Freitag 13.12.2013

Mathematik für Physiker I, WS 2013/2014 Freitag 13.12
Beweis: Für jedes n ∈ N gelten
da a 2n+2 ≤ a 2n+1 ist und
s 2(n+1) = s 2n+2 = s 2n − a 2n+1 + a 2n+2 ≤ s 2n
s 2(n+1)+1 = s 2n+3 = s 2n+1 + a 2n+2 − a 2n+3 ≥ s 2n+1
da a 2n+2 ≥ a 2n+3 ist. Damit ist die Folge (s 2n ) n∈N monoton fallend und die Folge
(s 2n+1 ) n∈N ist monoton steigend. Für jedes n ∈ N gilt außerdem
s 1 ≤ s 2n+1 = s 2n − a 2n+1 ≤ s 2n ≤ s 0 ,
d.h. (s 2n ) n∈N ist nach unten und (s 2n+1 ) n∈N ist nach oben beschränkt. Nach §4.Satz 3
existieren die beiden Grenzwerte
Nach §4.Satz 6.(a,b) ist dabei
s := lim
n→∞
s 2n und t := lim
n→∞
s 2n+1 .
t − s = lim
n→∞
s 2n+1 − lim
n→∞
s 2n = lim
n→∞
(s 2n+1 − s 2n ) = − lim
n→∞
a 2n+1 = 0,
also haben wir s = t. Nach §4.Lemma 1.(d) ist auch die Folge (s n ) n∈N konvergent mit
dem Grenzwert s = t. Dies zeigt die Konvergenz der Reihe ∑ ∞
n=0 (−1)n a n sowie
∞∑
s 2n ≥ s = (−1) n a n = t ≥ s 2n+1
für jedes n ∈ N.
n=0
Beispielsweise konvergieren damit die beiden Reihen
∞∑ (−1) n−1
n
n=1
= 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · = ln(2),
∞∑ (−1) n
2n + 1 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + · · · = π 4 ,
n=0
wobei letztere Reihe oft als die Leipnitz-Reihe bezeichnet wird. Die Grenzwerte sind
hier nur zur Information angegeben, mit den uns hier zur Verfügung stehenden Hilfsmitteln
können wir diese noch nicht weiter begründen. Man kann sich das Leipnitz
Kriterium, zumindest teilweise, auch so erklären das je zwei Summanden der Reihe zusammengefasst
werden, man also zu neuen Summanden der Form b n = a 2n − a 2n+1 ≥ 0
übergeht und so eine Reihe bestehend aus nichtnegativen Summanden erhält. Eine solche
Konstruktion kann man auch noch etwas allgemeiner betrachten, startend mit einer
beliebigen Reihe ∑ ∞
n=0 a n, fasst man die Summanden in einzelnen Blöcken zusammen
b 0 = a 0 + · · · + a n1 −1, b 1 = a n1 + · · · + a n2 −1, b 2 = a n2 + · · · + b n3 −1, . . .
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