Minimumprinzipien - Sursee

Maturaarbeit 2006
im Fach Physik
Linda Staub 6d
Wenn man y mit a( 1
cos
) ersetzt, dann lautet das Integral:
2
x x0 2a
sin d
a
sin
.
2
(5.15)
Somit erhalten wir für die Lösung des brachistochrone Problems:
x a
sin
x0
y a1 cos
(5.16)
(Lösung in parametrischer Form)
Diese Gleichungen sind mir schon vom Unterricht als parametrische Darstellung der
Zykloide bekannt.
6. Minimumprinzipien in der klassischen Mechanik
Mit Mathematik der Variationsrechnung ist es auch möglich einen grossen Teil der
klassischen Mechanik auszudrücken. Ich werde hier versuchen, die Argumente für
die Anwendung des Variationsprinzips in der Mechanik zu schildern.
6.1 Freie Bewegung
Als ersten Schritt betrachten wir eine eindimensionale Bewegung mit konstanter
Geschwindigkeit. Die potentielle Energie ist immer gleich.
Es resultiert die bekannte, einfachste Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.
x
x B
x
t
v
0
t
x
v const
x
t
2
2
0
x
t
1
1
(6.1)
x A
t A
t B
t
Abb.6. Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.
• Seite 13