Minimumprinzipien - Sursee
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Maturaarbeit 2006<br />
im Fach Physik<br />
Linda Staub 6d<br />
Somit gilt aufgrund der Energieerhaltung:<br />
1 2<br />
mv mgy v 2gy<br />
2<br />
Und für unser Integral erhalten wir:<br />
(5.5)<br />
I<br />
<br />
1<br />
2g<br />
1<br />
2g<br />
x B<br />
<br />
0<br />
1<br />
y'<br />
y<br />
2<br />
dx<br />
ist für die Suche von y(x) ein irrelevanter Faktor.<br />
(5.6)<br />
Unser Lagrangian lautet somit:<br />
1 y'<br />
2<br />
y<br />
(5.7)<br />
Überraschenderweise bin ich zum Entschluss gekommen, dass die Euler- Lagrange<br />
Gleichung in Standardform zu recht komplizierten Ausdrücken führt.<br />
Somit ist es sinnvoll, nach Vereinfachungen zu suchen.<br />
Vereinfachung<br />
Die Funktion f ( x,<br />
y,<br />
y'<br />
) ist nicht explizit von x abhängig, nur von y und y’.<br />
Mit diesem Gedanken im Hintergrund betrachten wir<br />
Wir leiten ab.<br />
d<br />
dx<br />
f<br />
f<br />
d f<br />
f<br />
f<br />
f<br />
y' f = y'<br />
' y'<br />
y'<br />
y'<br />
', wobei<br />
y'<br />
y'<br />
dx y'<br />
x<br />
y<br />
y'<br />
d<br />
f<br />
f<br />
f<br />
f ( x,<br />
y,<br />
y')<br />
y'<br />
y''<br />
dx<br />
x<br />
y<br />
y'<br />
=<br />
d<br />
dx<br />
f<br />
<br />
y' f . (5.8)<br />
y'<br />
<br />
f<br />
d f<br />
<br />
f<br />
y' <br />
<br />
(5.9)<br />
y<br />
dx y'<br />
<br />
x<br />
Wir wissen, dass die Euler- Lagrange Gleichung null ergeben muss.<br />
Wenn nun f nicht explizit von x abhängig ist, dann gilt<br />
f<br />
x<br />
0<br />
und der 2. Term ergibt auch 0.<br />
• Seite 11
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