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Theoretische Elektrotechnik TET 2 

[Buch Seite 218-252] 

5. Elektromagnetische 

Felddiffusion 

•� Darstellung zeitharmonischer Felder mittels Phasoren 

•� Elektro-Quasistatik und Magneto-Quasistatik 

•� Die Diffusionsgleichung 

•� Der Skineffekt 

•� Stromverdrängung 

•� Abschirmung 

•� Wirbelströme 

Diffusion elektromagnetischer Felder 

Begriffliche Einführung 

•� Lösen der Maxwell-Gleichung für den quasistationären 

Fall, bzw. für die beiden quasistatischen Fälle. Man 

unterscheidet hierbei die Magneto-Quasistatik und die 

Elektro-Quasistatik (cf. Folie 1-187). 

•� Wir beschränken uns auf zeitharmonische Felder (will 

heissen: Felder mit einem sinusförmigen Zeitverlauf). 

•� Diffusion: Ausbreitung ohne Wellencharakter; 

Eindringen von Feldern in Medien und Systeme; 

Verdrängung von Feldern als Folge der Dynamik des 

zugrundeliegenden Diffusionsprozesses (der umgekehrte 

Blick auf das Eindringen von Feldern). 

•� Literaturhinweis: Besonders lesenswert ist hierzu das 

«Kapitel 5 – Quasistationäre Felder» aus dem Skript 

«Theoretische Elektrotechnik» von Frau Prof. Ursula 

van Rienen, Universität Rostock. Das Kapitel 5 kann 

über Moodle heruntergeladen werden. 

-192- 


1

Zeitharmonische Felder I 

Komplexe Darstellung 

(1) Zeigerdarstellung (Phasoren): 

(A) Sinusförmige Zeitabhängigkeit: 

� 

E � ( r,t ) := � E � ( r )�cos( �t +� e ) = Re � E � r 

� 

H � ( r,t ):= � H � ( r )�cos( �t +� h )= Re � H � r 

� 

E � ( r ) = � E � r 

� 

H � ( r )= � H � r 

(B) Konventionen: 

+ j�t 

( )�e j�e = �Ex 

� 

( )�e j�h = �H 

x 

Konvention der 

Elektrotechnik 

� 

� 

r 

� 

r 

( ), Ey ( ), Ez � 

r 

� 

r 

( ), H y ( ), H z 

�i�t 

häufig auch als Phasoren bezeichnet 

( )�e j��t { } 

( )�e j��t 

{ } 

� 

r 

( ) 

� 

r 

( ) 

� 

� 

� 

� 

T 

T 

Konvention der 

Physik 

Zeitharmonische Felder II 

Komplexe Darstellung 

(2) Operatoren: 

(A) Zeitableitung: 

� 

�t � ( ) �� j� � � 

(B) Feldimpedanzoperator: 

� 

E � r,t 

� 

H � r,t 

( ) 

( ) = 

� 

E � r 

� 

H � ( r )�e 

( )�e j��t 

( ) 

j��t = 

� 

E � r 

� 

H � r 

(C) Phase des Feldzeigers (Phasors): 

Phasenwinkel des E-Feldes in 

Bezug auf die Position � t = 0. 

Komplexe 

Feldamplituden 

(Phasor) 

Siehe hierzu auch Vorlesung GET 2 ab Folie 231 

Phasenwinkel, 

Phasenverschiebung 

( )�e j�� e 

( )�e j�� h 

= 

� 

E � r 

� 

H � r 

( ) 

� 

�� 

( ) 

( ) �e j� � e �� h 

tan( �e )= Im Ei Re Ei � 

r 

� 

r 

{ ( ) } 

( ) 

{ } 

= Z F 

Z F 

� 

( r )�e j�� 

�i = x, y,z 



2

Quasistationäre Felder 

Grundvoraussetzungen 

•� Quasistationäre Felder sind langsam veränderliche Felder (cf. Folie 190). 

•� Elektro-Quasistatik (EQS): Vernachlässigung des Induktionsvorgangs. 

� � B 

�t = � 0 

� � D 

�t � � 0 � � H : sekundäres Feld 

•� Magneto-Quasistatik (MQS): Vernachlässigung des Verschiebungsstroms. 

� � D 

�t = � 0 

� � B 

�t � � 0 � � E : sekundäres Feld 

•� Die primären Felder sind nicht verkoppelt, sie «folgen» dem zeitlichen 

Verhalten der Quellen und erzeugen dadurch die sekundären Felder. 

•� Die sekundären Felder wirken nicht zurück: Die Lösung quasistatischer 

Feldprobleme können deshalb keine Wellen sein (cf. Folie 188). 

Die Elektro-Quasistatik I 

Grundgleichungen 

(1) Maxwell-Gleichungen der EQS: 

(A) Allgemein: 

rot � E = � 0 

div � D = � 

rot � H = � � D 

�t + � J 

Grundgleichung der 

primären Feldgrössen 

Sekundäre 

Feldgrösse 

Näherung für niederfrequente 

Felder, bei denen die magnetische 

Induktion vernachlässigt wird: 

Das elektrische Feld ist dadurch 

wirbelfrei. 

(B) Zeitharmonische Variation: 

rot � E = � 0 

div � D = � 

Grundgleichungen der 



der EQS 

rot � H = j� � � D +� � � E + � J E 

Sekundäre Feldgrösse 

� 

J = � � � E + � J E 

eingeprägte Stromdichte 

Leitungsstromdichte 



3

Die Elektro-Quasistatik II 


(2) Das komplexe elektrische Skalarpotential: 

rot � E = � 0 � � E = �grad� 

div( roti)�0 

� div rot � ( H )=div( j�� +� )� � E + � { JE }�0 div ( j�� +� )� � { E}= 

�div � JE div{ ( j�� +� )�grad�}= 

div � div( grad� )= �� 

JE ( j�� +� )�� = div � Wirbelfreiheit 

(Folie 46) 

JE (Folie 1-177) 

j� �� + div � J = 0 

(Merke: Folie 1-245) 

Antwort: Ja, falls � > 0. 

�� = 

1 

j�� +� � div � J E 

Die Elektro-Quasistatik III 

Anwendungskontext 

homogenes Material 

Frage: Ist dieser Term ungleich Null? 

komplexwertige 

«statische» 

Poissongleichung 

Wo kommt die Elektro-Quasistatik zum Einsatz? 

•� Tieffrequente Problemstellungen aus der Hoch- bzw. 

Höchstspannungstechnik. 

•� Nichtverschwindende Verschiebungsströme treten 

auch in Kondensatoren mit sehr grosser Kapazität auf. 

•� Feldprobleme in Halbleitern wie z.B. Transistoren. 

•� Elektrische Behandlung der Nervenleitung. 

«Daumenregel»: 

Man verringere die Frequenz der anregenden Quelle 

bis die Felder in der Anordnung statisch erscheinen. 

Verschwindet dabei das Magnetfeld, lässt sich die 

Anordnung mittels Elektro-Quasistatik berechnen. 



4

Die Magneto-Quasistatik I 


(1) Maxwell-Gleichungen der MQS: 

(A) Allgemein: 

rot � H = � J 

div � B = 0 

rot � E = � � � B 

�t 

Grundgleichung der 


Sekundäre 

Feldgrösse 

Näherung für niederfrequente 

Felder, bei denen der elektrische 

Verschiebungsstrom vernachlässigt 

wird. Die zweite Grundgleichung folgt 

auch aus der sekundären Gleichung ! 

(B) Zeitharmonische Variation: 

rot � H = � J 

div � B = 0 

rot � E = � j� � � B 

Sekundäre Feldgrösse 

� 

J = � � � E + � J E 

Die Magneto-Quasistatik II 

Anwendungskontext 

Grundgleichungen der 



der MQS 

eingeprägte Stromdichte 

Leitungsstromdichte 

Wo kommt die Magneto-Quasistatik zum Einsatz? 

•� Umfasst alles was man gemeinhin unter quasistationären 

Feldern versteht (cf. Folie 1 bis Folie 105). 

•� Felder in Turbogeneratoren für die Energieerzeugung. 

•� Skin-Effekt (später) in Übertragungsleitungen. 

•� Magnetfelder klassischer, niederfrequenter Wechselstromanlagen 

bei Niederspannung bzw. Schwachstrom. 

«Daumenregel»: 

Man verringere die Frequenz der anregenden Quelle 

bis die Felder in der Anordnung statisch erscheinen. 

Verschwindet dabei das elektrische Feld, lässt sich die 

Anordnung mittels Magneto-Quasistatik berechnen. 

-200- 

-201- 

5

Voraussetzungen der Quasistatik I 

Näherungsbetrachtungen 

(1) Elektro-Quasistatik (EQS): 

•� Charakteristische Länge L: In beiden Fällen lässt sich eine Länge definieren, die der 

typischen Abmessung der jeweiligen Anordnung entspricht. � 

•� Charakteristische Zeitkonstante � : Die charakteristische Zeitkonstante bei zeitharmoni- 

schen Felder beträgt � = 1 / �. 

•� Näherung der Differentialoperatoren: 

(2) Magneto-Quasistatik (MQS): 

{ grad, div,rot}� 

1 

L 

Voraussetzungen der Quasistatik II 


(1) Fehler der Elektro-Quasistatik (EQS): 

(A) Primäre Felder: 

div � D = � � D 

L 

(B) Sekundäre Felder: 

rot � H = � � D 

�t 

� H 

L 

= � � E = ��L 

� 0 

= D 

� 

� H = � 0 �E�L 

� 

(C) Fehler: (bisher vernachlässigte Rückwirkung auf die primären Felder) 

rot � E e ( ) = � � � B 

�t 

( e) 

E 

� 

L 

= � B 

� 

= ��L2 

� 

� 

�t 

� 1 

� 

e 

� E ( ) = μ0 �H �L 

= 

� 

μ0 ��L 3 

� 2 

-202- 

-203- 

6

Voraussetzungen der Quasistatik III 


(2) Fehler der Magneto-Quasistatik (MQS): 

(A) Primäre Felder: 

rot � H = � J � H 

= J � H = J �L 

L 

(B) Sekundäre Felder: 

rot � E = � � � B 

�t 

rot � H e ( ) = � � D 

�t 

� E 

L 

( e) 

H 

� 

L 

B 

= � 

� � E = μ0 �H �L 

= 

� 

μ0 � J �L2 

� 

(C) Fehler: (bisher vernachlässigte Rückwirkung auf die primären Felder) 

= D 

� 

e 

� H ( ) = �0 � E �L 

= 

� 

μ0� 0 �J �L 3 

� 2 

Voraussetzungen der Quasistatik IV 


(3) Die relativen Fehler der Quasistatik 

(A) Elektro-Quasistatik (EQS): 

E e ( ) 

E = μ0� 0 �L 2 

� 2 = L � � 

� 

� co� � 

� 

(C) Fehlerbedingung: 

μ 0� 0 �L 2 

� 2 � 1 � μ0� 0 �L 

� 

Die quasistatische Näherung ist gültig, 

falls die Zeitkonstante � der Feldvariation 

sehr viel grösser ist, als die Laufzeit des 

Lichts entlang der typischen Länge L. 

2 

(B) Magneto-Quasistatik (MQS): 

H e ( ) 

H = μ0� 0 �L 2 

� 2 = L � � 

� 

� co� � 

� 

� 1 � μ0� 0 �L � � 

Siehe hierzu 

auch GET 2 

Folie 10 ! 

1 c0 �� 

� � c 0 

L 

c 0 : Lichtgeschwindigkeit 

� � � L 

c 0 

2 

-204- 

-205- 

7

Die Felddiffusion I 


(1) Maxwell-Gleichungen der Magneto-Quasistatik (MQS): 

rot � E = � � � B 

�t 

rot � H = � J 

div � D = � 

div � B = 0 

� 

D = � � � E 

� 

B = μ� � H 

� 

J = � � � E 

Materialgleichungen 

(2) Umformungen und Vektorbeziehungen: 

� 

� 

div � E = 0 

Keine freien Ladungen, d.h. 

keine Überschussladungen 

im leitenden Material. 

rot rot � E = � � 

�t rot � B = � � 

�t μ�rot � ( H )= � � 

�t μ� � ( J )= � � 

�t μ�� E 

rot rot � E = grad div � E �� E = �� E 

(Vektoridentität cf. Folie 1-195) 

� 

Die Felddiffusion II 


(3) Diffusionsgleichungen für E und J: 

(A) Vergleichen der Beziehungen � und �: 

� � E = μ� � � � E 

�t 

(B) Weitere Diffusionsgleichung: 

rot rot � � � 

� J � � J � 

E = rot rot 

� 

� � � 

� = �� 

� 

� � � 

� 

� � J = μ� � � � J 

�t 

� 

( ) 

Dies ist eine Vektordiffusionsgleichung bezüglich des 

elektrischen Feldes. Ihre Bezeichnung ergibt sich durch 

die Ähnlichkeit mit der skalaren Diffusionsgleichung der 

Wärmeleitung. 

� 

= � 

�t μ� � ( J ) 

mit: 

Es ergibt sich dieselbe Diffusionsgleichung 

für das Strömungsfeld. 

� 

J = � � � E 

-206- 

-207- 

8

Die Felddiffusion III 


(4) Diffusionsgleichungen für B und A: 

(A) Alternative Umformung der Vektorbeziehung aus Folie 206: 

� 

� 

rot rot � H = rot � J = rot � � � ( E)= 

� �rot � E = �� 

� 

�t B 

rot rot � H = graddiv � H �� H = 1 

μ � grad div � B �� ( B) 

= � 1 

(Folie 206) 

(B) Vergleichen der Beziehungen � und �: 

� � B = μ� � � � B 

�t 

direkt 

mit: 

� 

B = rot � A 

und der Coulomb-Eichung 

(siehe hierzu auch Folie 54) 

μ �� B 

� � A = μ� � � � A 

�t 

Man erhält auch für die Felder J, B und A jeweils dieselbe Vektordiffusions- 

gleichung. Die Problemstellungen unterscheiden sich in den Randbedingungen, 

bzw. in den Anfangsbedingungen. Frage: Was ist eine Vektordiffusionsgleichung? 

Die Felddiffusion IV 

Physikalische Interpretation 

(1) Die Vektordiffusionsgleichung: 

� � B = μ� � � � B 

�t 

•� Wegen der einfachen Zeitableitung ist die Diffusionsgleichung 

nicht invariant gegenüber der Transformation 

t � –t (Zeitumkehr). 

•� Dies ist typisch für irreversible Prozesse, wo die Zeit 

eine privilegierte Richtung hat, d.h. sie verläuft in eine 

Richtung, nämlich in die der Entropiezunahme. 

•� Die Diffusion ist ein «Musterbeispiel» eines irreversiblen 

Prozesses (ein anderes Beispiel ist die Wärmeleitung). 

•� Warum unterliegen elektromagnetische Felder hier 

irreversiblen Prozessen? Hin- und rücklaufende Wellen 

zeigen demnach doch ein «reversibles» Verhalten. 

•� Merke: Mit der Leitfähigkeit � ist eine Energiewandlung 

in Wärmeenergie verbunden, die irreversibel ist. 

•� Ladungsträger in Leitern verhalten sich statistisch und 

erzeugen dadurch das sog. Johnson-Nyquist-Rauschen. 

-208- 

-209- 

9

Die Felddiffusion V 


(2) Typeneinteilung partieller Differentialgleichungen: 

Differentialgleichung mathematische Bezeichnung Anwendungsbeispiel 

� f = k 1 

� f = k 2 � � 

�t f 

� f = k 3 � �2 

�t 2 f 

elliptische 

Differentialgleichung 

parabolische 


hyperbolische 


Die Felddiffusion VI 


(3) Abschätzungen zum Diffusionsprozess: 

� 

B 

Potentialgleichung 

Diffusionsgleichung 

Wellengleichung 

•� Die Funktion f kann sowohl eine Skalar- als auch eine 

Vektorfunktion sein. 

•� Dies sind die 3 gebräuchlichsten partiellen Differentialgleichungen 

der Natur- und Technikwissenschaften. 

� 

B 

� μ 

� 

B 

� μ 

t = �� t = 0 t > � 

•� Ein Leitermaterial wird bei t = 0 in ein Magnetfeld 

eingebracht. Sein Inneres ist zunächst feldfrei. 

•� Erst allmählich kann das äussere Magnetfeld in den Leiter 

hinein diffundieren. Wie gross ist die Zeitkonstante � ? 

-210- 

-211- 

10

Die Felddiffusion VII 


(3) Abschätzungen zum Diffusionsprozess: 

(A) Kommentar: Wir gehen hier nicht auf den Mechanismus des «Einbringens eines 

Leiters» ein, denn da würde ja ein Leiter bewegt und somit eine Spannung induziert 

werden. Auch in einem alternativen Gedankenexperiment mit ruhendem Leiter wo 

das B-Feld zum Zeitpunkt t = 0 eingeschaltet wird, würden Spannungen und 

(Wirbel-)Ströme induziert. Wir folgen hier einfach dem Verhalten, welches durch die 

Diffusionsgleichung vorgegeben wird. 

(B) Einfache Abschätzung: Die Anordnung habe eine typische Länge L. Eine einfache 

Abschätzung kann gemäss den «groben» Näherungen aus Folie 202 erfolgen: 

� � B = μ� � � � B 

�t 

Abschätzung 

�� B B 

� μ� � 2 

L � 

� � � μ� �L2 

(C) Diskussion: Die Dauer des Eindringvorganges des Feldes hängt vom Quadrat der 

Längendimension ab, was typisch für Diffusionsprozesse ist. 

Bedeutet auch: Diese Prozesse sind in kleinen Längenskalen betrachtet sehr schnell ! 

Die Felddiffusion VIII 


(4) Ähnlichkeitsgesetze: 

(A) Physikalische Diffusionsgleichung: (C) Skalierte Diffusionsgleichung: 

� 2 

�2 �2 

+ + 2 2 

�x �y �z 2 

� 

� � 

� 

� 

� 

� B = μ� � � � B 

�t � 

� = x 

L 

� = y 

L 

� = z 

L 

� = t 

μ� L 2 

(B) Ähnlichkeitstransformation: 

(Massstabänderungen) 

Die Grösse L oder (μ�) 

stellt einen Freiheitsgrad 

für die Skalierung dar. 

� 2 

� 

� 

� �� 

�� 

2 + �2 

�� 2 

� � 

� 

� B = � � B 

�� 

2 + �2 

•� Ergebnisse lassen sich mittels Massstabänderungen 

auf andere Vorgaben 

hin skalieren. 

•� Die Lösungen der skalierten Diffusionsgleichung 

gelten demnach für alle 

gemäss den Ähnlichkeitsgesetzen 

skalierten Diffusionsgleichungen. 

•� Einander ähnliche Leiter gehorchen 

demnach derselben skalierten 

Diffusionsgleichung. 

-212- 

-213- 

11

Die Felddiffusion IX 

Separation der Diffusionsgleichung 

Produkteansatz für karthesische Koordinaten: 

(A) Diffusionsgleichungen: 

� � f � μ� � � 

�t 

� 

f = � 0 � �f i � μ� � � 

�t f i = 0 � � f � � E, � J, � B, � A 

{ } 

Vektordiffusionsgleichung Komponentenschreibweise 

(B) Produkteansatz: 

� 2 fi �x 2 + �2 fi �y 2 + �2 fi �z 2 � μ� � �fi �t = 0 � fi = X( x)�Y( 

y)�Z( 

z)�T() 

t 

Die Felddiffusion X 

1 

X � �2 X 

�x 2 

1 + Y � �2Y �y 2 

1 + Z � �2Z �z 2 

� 

� k x 2 

� 

� k y 2 

Separation der Diffusionsgleichung 

Produkteansatz für karthesische Koordinaten: 

(C) Harmonische Lösungen: 

1 

X � �2 X 

�x 2 2 

+ kx = 0 

(D) Zeitverhalten: 

1 

Y � �2Y �y 2 2 

+ ky = 0 

μ� 

� T �t = 0 

� � 

� k z 2 

� �T 

k x 2 +ky 2 +kz 2 

Jeder Term hängt nur von der jeweiligen 

Variablen ab und muss daher konstant sein. 

1 

Z � �2Z �z 2 2 

+ kz = 0 

Die die zugehörigen harmonischen Lösungsfunktionen sind ab 

Folie 1-181 als (H-1) bis (H-8) für verschiedene Koordinatensysteme 

aufgeführt. Die Separationskonstanten k i erhält man 

aus den entsprechenden Randbedingungen. 

� μ� �T 

T � �t = k t 

2 2 2 � � 

x + ky + kz � T()= t T0 �e 

� = 

μ� 

k x 2 +ky 2 +kz 2 

Jede der Lösungsfunktionen mit ihren Separationskonstanten k i 

klingt gemäss eines «globalen» exponentiellen Zeitverlaufs mit 

der Zeitkonstante � ab. T 0 folgt aus den Anfangsbedingungen. 

-214- 

-215- 

12

Der Skineffekt I 

Felddiffusion in den unendlichen Halbraum 

(1) Experimentalanordnung: 

� = 0 

� 

E 

x 

� y 

� > 0 

Der Skineffekt II 

� = 0 

� 

E 

x 

� y 

� > 0 

z 

z 

(A) Diffusionsgleichung: 

� � E = μ� � � � E 

�t 

� � 

= � 0 

�x �y 

� 2 E x 

�z 2 = j� �μ� �E x 

Eindimensionales 

Problem entlang z. 

(B) Eindimensionale Diffusionsgleichung 

für zeitharmonische Felder: 


(2) Lösen der Diffusionsgleichung: 

(C) Ansatz: 

� 2 

� 2 E �� 

x 

� j� �μ� �E 2 x = 0 

�z 

( )= A � e � �z �� z 

+ B � e 

E x z 

� = j� �μ� = 

= ( 1+ j)� 

� �μ� 

2 

1+ j 

2 

(D) Homogene Lösung für das E-Feld: 

� � �μ� 

:= ( 1+ j)�k 

Ex ( z)= 

A �e k�z e j�k�z + B �e � k�z � j�k�z 

e 

-216- 

-217- 

13

Der Skineffekt III 



(E) Randbedingungen für das E-Feld: 

Ex ( z)= 

A �e k�z e j�k�z + B � e � k�z � j�k�z 

e 

lim{ 

Ex ( z) 

}= 0 � A = 0 

z�� 

Ex ( 0)= 

E0 � B = E0 (F) Lösung für das (zugehörige) magnetische Feld: 

� 

� 

� 

� 

� 

�� 

� k�( 1+ j)�z 

Ex ( z)= 

E0 �e 

k = 

� �μ� 

2 

Lösung der Diffusionsgleichung 

rot � E = � � 

� 

�t B 

rot Ex � � ( ex )= � 

�z Ex � � ey � � 

�y Ex � � ( ez )= � j� � � B � �Ex �z = � j� μH cf. Folie 216 zum eindimensionalen Problem ! 

y 

Der Skineffekt IV 



(F) Lösung für das (zugehörige) magnetische Feld: 

�Ex �z = � j� μH y � H y ( z)= 

� 1 

j� μ � �Ex �z 

� 

1+ j 

j 

H y ( z)= 

� E0 2k 

= 1� j 

k� 1+ j 

( )�e� 

� 1� j 

= � �k 

� 1+ j 

j� μ ( )�E0�e =+ � E 0 

2k 

( )�z = � E0 2 k 

k�( 1+ j)�z 

( )�e� � 1� j 

k� 1+ j 

�e� ( )�z�j�� 4 e 

� k�( 1+ j)�z 

k = 

� μ� 

2 

-218- 

-219- 

14

Der Skineffekt V 


(3) Feldverteilung im leitenden Halbraum: 

Ex ( z) 

H y ( z) 

� S 

Der Skineffekt VI 

� 

E 

� = 0 

� 

H 

� 

� 

�� 

� 

x 

� 

J F 

y 

e � k�z = e �z � S � � s = 

� > 0 

z 

•� Die beiden Felder dringen im Sinne 

einer kritisch gedämpften «Welle» ein, 

da Re{� } = Im {� } (Folie 217) 

bzw. � ��S = 1 (siehe Definition unten). 

•� Es handelt sich hier um einen 

Diffusionsprozess (keine Wellen). 

2 

� μ� 


(4) Oberflächenstromdichte und Stromdichte: 

(A) Die Oberflächenstromdichte aus der Grenzbedingung (Folie 101): 

*) Annahme: Das 

H 2 -Feld im leitenden 

Material soll hier 

nur durch die Ober- 

flächenstromdichte 

J F repräsentiert werden. 

� 

n12 � � H 2 � � ( H1)= � JF z 

Eindringtiefe 

oder Skintiefe 

( ) = � J F 

� *) � 

n12 � � � H1 � 

ez � �Hy� � ( ey )= � JF H y � � ex = � JF � 

JF = H y ( 0)� 

� ex Oberflächenstromdichte 

[J F ] = A/m 

-220- 

-221- 

15

Der Skineffekt VII 



(B) Die Stromdichte des elektrischen Strömungsfeldes: 

� 

E � � � 

� = 0 

� = 0 

� 

H 

� 

� 

J F 

� 

� 

x 

� 

JF y 

x 

y 

� 

J z 

( ) 

� > 0 

Der Skineffekt VIII 

� 

J z 

( ) 

� > 0 

z 

z 

� 

J = rot � H 

� 

J = rot H y � � ( ey ) 

� 

J = � � 

�z H y � � ex + � 

�x H y � � ez (cf. Folie 200) 

( ) 

Jx = � � � E0 k�( 1+ j)�z 

�z ( 2k �( 1� j)�e� 

) 

� k� 1+ j 

Jx ( z)= 

� E0 �e ( )�z = � Ex ( z) 

Konsistent mit dem Gesetz von Ohm ! 



(C) Zusammenhang zwischen der Oberflächenstromdichte und dem Strömungsfeld : 

� � 

� 

� k� 1+ j 

� J( z)�dz 

= �� 

E0 �e 

0 

0 

= � e ex �� E0 � � 

� 

( )�z � � e x �dz 

� k�( 1+ j)�z 

( ) 

� k� 1+ j 

= � ex � � E0 k�( 1+ j) 

= � ex � � E0 2k 

= � ex � H y ( 0)= 

� JF � 

� 

� 0 

( 1� j) 

� 

JF = H y ( 0)� 

� ex = � � 

J( z)�dz 

� 

0 

-222- 

-223- 

16

Der Skineffekt IX 


(5) Oberflächenwiderstand und Oberflächenimpedanz: 

� 

E 

� = 0 

� 

H 

� 

� 

�� 

� 

x 

� 

J F 

y 

� > 0 

j = 

1+ j 

2 

Der Skineffekt X 

� 

� 

E 

b 

� 

H 

� S 

z 

� 

J F 

Inspiriert durch den Feldimpedanzoperator 

(cf. Folie 196). 

Z F = E x 

H y 

= Ex ( 0) 

JF 2k 

= 

� � 1� j 

( ) 

= k � μ 

�( 1+ j)= 

�( 1+ j) 

� 2� 

ZF = RF �( 1+ j) 

Z F = 

j� μ 

� 


(6) Interpretation des Oberflächenwiderstandes: 

Merke: Die Einheit des Oberflächenwider- 

standes ist Ohm. In diesem speziellen Fall 

sagt man aber «Ohm pro Quadrat», um der 

technischen Anordnung Rechnung zu tragen. 

R F = 

Inspiriert durch das 

Gesetz von Ohm 

� μ 

2� 

Oberflächenimpedanz 

Oberflächenwiderstand 

R F = 

(A) Oberflächenwiderstand: 

= 1 

� �� S 

� μ 

2� 

(B) Widerstand einer Oberfläche: 

R = � 

� �A = 

� 

� ��S �b = R � 

F � 

b 

R = R F � � 

b 

[ RF ]= � � 

Minimale 

Anzahl Quadrate, 

� b : die in die Oberfläche 

passen. 

-224- 

-225- 

17

Der Skineffekt XI 


(7) Bestimmung des Flächenstromes: 

z 

� 

x y 

b 

(B) Flächenstrom: 

mit [i F ] = A 

i F 

� 

H 

� S 

� 

J F 

iF = � JF � � ex �dy 

� 

b 

� 

0 

«entartetes» 

Flächenelement 

Der Skineffekt XII 

(A) Zur Grenzbedingung: 

� 

ez � � H 2 � � ( H1)= � JF � 

�� JF �� = Am 

Folie 101: Die Grenzbedingung wurde 

anhand des Durchflutungsgesetzes hergeleitet, 

indem die Integrationskontur in 

z-Richtung «zusammengestaucht» 

wurde. Aus der darin enthaltenen Strom- 

dichte ergab sich dadurch die Flächenstromdichte 

(Strom in der Fläche, nicht 

Flächendichte des Stromes). Die Strom- 

stärke erhält man nun durch Integration 

über den verbleibenden Freiheitsgrad. 


(8) Zum Leistungsumsatz: 

{ } mit : E0 = E0 �e j�� (A) Einbringen der Zeitabhängigkeit: 

E 

� 

Et,z ( )= Re e j�t � k� 1+ j 

�E0 �e ( )�z � � ex � 

J( t,z) 

= � � � Et,z ( )= � � Re e j�t � k� 1+ j 

�E0 �e ( )�z � � ex � 

J( t,z) 

= � �E0 �e � k�z �Re e j� �t�k�z+� ( E ) { }� � ex = � �E0 �e � k�z �cos( �t � k�z +� E )� � ex (B) Quadratischer Mittelwert der Stromdichte: 

� 

J( t,z) 

2 

T 

= � 2 T 

2 

E0 � 

{ } 

( ) 

T e �2k�z cos 2 �t � k�z +� E 

0 

�dt = � 2 E 0 2 

2 �e �2k�z 

-226- 

-227- 

18

Der Skineffekt XIII 



( )� � ex mit : E0 = E0 �e j�� (C) Zur Oberflächenstromdichte: 

E 

� 

JF = H y 0 

� 

JF = � �E0 2�k � 1� j ( )�� ex = � �E � 

0 j � 4 � e� �ex = 2�k � �E � j� 0 

4 �e� 2�k � � ( E ) � 

�ex � 

JF ()= t e j�t � � �E � j� 0 

4 �e� 2�k + � ( E ) � 

�ex = � �E � j� �t � 0 

4 �e 2�k + � ( E ) � 

�ex � 

JF ()= t Re � �E � j� �t � 0 

4 �e 2�k + � ( E ) � 

{ �ex } = � �E0 � �cos �t � 2�k 4 +� ( E )� � ex (D) Quadratischer Mittelwert der Oberflächenstromdichte: 

� 

JF () t 

2 

T 

= 1 

2 � � 2 2 

E0 2�k 2 = � 2 2 

E0 4�k 2 = � 2 2 

E0 2 

4 �� S 

Der Skineffekt XIV 



(E) Verlustleistung des Diffusionsvorganges: 

P = 

�� 

V 

P T = 

P T 

AF � � 

E �J 

�dV = 

�� 

V 

1 

� � 

= A F � � E 0 2 

4�k 

= � E 0 2 

4 �� S 

�� 

V 

� 

J( t,z) 

2 

1 

� � 

� 

J 2 

�dV 

1 

�dV = AF � � 

T 

� � 2 2 

E0 2 �e �2k�z � 

� �dz 

0 

= ��b ( )� � E0 2 

4 ��S � AF = ��b; �S = 1 

k 

� 

(siehe hierzu Folie 1-282) 

Dies ist die zeitlich gemittelte Leistung, 

welche während der Diffusion durch 

die Fläche A F im Halbraum in Wärme 

umgewandelt wird. 

-228- 

-229- 

19

Der Skineffekt XV 



(F) Quadratischer Mittelwert des Flächenstroms: 

b 

� 

0 

= b� � JF � 

2 

iF i F = � J F � � e x �dy 

(G) Ohm‘sche Leiterverluste durch den Flächenstrom: 

2 

P = i T F 

T �R = i 2 

F 

= b 2 � � JF () t 

2 

2 

P = i T F 

T 

T 

T �R F 

� � 

b 

1 

� �� S � 

b = b2 � � 2 2 

E0 2 1 

4 �� S � � �� S � 

b 

�R = ��b ( )� � E0 2 

4 ��S Der Skineffekt XVI 

� 

T = b2 � � JF () t 

2 

Dieser Ausdruck ist identisch zur 

Verlustleistung � aus der Betrachtung 

des Diffusionsprozesses aus 

Folie 229 (zumal ja gilt: A F = �·b ). 


(9) Diskussion: 

•� Die Verluste durch den Diffusionsvorgang entsprechen genau den 

Ohm‘schen Leiterverluste des Flächenstroms und werden auch als 

Skineffekt-Verluste bezeichnet. 

•� Wird anstelle der exponentiell abklingenden Stromdichte im Halbraum 

ein konstanter Strom (der Flächenstrom !) angesetzt, so werden in einer 

vom Strom durchsetzten Schicht der Dicke � S (Skin- oder Eindringtiefe) 

gerade die Skineffekt-Verluste umgesetzt, d.h.: 

P T 

Diffusion 

� � 

� P T 

Leiter 

2 

= iF 2 

�R = iF •� Frequenzverhalten der Oberflächenwiderstandes und der Skintiefe: 

� 

� 

T 

� �d�b � d := � S 

RF � f �S �1 f ZF = RF �( 1+ j) 

Gleichermassen ohmsch und induktiv ! 

-230- 

-231- 

20

Der Skineffekt XVII 

Beispiel: «Zylindrischer Leiter» 

(1) Problemstellung: 

r 

R 

� 

it () 

�,μ 

� 

H 

Der Skineffekt XVIII 

z 

� 

(A) Vektordiffusionsgleichung: 

� � E = μ� � � � E 

�t 

mit : 

� 

E = E z � � e z 

(B) Vektoranalysis (für Zylinderkoordinaten): 

� � v = �vr � 2 � 

� 


(2) Lösung der Diffusionsgleichung: 

r 

R 

� 

it () 

�,μ 

� 

H 

= I0 �cos( �t ) 

i = I 0 �e j��t 

z 

� 

� 

� 

+ �� vz �� ez r 2 � �v � 

+ �v� + 2 

r 2 � �vr �vz = �2vz �r 2 + 1 

r � �vz �r 

�� vr r 2 

�� v� r 2 

� 

� �� e r + 

� 

� �� e� + 

Laplace-Operator: 

vektoriell 

skalar 

1 + r 2 � �2vz �� 2 + �2vz �z 2 

(A) Zeitharmonische Felder: 

(Feld ist invariant in z- und � -Richtung) 

� 2 

�r 2 Ez + 1 

r 

� � �r Ez � j� �μ� �Ez = 0 

� 2 

�r 2 Ez + 1 � 

r � �r Ez + � 2 �Ez = 0 

� = � j� �μ� = ( 1� j)�k 

(B) Lösung der Bessel‘schen Differentialgleichg.: 

Ez ( r)= 

C1J n ( � �r)+ 

C2N n � �r 

( ) 

J n : Bessel-Funktionen erster Gattung, n-ter Ordnung 

N n : Neumann-Funktionen n-ter Ordnung 

-232- 

-233- 

21

Der Skineffekt XIX 



(C) Lösungsansätze: 

Ez ( r)= 

C1 �J n ( � �r)+ 

C2 �N n � �r 

Ez ( r)= 

C1 �J 0 � �r 

( ) 

( ) 

Jz ( r)= 

� �C1 �J 0 � �r 

rot � H = � J � rot � �� H �� z 

( ) 

1 � = r � �r r�H ( � )�1� r � �� H � 

� 

� 

r � � � ez = Jz � � ez Beziehung für 

( )=��C1�J 0 ( � �r) 

� � = 1; � = 1 

1 � 

r � �r r�H ( � )= Jz r 

1 � ( z �z ) � 

z � { J� ( z) 

}= z �� J�� z 

Der Skineffekt XX 

Merke: Die Neumann-Funktion enthält 

eine Singularität im Ursprung (r = 0). 

Merke: Die Bessel-Funktion J0 ist die 

einzige, die bei r = 0 ungleich Null ist. 

Vektoranalysis 

Bessel-Funktionen 

( ) H� ( r)= 

� 



H� ( R)= 

I0 2��R � H� ( R)= 

� 

� �C (D) Randbedingungen: 

1�J 1 � �R 

(E) Feldlösungen: 

Ez ( r)= 

I � 0 

� 

2� �R 

( 

( 

) 

) 

( 

( 

) 

) 

� � J0 � �r 

J1 � �R 

H� ( r)= 

I0 2� �R � J1 � �r 

J1 � �R 

( ) 

� �C 1 �J 1 � �r 

( ) � C 1 = 

Jz ( r)= 

I0 I 0 �� 

( ) 

2��R�� J 1 � �R 

( ) 

( ) 

2� �R �� J0 � �r 

J1 � �R 

Merke: Die Berechnung der magnetischen 

Feldstärke H � hätte ebenso gut 

über das Induktionsgesetz erfolgen 

können: 

rot � E = � j� �μ � H 

-234- 

-235- 

22

Der Skineffekt XXI 


(3) Feldverteilung im Leiter (Realteil): 

H� ( r) 

Jz ( r) 

Der Skineffekt XXII 

Beispiel: 

«Zweidrahtleitung» 

•� Eine elektromagnetische 

Welle (später) propagiert 

entlang einer Leitung. 

•� Lokal, d.h. an einer Stelle 

betrachtet, stellt die Welle 

ein Wechselfeld dar. 

•� Dieses Feld dringt wegen 

der Felddiffusion in das 

Material der beiden Leiter 

ein (nur ein Leiter sichtbar). 

•� Frage: Skineffekt oder 

Stromverdrängung? 

© Simulation mittels MMP-Methode, 

P. Leuchtmann, ETH Zürich. 

z 

r 

H � 

J z 

Zur Erinnerung: 

f = 0 Hz 

Kupferdraht mit R = 1 mm, 

bei einer Frequenz von 

f = 160 kHz 

-236- 

-237- 

23

Stromverdrängung I 

Beispiel: «Dünner Bandleiter» 


z 

x 

� 

it () 

y 

b 

� 

H 

d 

it () 

�,μ 

Stromverdrängung II 



z 

x 

� 

it () 

y 

b 

� 

H 

d 

� 

it () 

�,μ 

� 

(A) Voraussetzungen: 

Dünner Leiteranordnung: 

Wechselstrom- 

Anregung: 

(B) Diffusionsgleichung: 

(C) Randbedingungen: 

�� 

� 

b 

� 

H �d � l = i 

� � H = μ� � � � H 

�t 

d � b 

( ) 

it ()= I0 �cos �t 

i = I 0 �e j��t 

� H y dy + d z=� � H y d z= 2 

2 

0 

b 

� dy � � �H y 

0 

� 

H � � e y 

H y d z=� 2 

H y = � H d z=� 

y d z= 2 

2 

� 2 

�z 2 H y = j� �μ� �H y 

0 

b 

b 

0 

Keine Beiträge entlang 

von z (wegen d

Stromverdrängung III 



(D) Lösungsansätze: 

� 2 

�z 2 H y � j� �μ� �H y = 0 � 2 = j� �μ� �� = ( 1+ j)�k 

H y ( z)= 

C1�e � �z �� z 

+ C2 �e 

( )= I 0 

H y � d 

2 

H y 

d 

2 

2�b 

( )= � I 0 

2�b 

(Randbedingungen) 

Stromverdrängung IV 



(D) Lösungsansätze: 

k = ��μ� 

2 

� C �d 

+� �d 

2 2 I0 1 �e�� + C2 �e =+ 2�b 

+� �d 

�� d 

2 2 I0 C1 �e + C2 �e = � 2�b 

C 1 = �C 2 := C 

C = � Io 2b � 

1 

( ) 

2�sinh � � d 

2 

H y ( z)= 

C1 �e � �z + C2 �e �� z = C� e � �z �� z ( � e )= C�2�sinh � �z 

H y ( z)= 

� Io 2b 

(E) Stromdichte: 

� 

H = H y � � e y ; 

Jx ( z)=+ 

Io 2b 

( ) 

( ) 

� sinh � �z 

sinh � � d 

2 

� 

J = rot � H � 

(Folie 220) 

( ) 

( ) 

�� cosh � �z 


2 

d [ 2 , 2 ] 

� z �� d 

( ) 

rot H y � � ( ey )= � � 

�z H y � � ex + � 

�x H y � � ez d [ 2 , 2 ] 

� z �� d 

-240- 

-241- 

25

Stromverdrängung V 


(3) Frequenzabhängiger Widerstandsbelag: 

u = I0 �( R+ j� �Li )= 1 

I0 �( R+ j� �Li ) = Io� 2b� 

coth � � d 

2 

� 

� 

� � Jx z 

0 

( ) z= d 

�� cosh � � d 

2 

2 

�dx 

= � 

( ) 

( ) = Io�� 2b� 


2 

� �J x 

( ) 

d 

2 

d �coth( � � 2 ) 

k �d k �d sinh( k�d )�j�sin k�d 

( )= coth( 2 + j� 2 )= 

cosh( k�d )�cos k�d 

R�( � ) = 

R( � ) � 

� 

= Re � 

� 

�� 

( ) 

d � �coth � � 2 

2b� 

Stromverdrängung VI 


(3) Frequenzabhängiger Widerstandsbelag: 

R�( f) 

RDC � 

J x ( z) 

RDC � = 1 

� �b�d 

2� S � d 

� 

� 

� 

�� 

( ) 

( ) 

«Innerer» 

Spannungs- 

abfall beim 

Maximum der 

Stromdichte 

Umformung 

Hyperbelfkt. 

= k sinh( k�d )+sin k�d 

� 

2b� cosh( k�d )�cos k�d 

Kupfer-Bandleiter 

d = 1 mm; b = 1 cm 

� f 

f 

( ) 

( ) 

-242- 

-243- 

26

Stromverdrängung VII 

Fazit 

Dem Skineffekt und der Stromverdrängung liegt der gleiche 

physikalische Mechanismus zu Grunde, nämlich die elektromagnetische 

Felddiffusion. In diesem Sinne tragen die 

Bezeichnungen «Skineffekt» bzw. «Stromverdrängung» 

lediglich einem unterschiedlichen Standpunkt Rechnung: 

� Skineffekt: Elektromagnetische Felder / Strömungsfelder 

können nur bedingt, d.h. gemäss einer frequenzabhängigen 

Skintiefe � S in das leitende Material eindringen. 

� Stromverdrängung: Das elektrische Strömungsfeld wird 

mit zunehmender Frequenz aus dem leitenden Material 

gedrängt. 

Abschirmung I 

Beispiel: «Metallrohr» 



� Quellenfeld: 

� 

H q = H t 

()� � e x 

H()= t 

�0 

� t < 0 

� 

�H 

0 � t � 0 

� Sehr dünnwandig: d

Abschirmung II 


(2) Zu den Randbedingungen: 

Abschirmung III 


(2) Zu den Randbedingungen: 


� Sehr dünnwandig: (d

Abschirmung IV 


(3) Lösung mit Hilfe des magnetischen Skalarpotentials: 

(A) Das Skalarpotential des anregenden Magnetfeldes H q : 

� 

H = �grad� � � H q = H()� t 

� ex = � � 

�x � q � � ex s B 

� a = ( A�r + r )�cos( �) 

s D 

� i = ( C�r + )�cos( �) 

r 

( ) 

� q = �H()� t x = �H()�r t �cos � 

(B) Das Skalarpotential des vom Metallzylinder erzeugten «sekundären» Magnetfeldes H s : 

s B � a = r 

�cos � 

( ) 

( ) 

s 

� i = r�C�cos � 

Abschirmung V 



(C) Lösungsansätze: 

a a 1 � 

H t � H� = � r � 

�� q �� 

s 

�� +� a �� = � 

��H 

t 

i i 1 � s 

H t � H� = � r � �� i = C�sin � 

a a 

Bn � Br = �μ0 � � 

�r � q s 

�� +� a 

� Die Ansatzfunktion entstammt der Lösungs- 

bibliothek (H-7) aus Folie 1-186. 

� Ansatzfunktion hat wegen der Zylindersymmetrie 

die gleiche � -Abhängigkeit wie die Anregung. 

� Für r � � muss � a s verschwinden: A = 0. 

� Für r � 0 bleibt � i s endlich gross: D = 0. 

( ) 

()+ B 

r 2 

�� = μ0 �� H 

t 

( ) 

i i 

Bn � Br = �μ0 � � s 

�r � i = �μ0 �C�cos � 

a 

Bn r=R = B i 

n r=R 

( ) = � 

r=R �Bn �t 

1 � 

R� d � �� H a i 

t � Ht 

Das Skalarpotential der totalen äusseren Magnetfeldes. 

��s=R�� 

r=R 

� 

� 

()+ B 

r 2 

�sin( �) 

� 

� 

�cos( �) 

� H()+ t B 

R 2 = �C 

� 1 

R� d 

�� H 

t 

B ()+ 

R 2 �C 

� 

� = μ 0 

dC 

dt 

-248- 

-249- 

29

Abschirmung VI 



(D) Auswerten der Randbedingungen: 

H()+ t B 

R 2 = �C 

1 

R� d 

d 

dt 

�� H 

t 

C + 1 

� 

B ()+ R 2 �C 

� Eliminieren der Konstante B: 

�C = � 1 

� 

� Magnetfeld im Inneren: 

� 

� = μ0 dC 

dt 

�H() t � Ct 

� 

H i s 

= �grad� i = 

= �grad �� r�C()�cos t � 

( ) 

Abschirmung VII 


� 

� 

Wegen der Zeitabhängigkeit von H(t) 

sind die Randbedingungen nur erfüllt, 

wenn die «Konstanten» B und C auch 

zeitabhängig sind ! 

( )�H 0 

� 

()= � 1� e�t 

� � = 1 

2 �μ 0� �R�d; t � 0 

() 

�� = �grad x�C t �� 


(D) Auswerten der Randbedingungen: 

H()+ t B 

R 2 � Bestimmen der Konstante B: 

+ C = 0 � aus Folie 250. 

1 

R� d 

1 ()= ( ) 

Bt 

= �C t ()�� ex B � 2� R 2 � 

� 

� 

� = μ dC 

0 � dt 

2 � μ � �� 0� �R�d � R 2 � dC 

dt = � �R2 � �C 

�t = H 0 �R2 �e �t � �+�, d.h. addieren der oberen 

Gleichung mit � aus Folie 250. 

� t � 0 

� Magnetfeld im Aussenraum: 

� 

H a ( r,�,t )= 

1 a � 

� μ �B 0 r �er + � 

� 

� a � � = � 

� H� �e� � � 

� 

� 

� 

( ) 2 

R H 0 � r 

� 

� 

( ) 2 

R H 0 � r 

( )�� e r + 

�e �t � +1� 

�cos � 

� 

�e �t � �1� 

�sin � 

� ( )�� e� � 

� 

� 

� 

-250- 

-251- 

30

Abschirmung VIII 



(E) Feldlösungen: 

� 

H i �t � 

( r,�,t )= ( 1� e )H0� � ex = 1� e 

�t � ( )H0�cos � 

( )� � er �sin( �)� 

� ( e� ) 

�r < R; t � 0 Merke : � ex = cos( �)� 

� er �sin( �)� 

� e� � Das Magnetfeld im Innern liesse sich auch direkt über die Felder aus Folie 249 bestimmen. 

� Dass � nur von der Permeabilität des Vakuums abhängt, hat mit B n i = Bn a zu tun. 

� 

H a � 

( r,�,t )= H 0 �� 

� 

� 

�r > R; t � 0 

� 

� 

� 

� 

( ) 2 

R 

r 

( ) 2 

Abschirmung IX 


R 

r 

( )�� e r + 

�e �t � +1� 

� cos � 

� 

�e �t � �1� 

�sin � 

� ( )�� e� (4) Zeitentwicklung der Feldlinien der magnetischen Feldstärke: 

t � = 0 t � = 0.5 t � = 1 

� 

� 

� 

� 

Merke: 

� für r � � 

� für t � � 

ergibt sich die 

Feldverteilung 

des homogenen 

Quellenfeldes. 

-252- 

-253- 

31

Wirbelströme I 

Beispiel: «Wirbelstromverluste» 


h 

dx 

� 

Bt 

() 

y 

dy 

di 

b 

� 

Bt ()= Bt ()�� (B) Magnetische Flussdichte: 

( ez ) 

d 

Wirbelströme II 

x 


(C) Magnetischer Fluss: 

(innerhalb einer fiktiven Stromschleife) 

y x 

� m = 


� Ein Leitermaterial (z.B. ein Eisenblech 

eines Transformators) mit den räumlichen 

Abmessungen b � h � d (dünn: d

Wirbelströme III 


(3) Abschätzung der Wirbelströme: 

h 

dx 

� 

Bt 

() 

� x 

y 

dy 

di 

b 

Wirbelströme IV 

�� 

R s(x) = 4 

� �d 

( ) 

� 

E�d � l 

h x � b � dx 

d 

( ) 2 

�� b 1+ 

� h 

x 

� 

� 

� Rechteckförmiger Strompfad: 

dx x b 

dy = y = h 

= 4 y 

� �d � dx � x 

= 4 

� �d 


(3) Abschätzung der Wirbelströme: 

� Stromstärke und Verlustleistung im Strompfad: 

= di�R s(x) = � d 

dt � m =+4 xy� d 

() 

d x�dx � dt Bt 

di = 

� d � 1+ b ( h ) 2 

� � 

� � 

= 4�x 2 � h d 

b � dt Bt () 

h x � b � dx 

� 

Rs = 1 2 y 2 x 

� �( 2� dx�d + 2� dy�d )= 

= 4 

� �d � 

y x ( dx + dy )= 

= 4 

Muss gelten damit die 

Integration aller Stromschleifen 

die gesamte Fläche bedeckt. 

y dx x 

� �d � dx � 1+ y � dy 

( )= 

h ( y � b )�1+ dx x ( y � dy )= 

( ) 2 

�� b 1+ 

� h 

� 

� 

() 

( ) 2 

� 

Parametri- 

sierung der 

Stromschleife 

mit x. 

� dp = di 2 Rs(x) = 4x3 d � �d�h� �� dt Bt�� 

2 

Verlustleistung 

des Strompfades 

dt Bt 

h 

()=+4�x� ( x� b )�d dt Bt 

Elektrischer Widerstand 

des Strompfades 

(cf. Folie 256). 

b� 1+ b � 

� h 

� 

() 

dx 

-256- 

-257- 

33

Wirbelströme V 


(4) Abschätzung der Verlustleistung im dünnen Eisenblech: 

� Verlustleistung aller Strompfade: 

P = dp 

() 

b 2 

� = 

0 

4�� d�h� d �� dt Bt�� 

2 

b� 1+ b ( h ) 2 

� � 

= � �d�h�b3 d �� 16� 1+ b � 

� h 

P = 

� �d�h�b3 

16� 1+ b � 

� h 

� 

dt Bt () 

( ) 2 

� 

( ) 2 

� 

� 

� 

�� 2 

� 

() 

d � dt Bt 

Wirbelströme VI 

di 

� 

Bt 

() 

b 

N 

�� 

�� 2 

b 2 

� 

� x 3 �dx 


(5) Laminieren des Eisenkörpers: 

0 

Wirbelstromverluste in 

einem dünnen Blech mit 

den Abmessungen 

b � h � d wobei d

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