma 5.10 (Absolute Konvergenz impliziert Konvergenz) Sei K ∈ {R, C} und sei ∑ ∞ ∑ n=0 a n eine absolut konvergente Reihe in K. Dann ist ∞ n=0 a n auch konvergent und es gilt ∣ ∞∑ ∣∣∣∣ a n ≤ ∣ n=0 13-9 n=0 ∞∑ |a n |. n=0 k=0
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