pdf_(5,19_MB) - Allgemeine und theoretische Elektrotechnik ...

Die Felddiffusion IX
Separation der Diffusionsgleichung
Produkteansatz für karthesische Koordinaten:
(A) Diffusionsgleichungen:
� � f � μ� � �
�t
�
f = � 0 � �f i � μ� � �
�t f i = 0 � � f � � E, � J, � B, � A
{ }
Vektordiffusionsgleichung Komponentenschreibweise
(B) Produkteansatz:
� 2 fi �x 2 + �2 fi �y 2 + �2 fi �z 2 � μ� � �fi �t = 0 � fi = X( x)�Y(
y)�Z(
z)�T()
t
Die Felddiffusion X
1
X � �2 X
�x 2
1 + Y � �2Y �y 2
1 + Z � �2Z �z 2
�
� k x 2
�
� k y 2
Separation der Diffusionsgleichung
Produkteansatz für karthesische Koordinaten:
(C) Harmonische Lösungen:
1
X � �2 X
�x 2 2
+ kx = 0
(D) Zeitverhalten:
1
Y � �2Y �y 2 2
+ ky = 0
μ�
� T �t = 0
� �
� k z 2
� �T
k x 2 +ky 2 +kz 2
Jeder Term hängt nur von der jeweiligen
Variablen ab und muss daher konstant sein.
1
Z � �2Z �z 2 2
+ kz = 0
Die die zugehörigen harmonischen Lösungsfunktionen sind ab
Folie 1-181 als (H-1) bis (H-8) für verschiedene Koordinatensysteme
aufgeführt. Die Separationskonstanten k i erhält man
aus den entsprechenden Randbedingungen.
� μ� �T
T � �t = k t
2 2 2 � �
x + ky + kz � T()= t T0 �e
� =
μ�
k x 2 +ky 2 +kz 2
Jede der Lösungsfunktionen mit ihren Separationskonstanten k i
klingt gemäss eines «globalen» exponentiellen Zeitverlaufs mit
der Zeitkonstante � ab. T 0 folgt aus den Anfangsbedingungen.
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