Minimumprinzipien - Sursee
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Maturaarbeit 2006<br />
im Fach Physik<br />
Linda Staub 6d<br />
1<br />
2. Beispiel: f ( x)<br />
,<br />
x<br />
2<br />
1 2 3<br />
x<br />
f g'<br />
3x<br />
<br />
x 2<br />
g( x)<br />
x<br />
3<br />
<br />
<br />
f<br />
g<br />
'<br />
<br />
<br />
f ' g<br />
x<br />
x<br />
<br />
2<br />
3<br />
<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2 x<br />
4. Das Problem des kürzesten Wegs<br />
Die Lösung dieses Problems ist uns intuitiv schon bekannt. Für jedermann ist es<br />
selbstverständlich, dass die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten eine Gerade<br />
ist.<br />
Im Folgenden wird versucht, diese Behauptung unter Anwendung der Euler-<br />
Lagrange Gleichung zu beweisen. 1<br />
.<br />
y<br />
ds<br />
dx<br />
dy<br />
A<br />
B<br />
x<br />
Abb.4. Darstellung des Problems des kürzesten Wegs.<br />
In der Skizze sehen wir eine Kurve, die eine Verbindung zwischen dem Punkt A und<br />
B darstellt. Unser Ziel ist es, die Länge dieser Kurve zu minimieren, wobei<br />
ds<br />
2 2<br />
dy dx das infinitesimale Längenelement ist.<br />
(4.1)<br />
Somit ist die Summe aller ds<br />
B<br />
dy <br />
dx <br />
dx <br />
dx <br />
ds ds dx <br />
A<br />
B<br />
A<br />
2<br />
2<br />
B<br />
A<br />
y<br />
' 2<br />
1dx<br />
(4.2)<br />
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