Y5 - Allgemeine und theoretische Elektrotechnik

Grundlagen der Elektrotechnik GET 2 

[Buch GET 2: Seiten 276-323] 

8. Netzwerkanalyse 

• Warum Knotenpotenzialanalyse? 

• Die Knotenpotenzialanalyse 

• Warum Maschenstromanalyse? 

• Die Maschenstromanalyse 

• Kriterien der klugen Methodenwahl 

Die Knotenpotenzialanalyse I 

Warum Knotenpotenzialanalyse? 

(1) Vorteile / Nachteile: 

• Verringerter Rechenaufwand (+): 

Netzwerk: k Knoten (1) Beim vollständigen Gleichungssystem (Folie 150) 

z Zweige müssen z Gleichungen gelöst werden. 

(2) Beim Knotenpotenzialverfahren müssen lediglich 

k – 1 Gleichungen für k – 1 Knotenpotenziale 

gelöst werden. Bei grossen Netzwerken gilt im 

Regelfall: k – 1 < z. 

• Keine idealen Spannungsquellen zugelassen (–): 

Als unabhängige Anregungen gelten vorerst nur 

ideale/reale Stromquellen und reale Spannungsquellen 

(letztere sind in reale Stromquellen 

umzuwandeln). 

-333- 

-334- 

1

Die Knotenpotenzialanalyse II 

Warum Knotenpotenzialanalyse? 

(2) Vorgehensweise: 

(1) Netzwerktopologie formalisieren: 

Stichwort «Digraph». 

(2) Kirchhoffschen Gesetze formalisieren: 

Kompakte Darstellung für KCL. 

(3) Knoteninzidenzmatrix 

(vollständige und reduzierte Variante) 

(4) Zweigadmittanzmatrix 

(5) Knotenadmittanzmatrix 

(6) Gleichungssystem für Knotenpotentiale 

(herleiten und lösen) 

(7) Algorithmus der Knotenpotenzialanalyse 

(am Netzwerk nachvollziehen) 

(8) Zusammenfassung und Ausblick 

Die Knotenpotenzialanalyse III 

Die Netzwerktopologie 

(1) Variablen: 

Beziehung zwischen den 

abhängigen Variablen ist 

nur durch die Topologie 

des passiven Netzwerkes 

gegeben: 

� Stromquellen weglassen. 

(2) Bezugssystem: 

Abhängigen Variablen in ein 

Bezugssystem einbetten: 

� Knoten-Nummerierung k 

� Zweig-Nummerierung z 

� Zweigstromrichtung 

i q1 

� Gerichteter Graph: «Digraph». 

�1 � 

i 1 

�1 � 

i 4 

Y 1 

i 1 

Y 4 

Y 2 

i 4 

i 2 

i 2 

i 3 

i 3 

�2 � 

Y 3 

� 

�4 �2 � 

� 

�4 Y 5 

i 5 

i 6 

i 5 

i 6 

�3 � 

Y 6 

�3 � 

i q2 

Scheitelwertzeiger 

bzw. 

Effektivwertzeiger. 

�k : Knotenpotenziale 

iz : Zweigströme 

-335- 

-336- 

2

Die Knotenpotenzialanalyse IV 

Die Kirchhoffschen Gesetze 

(1) Der Knotensatz (KCL): 

�1 � 

n 

� 

� =1 

�1 � 

i 1 

i 4 

i 2 

i 3 

�2 � 

� 

�4 i � = 0 

Knoten μ 

i 1 

i 4 

i 2 

i 3 

�2 � 

� 

�4 i 5 

i 5 

i 6 

�3 � 

(KCL) 

Kirchhoff 

current law 

i 6 

�3 � 

(A) Aufstellen der Knotengleichungen: 

Knoten / Zweige 

z 

k 1 2 3 4 5 6 

� � i1 + i 2 � i 4 =0 

� � i 2 + i 3 + i 4 + i 5 =0 

� � i 5 � i 6 =0 

� i1 � i 3 + i 6 =0 

Summe = 0 � System ist linear 

abhängig! 

Die Knotenpotenzialanalyse V 


(1) Der Knotensatz (KCL): 

(C) Allg. Knoteninzidenzmatrix (k � z): 

�+1 

� 

kij = ��1 

� 

� 0 

: Zweig j in Knoten i 

: Zweig j aus Knoten i 

: berühren sich nicht 

i 

(B) Zugehörige Matrixgleichung: 

j 

[ Ka ] 

z 

Allgemeine 

Knoteninzidenzmatrix � i � 

k 

1 

� � 

��1 

1 0 �1 0 0��i2� 

�0� 

� 

� � � 

� 0 �1 1 1 1 0 i � � 

� � 3 � 

� 

� 0 0 0 0 �1 �1� 

� 

i 

� = �0� 

�0� 

4 

� 

� � � � � 

� 1 0 �1 0 0 1��i 

� �0� 

5 � � 

� 

� 

i � 

6 � 

Summe = 0 � System ist linear abhängig! 

K [ a ]� � i = � 0 

Phasor: komplexer Vektor 

(KCL) 

Matrixschreibweise 

-337- 

-338- 

3

Die Knotenpotenzialanalyse VI 


(2) Linear unabhängige Stromgleichungen: 

�1 � 

i 1 

i 4 

i 2 

i 3 

�2 � 

� 

Bezugsknoten �4 K [ ]� � i = � 0 

�1 � 

i 1 

i 4 

i 2 

i 3 

�2 � 

i 5 

i 6 

� 3 

� 

(KCL) 

linear unabhängig 

i 5 

� 

Bezugsknoten �4 = 0 

i 6 

� 3 

� 

Stromgleichungen werden linear unabhängig: 

(i) Reduktion des Gleichungssystems um eine 

Knotengleichung. 

(ii) Knoten � wählen (Referenz, «datum»): frei 

wählbar, typischerweise wählt man Knoten 

mit vielen Zweigverbindungen (cf. Folie 343). 

(iii) Knoteninzidenzmatrix um Zeile 4 reduzieren: 

� reduzierte Knoteninziedenzmatrix 

[K] der Dimension (k – 1) � z 

Zeile 4 streichen 

i z 

+ 

– 

u z 

��1 

1 0 �1 0 0� 

� 

� 

0 �1 1 1 1 0 

�� K �� = � 

� 

� 0 0 0 0 �1 �1� 

� 

� 

� 1 0 �1 0 0 1� 

Die Knotenpotenzialanalyse VII 


(3) Zweigspannungen: 

(A) Referenzen: 

Bezugsknoten: � 4 = 0 

Assoziierte Zweiggrössen 

� Zweige zum Bezugsknoten 

(B) Berechnung der Zweigspannungen: 

Knoten / Zweige 

� � � 

z 

� u = 1 �1 1 

u 2 = �� 1 +� 2 2 

� u = �� 3 

3 2 

u 4 = � 1 �� 2 4 

u 5 = �� 2 � 3 5 

� u = � 6 

6 3 

k 

-339- 

-340- 

4

Die Knotenpotenzialanalyse VIII 



�1 � 

i 1 

i 4 

i 2 

i 3 

�2 � 

i 5 

� 


i 6 

� 3 

� 

(D) Bildungsgesetz der Matrix [B] z � (k – 1) : 

�+1 

� 

bji = ��1 

� 

� 0 

: Zweig i aus Knoten j 

: Zweig i in Knoten j 

: berühren sich nicht 

(C) Zugehörige Matrixdarstellung: 

�u 

� j 

1 

� � � 1 0 0 � 

z 

�u2 

� � � 

� � ��1 

1 0 � � 

�u3 

� � 0 �1 0 � � 

� 

u 

� = � � � � 

1 �1 0 

� 4 � � � � 

�u 

� � 0 �1 1 � � 

5 � � � � 

� 

� 

u � �� 

0 0 1 �� 

6 � 

� 

u = B 

[ ]� � � 

Die Knotenpotenzialanalyse IX 



�1 � 

i 1 

i 4 

i 2 

i 3 

�2 � 

i 5 

� 


i 6 

� 3 

� 

i 

k 

z � (k – 1) 

Matrix 

� 1 

� 2 

� 3 

(E) Bezug zur Knoteninzidenzmatrix: 

Vergleicht man das Bildungsgesetz der 

Matrix [B ] (cf. Folie 341) mit demjenigen 

der Knoteninzidenzmatrix (Folie 338), 

b ji = �k ij 

dann ergibt sich die folgende Matrixrelation: 

[ B]= 

�[ K ] T 

Für die Zweigspannungen gilt demnach: 

� 

u = � K 

[ ] T � � � 

-341- 

� 

� 

� 

� 

� 

negative, 

transponierte 

Knoteninzidenzmatrix 

-342- 

5

Die Knotenpotenzialanalyse X 


(3) Zweigspannungen: (F) Zur Festlegung der Knotenspannungen: 

� Die Knotenspannungen gehen aus den 

4 

Differenzen der Knotenpotentiale zum Referenzknoten 

(RK) hervor. Der letztere ist in 

�1 � 

2 �2 � 

5 �3 � 

der Praxis oft der Masseknoten (�4 = 0). 

� Lineare Unabhängigkeit des Gleichungs- 

1 3 6 

systems für die Knotenpotenziale wird bei 

k Knoten mit der Wahl des RK erzielt: Es 

� 

RK �4 = 0 

sind dadurch nur noch (k – 1) unbekannte 

Knotenpotenziale zu ermitteln. 

RK: Referenz-, bzw. Bezugsknoten 

� Eine sichere Festlegung der Knotenpotenziale 

und des RK erfolgt über den Baum mit 

seinen zB = (k – 1) Baumzweigen (Folie 139). 

Merke: Mit dem linear unabhängige System 

von (k – 1) Baumzweigspannungen sind alle 

Spannungen im Netzwerk bestimmt. 

Die Baumzweigspannungen sind gerade die 

Knotenspannungen (-potenziale), falls die 

Baumzweige (der Baum) so gewählt werden, 

dass sie vom RK ausgehen (cf. Folie 340). 

Die Knotenpotenzialanalyse XI 


(3) Zweigspannungen: (G) Zum negativen Vorzeichen: 

[ B]= 

�[ K ] T 

3 

� 

� =1 

i 1 

i � = 0 

Knoten μ 

i 3 

μ 

i 2 

� n 

� Der Zusammenhang zwischen den Zweigspannungen 

wird mittels der negativen, transponierten 

Knoteninzidenzmatrix wiedergegeben (positiv wäre 

irgendwie schöner). 

� Das negative Vorzeichen rührt von der Definition 

des Knotensatzes (KCL) her. 

� Bisher: Ströme, die in den Knoten � fliessen werden 

positiv gezählt, die wegfliessenden entsprechend 

negativ. 

� Die Multiplikation der Knotenregel (KCL) mit dem 

Faktor –1 ergibt eine identische Knotenregel. 

� «Neue» Knotenregel: Ströme die wegfliessen zählt 

man positiv u.u. ist physikalischer, da es der Auffassung 

Strömungsfeldes mehr entspricht: Die Stromdichtebilanz 

durch die Hüllfläche (rot) ergibt Null. 

-343- 

-344- 

6

Die Knotenpotenzialanalyse XII 

Netzwerkanalyse 

(1) Einfügen der Stromquellen in die Knotengleichungen: 

�1 �2 �3 � � � 

i q1 

i 1 

i 4 

i 2 

i 3 

� 

K [ ]� � i = � � i q 

� 

i4 u4 i2 u 2 

i1 u1 i 3 

� 

� 

u 3 

i 5 

i 6 

i q2 

(KCL) 

mit Stromquellen 

i 5 

u 5 

i6 u6 � 

Knoten / Zweige: 

k 

� 

� 

� 

(A) Knotengleichungen mit Stromquellen: 

i qμ = 

K �� i 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

z 

q 1 

+ i q1 

� 

i q 

q 2 

Quellenströme i q� die in 

den Knoten μ eintreten � 

bzw. austreten � zählen. 

Die Knotenpotenzialanalyse XIII 


(2) Die Zweigadmittanzmatrix: 

i z 

+ 

– 

u z 

(A) Zweigrelation: 

i z = Y z � u z 

komplexe Zahl 

� 

i = � 

�Y 

� z � � � u 

� i 1 � 

� 

i 

� 

� 2 � 

� i 3 � 

� � 

� � � 

� 

� 

� = 

� i � 

q2 � 

� 0 

� 

� 

� 

� 

� 

(C) Zweigrelationen mittels Zweigadmittanzmatrix: 

komplexer Vektor (Phasor) 

Die Zweigadmittanzmatrix ist eine (z � z)-Diagonalmatrix 

(B) Zweigrelationen bezüglich des Netzwerkes: 

�Y 

1 0 0 �� 

�u 

1 � 

� 

0 Y 2 0 

� � 

u 

� 

= � 

� � � 2 � 

� 0 0 Y 3 � �u 

3 � 

� 

� � � 

� � �� 

-345- 

-346- 

7

Die Knotenpotenzialanalyse XIV 


(3) Die Knotenadmittanzmatrix: 

(A) Rekapitulation der bisherigen Netzwerkbeziehungen: 

Zweigrelationen: Zweigspannungen: 

Y � 

� 

� z �� u = � i 

(B) Knotenadmittanzmatrix: 

� 

�Y 

� k � = K 

(k – 1) � (k – 1) 

Matrix 

[ ]�Y � z 

� 

� 

u = � K 

[ ] T � � � 

Y � 

� z 

� 

��[ K ]T 

� 

�Y 

� k �� = � i q 

� 

��( �[ K ]T) 

� � = � i 

Knotengleichungen: 

K [ ]� � i = � � i q 

[ K ]�� Y 

� z ��( �[ K ]T)� 

� � = � � i q 

[ K ]�� Y 

� z �� K [ ]T� � � = � i q 

Die Knotenpotenzialanalyse XV 


(4) Die Knotenpotenzialgleichung: 

Y � 

� 

� k �� = � i q 

Gleichungsystem für die (k – 1) 

Knotenpotenziale � 1 ,…, � k – 1 . 

Gleichungsystem lösen 

� 

� T = ( �1, �2,…,� k�1 ) 

� 

u = � K 

[ ] T � � � 

Y � 

� 

� z �� u = � i 

mittels Cramerscher Regel 

Gauss-Algorithmus, etc. 

Knotenpotenziale 

Zweigspannungen 

Zweigströme 

-347- 

-348- 

8

Die Knotenpotenzialanalyse XVI 


(5) Ein Algorithmus als Zusammenfassung: 

(1) Unabhängige Quellen weglassen � reduziertes, passives Netzwerk 

(2) Knoten und Zweige nummerieren � Digraph 

(3) Knoteninzidenzmatrix und Referenz � reduzierte Knoteninzidenzmatrix [K ] 

(4) Stromquellenvektor erstellen � i q 

(5) Zweigadmittanzmatrix erstellen � [Y z ] 

(6) Knotenadmittanzmatrix ermitteln � [Y k ] 

(7) Knotenpotenzialgleichung aufstellen � [Y k ]·� = i q 

(8) Knotenpotenzialgleichung lösen � Matrixgleichung nach � auflösen 

(9) Zweigspannungen aus � berechnen � u 

(10) Zweigströme aus u berechnen � i 

� 

� 

� 

� 

� 

Lösung: �, u, i 

� 

� � � 

Die Knotenpotenzialanalyse XVII 

Beispielnetzwerk berechnen 

(1) Schaltungstopologie aus Folie 336: 

i q1 

�1 � 

i 1 

i 4 

Y 1 

Y 4 

Y 2 

i 2 

i 3 

�2 � 

Y 3 

� 

�4 (B) Stromquellenvektor: 

� 

i q = 

� i � q1 

� � 

� 0 � 

�� 

i � 

�� 

q2 �� 

Y 5 

i 5 

i 6 

�3 � 

Y 6 

i q2 

Gesucht: 

Die Stromstärke i 3 , 

Knoten 4 sei hier 

ein Masseknoten. 

(A) (Reduzierte) Knoteninzidenzmatrix: 

��1 

1 0 �1 0 0� 

� 

� 

�� K �� = � 0 �1 1 1 1 0� 

� 

� 0 0 0 0 �1 �1 � 

� 

-349- 

-350- 

9

Die Knotenpotenzialanalyse XVIII 


(2) Knotenadmittanzmatrix: 

Zweigadmittanzmatrix 

� 

�Y1 

0 0 0 0 0 � �1 0 0 

�Y 

� k � = K 

� � 

� 

0 Y 2 0 0 0 0 

� � 

��1 

1 0 �1 0 0 � � 

� 

1 �1 0 

� 

� � 

= 

� 

� 

0 �1 1 1 1 0 

� � 0 0 Y 3 0 0 0 � � 0 1 0 � 

� 

�� 

�� 

0 0 0 Y 4 0 0 

� � 

�� 

0 0 0 0 �1 �1�� 

� 

� � 

�1 1 0 

� 

� 0 0 0 0 Y 5 0 � � 0 1 �1� 

� 

� � � 

�� 

0 0 0 0 0 Y 6 �� 

� 0 0 �1� 

Knotenadmittanzmatrix 

[ ]�Y � 

� 

� z �� K [ ]T = 

�( 

Y +Y + Y 1 2 4 ) �( Y +Y 2 4 ) 0 � 

� 

� 

= � �( Y +Y 2 4 ) ( Y +Y +Y +Y 2 3 4 5) 

�Y � 

5 

� 

� 

� 0 �Y Y +Y 

� 

5 ( 5 6 ) � 

� 

Die Knotenpotenzialanalyse XIX 


(3) Knotenpotenzialgleichung: 

Das resultierende Gleichungssystem: 

�( 

Y +Y + Y 1 2 4 ) � Y +Y 2 4 

� 

� � Y +Y 2 4 � 

� 

� 

( ) 0 

( ) Y 2 +Y 3 +Y 4 +Y 5 

( ) �Y 5 

( ) 

0 �Y 5 Y 5 +Y 6 

� 

� 

� 

� 

�� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 1 

� 2 

� 3 

� � i � q1 

� � � 

� = � 0 � 

� �� 

i � 

� �� 

q2 �� 

nach den unbekannten Potenzialen auflösen. 

-351- 

-352- 

10

Die Knotenpotenzialanalyse XX 


(4) Knotenpotenzialgleichung lösen: 

(A) Die Cramersche Regel: 

[ A]� 

� x = � b [ A]= 

� 

�a 

� ij � = � a1 ,…, � a j ,…, � � 

� a � n � 

� 

x T = [ x1,…, xi,…, xn ] 

� 

b T = b1 ,…,bi ,…,bn [ ] 

(B) Allgemeine Berechnung der Determinante: 

(hier nach der i-ten Zeile entwickelt) 

n 

� 

det A = ( �1) 

i+ j �aij �det Aij j=1 

Zeile i 

det Aij = det A{ Spalte j } 

streichen 

Unterdeterminante 

� 

� 

x k = 

( ) 

k 

A 

Die Knotenpotenzialanalyse XXI 



(C) Die Regel von Sarrus: 

Für den häufigen Fall von 3�3-Matrizen kann die Determinante über in 

einfacher Weise mit Hilfe der Sarrusschen Regel berechnet werden. 

det A = det 

a 11 a 12 a 13 

a 21 a 22 a 23 

a 31 a 32 a 33 

– 

subtrahieren 

Die ersten zwei Spalten kopieren 

a 11 

a 21 

a 31 

a 12 

a 22 

a 32 

+ 

addieren 

� 

� 

( k) 

det A 

det A 

Lösung des 

Gleichungssystems 

= A [ ] � ak := � b 

= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 � a 13 a 22 a 31 � a 11 a 23 a 32 � a 12 a 21 a 33 

-353- 

-354- 

11

Die Knotenpotenzialanalyse XXII 



(B) Gleichungssystem lösen : 

( ) ( Y 2 +Y 3 +Y 4 +Y 5 ) Y 5 +Y 6 

( 2 

)Y5�( Y 2 +Y 4 ) 2 

( Y 5 +Y 6 ) 

( Y 1 +Y 2 +Y 4 ) i q1 0 

det Y k = Y 1 +Y 2 +Y 4 

( 2) 

det Y k = det 

� Y 1 +Y 2 +Y 3 

( ) 0 �Y 5 

� Y 2 +Y 4 

0 � i q2 Y 5 +Y 6 

( )� 

( ) 

( 2) 

det Y k = �( Y 1 +Y 2 +Y 4 )Y5�iq2 + ( Y 2 +Y 4 ) ( Y 5 +Y 6 )�iq1 Die Knotenpotenzialanalyse XXIII 




�2 = det Y ( 2) 

k 

det Y k 

= 

= 

u3 = �[ K ] T � � ( �) 

= ��2 3 

( Y 2 +Y 4 )�iq1� Y 1 +Y 2 +Y 4 ( Y 5 +Y 6 )Y5�iq2 ( )� Y 1 +Y 2 +Y 3 ( Y 5 +Y 6 )Y5 ( Y 1 +Y 2 +Y 4 ) Y 2 +Y 3 +Y 4 +Y 5 

: Zweigspannung im Zweig #3 

(siehe auch Folie 340) 

( ) 2 

2 � Y 2 +Y 4 

-355- 

-356- 

12

Die Knotenpotenzialanalyse XXIV 




u 3 

= � K [ ]T� � � 

i 3 = Y 3 u 3 = �Y 3� 2 

i 3 = 

( ) 3 

= �� 2 : Zweigspannung im Zweig #3 

�Y 3 ( Y 2 +Y 4 )�iq1� Y 1 +Y 2 +Y � 

4 ( Y 5 +Y 6 )Y5�iq2 � 

( )� Y 1 +Y 2 +Y 3 ( Y 5 +Y 6 )Y5 ( Y 1 +Y 2 +Y 4 ) Y 2 +Y 3 +Y 4 +Y 5 

� 

� 

( ) 2 

2 � Y 2 +Y 4 

� Aus diesem Ergebnis geht hervor, dass die Stromstärke i 3 eine gewichtete 

Überlagerung der beiden Quellenströme i q1 und i q2 ist. Der Nutzen dieser 

Aussage wird in einem späteren Kapitel erschlossen (ab Folie 389). 

Die Knotenpotenzialanalyse XXV 

Ausblick 

(1) Direkte Ermittlung der Knotenadmittanzmatrix: (Knoten #4 � Referenzknoten) 

i q1 

�1 � 

i 1 

i 4 

Y 1 

Y 4 

Y 2 

�( 

Y +Y + Y 1 2 4 ) � Y +Y 2 4 

� 

� � Y +Y 2 4 � 

� 

� 

i 2 

i 3 

�2 � 

Y 3 

� 

�4 Y 5 

�3 � 

( ) 0 

( ) Y 2 +Y 3 +Y 4 +Y 5 

( ) �Y 5 

( ) 

0 �Y 5 Y 5 +Y 6 

i 5 

i 6 

Y 6 

i q2 

Einfacher Algorithmus: 

Y��=Summe aller am Knoten � 

angreifenden Admittanzen. 

Yμ�=Negative Summe aller 

Admittanzen die zwischen 

den Knoten � und � liegen. 

� 

� 

� 

� 

�� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 1 

� 2 

� 3 

� � i � q1 

� � � 

� = � 0 � 

� �� 

i � 

� �� 

q2 �� 

-357- 

-358- 

13

Die Knotenpotenzialanalyse XXVI 

Ausblick 

(2) Der Einbezug einer 

spannungsgesteuerten 

Stromquellen (VCCS) (*) : 

• Die VCSS ist ein günstiger 

Fall für den Einbezug in die 

Knotenpotenzialanalyse: Im 

Fall z.B. einer VCVS müsste 

das Knotenpotenzialverfahren 

modifiziert werden. 

• Die VCCS im Zweig #4 ist ein 

abhängiges Element und wird 

deshalb im Digraph des passiven 

Netzwerkes belassen. 

• Die Bezugsrichtung im Zweig 

#4 wurde hier belassen. 

i 4 = � i 04 = �S�u 6 

i q1 

(*) VCCS: voltage controlled 

current source 

i04 �1 � 

i4 i2 �2 � 

Y5 i5 �3 � 

Y2 Y1 Y3 u6 Y6 iq2 i1 i3 i6 (i 4 ) 

� 

i04 �1 � 

u4 i2 u2 �2 � 

i5 u5 �3 � 

i1 u1 i3 u3 i6 u6 Die Knotenpotenzialanalyse XXVII 

Ausblick 

(2) Der Einbezug einer spannungsgesteuerten Stromquellen (VCCS): 

(i 4 ) 

i04 �1 � 

u4 i2 u2 �2 � 

i5 u5 �3 � 

i1 u1 i3 u3 i6 u6 � 

Merke: Die modifizierte 

Zweigadmittanzmatrix ist 

nicht mehr symmetrisch. 

(A) Die Steuergrösse ist eine Zweigspannung: 

i 4 = � S�u 6 

S: Steilheit in A/V 

(Steuerparameter) 

� 

�Y 

� z � = 

�Y1 

0 0 0 0 0 � 

� 

0 Y 2 0 0 0 0 

� 

� 

� 

� 0 0 Y 3 0 0 0 � 

� 

� 

� 0 0 0 0 0 �S � 

� 0 0 0 0 Y 5 0 � 

� 

� 

�� 

0 0 0 0 0 Y 6 �� 

� 

steuernder 

Zweig #6 

gesteuerter 

Zweig #4 

-359- 

-360- 

14

Die Knotenpotenzialanalyse XXVIII 

Ausblick 


(i 4 ) 

i04 �1 � 

u4 i2 u2 �2 � 

Steuergrösse 

u31 i5 �3 � 

u5 i1 u1 i3 u3 i6 u6 � 

Merke: Die modifizierte 

Zweigadmittanzmatrix ist 

nicht mehr symmetrisch. 

(B) Die Steuergrösse ist keine Zweigspannung: 

( ) 

i 4 = � S�u 31 = � S� u 6 � u 1 

steuernder 

Zweig #1 

steuernder 

Zweig #6 

� 

�Y 

� z � = 

� Y1 0 0 0 0 0 � 

� 

0 Y 2 0 0 0 0 

� 

� 

� 

� 0 0 Y 3 0 0 0 � 

� 

� 

� +S 0 0 0 0 �S � 

� 0 0 0 0 Y 5 0 � 

� 

� 

�� 

0 0 0 0 0 Y 6 �� 

Die Knotenpotenzialanalyse XXIX 

Ausblick 


(i 4 ) 

i04 �1 � 

u4 i2 u2 �2 � 

i5 u5 �3 � 

i1 u1 i3 u3 i6 u6 � 

i 4 = � S�u 6 = � S�� 3 

gesteuerter 

Zweig #4 

(C) Direkte Verknüpfung mit der Knotenadmittanzmatrix: 

� Knotenpotenzialgleichung ist eigentlich eine 

Knotengleichung bezüglich der Knotenpotenziale 

(als Funktion der Knotenströme). 

� Die gesteuerte Stromquelle (VCCS) vorerst 

als konstante Stromquelle in den Quellenvektor 

(entsprechend der Knoten) eintragen. 

-361- 

� Die gesteuerten Stromstärken im Quellenvektor 

wieder auf die linke Seite bringen und 

gemäss ihren Steuergrössen dem entspr. 

Potenzial zuordnen, d.h. in der Matrix eintragen. 

� Die Knotenadmittanzmatrix wird dabei auch 

unsymmetrisch. 

-362- 

15

Die Knotenpotenzialanalyse XXX 

Ausblick 


(C) Direkte Verknüpfung mit der Knotenadmittanzmatrix: 

Im Quellenvektorein- 

( Y1 )��( 

Y +Y 1 2 ) tragen � 

( Y 2 )�� 

�Y 2 � 

( Y � 

2 )� 0 

� 

�Y 2 

( Y +Y +Y 2 3 5) 

�Y 5 

0 

�Y 5 

Y +Y 5 6 

Wieder auf 

die andere ( Y1 )��( 

Y +Y 1 2 ) Seite bringen. � 

( Y 2 )�� 

�Y 2 � 

( Y � 

2 )� 0 

�Y 2 

( Y +Y +Y 2 3 5) 

�Y 5 

�S 

�Y + S 5 

Y +Y 5 6 

� 

( ) 

( ) 

� 

� 

� 

� 

�� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

�� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

Die Maschenstromanalyse I 

Warum Maschenstromanalyse? 

(1) Vorteile / Nachteile: 

� 1 

� 2 

� 3 

� 1 

� 2 

� 3 

� � 

� � 

� = � 

� � 

� �� 

i q1 + S �� 3 

�S �� 3 

� i q2 

� � i � q1 

� � � 

� = � 0 � 

� �� 

i � 

� �� 

q2 �� 

• Verringerter Rechenaufwand (+): 

Netzwerk: k Knoten (1) Beim vollständigen Gleichungssystem (Folie 150) 

z Zweige müssen z Gleichungen gelöst werden. 

(2) Beim Maschenstromverfahren müssen lediglich 

m = z – (k – 1) Gleichungen für m Maschenströme 

gelöst werden. Der verringerte Rechenaufwand 

ergibt sich demnach aus der Tatsache: m < z. 

(3) Vergleich zwischen Maschenstromanalyse und 

Knotenpotenzialanalyse: m = z – (k – 1) � (k – 1). 

• Keine idealen Stromquellen zugelassen (–): 

Als unabhängige Anregungen gelten vorerst nur 

ideale/reale Spannungsquellen und reale Stromquellen 

(letztere sind in reale Spannungsquellen 

umzuwandeln). 

-363- 

� 

� 

� 

� 

�� 

-364- 

16

Die Maschenstromanalyse II 

Warum Maschenstromanalyse? 

(2) Vorgehensweise: 

(1) Netzwerktopologie formalisieren: 

Stichwort «Digraph». 

(2) Ermittlung der unabhängigen Maschen 

mittels Baum. 

(3) Kirchhoffschen Gesetze formalisieren: 

Kompakte Darstellung für KVL. 

(4) Mascheninzidenzmatrix 

(5) Zweigimpedanzmatrix 

(6) Maschenimpedanzmatrix 

(7) Gleichungssystem für Maschenströme 

(herleiten und lösen) 

(8) Algorithmus der Maschenstromanalyse 

(als Zusammenfassung) 

Die Maschenstromanalyse III 

Die Netzwerktopologie 

(1) Die Schaltung: 

Zweigimpedanzen: Z z1…Z z6 

(2) Bezugssystem: 

� Knoten-Nummerierung 

1…k. 

� Zweig-Nummerierung 

1…z. 

� Zweigstromrichtung 

� «Digraph» 

-365- 

-366- 

17

Die Maschenstromanalyse IV 

Unabhängige Maschen(-gleichungen) 

(1) Einführung eines Baumes: 

• Der Baum ist der Teilgraph, welcher alle Knoten verbindet 

ohne eine Masche zu enthalten (Folie 137 ff.). 

• Aus der Vielzahl möglicher Bäume wird derjenige 

gewählt, bei welchem die gesuchten Zweigströme 

möglichst in dessen Verbindungszweige liegen. 

(2) Ermittlung von linear unabhängigen Maschen: 

• Mit jedem neu eingeführten Verbindungszweig entsteht 

eine der linear unabhängigen Maschen (siehe 

Folie 138). 

• Der Masche wird einen Richtungssinn entsprechend 

des eingeführten Verbindungszweigs zugeordnet. 

• Es werden solange Verbindungszweige eingeführt, 

bis der vollständige Digraph erreicht ist. 

Die Maschenstromanalyse V 


(1) Der Maschensatz (KVL): 

(A) Aufstellen der Maschengleichungen: 

Maschen / Zweige 

m 1 2 3 4 5 6 

� u z1 �u z2 +u z3 = 0 

� �u z3 +u z4 +u z6 = 0 

� �u z2 +u z5 +u z6 = 0 

n 

� 

� =1 

u z� Masche μ 

z 

= 0 

(KVL) 

Kirchhoff 

voltage law 

-367- 

-368- 

18

Die Maschenstromanalyse VI 


(1) Der Maschensatz (KVL): (B) Aufstellen der zugehörigen Matrixgleichung: 

i 

j 

[ M ] Mascheninzidenzmatrix 

z 

� 

m 

� 

�1 

�1 1 0 0 0�� 

� 

0 0 �1 1 0 1 

� � 

� 

� 

� � 

�� 

0 �1 0 0 1 1�� 

� 

� 

� 

�� 

M [ ]� � u z = � 0 

(C) Mascheninzidenzmatrix: 

(m � z) 

(KVL) 

Matrix- 

Schreibweise 

�+1: 

� 

mij = ��1: 

� 

� 0: 

Die Maschenstromanalyse VII 


(2) Die Maschenströme: (A) Berechnung der Maschenströme: 

� 

� 

� 

z 

� � � 

u z1 

u z2 

u z3 

u z4 

u z5 

u z6 

� 

� 

� �0� 

� 

� = 

� 

0 

� 

� � 

� 

0 

� �� 

�� 

� 

�� 

Bezugspfeil von Masche i und 

Zweigstrom j ist gleichsinnig. 

Bezugspfeil von Masche i und 

Zweigstrom j ist gegensinnig. 

Pfeile berühren sich nicht. 

Maschen / Zweige 

i z1 = i i z1 m1 1 

i z2 = i� i z2 m1 � i m3 2 

i z3 = i i z3 m1 � i m2 3 

i z4 = i z4 i m2 4 

i z5 = i z5 

i m3 5 

i z6 = i z6 i m2 i m3 6 

m 

� Verbindungszweige im Baum 

-369- 

-370- 

19

Die Maschenstromanalyse VIII 


(2) Die Maschenströme: (B) Zugehörige Matrixgleichung: 

� i � j 

z1 

� � � 1 0 0 � 

z 

� i z2 � � 

� 

� � ��1 

0 �1 � � 

� i z 3 � � 1 �1 0 � � 

� 

i 

� = � 

� � � 

0 1 0 

� z 4 � � 

� � 

� i � � 0 0 1 � �� 

z5 � � � 

� 

� 

� 

i � �� 

0 1 1 �� 

z6 � 

+1: 

� 

� 

� 

i z = [ C]� 

cji = ��1: 

� 

� 0: 

� i m 

(z � m)-Matrix 

Die Maschenstromanalyse IX 


(2) Die Maschenströme: 

i 

m 

i m1 

i m2 

i m3 

� 

� 

� 

� 

�� 

Bezugspfeil von Maschen- i und 

Zweigstrom j ist gleichsinnig. 

Bezugspfeil von Maschen- i und 

Zweigstrom j ist gegensinnig. 

Pfeile berühren sich nicht. 

(C) Bezug zur Mascheninzidenzmatrix: 

Vergleicht man das Bildungsgesetz der 

Matrix [M ] (cf. Folie 371) mit demjenigen 

der Mascheninzidenzmatrix (Folie 369), 

c ji = m ij 

dann ergibt sich die folgende Matrixrelation: 

[ C]= 

[ M ] T 

Für die Zweigströme gilt demnach: 

� 

i z = M 

[ ] T � � i m 

transponierte 

Mascheninzidenzmatrix 

-371- 

-372- 

20

Die Maschenstromanalyse X 


(1) Die Zweigimpedanzmatrix: 

(A) Allgemeine Zweigrelationen: 

K μ 

i zμ 

Z zμ 

Z zμ � i zμ 

u zμ 

u qμ 

u zμ = Z zμ � i zμ � u qμ 

u zμ + u qμ = Z zμ � i zμ 

K μ+n 

Zweigspannungsquelle unter Berücksichtigung 

der Verbraucherbezugspfeilordnung. 

Die Maschenstromanalyse XI 


(1) Die Zweigimpedanzmatrix: 

(B) Zweigrelationen mittels Zweigimpedanzmatrix: 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

u z1 

u z2 

u z3 

� 

u q1 

� � 

� � 

u 

�+ 

� q2 

� �u 

q3 

� � 

� � � 

� 

u z + � u q = � 

�Z 

� z �� i z 

Zweigspannungsquellenvektor. 

� �Z 

z1 0 0 � 

� � 

0 Z 

� 

z2 0 

= � 

� �0 

0 Z z3 

� � 

� �� 

� 

� � 

� � 

�� 

� � 

� � 

� � 

i z1 

i z2 

i z3 

� 

Die Zweigimpedanzmatrix ist eine (m � m)-Diagonalmatrix 

-373- 

-374- 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

21

Die Maschenstromanalyse XII 


(2) Die Maschenimpedanzmatrix: 

(A) Rekapitulation der bisherigen Netzwerkbeziehungen: 

Zweigrelationen: Zweigströme: 

Z � 

� 

� z �� i z = � u z + � u q 

(B) Maschenimpedanzmatrix: 

[ Zm ]= [ M ]��Zz��[ M ]T 

m � m 

Matrix 

� 

i z = M 

[ ] T � � i m 

Z � 

� z 

Z [ m ]� � i m = u qm 

� 

�� M [ ]T� � i m = � u z + � u q 

Maschengleichungen: 

M [ ]� � u z = � 0 

� 

[ M ]�� Z 

� z ��[ M ]Tim 

= [ M ]� 

�� [ Zm ] 

� u z 

= � + M 

�� 

0 

[ ]� � u q 

�� 

u qm 

� 

u qm = [ M ]� � Maschenquellenspannungen: 

u q 

Die Maschenstromanalyse XIII 


(3) Die Maschenstromgleichung: 

Z [ m ]� � i m = u qm 

Gleichungsystem für die m 

Maschenströme i m1 ,…, i mm . 

Gleichungsystem lösen 

� T 

i m = ( i m1, i m2,…, i m m ) 

� 

i z = M 

[ ] T � � i m 

mittels Cramerscher 

Regel, Gauss-Algorithmus, 

etc. 

Maschenströme 

Zweigströme 

� 

u z = � 

�Z 

� z �� i z � � u q 

Zweigspannungen 

-375- 

-376- 

22

Die Maschenstromanalyse XIV 


(4) Ein Algorithmus als Zusammenfassung: 

(1) Knoten und Zweige nummerieren � Digraph 

(2) Unabhängige Maschengleichungen � Baum 

(3) Mascheninzidenzmatrix � [M ] 

(4) Zweigimpedanzmatrix erstellen � [Z z ] 

(5) Zweigspannungsquellenvektor � u q 

(6) Maschenimpedanzmatrix ermitteln � [Z m ] und Maschenquellen u qm 

(7) Maschenstromgleichung aufstellen � [Z m ]·i m = u qm 

(8) Maschenstromgleichung lösen � Matrixgleichung nach i m auflösen 

(9) Zweigströme aus i m berechnen � i z 

(10) Zweigspannungen aus i z berechnen � u z 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

Lösung: i m , i z , u z 

Die Maschenstromanalyse XV 



� 

� 

� 

� 

Gesucht: 

Die Stromstärke i z5 

als Funktion der 

beiden Quellenspannungen. 

-377- 

-378- 

23

Die Maschenstromanalyse XVI 



(A) Mascheninzidenzmatrix: 

�1 

�1 1 0 0 0� 

[ M 

� 

]= 0 0 �1 1 0 1 

� 

� 

� 

�� 

0 �1 0 0 1 1�� 

(B) Maschenquellenspannungsvektor: 

� 

� 

� 

� 

� 

u qm1 

u qm2 

u qm3 

� �uq1 

� 

� = 

� 

� 

uq4 � 

� �� 

0 

� 

� 

� 

�� 

� 

� 

� 

� 

� 

u qm1 

u qm2 

u qm3 

�uq1 

� 

� 

0 

� 

� �1 

�1 1 0 0 0�� 

� 

� 

� = 

� 

� 

0 0 �1 1 0 1 

� � 0 � 

� 

� � � 

uq4 � 

� �� 

0 �1 0 0 1 1�� 

� � 

� 0 � 

� � 

� 0 � 

Die Maschenstromanalyse XVII 


(2) Maschenimpedanzmatrix: 

(A) Zweigimpedanzen: 

Z z1 = R 1 

Z z2 = R 2 

Z z3 = j� L 3 

Zz4 = R4 + 1 

j�C4 Zz5 = R5 + j� L5 Z z6 = j� L 6 + 1 

j�C 6 

-379- 

-380- 

24

Die Maschenstromanalyse XVIII 


(2) Maschenimpedanzmatrix: 

Zweigimpedanzmatrix 

[ Z �Z 

m ]= [ M ]��Zz�� M 

z1 

� 

0 

�1 

�1 1 0 0 0�� 

= 

� 

� 

0 0 �1 1 0 1 

� � 0 

� 

�� 

0 

�� 

0 �1 0 0 1 1�� 

� 0 

� 

�� 

0 

0 

Zz2 0 

0 

0 

0 

0 

0 

Zz3 0 

0 

0 

0 

0 

0 

Zz4 0 

0 

0 

0 

0 

0 

Zz5 0 

0 � � 1 

0 

� � 

�1 

� � 

0 � � 1 

�� 

0 � � 

0 

0 � � 0 

� � 

Zz6 �� 

� 0 

0 

0 

�1 

1 

0 

1 

0 � 

�1 

� 

� 

0 � 

� 

0 

� 

1 � 

� 

1 � 

[ ]T = 

�( 

Z + Z + Z z1 z2 z3 ) 

� 

= � �Z z3 

� 

�� 

Zz2 �Z z3 

( Z + Z + Z z3 z4 z6 ) 

Zz6 Z � 

z2 

� 

Zz6 � 

� 

( Z + Z + Z z2 z5 z6 ) �� 

Maschenimpedanzmatrix 

Die Maschenstromanalyse XIX 


(3) Maschenstromgleichung: 

Das resultierende Gleichungssystem: 

�( 

Z + Z + Z z1 z2 z3 ) �Z Z z3 z2 

� 

� �Z Z + Z + Z z3 ( z3 z4 z6 ) Zz6 � 

�� 

Z Z Z + Z + Z z2 z6 z2 z5 z6 

( ) 

� � 

� � 

� � � 

� � 

�� 

�� 

i m1 

i m2 

i m3 

� �u 

� q1 

� � � 

� = �uq4 

� 

� � � 

�� 

�� 

0 �� 

nach den unbekannten Maschenströmen auflösen. 

-381- 

-382- 

25

Die Maschenstromanalyse XX 


(4) Maschenstromgleichung lösen: 

(A) Auflösen nach dem Strom i5 : 

Der Baum wurde gemäss Folie 367 so gewählt, dass der Strom iz5 in einem Verbindungszweig 

zu liegen kommt. Die Ströme in den Verbindungszweigen setzen sich 

gemäss des Bildungsgesetzes von linear unabhängigen Maschen (Folie 138) nur 

aus einem Maschenstrom zusammen. 

i z5 = i m3 

i m3 = det Z ( 3) 

m 

det Zm ( ) ( Zz3 + Zz4 + Zz6 ) ( Zz2 + Zz5 + Zz6 )�2Zz2Zz3Zz6� 2 2 ( )�Zz6( Zz1 + Zz2 + Zz3 )�Zz3( Zz2 + Zz5 + Zz6 ) 

det Zm = Zz1 + Zz2 + Zz3 2 

� Zz2 Zz3 + Zz4 + Zz6 Merke: Die Auflösung des Gleichungssystems 

nach der gesuchten Grösse wird mit Hilfe der 

Netzwerkanalyse formal sehr einfach, doch 

ergeben sich dabei meistens sehr komplizierte 

Ausdrücke. 

Die Maschenstromanalyse XXI 


(4) Maschenstromgleichung lösen: 

(A) Auflösen nach dem Strom iz5 : 

( Zz1 + Zz2 + Zz3 ) �Z z3 u q1 

( 3) 

det Zm = det �Z z3 Zz3 + Zz4 + Zz6 ( ) u q4 

Z z2 Z z6 0 

( 3) 

det Zm = �Zz2Z 

z3u 

q4 � Zz3Z z6u 

q1 � Zz2 Zz3 + Zz4 + Zz6 ( )uq4 ( )+ Zz3Z z6 

( )+ Zz2Z z3 

� Z z6 Z z1 + Z z2 + Z z3 

= � �� Zz2 Zz3 + Zz4 + Zz6 � �� Zz6 Zz1 + Zz2 + Zz3 = 

( )u q1 � 

� � � u q1 � 

� � � u q4 

-383- 

-384- 

26

Die Maschenstromanalyse XXII 

Ausblick 

Direkte Ermittlung der Maschenimpedanzmatrix: 

Einfacher Algorithmus: 

Z��=Summe aller in der Masche � vorkommenden Zweigimpedanzen. 

Zμ�=Summe aller Zweigimpedanzen die sowohl der �-ten 

als auch der � -ten Masche angehören. Das Vorzeichen 

der Zweigimpedanz ist positiv, falls die Bezugspfeile 

der Maschen(-ströme) im gemeinsamen Zweig 

gleichsinnig sind; andernfalls ist es negativ. 

�( 

Z + Z + Z z1 z2 z3 ) �Z Z z3 z2 

� 

� �Z Z + Z + Z z3 ( z3 z4 z6 ) Zz6 � 

�� 

Z Z Z + Z + Z z2 z6 z2 z5 z6 


Abschliessende Betrachtungen 

Gegeben: 

Ein Netzwerk mit 

k Knoten und 

z Zweigen 

( ) 

M 3 

� � 

� � 

� � � 

� � 

�� 

�� 

M 1 

i m1 

i m2 

i m3 

M 2 

� �u 

� q1 

� � � 

� = �uq4 

� 

� � � 

�� 

�� 

0 �� 

• Die Entscheidung welche der beiden Methoden der 

Netzwerkanalyse zur Anwendung kommen soll, 

hängt von zwei Kriterien ab: 

(1) Welche Quellen dienen zur Anregung? 

Knotenpotenzialanalyse Maschenstromanalyse 

Ideale Stromquellen 

Reale Stromquellen 

Reale Spannungsquellen 

(2) Welche Topologie hat das Netzwerk? 

Knotenpotenzialanalyse 

( k �1)> 

m = z � ( k �1) 

Ideale Spannungsquellen 

Reale Spannungsquellen 

Reale Stromquellen 

( k �1)< 

m = z � ( k �1) 

Maschenstromanalyse 

-385- 

-386- 

27

Y5 - Allgemeine und theoretische Elektrotechnik

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?