Einkommens- und Substitutionseffekt

Kapitel 3
Einkommens- und Substitutionseffekt
Slutzky-Gleichung
(Eugen Sluts(z)ky, 1880-1948)
Frage: Welche Vorzeichen haben...
endliche...
{ }} {
∆x i ∆x i
,
∆p i ∆p
}{{} j
Kreuzpreiseffekt
bzw.
infinitesimale Änderungen
{ }} {
∂x i
, ∂x i
∂p i ∂p j
Preisänderung (∆p i ≠ 0) hat zwei Effekte:
1. Änderung der relativen Preise → Substitutionseffekt
2. Änderung der Kaufkraft → Einkommenseffekt
Seiz.B.∆p i < 0.
1. Gut i wird im Vergleich zu Gut j billiger. Der Konsument wird Gut j durch Gut i
substituieren.
2. Seine Kaufkraft nimmt zu. Bei gegebenem Nominaleinkommen kann er sich jetzt mehr
von Gut i (oder j) leisten.
Idee: Isolierung dieser beiden Effekte
Also zuerst etwa:
Änderung des Preisverhältnisses bei konstanter Kaufkraft (Substitutionseffekt)
danach dann:
Änderung der Kaufkraft bei konstanten relativen Preisen (Einkommenseffekt)
43

(Möglich ist auch die umgekehrte Reihenfolge: Zuerst Kaufkraftänderung bei konstanten
relativen Preisen, danach Änderung des Preisverhältnisses bei konstanter Kaufkraft.)
Frage: Was heißt konstante Kaufkraft?
Mögliche Antwort: Trotz veränderter relativer Preise muss das alte Güterbündel erreichbar
sein.
Graphische Verdeutlichung für Preissenkungen
Annahme: ∆p 1 = p 1 ′ − p 1 < 0 Gesamteffekt einer Preissenkung bei Gut 1
Haushaltsgleichgewichte (x ∗ 1,x ∗ 2) −→ (x ∗∗
1 ,x ∗∗
2 )
N
Abbildung 3.1: Wirkung einer Preissenkung
N
N
N
N
N
Zerlegung des Gesamteffektes in einen Substitutionseffekt und einen Einkommenseffekt
1. Ermittlung des Substitutionseffektes
• ursprüngliche Budgetgerade:
m = p 1 x 1 + p 2 x 2 −→ Haushaltsgleichgewicht (x ∗ 1,x ∗ 2)
• Budgetgerade nach Preisänderung und bei unverändertem Nominaleinkommen:
m = p 1 ′ x 1 + p 2 x 2 −→ Haushaltsgleichgewicht (x ∗∗
1 ,x ∗∗
2 )
• Budgetgerade nach Preisänderung, aber bei konstanter Kaufkraft:
m ′ = p 1 ′ x 1 + p 2 x 2 −→ (x S 1 ,x S 2 )
44

Wie bestimmt sich m ′ ?
Bei Preissenkungen nimmt die Kaufkraft zu. Um die Kaufkraft konstant zu halten, muss
Einkommen entzogen werden, von m auf m ′ . Dieses Einkommen m ′ ist dabei so bestimmt,
dass bei den neuen Preisen (p 1 ′ ,p 2 ) das alte Güterbündel (x ∗ 1,x ∗ 2) erreichbar sein muss.
Also muss das Güterbündel (x ∗ 1,x ∗ 2) beide Budgetgleichungen erfüllen:
Subtraktion liefert:
m = p 1 x ∗ 1 + p 2 x ∗ 2
m ′ = p 1 ′ x ∗ 1 + p 2 x ∗ 2
m ′ − m = (p ′ 1 − p 1 )x ∗ 1 +(p 2 − p 2 )
} {{ }
=0
∆m : = m ′ − m =∆p 1 x ∗ 1
∆m ist diejenige Änderung des Einkommens, die bei einer Preisänderung ∆p 1 erforderlich
ist, um die Kaufkraft konstant zu halten; es gilt:
∆m ≷ 0, falls ∆p 1 ≷ 0
x ∗ 2
und
m ′ = m +∆m
Abbildung 3.2: Substitutionseffekt
45

Als Substitutionseffekt bezeichnet man die durch eine Preisänderung bedingte Nachfrageänderung,
die sich bei konstanter Kaufkraft einstellt. Man spricht auch von einer
kompensierten Nachfrageänderung.
(Substitutionseffekt nach Slutsky; es gibt auch einen SE nach Hicks - dazu später.)
” Eigener“ Substitutionseffekt: ∆x S 1
∆p 1
bzw.
∂x S 1
∂p 1
Kreuzsubstitutionseffekt:
∆x S 2
∆p 1
bzw.
∂x S 2
∂p 1
Behauptungen:
a) ∆xS 1
∆p 1
≤ 0 (gilt auch im Mehr-Güter-Fall)
(Der ”
eigene“ SE ist nicht-positiv; bei streng konvexen Indifferenzkurven ist er strikt
negativ - dies ist der übliche Fall.)
Bei ∆p 1 < 0 und streng konvexen Indifferenzkurven muss gelten:
x S 1 >x ∗ 1, d.h. ∆x S 1 := x S 1 − x ∗ 1 > 0
und
∆x S 1
∆p 1
< 0.
Bei ∆p 1 > 0wäre ∆x S 1 < 0 (Verdeutlichung als Übung.)
b) Im Zwei-Güter Fall gilt:
∆x S 2
∆p 1
≥ 0 (anschaulich klar)
Im Mehr (als zwei-)Güter-Fall gilt dies allerdings nicht mehr. Man definiert dann
für i ≠ j :
∆x S i
∆p j
> 0 Güter i und j sind Substitutionsgüter
∆x S i
∆p j
< 0 Güter i und j sind Komplementärgüter
46

Man kann zeigen, dass gilt:
∆x S i
∆p j
= ∆xS j
∆p i
(Kreuzsubstitutionseffekte sind symmetrisch.)
Beispiel zur Berechnung des Substitutionseffektes (Slutsky)
Gegeben sei die Nachfragefunktion:
x 1 =10+
=⇒ x ∗ 1 =14
m
10p 1
; für m = 120; p 1 =3
Annahme: Preissenkung ∆p 1 = −1; d.h. p 1 ′ =2
Gesucht ist: x S 1 ,bzw.∆x S 1 .
Allgemein gilt: x S 1 = x 1 (p 1 ′ ,p 2 ,m ′ )
Ermittle m ′ :
m ′ = m +∆m
∆m = ∆p 1 · x ∗ 1 =(−1) · 14 = −14
m ′ = 120 − 14 = 106
x S 1 = 10+ m′
10p 1
′
= 10+ 106
10 · 2 =15.3 ⇒ ∆xS 1 := x S 1 − x ∗ 1 =1.3
∆x S 1
∆p 1
= 1.3
(−1) = −1.3
Von der kompensierten Nachfrageänderung ∆x S 1 ist die normale“ (= unkompensierte
”
oder Marshall’sche) Nachfrageänderung ∆x 1 := x ∗∗
1 − x ∗ 1 zu unterscheiden.
47

Ermittle ∆x 1 /∆p 1 :
∆x 1 = x ∗∗
1 − x ∗ 1
= x 1 (p 1 ′ ,p 2 ,m) − x 1 (p 1 ,p 2 ,m)
=
(
10 + m ) (
− 10 + m )
10p
′ 1 10p 1
= 16− 14 = 2 ⇒
∆x 1
∆p 1
= −2
Ermittlung des Einkommenseffektes
Im zweiten Schritt wird bei unveränderten (neuen) Preisen die (fiktive) Konstanthaltung
der Kaufkraft aufgehoben. Der Konsument erhält also das zuvor entzogene Einkommen
∆m zurück.
Abbildung 3.3: Substitutionseffekt und Einkommenseffekt
∆x m 1
:= x S 1 − x ∗∗
1
Bewegung A −→ B:
Bewegung B −→ C:
Substitutionseffekt
Einkommenseffekt
genauer:
Einkommenseffekte: −∆xm 1
∆p 1
, −∆xm 2
∆p 1
(mit ∆x m 2 := x S 2 − x ∗∗
2 )
48

Analytische Zerlegung der gesamten Nachfrageänderung:
∆x 1 = x ∗∗
1 − x ∗ 1
= (x ∗∗
1 − x S 1 )+(x S 1 − x ∗ 1) [Erweiterung mit x S 1 ]
= (x S 1 − x ∗ 1) − (x S 1 − x ∗∗
1 ) [Umordnen]
= ∆x S 1 − ∆x m 1
⇒
∆x 1
∆p 1
= ∆xS 1
∆p 1
− ∆xm 1
∆p 1
Nun ist
∆m = ∆p 1 · x ∗ 1 oder ∆p 1 =∆m/x ∗ 1
∆x 1
= ∆xS 1
− x ∗ ∆x m 1
1
∆p 1 ∆p 1 ∆m
( ∆x
S
1
= Substitutionseffekt, x ∗ ∆x m )
1
1
∆p 1 ∆m = Einkommenseffekt ( mit Vorzeichen)
Analog ermittelt man:
∆x 2
= ∆xS 2
− x ∗ ∆x m 2
1
∆p 1 ∆p 1 ∆m
Bei infinitesimaler Betrachtung werden diese Gleichungen zu:
∂x 1
= ∂x ∣
1 ∣∣∣S ∂x 1
− x 1
∂p 1 ∂p 1 ∂m
∂x 2
= ∂x ∣
2 ∣∣∣S ∂x 2
− x 1
∂p 1 ∂p 1 ∂m
Die letzten vier Gleichungen nennt man SLUTSKY-Gleichungen (enorm wichtig in
der Theorie des Haushalts!).
49

Beispiel zur Berechnung des Einkommeneffektes
(Fortführung des Beispiels zur Berechnung des Substitutionseffektes)
∆x m 1 = x S 1 − x ∗∗
1
= x 1 (p 1 ′ ,p 2 ,m ′ ) − x 1 (p 1 ′ ,p 2 ,m)
=
)
(10 + m′
−
10p
′ 1
= 15.3 − 16
= −0.7 ⇒
(
10 + m )
10p
′ 1
∆x m 1
∆p 1
=0.7
(
)
= x ∗ ∆x m 1
1
∆m
Gesamteffekt im Beispiel:
∆x 1
= ∆xS 1
− x ∗ ∆x m 1
1
∆p 1 ∆p 1 ∆m
Ergänzungen:
• Statt zuerst den Substitutionseffekt und dann den Einkommenseffekt zu betrachten,
könnte man auch umgekehrt vorgehen.
• Statt von einer Preissenkung könnte man auch von einer Preiserhöhung ausgehen.
Vgl. dazu die folgenden Abbildungen sowie Interpretationen.
Abbildung 3.4: Substitutionseffekt durch Drehung in A
N
)
*
+
2 HA EI I A K C ) * +
5 K > I JA BBA J
A HI JHA 2 HA EI A
- E A BBA J
@ = = K B H= BJ
N
2 HA EI A HD D K C + * )
- E A BBA J
A HI J = K B H= BJ
50
5 K > I JA BBA J
@ = HA 2 HA EI A

Abbildung 3.5: Substitutionseffekt durch Drehung in C
N
*
)
+
2 HA EI I A K C ) * +
- E A BBA J
A HI J = K B H= BJ
5 K > I JA BBA J
@ = HA 2 HA EI A
N
2 HA EI A HD D K C + * )
5 K > I JA BBA J
A HI JHA 2 HA EI A
- E A BBA J
@ = = K B H= BJ
Zusammenhang von Einkommens- und Substitutionseffekt mit normalem Gut,
inferiorem Gut, Giffen-Gut
Wir hatten definiert:
∆x 1
∆m > 0 : Gut 1 ” normal“
∆x 1
< 0 : Gut 1 inferior
∆m
∆x 1
∆p 1
> 0 : Giffen-Gut
Betrachte Slutsky-Gleichung:
∆x 1
= ∆xS 1
− x ∗ ∆x m 1
1
∆p 1 ∆p 1 ∆m
51

Fallunterscheidung:
a) Gut 1 ”
normal“
∆x S 1
∆p 1
} {{ }
< 0
− x ∗ ∆x m 1
1
} {{ ∆m}
> 0
} {{ }
< 0
= ∆x 1
∆p 1 }{{}
< 0
Bei normalen Gütern gehen Substitutionseffekt und Einkommenseffekt in dieselbe
Richtung; es gilt eindeutig ∆x 1 /∆p 1 < 0.
b) Gut 1 inferior
∆x S 1
∆p 1
} {{ }
< 0
− x ∗ ∆x m 1
1
} {{ ∆m}
< 0
} {{ }
> 0
=
∆x 1
∆p 1 }{{}
Vorzeichen unbestimmt
Zwei Fälle möglich:
b1) ∣ ∣∣∣ ∆x S 1
∆p 1
∣ ∣∣∣
<
∣
∣ x∗ 1
∆x m 1
∆m
∣ ⇒ ∆x 1
> 0
∆p 1
Giffen-Gut
x2
Abbildung 3.6: Giffen Gut
* *
x 1
x
*
1
S
x 1
x1
52

2)
∣ ∆x S 1 ∣∣∣ ∣ ≥ ∣
∆p 1
∣ x∗ 1
∆x m 1
∆m
∣ ⇒ ∆x 1
≤ 0
∆p 1
inferiores Gut, aber kein Giffen-Gut
Abbildung 3.7: Inferiores, aber kein Giffen-Gut
x2
*
x1
* * S
x 1 x 1
x1
also: Inferiorität ist notwendig, aber nicht hinreichend für Giffen-Güter
Spezialfall: Einkommens- und Substitutionseffekte bei quasi-linearer Nutzenfunktion
Abbildung 3.8: Quasi-lineare Präferenzen
N
N
N
5
N
N
(Keine Einkommenseffekte bezüglich Gut 1.)
53

Substitutionseffekte: Slutsky versus Hicks
Die Ermittlung von Substitutions- und Einkommenseffekt nach Slutsky ist in der Literatureherunüblich
(Varian ist insofern eine Ausnahme).
Weitaus üblicher ist die Vorgehensweise von J.R. Hicks (1904-1994, Nobelpreis 1972).
Danach wird der Substitutionseffekt nicht bei konstanter Kaufkraft, sondern bei konstantem
Nutzenniveau ermittelt (mit entprechender Änderung des Einkommenseffektes). Die
folgende Abbildung verdeutlicht den Unterschied:
N
Abbildung 3.9: Hicks-Substitutionseffekt
) *
+
*
N
Bei infinitesimaler Betrachtung verschwinden die Unterschiede zwischen Hicks und Slutsky;
übliche Schreibweise ist dann:
∂x 1
= ∂x ∣
1 ∣∣∣ū ∂x 1
− x 1
∂p 1 ∂p 1 ∂m
” ∣ “steht für: konstanter Nutzen“
u
”
Für steuerpolitische Anwendungen ist allerding die Slutsky-Zerlegung in Substitutionsund
Einkommenseffekt geeigneter.
→ Verdeutlichung am Beispiel Mineralölsteuer vs. Einkommensteuer von oben; vgl. die
folgende Abbildung.
54

N
Abbildung 3.10: Einkommensteuer vs. Mineralölsteuer
0 = K I D = JI C A E? D C A M E? D J
L H 5 JA K A H )
> A E- E A I JA K A H *
> A E E A H = I JA K A H +
+
*
)
N
Definition und Schlußfolgerungen:
• Eine Einkommensteuer ruft (in diesem einfachen Modell) nur Einkommenseffekte,
aber keine Substitutionseffekte hervor (A → B.)
• Steuern die nur Einkommenseffekte hervorrufen, nennt man Pausch(al)steuern
oder ”
Lump-sum-Steuern“.
• Verbrauchsteuern rufen Einkommenseffekte und Substitutionseffekte hervor (A →
B → C).
• Einkommenseffekte führen zu Nutzenverlusten; bei aufkommensgleichen Besteuerungsalternativen
sind die Einkommenseffekte und die entsprechenden Nutzenverluste
gleich groß.
• Substitutionseffekte führen zu zusätzlichen Nutzenverlusten. Diese Nutzenverluste
stellen die Zusatzlasten der Besteuerung dar.
• Steuern, die neben den Einkommenseffekten auch Substitutionseffekte und damit
Zusatzlasten hervorrufen, bezeichnet man als ”
verzerrende“ Steuern.
55

• Die mit Einkommenseffekten einhergehenden Nutzenverluste sind unvermeidlich; die
mit Substitutionseffekten verbundenen (= Zusatzlasten) sind prinzipiell vermeidbar.
• Steuerpolitische Schlussfolgerung: Wähle solche Steuern, bei denen die Zusatzlasten
minimal (möglichst Null) sind.
Dualitätstheorie: Ausgabenfunktion und indirekte Nutzenfunktion
In vielen theoretischen und empirischen Anwendungen erweist es sich als sinnvoll, statt
mit der (direkten) Nutzenfunktion mit der Ausgabenfunktion (expenditure function) oder
der indirekten Nutzenfunktion zu arbeiten.
Ausgabenfunktion:
Das Maximierungsproblem des Haushalts lautete bislang:
Max u(x 1 ,x 2 )
u.d.N. p 1 x 1 + p 1 x 2 = m
Abbildung 3.11: Nutzenmaximierung bei gegebener Budgetbeschränkung
N
N
K
N
N
Graphisch: Bei gegebener Budgetgeraden wird die höchste erreichbare Indifferenzkurve
gesucht. Als Ergebnis erhält man die (Marshallschen) Nachfragefunktionen
x 1 = x 1 (p 1 ,p 2 ,m) und x 2 = x 2 (p 1 ,p 2 ,m).
Das Konsumgüterbündel (x ∗ 1,x ∗ 2)lässt sich aber auch als Lösung eines anderen Optimierungsproblems
darstellen. Man ermittelt die minimalen Ausgaben, die bei gegebenen
Preisen benötigt werden, um ein vorgegebenes Nutzenniveau zu erreichen. Es sei u ∗ vorgegeben.
56

Graphische Ermittlung der minimalen Ausgaben:
Abbildung 3.12: Ausgabenminimierung bei gegebenem Nutzenniveau
N
N
K
N
N
Formales Optimierungsproblem:
Der Lagrange-Ansatz lautet:
Minimiere p 1 x 1 + p 2 x 2
n.d.N. u ∗ = u(x 1 ,x 2 )
L(x 1 ,x 2 ,λ)=p 1 x 1 + p 2 x 2 + λ[u ∗ − u(x 1 ,x 2 )]
Die Bedingungen erster Ordnung (notwendige Bedingungen) für ein Minimum sind:
∂L
=0= p 1 − λ ∂u
∂x 1 ∂x 1
(a)
∂L
=0= p 2 − λ ∂u
∂x 2 ∂x 2
(b)
∂L
∂λ =0= u∗ − u(x 1 ,x 2 ) (c)
Als Lösung dieses Minimierungsproblems erhält man die nachgefragten Mengen x 1 und
x 2 in Abhängigkeit der exogenen Variablen p 1 ,p 2 und u. Die Nachfragefunktionen lauten
also:
x 1 = x 1 (p 1 ,p 2 ,u)
x 2 = x 2 (p 1 ,p 2 ,u).
Man beachte, dass die nachgefragten Mengen jetzt nicht wie bei den Marshallschen Nachfragefunktionen
vom Einkommen m, sondern vom Nutzenniveau u abhängen. Man spricht
von einer kompensierten Nachfragefunktion.
57

Setzt man nun die kompensierten Nachfragemengen in die Zielfunktion des obigen Minimierungsproblems
ein, erhält man die Ausgabenfunktion E, die von den Preisen und dem
Nutzenniveau abhängt:
E(p 1 ,p 2 ,u):=p 1 x 1 (p 1 ,p 2 ,u)+p 2 x 2 (p 1 ,p 2 ,u)
Die Ausgabenfunktion gibt die minimalen Ausgaben an, die bei gegebenen Preisen zur
Realisierung eines vorgegebenen Nutzenniveaus erforderlich sind.
Von den Eigenschaften der Ausgabenfunktion sind wichtig:
a) Shepard’s Lemma
∂E(·)
∂p i
= x i (p 1 ,p 2 ,u) i =1, 2
Die Ableitung der Ausgabenfunktion nach dem i-ten Preis ergibt die kompensierte
Nachfrage nach Gut i.
Beweis:
∂E(·)
∂p 1
= x 1 (p 1 ,p 2 ,u)+p 1
∂x 1
∂p 1
+ p 2
∂x 2
∂p 1
Berücksichtige aus (a): p i = λ ∂u
∂x i
Dann ist
∂E(·)
∂p 1
[ ∂u ∂x 1
= x 1 (p 1 ,p 2 ,u)+λ + ∂u ]
∂x 2
∂x 1 ∂p 1 ∂x 2 ∂p 1
Setzt man die (kompensierten) Nachfragefunktionen in die Nebenbedingung (c) ein,
wird diese zur Identität.
u ∗ ≡ u(x 1 (p 1 ,p 2 ,u),x 2 (p 1 ,p 2 ,u))
(≡ ist Identität)
Ableitung nach p 1 liefert dann:
Damit folgt die Behauptung.
0= ∂u
∂x 1
∂x 1
∂p 1
+ ∂u
∂x 2
∂x 2
∂p 1
Ferner gilt:
b)
∂ 2 E
∂p j ∂p i
= ∂x 1
∂p j
(p 1 ,p 2 ,u)
i ≠ j
(Die zweite Ableitung der Ausgabenfunktion gibt gerade die Substitutionseffekte
der Slutzky-Gleichung - nach Hicks - an.)
58

c)
∂ 2 E
∂p j ∂p i
=
∂2 E
∂p i ∂p j
bzw.
∂x i
∂p j
(p 1 ,p 2 ,u)= ∂x j
∂p i
(p 1 ,p 2 ,u)
Die Substitutionseffekte sind symmetrisch, falls E(·) zweimal stetig differenzierbar
(Young’s Theorem).
Indirekte Nutzenfunktion:
Setzt man die (Marshallschen) Nachfragefunktionen x 1 (p 1 ,p 2 ,m) und x 2 (p 1 ,p 2 ,m)indie
(direkte) Nutzenfunktion ein, erhält man die indirekte Nutzenfunktion V ,dievonden
Preisen p 1 ,p 2 und vom Einkommen m abhängt:
V (p 1 ,p 2 ,m):=u(x 1 (p 1 ,p 2 ,m),x 2 (p 1 ,p 2 ,m)).
Die wichtigste Eigenschaft der indirekten Nutzenfunktion ist die sogennante ROY-Identität
(die tatsächlich aber gar keine Identität ist):
∂V/∂p i
∂V/∂m = −x i(p 1 ,p 2 ,m).
Die (Marshallsche) Nachfragefunktion erhält man also als Verhältnis der partiellen Ableitungen
der indirekten Nutzenfunktion nach einem Preis und dem Einkommen.
Beweis:
∂V
∂p 1
= ∂u
∂x 1
∂x 1
∂p 1
+ ∂u
∂x 2
∂x 2
∂p 1
∂V
∂m = ∂u ∂x 1
∂x 1 ∂m + ∂u ∂x 2
∂x 2 ∂m
Aus den Gleichungen (I) von S.26 erhält man:
∂u
∂x 1
= λp 1 ;
∂u
∂x 2
= λp 2 ;
und eingesetzt:
[
]
∂V ∂x 1 ∂x 2
= λ p 1 + p 2
∂p 1 ∂p 1 ∂p
[
1
]
∂V
∂m = λ ∂x 1
p 1
∂m + p ∂x 2
2
∂m
59

Setzt man nun die Nachfragefunktionen in die Budgetbeschränkung ein, wird diese zur
Identität:
mit den Ableitungen:
p 1 x 1 (p 1 ,p 2 ,m)+p 2 x 2 (p 1 ,p 2 ,m) ≡ m,
(≡ ist Identität)
x 1 + p 1
∂x 1
∂p 1
+ p 2
∂x 2
∂p 1
=0 ⇒ p 1
∂x 1
∂p 1
+ p 2
∂x 2
∂p 1
= −x 1
p
∂x 1 1
∂m + p ∂x 2
2
∂m =1
Oben eingesetzt und dividiert, erhält man gerade die ROY-Identität.
60