Minimumprinzipien - Sursee

Maturaarbeit 2006
im Fach Physik
Linda Staub 6d
5. Bernoullis brachistochrone Problem
1696 befasste sich Johann Bernoulli von der Universität Basel mit folgendem
Problem 1 . :
Gesucht ist die Bahn (Funktion), auf der ein Massenpunkt im homogenen
Schwerefeld in kürzester Zeit von einem Startpunkt A ( 0 / 0)
den Zielpunkt B ( x B
/ yB
)
erreicht. Die Reibung ist als vernachlässigbar zu betrachten.
Der Name kommt aus dem Griechischen (brachistos= kürzeste, chronos= Zeit).
x
y
Abb. 5. Bernoullis brachistochrone.
Der erste Schritt besteht darin, das Lagrangian zu suchen.
Wir wissen aus dem vorherigen Kapitel, dass
ds
2 2
dy dx das infinitesimale Längenelement ist.
(5.1)
Die Summe aller ds, also die Kurvenlänge, ist somit:
B
ds y' 2
ds 1
A
B
A
dx
Diesmal muss aber die Zeit minimiert werden.
Somit gilt:
ds
dt , wobei v die Geschwindigkeit des Massenpunktes ist.
v
Das Integral lautet dann:
I
B
A
ds
v
B
A
y' 2 1
dx .
v
Wir merken, dass v eine Funktion der Höhe y sein muss, aufgrund er
unkonventionellen Wahl der y- Achse (nach unten).
(5.2)
(5.3)
(5.4)
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