Minimumprinzipien - Sursee

Maturaarbeit 2006
im Fach Physik
Linda Staub 6d
6.2 Die Newton’schen Bewegungsgleichungen als Folge des Variationsprinzip
Wenn nun aber nicht nur die kinetische Energie im Spiel ist, sondern auch die
potentielle Energie, dann muss das Lagrangian folgendermassen konstruiert sein:
Lt, qi , qi
T
qi
, qi
V
q
i
, t , wobei T = kin. Energie und
V = potentielle Energie.
(6.6)
Es wird in einem späteren Schritt darauf eingegangen, weshalb die potentielle
Energie von der kinetischen Energie subtrahiert werden muss und nicht addiert.
Unser Integral lautet dann:
I
t B
t A
L
dt
Angenommen,
1
2
T m
x x
2
V V x , x x
2
x
1 2 3
1 2
,
3
2
L
1
2
2 2 2
m
x1 x x
2 3
- V x1 , x2
, x3
(6.7)
Somit ergibt die Euler- Lagrange Gleichung:
V
x
i
d
dt
m xi
0
, i= 1, 2, 3
(6.8)
oder
m x
i
V
x
i
(6.9)
V
Solange die Kraft des Teilchens in die x i - Richtung ist, ist es nichts anderes als
x i
das 2. Newtonsche Gesetz.
m r V
F
(6.10)
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