Grundlagen der Elektrotechnik 2 (GET 2) - Allgemeine und ...

Grundlagen der Elektrotechnik 2 

(GET 2) 

Daniel Erni 

(BA 342, daniel.erni@uni-duisburg-essen.de) 

Norbert Koster 

(BA 337, norbert.koster@uni-duisburg-essen.de) 

Markus Pell 

(BA 302, markus.pell@uni-duisburg-essen.de) 

Lehrstuhl für Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik (ATE) 

Abteilung für Elektrotechnik und Informationstechnik 

Fakultät für Ingenieurwissenschaften 

Universität Duisburg-Essen 

Inhalt 

1. Einführung 

2. Bauelemente der 

Elektrotechnik 

3. Elektrische Netzwerke 

4. Wechselspannungen 

und Wechselströme 

5. Komplexe 

Wechselstromrechnung 

6. Netzwerkanalyse 

7. Netzwerksätze 

-1- 

-2- 

1

Einführung I 

Ingo Wolff 

Verlagsbuchhandlung 

Dr. Wolff, 2003 

401 Seiten, � 35.50 

Einführung II 

Ingo Wolff 

Verlagsbuchhandlung 

Dr. Wolff, 2005 

373 Seiten, � 35.50 

Vorlesungsunterlagen 

• Lehrbuch GET 1: 

Skriptum für das Kapitel 

«Bauelemente der Elektrotechnik» 

• Ergänzende Unterlagen zur Vorlesung: 

� Bildmaterial zum Buch 

� Ergänzende Manuskripte 

� Aufgabenstellungen 

Alles via Moodle-Server: 

http://moodle.uni-duisburg-essen.de/ 


• Lehrbuch GET 2: 

Nebenstehendes Buch von Ingo Wolff wird als 

Skriptum zur Vorlesung verwendet. 

• Ergänzende Lehrbücher: 

H, Frohne, K.-H. Löcherer, H. Müller, 

«Moeller Grundlagen der Elektrotechnik» 

Teubner, 2005, 551 Seiten, � 38.90 

Karl Küpfmüller, W. Mathis, A. Reibiger, 

«Theoretische Elektrotechnik – eine Einführung» 

Springer Verlag, 2005, 745 Seiten, � 44.95 

Eugen Philippow, W.-J. Becker, W. Hofmann, 

«Grundlagen der Elektrotechnik» 

Verlag Technik, (10. Aufl.), 2000, 

800 Seiten, � 74.20 

-3- 

-4- 

2

Einführung III 

Einführung IV 

Verschiedenes 

• Vorlesungsbetrieb: 


• Alternative Lehrbücher: 

Manfred Albach, 

«Grundlagen der Elektrotechnik 1 – 

Erfahrungssätze, Bauelemente, 

Gleichstromschaltungen» 

Pearson Studium, 2005, 304 Seiten, � 29.95 

Manfred Albach, 


Periodische und nichtperiodische 

Signalformen» 


L.-P. Schmidt, G. Schaller, S. Martius, 


Netzwerke» 


Übungen 

Seminare 

Tutorien 

Skript (Lehrbücher GET 1 & GET 2, I. Wolff) 

Vorlesungsfolien (PDF-Files via Moodle herunterladen) 

• Nomenklatur: 

Referenzen auf Folien der Vorlesung 

«Grundlagen der Elektrotechnik 1» (GET 1) 

erfolgen gemäss der folgenden Schreibweise 

Folie 1-76, Folie 1-228, Folien 1-89-91. 

• Bitte: 

Lesen Sie auch die zugehörige Literatur (Skript und Bücher) ! 

-5- 

-6- 

3

Einführung V 

Worum es geht 

(A) Elektromagnetische Feldtheorie (B) Stromlehre 

Elektrische und magnetische 

Felder: E, D, B, H. 

Das elektrische Strömungsfeld: 

J. 

Bauelemente: 

R, C, L, M. 

«Übersetzung» 

Grundlagen der Elektrotechnik GET 2 

[Buch GET 1: Seiten 258-401] 

4. Bauelemente 

• Bezugspfeile 

• Bezugspfeile und Netzwerke 

• Elektrische Quellen 

• Der elektrische Widerstand 

• Der Kondensator 

• Die Spule 

• Gekoppelte Spulen 

• Der Transformator 

Netzwerke und Schaltungen: 

u, i. 

• Gleichstrom/-spannung 

• Wechselstrom/-spannung 

-7- 

-8- 

4

Voraussetzungen I 

Energetische Verhältnisse in den Bauelementen 

Aktive / passive elektrische Bauelemente: 

Voraussetzungen II 

• Passive Bauelemente: 

• Elektrische Energie wird in Wärme umgewandelt 

(Verbraucher), gespeichert oder 

übertragen. 

• Ohne Anlegen einer elektrischen Spannung 

fliesst auch kein Strom. 

• Wichtige passive Bauelemente: Widerstand, 

Kondensator, Spule, Transformator. 

• Aktive Bauelemente: 

Grössenverhältnisse der Bauelemente 

Zeitskalen der Anregung elektrischer Bauelemente: 

Elektromagnetische 

Welle (Anregung) 

Ein Bauelement heisst «konzentriertes Bauelement», falls dessen 

charakteristische Abmessung � viel kleiner als die Wellenlänge � 

der anregenden Grösse ist. Die räumliche Variation der elektrischen 

Grössen entlang des Bauelements ist vernachlässigbar. 

Netzwerke bestehen aus konzentrierten Bauelementen. 

• Es fliesst ein Strom auch ohne Anlegen einer 

elektrischen Spannung. 

• Elektrische Quellen (oder genauer: elektrische 

Energiewandler, da es keine 

«Energiequellen» im eigentlichen Sinn gibt). 

� � � 

20 = c 0 

20� f 

-9- 

-10- 

5

Voraussetzungen III 

Idealisierung von Bauelementen 

Netzwerkelemente: 

Klemme 

(2) Netzwerkanalyse: 

Netzwerkelement 

i 

u 

Klemme 

Netzwerkelement Mathematisches Modell 

Elektrisches 

Netzwerk 

Bezugspfeile I 

Gleichungssystem 

Bezugspfeil der elektrischen Spannung 

� 

1 2 

� 

E 

2 

� 

u = � E�d � s 

1 

d� s 

a) u12 > 0 

• Realen elektrischen Bauelementen 

werden Idealisierungen zugeordnet: 

Netzwerkelemente. 

• Netzwerkelemente sind mathematische 

Modelle zur Beschreibung 

der Haupteigenschaften von 

elektrischen Bauelementen. 

• Netzwerkelemente (Modelle) 

werden mittels (Schalt-) Symbol 

gekennzeichnet. 

• Eine Schaltung realer Bauelemente 

idealisiert sich zu einem Schaltplan 

von Netzwerkelementen. 

• Ein solcher Schaltplan heisst 

«elektrisches Netzwerk». 

� 

1 2 

� 

E 

• Bezugspfeil der Spannung stets in Richtung des Wegelements. 

• u > 0: Die Wegelemente (d.h. der Bezugspfeil) zeigen während 

der Integration grösstenteils in Richtung der elektrischen 

Feldstärke (Integral ist positiv). 

• u < 0: Die Wegelemente sind grösstenteils entgegengesetzt zur 

Richtung der elektrischen Feldstärke (Integral ist negativ). 

d � s 

b) u12 < 0 

-11- 

-12- 

6

Bezugspfeile II 

Bezugspfeil der elektrischen Stromstärke 

i 

� 

J 

a) i > 0 

i = 

� 

J � � n�dA 

� 

�� 

A 

d � F 

� n 

Bezugspfeile III 

a) 

� m > 0 

� n 

d � s 

� 

n quer 

A 

i 

b) 

� 

J 

� n 

i < 0 

• Bezugspfeil der elektrischen Stromstärke stets in Richtung des 

Flächennormalenvektors. 

• i > 0: Flächennormalenvektor zeigt in Richtung der elektrischen 

Stromdichte (Skalarprodukt ist positiv). 

• i < 0: Flächennormalenvektor zeigt in die entgegengesetzte 

Richtung der elektrischen Stromdichte. 

Bezugspfeil des magnetischen Flusses 

(1) Elektrische Stromstärke und magnetische Feldstärke: 

�� 

C 

� 

H �d � s 

= 

�� 

Aquer i > 0 

� 

H, � B 

A 

� 

J � � n quer �dA quer 

b) 

� m 

< 0 

� n 

d � s 

� 

n quer 

i > 0 

� 

H, � B 

• Bezugspfeil des Stromes i bestimmt nquer . 

• Bezugspfeil des Stromes i ordnet die Rich- 

� 

tung von ds im Rechtsschraubensinn zu. 

� � 

• nquer und ds bilden Rechtsschraubensystem. 

A 

� 

-13- 

-14- 

7

Bezugspfeile IV 


(2) Stromstärke, magnetische Feldstärke und magnetischer Fluss: 

i 

i = 

�� 

Aquer Bezugspfeil 

�� i > 0 � � J � � n quer > 0 

i < 0 � � J � � n quer < 0 

�m > 0 � � B� � n > 0 

�m < 0 � � B� � n < 0 

� 

J � � n quer �dA quer 

� m 

� n quer 

= 

�� 

C 

� 

H �d � s 

Rechtsschraubensinn 

�� d � s 

i > 0 � � H �d � i < 0 

s > 0 

� � H �d � s < 0 

Bezugspfeil 

�� n �� «willkürlich» 

B 

� 

H 

«willkürlich» 

Bezugspfeile V 

� m = 

�� 

A 

� 

B� � n�dA 


(3) Bezugspfeilordnung beim Induktionsgesetz: 

a) 

n � 

u ind = 

�� 

�A 

� m 

iind 

� 

E�d � s 

R 

= � d� m 

dt 

uind 

i ind = u ind 

R 

= � d 

dt 

�� 

A 

b) 

n � 

� 

B� � n�dA 

uind 

� m 

(a) Die Bezugspfeile 

der 

induzierten 

Stromstärke i ind 

und des 

magnetischen 

Flusses � m 

bilden ein 

Rechtsschraubensystem. 

(b) Der Bezugspfeil der induzierten 

Spannung u ind und der Bezugspfeil 

des magnetischen Flusses � m 

bilden ein Rechtsschraubensystem. 

-15- 

-16- 

8

Bezugspfeile VI 

Netzwerkelemente und Bezugspfeile 

(1) Mögliche Zuordnung der Bezugspfeile: 


i 

a) 

u 

b) 


i 

c) 

u 

d) 

� 

E, � J 

Die Richtungen der Feldgrössen 

werden durch die 

Physik vorgegeben. 

Bezugspfeile VII 

i 


u 


u, i 


(2) Konsequenzen der «willkürlichen» Bezugspfeilordnung: 

u = + � E �� 

i = + � J �A 

u = � � E �� 

i = � � J �A 

u 

i 

Die Bezugspfeile der elektrischen 

Grössen Spannung und Strom 

können willkürlich gewählt werden. 

� � E, � J 

u = � � E �� 

i = + � J �A 

u = + � E �� 

i = � � J �A 

-17- 

-18- 

9

Bezugspfeile VIII 



Wir berücksichtigen den festen, physikalischen Zusammenhang 

zwischen den beiden Feldgrössen (Folie 1-134): 

a ( )u > 0; i > 0 

b ( )u < 0; i > 0 

c ( )u < 0; i < 0 

d ( )u > 0; i < 0 

Bezugspfeile IX 

u = + � 

�i = +R �i 

� �A 

u = � � 

�i = �R �i 

� �A 

u = + � 

�i = +R �i 

� �A 

u = � � 

�i = �R �i 

� �A 



� 

J = � � � E 

p = +u �i = R�i 2 = u2 

R 

p = �u �i = R�i 2 = u2 

R 

p = +u �i = R�i 2 = u2 

R 

p = �u �i = R�i 2 = u2 

R 

• Gleichsinnige Bezugspfeile führen jeweils zur üblichen Schreibweise u = + R·i des 

ohm’schen Gesetzes. Bei gegensinnigen Bezugspfeilen gilt demnach u = � R·i. 

• Die in Wärme umgesetzte Leistung (Verlustleistung = vom passiven Element aufgenommene 

Leistung) ist stets positiv. Dies erfolgt direkt nur bei gleichsinnigen Bezugspfeilen, 

bei gegensinnigen Bezugspfeilen gilt demnach das negative Produkt p = � u·i. 

• Bei aktiven Elemente, ist die abgegebene Leistung positiv, was direkt nur bei den 

entgegengesetzten Bezugspfeilen erfolgt. 

(4) Konvention: das Verbraucherbezugspfeilsystem: 

u «gleichsinnig» u «gegensinnig» 

i i 

a) b) 

Passives Bauelement Aktives Bauelement 

-19- 

-20- 

10

Elektrische Quellen I 

Beispiele elektrischer Quellen 

(1) Das Normalelement von Weston: 

CdSO 4 

Cd 

U 0 

– + 

U 0 = 1.0813 V (Spannungsnormal, i < 1 mA, 

bei 20°C, ändert wenig mit der Temperatur). 

CdSO 4 

Hg 2 SO 4 

Hg 

Klemmen 

Elektrische Quellen II 


(2) Der Blei-Akkumulator: 

– + 

U 0 PbO 2 � PbSO 4 

Chemische 

Bindungsenergie 

Pb � PbSO 4 

i Laden 

i Entladen 

Elektrische 

Energie 

• Es gibt keine Energiequellen, 

sondern nur Energiewandler. 

• In einer elektrischen Quelle 

werden Ladungen mittels EMK 

(«treibende» Kraft nichtelektrischer 

Natur, cf. Folie 1-243) 

getrennt. 

• Elektrochemische EMK: Cadmiumsulfat-Lösung 

mit Quecksilber-Anode 

(+) und Cadmium- 

Kathode (–). 

• Cd ist unedler als Hg und geht 

bei der Kathode in Lösung. Bei 

der Anode verbinded sich Cd ++ 

mit Hg2SO4 und bildet dort CdSO4 und metallisches Hg. 

H 2SO 4 + H 2O 

• Gebräuchlichster elektrischer 

Energiespeicher 

(Automobilindustrie) 

• Zwei Bleisulfatelektroden 

(PbSO 4) in verdünnter 

Schwefelsäure (H 2SO 4). 

• Laden: 

elektrische � chemische 

Energie Bindung 

• Entladen: 

chemische � elektrische 

Bindung Energie 

-21- 

-22- 

11

Elektrische Quellen III 



� Ladevorgang: 

Positive Elektrode (Anode): PbSO 4 + SO 4 -- + 2H2 O � 2(-e) = PbO 2 + 2H 2 SO 4 

Negative Elektrode (Kathode): PbSO 4 + H 2 ++ + 2(-e) = Pb + H2 SO 4 

«laden» 

Elektronenstrom 

� Entladevorgang: 

2(-e) 

PbSO 4 � Pb 

– + 

H ++ 

2 SO -- 

4 

H 2 SO 4 + H 2 O 

Positive Elektrode (Anode): PbSO 4 + H 2 ++ + H2 SO 4 = PbSO 4 + 2H 2 O � 2(-e) 

Negative Elektrode (Kathode): Pb + SO 4 -- = PbSO4 + 2(-e) 

«entladen» 

Ionenstrom 

2e – 

Pb � PbSO 4 

Elektrische Quellen IV 



U0 V 

2,8 

2,6 

2,4 

2,2 

2,0 

1,8 

1,6 

Laden 

Entladen 

– + 

SO -- H ++ 

4 2 

H 2 SO 4 + H 2 O 

0 2 4 6 8 10 12 h t 

2(-e) 

PbSO 4 � PbO 2 

2e – 

PbO 2 � PbSO 4 

• Beim Entladevorgang ist die 

Spannung über eine bestimmte 

Zeit nahezu konstant. 

• Die Spannung hängt zudem 

von der Grösse des bei der 

Entladung fliessenden Stromstärke 

ab. 

• Ladungszustand lässt sich 

anhand der Spannung am 

Akkumulator bestimmen. 

-23- 

-24- 

12

Elektrische Quellen V 


(3) Elektromechanische Energiewandler: • Drehende Leiterschleife 

im Magnetfeld. 

• Spannungserzeugung 

� 

durch Induktion. 

• Abgriff über Schleifringe. 

I E 

Elektromagnet zur Erzeugung 

des statischen Magnetfeldes. 

A 

� 

B 

Elektrische Quellen VI 


(3) Elektromechanische Energiewandler: 

A 

� n 

b 

u = � d� m 

dt 

� 

B 

� n 

b 

u 

� 

B 

d � 

= � { B �a�b�cos( � t) 

} 

dt 

= � B �a�b�� sin( � t)= 

û�sin � t 

�� 

û 

� 

a 

� 

a 

u 

t = 0 

Bewegte, d.h. drehende Leiterschleife zur 

Erzeugung der (induzierten) Quellenspannung. 

u 

t = 0 

�t 

�m ()= t 

� n 

( ) 

�� 

A 

� 

B� � n �t 

( ) 

�dA = 

( ) 

= � B �a�b 

� 

�cos � t 

�� A � 

• Wird ein Verbraucher 

angeschlossen, dann 

fliesst ein Strom, bzw. 

es wird elektrische 

Energie umgesetzt. 

• Die verbrauchte Leistung 

wird an der Welle 

mechanisch erbracht. 

-25- 

-26- 

13

Ideale elektrische Quellen I 

Elektrisch starre Quellen 

(1) Urspannungsquelle: 

u 

u 0 

u = u 0 �i 

u 0 

i 

(2) Urstromquelle: 

Schaltsymbol u 

u-i-Kennlinie 

i 

u 

i = i 0 �u 

: Urspannung : Urstromstärke 

Kurzschluss: i � � (� R innen = 0) Leerlauf: u � � (� R innen = �) 

Ideale elektrische Quellen II 

Gesteuerte Quellen 

u1 

1 1´ 

( ) 

u 0 = f u1 

2 2´ 

a) 

i1 

1 1´ 

2 

b) 

() 

u 0 = f i1 

2´ 

1 

2 

c) 

u1 

( ) 

i 0 = f u1 

i 0 

1´ 

2´ 

i1 

1 1´ 

i 0 = f() 

i1 

2 2´ 

d) 

i 0 

Verbraucherbezugspfeilsystem: 

Quellen 

haben gegensinnige 

Bezugspfeile ! 

i 

(a) SpannungsgesteuerteSpannungsquelle. 

(b) Stromgesteuerte 

Spannungsquelle. 

(c) Spannungsgesteuerte 

Stromquelle. 

(d) Stromgesteuerte 

Stromquelle. 

Beispiel (Folie 25): 

( ) 

u = f I E 

-27- 

-28- 

14

Der elektrische Widerstand I 

Netzwerkelement und Symbol 

Definitionen des ohm’schen Widerstands: 

u = R�i 

R = � 

� �A 

R 

i 

a) Schaltsymbol b) 

u 

Bezugspfeile 

[ R]= 

u � � 

� 

� i � 

� 

V 

= = � 

A 

i = G�u 

� �A 

G = 

� 

Elektrischer Widerstand in Ohm. Elektrischer Leitwert 

in Siemens. 

Der elektrische Widerstand II 

Strom-Spannungs-Kennlinien 

Die Widerstandskennlinie: 

u 

V 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

u 2 

u 1 

R 3 

= 10� 

�i 

�u 

R2 = 5� 

R1 = 1� 

i1 i2 0 

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 A i 0 1 2 3 4 5 V u 

i 

A 

1,2 

0,2 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

G1 = 1S 

R 

G2 = 0,2S 

[ G]= 

i � � � 1 � 

� 

�u 

� 

� 

= 

� 

� R � 

� = 

= A 

V = ��1 = S 

R bzw. G ist die Steigung der entspr. Kennlinie. 

G 3 

= 0,1S 

R = �u 

�i = 

= u 2 �u 1 

i 2 � i 1 

G = �i 

�u = 

= i 2 �i 1 

u 2 � u 1 

-29- 

-30- 

15

Der elektrische Widerstand III 

Die Verlustleistung am elektrischen Widerstand 

Verlustleistung als Funktion der elektrischen Grössen: 

p 

W 

25,0 

18,75 

12,5 

6,25 

0 

G 1 = 1S 

G 2 = 0,25 S 

0 1 2 3 4 5 V u 

p = u�i = R�i 2 = u2 

R 

p 

100 W 

75 

50 

25 

0 

R 2 = 4 � 

R 1 = 1� 

0 1 2 3 4 5 A i 

[ p]= 

[ u�i ]= VA = W 

Der elektrische Widerstand IV 

Technische Bauformen 

(1) Der Drahtwiderstand: 

Schutzschicht Anschlusskappe 

Widerstandsdraht Wickelkörper 

24 � – 82 k� / 6 W 

Die Leistung p wird 

dem elektrischen 

System entzogen 

bzw. in Wärme 

umgewandelt: 

� Verlustleistung. 

Quadratisches 

Verhalten. 

Die Leistung 

in Watt. 

• Aufgewickelter Draht aus 

Widerstandsmaterial wie 

Nickelin, Manganin, usw. 

(cf. Folien 1-138, 1-141). 

• Werte: 1� bis 100 k�. 

• Präzis einstellbar, dafür 

teuer. 

• Auch für grosse Verlustleistung 

erhältlich. 

1 � – 22 � / 50 W 

-31- 

-32- 

16

Der elektrische Widerstand V 


(2) Der Massewiderstand: 


Widerstandsmasse 

2.4 M� / ± 20% 

Der elektrische Widerstand VI 


(3) Der Schichtwiderstand: 


� i 

� a 

Widerstandsschicht 

� 

56 k� / ± 1% 

(Metallschicht) 

• Körper gefüllt mit homogener 

Widerstandsmasse 

wie Bindemittel mit Russ 

oder Graphit. 

• Werte: 10 � bis 1 G�. 

• Sehr geringe Herstellungskosten, 

dafür sind die 

Toleranzen der Widerstandswerte 

gross. 

• Diese Bauform eignet 

sich für grosse Stückzahlen. 

• Typischer Einsatz in der 

Konsumerelektronik. 

• Dünne Metall- oder Kohleschicht, 

ergibt Widerstand: 

R = 

� 

( ) 

2 2 

� �� a � �i 

• Werte: 1 � bis 100 k�. 

• Diese Bauform eignet 

sich für genaue Widerstände, 

d.h. mit kleinen 

Toleranzen und für grosse 

Stückzahlen. 

-33- 

-34- 

17

Der elektrische Widerstand VII 


(4) Farbcode für Widerstandswerte (DIN IEC 62): 

2.4 M� / ± 5% 

Kohle-Schichtwiderstände 

} Metall-Schichtwiderstände 

Farbe A B C Multiplikator Toleranz Temperaturkoeffizient 

Der elektrische Widerstand VIII 


(4) Farbcode für Widerstandswerte (DIN IEC 62): 

± 5% 

24 � 100 k� 

2.4 M� / ± 5% 

-35- 

-36- 

18

Der elektrische Widerstand IX 


(5) Internationale Normenreihe für Widerstandswerte (E-Reihen, DIN IEC 63): 

{ } 

k k n k 

En = En En = 10�round ( 10 ); � k = 0,1,…,n �1 

E 6: 10 15 22 33 47 68 ± 20% 

E 12: 10 12 15 18 22 27 33 39 47 56 68 82 ± 10% 

E 24: 10 11 12 13 15 16 18 20 22 24 27 30 33 … ± 5% 

E n: n = 6, 12, 24, 48, 96, 192. 

(6) SMD-Widerstände (Surface Mounted Device): 

0.2 mm � 0.4 mm 

Beschriftete Widerstände mit sehr kleinen Abmessungen für eng bedruckte Schaltungen 

E 24: 2.4 � 2R4 � R �[1,10] � ± 5%, ± 2% 

24 � 24R � R �]10,100] � ± 5%, ± 2% 

240 k� 244 4: Anzahl Nullen � R �]100,10 7 ] � ± 5%, ± 2% 

Der elektrische Widerstand X 

«Extreme» Widerstandsbauformen 

Hochleistungswiderstand: 

(Lokomotivbau, usw.) 

110 kW / 1.8 m 

Mikrowellen-Widerstände (SMD) 

(cf. Folie 10) 

SMD-Widerstände 

Widerstandssensor 

(Nano-Thermometer) 

-37- 

-38- 

19

Der Kondensator I 

Die Parallelplatten-Anordnung 

Prinzipieller Aufbau: 

d u 

� r 

A 

� Q 

Der Kondensator II 

Laden des Kondensators 

(1) Der Ladevorgang: 

a) 

Q = 0 

Q = 0 

U 0 

+ - + - + - + - + - + - + - + - + - + - 

� 

E 

+ - + - + - + - + - + - + - + - + - + - 

+ Q 

� 

E, � D 

+ Q 

• Wichtig: Siehe hierzu auch Folien 

1-58, 1-87 bis 1-88 (Ladung und 

D-Feld) und 1-89 (Ladung und 

Spannung) bzw. Folie 1-107 zum 

Energieinhalt ! 

• Zweielektrodenanordnung: Mit dem 

Anlegen einer Spannung wird ein 

elektrisches Feld dazwischen ausgebildet 

und Ladungen auf die Platten 

aufgebracht: Speicherung von Ladungen 

und elektrischer (Feld-)Energie. 

• Eine solche Anordnung (ein solches 

elektrisches Speicherelement) heisst 

«Kondensator». 

• Der Vorgang des «Aufbringens» 

heisst «laden» des Kondensators. 

- 

+ + + + + + + + + + 

- - - - - - - - - - 

� Q 

t < 0 b) t = 0 

c) t > 0 

Keine Spannung, 

kein Feld, 

keine Ladung. 

U 0 

Spannung wird angelegt, 

es existiert ein E-Feld, 

es erfolgt Ladungstrennung 

durch Influenz. 

� 

E 

+ 

i L 

i L 

U 0 

Spannungsquelle 

liefert positive 

Ladung auf die 

obere Platte und 

negative Ladung 

auf die untere 

Platte. 

alternative 

Lesart ! 

Quelle «saugt» auf der oberen Platte 

die negative Träger ab und schiebt 

sie auf die untere Platte, wo sie die 

positven Ladungen kompensieren. 

«Schieben» � Ladestrom i L . 

-39- 

-40- 

20

Der Kondensator III 

Laden des Kondensators 

(2) Fazit: • Der Kondensator speichert die positive Ladung auf der einen Platte und die 

gleiche Menge an negativer Ladung auf der gegenüberliegenden Platte. 

• Durch das zwischen den Platten existierende elektrische Feld speichert der 

Kondensator auch elektrische (Feld-)Energie. 

• Im geladenen Zustand kann keine Energie mehr zugeführt werden, d.h. es 

kann kein Strom mehr fliessen. 

Bei Anlegen einer Gleichspannung an den Kondensator fliesst, abgesehen 

vom Ladestrom, kein elektrischer Strom über den Kondensator. 

• Das bleibt so, solange nichts an der Kondensatoranordnung geändert wird, 

d.h. es bleibt so, selbst wenn die Spannungsquelle abgehängt wird. 

• Wird der geladene Kondensator an einen Widerstand angeschlossen, so 

fliesst ein Strom, der Kondensator wird entladen. Durch den Entladestrom 

werden die positiven und negativen Ladungen ausgeglichen, d.h. alle 

gespeicherten Grössen werden abgeführt. 

Der Kondensator IV 

Die Kapazität des Kondensators 

Bezugspfeile und Bezugsgrössen: 

Verbraucherbezugspfeilsystem 

! 

ut () 

C = Q 

u 

[ C]= 

As 

V 

i t () 

+Qt () 

� 

E t 

(), � Dt 

() 

�Qt () 

ut () 

s 

= 

� = F Die Kapazität 

in Farad. 

• Vereinbarung: Unter Ladung Q 

wird die Ladung verstanden, 

die sich auf der Elektrode befindet, 

an welcher der Bezugspfeil 

der Spannung beginnt 

(siehe hierzu auch Folie 1-107). 

• Spannung und Ladung verhalten 

sich im Kondensator proportional 

zueinander (siehe 

Folien 1-89 und 1-106). 

• Die Proportionalitätskonstante 

heisst Kapazität C: 

Q = � 0� r �A 

d 

�u =:C�u 

-41- 

-42- 

21

Der Kondensator V 

Ladungstransport bei zeitlich variierender Spannung 

(1) Zur Stromstärke: 


! 

ut () 

i t () 

+Qt () 

� 

E t 

(), � Dt 

() 

�Qt () 

Die elektrische Stromstärke i(t) am Kondensator 

ist proportional zur zur Zeitableitung der Spannung, 

mit der Kapazität C als Proportionalitätskonstante. 

Der Kondensator VI 

ut () 

A K 

� 

J t 

() 

� 

n L A L 

A K � n 

() 

i t 

� 

H t 

() 

i t () 

+Qt () 

� 

Dt () 

� 

H() t 

�Qt () 

� 

H t 

() 

ut () 

• Varierende Spannung (z.B. eine 

Wechselspannung) am Kondensator: 

ständiger Lade- und Entladevorgang. 

• Gemäss Folie 42 wird auch 

ständig Ladung aufgebracht 

bzw. weggeführt: es fliesst ein 

Strom, solange u(t) sich ändert: 

dQ t 

it ()= () 

= 

dt 

�0� r �A 

� 

d 

ut () 

() 

dt 

du t 

it ()= C � 

du t () 

dt 


(2) Alternative Interpretation zum Stromfluss: 

i = 

�� 

A L 

� 

J � � n L �dA 

• Frage �: Fliesst der Strom 

i(t) am, zum oder durch den 

Kondensator? 

• Stromfluss i(t) verändert aber 

laufend die Ladungen ± Q(t). 

• Die Elektrodenladungen sind 

Anfangs- und Endpunkte der 

elektrischen Flussdichte D. 

Q = 

dQ 

dt 

�� 

Ak = d 

dt 

� 

D� � n�dA 

� 

�� 

Ak d � F 

� 


� 

= i 

d � F 

-43- 

-44- 

22

Der Kondensator VII 



i = 

�� 

A L 

� 

J � � n L �dA = 

dQ 

dt 

= d 

dt 

�� 

Ak • Es sieht so aus, als würde die Leitungsstromdichte 

J zwischen den Platten 

durch die sogenannte Verschiebungsstromdichte 

JD = dD/dt fortgesetzt, falls 

die Elektrodenladungen zeitabhängig 

sind. 

• Die Verschiebungsstromdichte schliesst 

den Stromkreis Quelle-Kondensator; 

selbst bei Vakuum (!) zwischen den 

Elektrodenplatten. 

Der Kondensator VIII 

� 


d � d 

� 

= 

F 

� D 

dt � � � 

�� n�dA := JD � 

Ak � �� n�dA 

Ak �� d � D 

dt 

interessante Interpretation ! 

() 

i(), t j t 

() 

i(), t j t 



ut () 

• Frage �: Ist die Verschiebungsstromdichte dD/dt wirklich eine physikalische 

Stromdichte zumal ja keine Ladungsträger zwischen den Platten fliessen? 

• Besser: Hat dD/dt die gleichen Eigenschaften wie eine reale Stromdichte? 

Will heissen: Kann die Verschiebungsstromdichte dD/dt auch ein Magnetfeld erzeugen? 

d � D 

dt 

� 

H 

i t () 

i t () 

� 

H 

� 

H 

ut () 

• Antwort �: Aus der Kontinuität von dD/dt 

und der Stromdichte J folgt über das Durchflutungsgesetz 

der Nachweis des H-Feldes: 

i = 

= 

�� 

C 

�� 

AL � 

H � d � s 

= 

� 

J � � n L �dA 

= 

�� 

A k 

d � D 

dt � � n�dA 

-45- 

-46- 

23

Der Kondensator IX 


(3) Das verallgemeinerte Durchflutungsgesetz: 

�� 

C 

� 

H �d � s 

= 

�� 

A 

� 

J � � n�dA+ 

d 

dt 

�� 

A 

� 


(cf. Folie 1-193) 

Antworten: 

� Der Strom fliesst bei zeitlich veränderlicher 

Anregung «durch» den Kondensator. 

� Der Verschiebungsstrom ist ein real existierender 

Strom, der auch im Vakuum 

«fliessen» kann. Im Dielektrikum lässt sich 

dieser Wechselstrom über die zeitlich veränderliche 

Polarisation versinnbildlichen. 

Der Kondensator X 


(1) Schaltsymbol: 

i 

C 

(3) Spannungen und Ströme: 

i = C� du 

dt 

u = 1 

C 

t 

u 

� i( � )�d� + U0 � 

0 

• Elektrische Ströme i / Stromdichten 

J, als auch Verschiebungsströme / 

Verschiebungsstromdichten dD/dt 

sind Erzeugende des magnetischen 

Feldes. 

• Beide bestimmen das Magnetfeld 

in ihrer Umgebung entsprechend 

des um die Gesamtstromdichte 

erweiterten Durchflutungsgesetzes 

(siehe auch Folie 1-193): 

� 

J ges = � J + d � D 

dt 

(2) Definitionsgleichung: 

Q = C�u 


! 

Mathematisches Netzwerkmodell 

des Kondensators. 

«Eimer-Analogie»: 

u: Füllstand; i: Volumenstrom; Q: Füllmenge 

C: Querschnittsfläche des Eimers 

-47- 

-48- 

24

Der Kondensator XI 

Zeitliche Variation der 

Zustandsgrössen 

� ut (): Qt ()�ut () 

it () � �u() t 

• Strom hat Nulldurchgang bei 

Spannungsextremum. 

• Aus der Lage der Nulldurchgänge: 

Der elektrische Strom eilt der 

Spannung um T/4 voraus. 

• Beim nichtsinusförmigen Verlauf 

haben Strom und Spannung 

nicht mehr dieselbe Form. 

• Komplikation bei Digitaltechnik. 

Der Kondensator XII 

d 

+ Q A 

� 0� r 

� Q 

� 

E 

� 

D 

0 

a) 

0 

b) 

u 

u , i, 

Q 

u, 

i, 

Q 

i() 

t 

Q() 

t 

u() 

t 

T 4 T 2 3T 4 T t 

Q() 

t 

Im Kondensator gespeicherte Energie 

Wel = 1 

2 � � E � � D �V = 1 

2 

(Folie 1-107) 

u 

� � 

�d 

�E 

Q 

�A �D 

�A�d 

� 

V 

u() 

t 

ut ():= û�sin( �t ) 

i() 

t 

T 4 T 2 

3T 4 T t 

Im elektrischen Feld eines Kondensators 

wird Energie gespeichert. Sie 

wird aus der Spannung u zwischen den 

Elektroden, der Ladung Q auf den Elektroden 

und der Kapazität C bestimmt. 

W el = 1 

2 �Q�u 

= 1 

2 �C�u2 

= 1 

2 �Q2 

C 

Gleichwertige 

Austrücke für 

die Energie. 

-49- 

-50- 

25

Der Kondensator XIII 

Spezielle Bauformen 

(1) Der Kugelkondensator: 

Der Kondensator XIV 



� 

E 

� 

E max 

� 

E min 

siehe Folie 1-60 

� e = 

= 

�� 

A 

�� 

Metall Dielektrikum Metall Luft 

~ 1 

r 2 

• Berechnung des elektrischen Flusses � e 

durch die (gestrichelte) Kugelhüllfläche A: 

� 

� 

A 

� 


= 

� 

D � � n �dA 

= 

�� 

A 

� 

D �dA 

= � D �� dA = 4� r 2 � � D = + Q 

A 

• � Aus Symmetriegründen ist das D-Feld 

rein radial gerichtet, wie auch der Flächennormalenvektor. 

� Aus Symmetriegründen ist das D-Feld 

auf der konzentrischen Hüllfläche konstant. 

0 r 

ri rai ra � + Q 

D = 

4� r 2 

� 

E = 

� 

E max = 

� 

E min = 

+ Q 

4�� 0� r r 2 

+ Q 

= 

2 

4��0�r ri + Q 

2 

4��0�r rai -51- 

-52- 

26

Der Kondensator XV 



• Die Spannung u: 

u = 

r ai 

� 

r i 

r ai 

� 

E�d � s 

= 

r ai 

� 

r i 

� 

E�d � r 

= 

r ai 

� 

r i 

� 

E � d � r 

+ Q + Q 

= � �dr = � � 2 

4��0�rr 4��0�r 1 � � 

� 

� r � 

r i 

• Die Kapazität C: 

C = Q 

u = 4�� 0� r �r ai �r i 

r ai � r i 

= 

r ai 

� 

r i 

� ri 

= 4�� 0� r 

� 

E � � n �dr 

r ai 

1 

r � i 1 ( r ) ai 

Der Kondensator XVI 


(2) Der Zylinderkondensator: 

u 

E � D � 

+ Q 

0 r � � 

� � � 

� 

n � 

� Q 

�i 

� n 

�ai a 

� 

� 

= 

r ai 

� 

r i 

� 

E �dr 

= Q 

� 

4��0�r rai � ri rai �ri siehe Folie 42 

Die Kapazität C ist wie aus Folie 42 

auch hervorgeht, nur von der Geometrie 

und dem Material abhängig. 

C � �, falls der Abstand null wird. 

� E, D 

� � 

� n 

u 0 r � � 

• Idealisierung: 

� >> �, d.h. vernachlässige 

die 

Streufelder. 

• Es gibt daher 

nur radial ausgerichtete 

Felder. 

• Aber: 

In der Praxis 

sind die Kondensatoren 

eher «kurz». 

-53- 

-54- 

27

Der Kondensator XVII 



• Berechnung des elektrischen Flusses � e durch die Zylindermantelfläche A M : 

� e = 

�� 

A 

� 

D = Q 

2�� 

� 

E max = 

u = 

� ai 

� 

� i 

� 

D� � n�dA= 

�� 

A M 

� 

E = 

Q 

2�� 0� r� i � 

� 

E�d � s 

= 

� ai 

� 

� i 

� 

E �d� = 

� 

D � � � 

n �dA= 

�� D �dA= 

� D �� dA= 

2�� D =Q 

Q 

2�� 0� r�� 

� 

E min = 

� ai 

� 

� i 

A M 

Q 

2�� 0� r� ai � 

Der Kondensator XVIII 



� 

E 

� 

E max 

� 

E min 

0 

0 

A M 

• Berechnung der Kapazität C: 

C = Q 

Q 

2��0�r�� d� 

Q 

= 

2��0�r� ln � � � ai 

� 

� �i � 

� 

Metall Dielektrikum Metall Luft 

� i 

~ 1 

� 

� 

E = 

� 

E max = 

� 

E min = 

� ai � a � 

u = 2��0�r� ln � � � ai 

� 

� �i � 

� 

Q 

2�� 0� r�� 

Q 

2�� 0� r� i � 

Q 

2�� 0� r� ai � 

-55- 

-56- 

28

Der Kondensator IXX 


Metall 

a) 

Metall- 

Belegung 

b) 

Dielektrikum 

Zuleitungen 

Metall 

Dielektrikum 

Dielektrikum 

Dielektrikum Drahtring 

c) 

Metall- 

Belegung 

d) 

Zuleitungen 

Der Kondensator XX 


Kennzeichnung der Kapazitätswerte: 

� Kennwerte von Zylinder-Kondensatoren 

(i.e. Röhrenkondensatoren): 

Metall 

0.1 pF – 0.1 �F 

Dielektrikum 

0.5 �F – 10 mF 

A B Mult. Tol. 

siehe Tabelle 

nächste Folie 

Metall 

Lot 

(a) Wickelkondensator. 

(b) Scheibenkondensator 

(c) Röhrenkondensator 

(d) Chip- 

Kondensator. 

Nicht abgebildet: 

Elektrolytkond., 

Tantalkond. 

Grundfarbe 

50 V - 

16 V -,25 V- 

Werkstoffe, hier nicht weiter 

spezifiziert 

grün 

violett 

-57- 

-58- 

29

Der Kondensator XXI 


Kennzeichnung der Kapazitätswerte: 

� Kennwerte von Keramik- 

Scheibenkondensatoren: 

Kapazitätswerte werden 

aufgedruckt: 

p63 = 0.63 pF 

6p3 = 6.3 pF 

63p = 63 pF 

n63 = 0.63 nF = 630 pF 

6n3 = 6.3 nF 

Toleranzwerte werden mit 

Kennbuchstaben gemäss 

Tabelle angegeben. 

Der Kondensator XXII 

Grundfarbe des Kondensatorkörpers kennzeichnet 

die Werkstoffklasse, die Farbe der 

oberen Kappe das Material. 

Superkondensatoren als Energiespeicher 

Elektrolyt-Kondensatoren («Elkos»): 

Kondensatorbank z.B. für die 

unterbruchsfreie Stromversorgung 

von Rechnern und Kleinanlagen. 

• Elektrolyt (flüssig, feucht) als 

Dielektrikum. 

• Achtung! Polarität der Anschlüsse 

ist stets zu beachten! 

3000 F ! 

-59- 

-60- 

30

Die Spule I 

Die Toroidspule 

(1) Aufbau und Abmesssungen: 

Die Spule II 


(2) Zum Betriebsverhalten: 

Fall #1: Spule an Gleichspannung U: 

• Es fliesst, abgesehen vom Einschaltvorgang, der Strom I, welcher 

nur durch den ohmschen Widerstand des Spuhlendrahtes gegeben ist. 

Fall #2: Spule an Wechselspannung u: 

• Die Zeitabhängigkeit der Spannung u(t) sei sinusförmig 

bzw. kosinusförmig und charakterisiert durch den 

Scheitelwert û und die Kreisfrequenz �. 

• Verhältnis zwischen Strom und Spannung lässt sich hier nicht 

mehr so ohne Weiteres angeben! 

• Wirkungen des Magnetfeldes müssen in das «Verhältnis» mit 

einbezogen werden. 

• Stichwort: Induktionsgesetz. 

Mit � r >> 100: 

• Tritt das Magnetfeld 

nur im Eisenkern 

auf. 

• Ist das Magnetfeld 

homogen 

verteilt bezüglich 

der Breite b. 

I = U 

R 

u = û�cos( �t ) 

u i 

H,B 

-61- 

-62- 

31

Die Spule III 


(2) Das Magnetfeld: 

• Gebrauch des Durchflutungsgesetzes: 

�� 

C 

� 

H �d � s 

� 

= H � d � �� s = � H � d � �� s = � � � 

H �2�r = � = w� i 

C 

� w� i 

H = 

2� r � � B = μ0μ r � � w� i 

H = μ0μ r � 

2� r 

� Aus Symmetriegründen ist das H-Feld wie auch der 

Integrationsschritt ds auf C gleichsinnig gerichtet. 

� Aus Symmetriegründen ist das H-Feld entlang 

des Integrationsweges C konstant. 

Die Spule IV 


(2) Das Magnetfeld: 

� 

B 

wi 

μ0μr μ 0μ r 

μ 0μ r 

2�r i 

wi 

2�r m 

wi 

2�r a 

C 

Luft Eisenkern Luft 

~ 

r 

1 

ri rm 

ra r 

• Die magnetische 

Flussdichte ist 

konstant entlang 

der Breite b. 

• Die magnetische 

Flussdichte variiert 

mit dem Radius r, 

d.h. entlang der 

Dicke a der Toroidspule. 

-63- 

-64- 

32

Die Spule V 


(2) Der magnetische Fluss: 

� m = 

�� 

A 

Näherungsrechnung für kleine Werte der Dicke a; d.h. die magnetische Flussdichte ist 

näherungsweise konstant über den Querschnitt A = a·b. 

( ) � klein 

a = r a � r i 

� 

B� � n�dA= 

μ0μ r �w�i 

2� 

� 

B � � B m = μ 0μ r �w� i 

2� �r m 

r a 

�b � 1 

� � dr �m = 

r 

μ0μ r �w�b 

� ln 

2� 

r � � a 

� 

� 

� 

� �i 

r i 

= μ 0μ r �w� i 

� 

= const. � r m = r a + r i 

2 

�m � � Bm � � ( n)�A 

�m = μ0μ r �w�A 

�i 

� 

Die Spule VI 


(3) Zum Induktionsgesetz: 

• Induzierte Spannung in einer Windung 

gemäss der magnetischen Flüsse aus 

Folie 65: 

(vergleiche hierzu auch Folien 1-285 ff.) 

(A) exakt: 

u ind = � d� m 

dt = 

u ind = � μ 0μ r �w�b 

2� 

(B) genähert: 

u ind = � d� m 

dt = 

u ind = � μ 0μ r �w�A 

� 

r i 

� ln r � � a 

� 

� 

� 

� 

� di 

dt 

r i 

� di 

dt 

-65- 

-66- 

33

Die Spule VII 

Induzierte Spannung und induktive Spannung 

Verbraucherbezugspfeilregelung für Spannung und Strom: 

R 

R 

B � 

ind 0 < u 

B � 

ind 0 < i 

n � 

ind 0 > i 

n � 

ind 0 > u 

i > 0 

i > 0 

Die Spule VIII 

a) 

d� 

m 

> 0 

dt 

1 

1‘ 

d� m 

u = + > 0 

dt 

b) 

d� 

m 

< 0 

dt 

1 

1‘ 

d� m 

u = + < 0 

dt 

• Angelegte Spannung u bewirkt einen 

elektrischen Strom i in der Schleife 

(Richtungen nach dem Verbraucherpfeilsystem). 

• Annahme: Es sei du/dt > 0 und somit 

auch di/dt > 0. 

• Magnetische Flussdichte B und Flächennormalenvektor 

sind gleichsinnig gerichtet. 

• Magnetischer Fluss �m mit Bezugspfeil entsprechend 

dem Flächennormalenvektor 

wird daher positiv berechnet: d�m/dt > 0. 

• Induzierte Spannung uind in einer Windung, 

die im Rechtsschraubensinn zum 

Flächennormalenvektor gezählt wird, ist 

wegen uind = – d�m/dt negativ ! 

Induzierte Spannung und induktive Spannung 

Verbraucherbezugspfeilregelung für Spannung und Strom: 

• Maschenspannung in der Leiterschleife 

(cf. hierzu auch Beispiel aus Folie 1-266): 

R�i()� t ut ()= uind = � d�m dt 

R � 0 : 

�u()= t uind = � d�m dt 

ut ()= �uind = + d�m u = �u ind 

(ideale Spule ohne ohm’schen Widerstand) 

dt 

Induktive elektrische 

Spannung 

� Fliesst durch die Leiterschleife 

(Spule) ein zeitabhängiger elektrischer 

Strom, so wird in der Schleife eine 

Spannung u ind induziert, welche den 

Aufbau des Magnetfeldes (bzw. den 

Stromfluss) zu verhindern versucht 

(Lenz’sche Regel). Es muss von 

aussen eine Spannung u angelegt 

werden, die gerade u ind kompensiert, 

damit ein Strom fliessen kann. 

� Haben die Spannung u und der 

Strom i gleichgerichtete Bezugspfeile 

(Verbrauchersystem), dann ist die 

Spannung u gleich der negativen 

induzierten Spannung u ind und heisst 

«induktive elektrische Spannung». 

-67- 

-68- 

34

Die Spule IX 

Der verkettete magnetische Fluss 

Spule mit w Windungen: 

Induktive elektrische Spannung 

Die Spule X 

Die Induktivität der Spule 

Beispiel: «Toroidspule» 

(A) exakt: 

(B) genähert: 

(C) allgemein: 

� = w��m = μ0μ r �w 2 b �ln ra ri 2� 

� = w��m = μ0μ r �w 2 �A 

�i 

� 

� = L�i 

Der mit der Spule verkettete magnetische Fluss 

� ist direkt proportional zur Stromstärke i durch 

die Spule. Die Proportionalitätskonstante heisst 

Induktivität L der Spule. L hängt nur von der 

Geometrie und dem Material der Spule ab. 

( ) 

• Bisherige Betrachtungen waren 

bezüglich einer Windung. 

• Bei w Windungen umschliesst der 

Spulendraht den magnetischen 

Fluss � m w mal; oder: 

• Der magnetische Fluss � m durchsetzt 

die vom Spulendraht aufgespannte 

Fläche w mal. Damit ist: 

u = w� d� m 

dt 

=: d� 

dt 

• Die Grösse � = w·� m heisst 

verketteter magnetischer Fluss. 

• Einheit: [� ] = [� m ] = Vs = Wb. 

�i 

L = μ0μ r �w 2 b �ln ra ( r ) i 

2� 

L = μ0μ r �w 2 A 

� 

( ) 

� w2 �A�� 1 

L = � 

i 

[ L]= 

Vs 

= H «Henry» 

A 

-69- 

-70- 

35

Die Spule XI 

Zeitliche Variation der Zustandsgrössen 

i, � , u 

� () t 

0 

it ():= 

u (t) 

i (t) 

u = w� d� m 

dt 

T 4 T 2 3T 4 T t 

î �cos( �t ) 

Die Spule XII 


(1) Schaltsymbol: 

a) 

b) 

(4) Spannungen und Ströme: 

u = L� di 

dt 

u 

L 

u 

L 

i = 1 

L 

� 

i 

i 

� u( � )�d�+ 

I0 � 

0 


! 

= d� 

dt 

= L � di 

dt 

di t 

ut ()= L� () 

dt 

Die elektrische Spannung u 

eilt dem Strom i durch die 

Spule eine Viertelperiode 

voraus, bzw. der Strom i 

ist nacheilend. 

(2) Definitionsgleichung: 

� = L�i 

(3) Zum Netzwerkelement: 

• Idealisierung besteht in der Vernachlässigung 

des Drahtwiderstandes 

und der Wicklungskapazität. 

• (a) Altes IEC-Symbol; 

(b) Aktuelles DIN-Symbol. 

Mathematisches 

Netzwerkmodell 

der Spule 

-71- 

-72- 

36

Die Spule XIII 

Energieinhalt der Spule 

(1) Zur Induktivität der «rechteckigen» Spule: 

A = a 2 

i 

μ 0μ r � A 

a 

Die Spule XIV 

a 

w � 


(1) Zur Induktivität der «rechteckigen» Spule: 

� 

A 

• Herleitung siehe Folien 1-283 bis 1-287: 

Wm = 1 

2 � � H � � B �V =: 1 

�H �B�V 

2 

• Voraussetzungen: Lange Spule, Magnetfeld 

nur im Innern vorhanden; äusseres 

Streufeld wird vernachlässigt: 

� 

H = H � � e � 

H = w�i 

� 

� 

B = B� � e � 

B = μ0μ r� w�i 

� 

( )�a 2 

� = w�� m = w� � B� � n 

• Induktivität: Zeigt den selben Ausdruck wie 

bei der Näherungsrechnung für die Toroid- 

Spule (Folie 70). 

� = w� � B� � ( n)�a 

2 = μ0μ rw 2 a 2 

�i 

� 

L = � 

i = μ0μ rw 2 a 2 

� 

= μ 0μ rw 2 A 

� 

• Formfaktor der Induktivität ist das Feldvolumen, 

welches wie folgt parametrisiert ist. 

V = ��A 

�: Mittellinie 

A: Querschnittsfläche 

-73- 

-74- 

37

Die Spule XV 


(2) Im Magnetfeld gespeicherte Energie: 

Mit dem H- und dem B-Feld aus Folie 73 ergibt sich für die Energie: 

H = w�i 

B = 

� 

μ0μ r� w�i 

Wm = 

� 

1 w�i 

� 

2 � � μ0μ r�w�i � V� � A�� 

�� Wm = 1 

2 � μ0μ r�w 2 �A 

�i 

� 

2 = 1 

2 �L�i2 

Wm = 1 

2 � μ0μ r�w 2 � �A � 1 

�i 

� 

� 

� � 

� �i = 

2 ��i 

Wm = 1 

2 � μ0μ r�w 2 �1 

� �A � 

� 

� 

� � 

� � 2 = 1 �2 

� 

2 L 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

�� 

Wm = 1 

2 �L�i2 

Wm = 1 

2 ��i 

Wm = 1 �2 

� 

2 L 

Die Spule XVI 

Berechnung spezieller Induktivitäten 

Beziehungen zur Induktivität: 

� = L�i 

u = L� di 

dt 

� 

� 

� 

� 

� 

� L 

Wm = 1 

2 �L�i2 � L = 2�Wm i 2 

Äquivalente Darstellungen 

Die Induktivität lässt sich auch ohne verketteten 

Fluss, d.h. über den Energieinhalt 

der Spule bestimmen: innere Induktivität. 

Die Bestimmung von Induktivitäten soll 

nun anhand von zwei Beispielen aus 

der Praxis dargestellt werden. Hierbei 

werden zwei verschiedene Anteile der 

Induktivität in Erscheinung treten. 

-75- 

-76- 

38

Die Spule XVII 

Beispiel: «Zweidrahtleitung» 

(1) Betrachtete Anordnung: 

Aa: «äussere» 

Fläche 

Ai: «innere» 

Fläche 

In der xy-Ebene: 

� 

H = � i 

2� �x �� e z � 

Die Spule XVIII 


(2) Die äussere Indukivität L a : 

i 

2� �( d � x) 

�� ez • In der unendlich langen 

Doppelleitung wird die 

Fläche unendlich gross. 

• Der magnetische Fluss 

ist auch unendlich gross. 

• Wie erfasst man L ? 

• Induktivitätsbelag L’ = H/m 

� Den verkettete Fluss durch die «äussere» Fläche mit der erzeugenden Stromstärke 

in Verbindung bringen. 

w=1 � 

�a = �ma = 

�� 

Aa � 

B� � n� dA 

= μ 0i� 

2� � 

d�� 0 

� 

� 0 

� 1 1 � 

+ 

� 

� x d � x � 

� �dx 

= μ0i� 2� � ln d � � �� 

� � � 

0 � � � 0 � 

� 

� 

� �0 � 

� � ln 

� 

� d � �0 � 

� � 

�� 

�� = μ0i� � �ln d � � � � 0 

� 

� �0 � 

� 

La � = La � = �a i� = μ0 � � ln d � � � 0 

� 

� �0 � 

� 

� 

d�� 0 �� La � = μ0 � 

negatives Vorzeichen 

fällt weg, da das B- 

Feld und der Bezugspfeil 

von � m die gleiche 

Richtung (-z) haben. 

� d � 

�ln 

� 

� �0 � 

� 

-77- 

-78- 

39

Die Spule XIX 


(3) Der äussere Indukivitätsbelag L a ’: 

La� μ0 � 

4 

2 

0 

0 2 4 6 8 10 12 cm d 

Die Spule XX 

� 0 

0,2 cm 

0,4 cm 

1,0 cm 

2,0 cm 


(4) Die innere Indukivität L i : 

A i : «innere»Fläche 

A i = A 1 + A 2 

La � = μ0 � 

� d � 

�ln 

� 

� �0 � 

� 

• Durch die innere Fläche Ai tritt auch ein verketteter Fluss. 

• Symmetrie: Es muss der gesamte 

verkettete Fluss nur für 

einen Leiter berechnet werden. 

Für beide Leiter gilt dann 

entsprechend das Doppelte. 

• Abstand d >> �0 der Leiter sei 

gross: nur «eigenes» H-Feld 

zählt innerhalb von �0. • Im Leiterinnern A1 ist der Fluss 

nicht mehr mit dem gesamten 

Strom i verkettet; es gilt: 

i � = i 

�0 2 

�0 2 � �x 2 � = i� x2 

-79- 

-80- 

40

Die Spule XXI 



Die Spule XXII 



L i = 2� 2�W mi 

i 2 

= μ 0μ r � 

4� 

(5) Die gesamte Indukivität L: 

L = L a + L i � μ 0� 

� 

� d � 

� ln 

� 

� 

� 

� + μ0μ r� 

4� 

� 0 

(6) Der Induktivitätsbelag L’ der Doppelleitung : 

L � = L 

� � μ0 � 

� d � 

� ln 

� 

� �0 � 

� + μ �� 

� r � 

� 

� 

�� 4 �� 

• Die Durchdringung des verketteten Flusses mit 

dem zugehörigen «ortsabhängigen» Strom bedarf 

einer allgemeinen Fassung von � = L·i. 

• Wir gehen den anderen Weg über die Energie: 

� i 

H = 2 

2� ��0 �� 

� 

B = μ0μ r � i 

2 

2� ��0 �� 

Wmi = 1 

2 � 

�0 � 

� H � � B � 2��d� = 

0 

� 0 

= μ0μ r � i 2 2�� 

8� 2 � � 4 

��0 3 � d� = μ0μ r � i 2 � 

16� 

0 

Folie 1-196 

Der Faktor 2 steht für die Berücksichtigung 

der beiden Leiter. 

Die Doppelleitung setzte sich aus 

einem äusseren und inneren Bereich 

zusammen: Induktivitätsbeiträge 

können addiert werden. 

-81- 

-82- 

41

Die Spule XXIII 

Beispiel: «Koaxialleitung» 

(1) Zur Anordnung: 

Leiterabschnitt 

der Länge � 

� 

� a = � ma = 

� 

� 

Die Spule XXIV 


(2) Die äussere Indukivität L a : 

�� 

A 

� 

B � � n �dA 

La = �a i = μ0� 2� �ln � � ai 

� 

� �i (3) Die innere Indukivität L i : 

= 

� 

� 

� 

� ai 

� 

� i 

Das Magnetfeld der Koaxialleitung 

wurde bereits auf Folie 1-208 bis 

1-211 hergeleitet: 

� 

B = μ0μ r i 

2 

2��i �� 

� 

B = μ0 i 

2�� 

� 

B = μ0μ r i 

2��i μ0i 2�� d� = μ0i� 2� �ln � � � ai 

� 

� �i � 

� 

� 

2 � 1� �2 2 

� �ai 2 2 

� 

� �a � �ai 

Die äussere Induktivität ergibt sich 

aus der Verkettung des magnetischen 

Flusses im «Leiterzwischenraum» mit 

der erzeugenden Stromstärke. 

Die innere Induktivität berechnet sich wiederum über die 

Energie unter Berücksichtigung der magnetischen Felder aus 

Folie 82. Die resultierenden Ausdrücke sind kompliziert und 

sollen hier nicht explizit hergeleitet werden. 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

-83- 

-84- 

42

Die Spule XXV 



Wmi = μ0μ r�i 2 

16� + μ0μ r�i 2 

4� 

Beitrag des (einzigen) 

Innenleiters (cf. Folien 

81 und 82). 

Li = μ0μ r� 

8� + μ0μ r� 

2� 

Li = μ0μ r� 8� + μ0μ r� 2� 

� 

� 

� 

�� 

� 

� 

�� 

� 

� 

� 

�� 

� 

� 

�� 

1+ 2� 2 

ai 

2 2 

�a � �ai 

+ 

�1� 

2 

�ai 2 

�a � �ai 

1+ 2� 2 

ai 

2 2 

�a � �ai 

+ 

�1� 

Die Spule XXVI 

� 

� 

� 

�� 

� 

� 

�� 

2 

�ai 2 

�a � �ai 



Beitrag des 

Innenleiters 

(konstant) 

1+ 2� 2 

ai 

2 2 

�a � �ai 

+ 

�1� 

2 

�ai 2 

�a � �ai 

4 

2�ai 2 2 ( �a � �ai ) 2 

2 + � 2 2 

a + �ai 

( ) 

2 2 

4 �a � �ai 

4 

2�ai 2 2 ( �a � �ai ) 2 

2 + � 2 2 

a + �ai 

( ) 

2 2 

4 �a � �ai 

4 

2�ai � 

� 

� 

� 

�� 

� 

�� 

2 2 ( �a � �ai ) 2 

2 + � 2 2 

a + �ai 

(4) Der Induktivitätsbelag der Koaxialleitung L’: 

L � = Li � + La� � μ0μ r 

8� + μ0 2� �ln � � ai 

� 

� �i � 

� 

� 

( ) 

2 2 

4 �a � �ai 

� 

� 

� 

� 

� 

�� 

� 

�� 

�ln �a � 

� �ai � 

� 

� 

� 

�� 

� 

�� 

� 

�ln �a � 

� �ai � 

� 

� 

� � 

�ln �a � 

� �ai � 

� 

� � 

� 

� 

� � 

(siehe hierzu auch Folie 84) 

Beitrag des 

Aussenleiters 

(sehr klein) 

-85- 

-86- 

43

Die Spule XXVII 


(5) Zum Induktivitätsbelag der Koaxialleitung: 

La� , 

μ0 8� 

L�i μ0 8� 

16 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

0 

� i = 0,1cm 

� i = 0,5 cm 

hier gemäss Formel 

aus Folie 86 

� La � La � Li , μr = 1 

0 2 4 6 8 10 cm � ai 

Die Spule XXIX 

Bauformen technischer Spulen 

(1) Auswahl verschiedener Spulentypen: 

Integrierte Mikrowellen-Spulen 

(1 GHz – 0.5 THz) 

Merke: Falls � i gross wird, 

d.h. in die Nähe von � ai 

rückt, dann kann der Beitrag 

von L i ’ gross werden. 

La� L� � μ0 2� ln � �� 

� ai 

� 

� 

� 

�� i Li� � 

� 

� + μ � r � 

� 

4 �� 

Wandstärke des Aussenleiters: 

0.2 cm. 

Bauarten: 

• Luftspulen (> 500 MHz) 

• Spulen mit Magnetkern 

• Toroidspulen 

• Schalenkernspulen 

Spulenkerne: 

• Geschichtete, mit Papier 

isolierte, dünne Eisenbleche 

mit �r = 100 – 

10’000. 

• Ferrit-Kerne, d.h. gesintertes 

Eisenoxid-Keramik 

für mittelfrequente Anwendungen. 

-87- 

-88- 

44

Gekoppelte Spulen I 

Die Gegeninduktivität 

(1) Experimentalanordnung zur Definition der Gegeninduktivität: 

Gekoppelte Spulen II 



(a) Durch Spule 1 fliesst Strom i 1 : 

Das Magnetfeld bzw. Fluss � 11 

wird erzeugt: 

�11 = w1 ��m1 = 

� 

= w1 � B1 � � n1 � dA 

�� 

A 1 

Das Magnetfeld der Spule 1 

koppelt auch in die Spule 2: 

�21 = w2 ��m21 = 

� 

= w2 � B1 � � n2 �dA 

�� 

A 2 

(a) Durch Spule 1 fliesst Strom i 1 : 

� m21 ist der von der Spule 1 

durch den Querschnitt A 2 der 

Spule 2 erzeugte magnetische 

Fluss, welcher den mit der 

Spule 2 verketteten magnetischen 

Fluss � 21 hervorruft. 

Wir schreiben nun: 

� 11 = L 1 �i 1 

� 21 = M 21 �i 1 

Eigen- 

Induktivität 

Gegen- 

Induktivität 

M 21 = f(Geometrie 1 und 2, 

gegenseitige Lage) 

-89- 

-90- 

45

Gekoppelte Spulen III 



Gekoppelte Spulen IV 



(b) Durch Spule 2 fliesst Strom i 2 : 

(der Strom i 1 := 0 A) 

�22 = w2 ��m2 = 

� 

= w2 � B2 � � n2 �dA 

�� 

A 2 

Das Streufeld der Spule 2 

koppelt auch in die Spule 1 

und es ergibt sich: 

�12 = w1 ��m12 = 

� 

= w1 � B2 � � n1 �dA 

�� 

A 1 

(b) Durch Spule 2 fliesst Strom i 2 : 

� m12 ist der von der Spule 2 

durch den Querschnitt A 1 der 

Spule 1 erzeugte magnetische 

Fluss, welcher den mit der 

Spule 1 verketteten magnetischen 

Fluss � 12 hervorruft. 

Wir schreiben nun: 

� 22 = L 2 �i 2 

� 12 = M 12 �i 2 

Eigen- 

Induktivität 

Gegen- 

Induktivität 

M 12 = f(Geometrie 1 und 2, 

gegenseitige Lage) 

-91- 

-92- 

46

Gekoppelte Spulen V 


(2) Zwei stromführende Spulen: 

Durch Spule 1 fliesst Strom i 1 und gleichzeitig fliesst durch Spule 2 der Strom i 2 : 

Da alle Beziehungen linear sind können die damit verknüpften verketteten Teilflüsse 

überlagert werden: 

� 1 = � 11 + � 12 

� 2 = � 21 + � 22 

� 

� 

� � 

� 1 = L 1 �i 1 + M 12 �i 2 

� 2 = M 21�i 1 + L 2 �i 2 

Frage: Wie verhalten sich die beiden Gegeninduktivitäten M12 und M21 zueinander? 

Annahme: der Raum zwischen den beiden Spulen sei isotrop. 

Es sei: (1) i1 = I1 und i2 = 0: Erstes Gedankenexperiment. 

Wm1 = 1 

2 �L 2 

1�I 1 

Wm2 = 0 

Gekoppelte Spulen VI 



(2) i 1 = I 1 und i 2 = 0 � I 2 : Verkopplung führt nun zur gegenseitigen Beeinflussung, d.h. 

zur Änderung der verketteten Flüsse in Spule 1 und Spule 2. Dadurch wird in beiden 

Spulen je eine (Gegen-)Spannung induziert. 

uind1 = � d�12 dt = �M 12 � di2 dt 

= 1 

2 L 1 I 1 

I 2 

1 

� + � L2I 2 �di2 = 

2 L1I1 2 + M12 I 1 �di 2 

0 

I 2 

0 

uind 2 = � d� 21 

dt = �M 21 � di1 dt 

Wm = 1 

2 L1I Damit i2 = 0 � I2 müssen beim Aufbau des Magnetfeldes diese Gegenspannungen 

überwunden werden, d.h. es wird daher folgende Energie im Feld gespeichert. 

t 

Arbeit um die durch di2 in Spule 1 

2 induzierte Spannung zu überwinden. 

1 + ( �uind1 � i1 � uind 2i2 )�dt = 

Energieinhalt 

Arbeit für Feld- 

0 

Spule 1 

Aufbau in Spule 2 

2 + M12 I 1 I 2 + 1 

2 

2 L 2 I 2 

-93- 

-94- 

47

Gekoppelte Spulen VII 



(3) i 2 = I 2 und i 1 = 0: Umgekehrtes Gedankenexperiment. 

Wm1 = 0 Wm2 = 1 

2 �L2 �I 2 

2 

(4) i 2 = I 2 und i 1 = 0 � I 1 : Damit i 1 = 0 � I 1 müssen beim Aufbau des Magnetfeldes 

diese Gegenspannungen überwunden werden, d.h. es wird daher folgende Energie 

im Feld gespeichert. 

I 1 

0 

I 1 

Wm = 1 

2 L2I 2 1 

2 + � M 21I 2 �di1 + � L1I1 �di1 = 

2 L2I 2 

2 + M 21I 2I1 + 1 

2 L1I 2 

1 

(5) Fazit: Da im Endzustand in beiden 

Gedankenexperimenten jeweils die 

gleichen Ströme fliessen müssen, 

gilt für die Gegeninduktivitäten: 

Gekoppelte Spulen VIII 


(3) Zusammenfassung: 

� 1 = L 1�i 1 + M �i 2 

� 2 = M �i 1 + L 2 �i 2 

Der verkettete magnetische Fluss in 

zwei magnetisch verkoppelten Spulen 

ist direkt proportional zu den elektrischen 

Stromstärken in den Spulen 

Die Proportionalitätskonstanten sind 

die Eigeninduktivitäten L1 und L2 der 

beiden Spulen sowie die Gegeninduktivität 

M zwischen den Spulen. 

Für die Einheiten gilt demnach: 

[L1 ] = [L2 ] = [M] = Vs/A = H (Henry) 

0 

M 12 = M 21 := M 

u1 = L1 � di1 dt + M � di2 dt 

u2 = M � di1 dt + L2 � di2 dt 

Gekoppelte Spulen 

sind bezüglich der 

gegenseitigen Verkopplung 

reziprok. 

Die an den Klemmen zweier gekoppelten 

Spulen anliegenden elektrischen Spannungen 

u 1 und u 2 setzen sich aus zwei 

Anteilen zusammen: Der eine Anteil ist 

Proportional zur Stromänderung in der 

betrachteten Spule, der andere Anteil ist 

proportional zur Stromänderung in der 

verkoppelten Spule. 

-95- 

-96- 

48

Gekoppelte Spulen IX 

Die Bezugspfeilordnungen 

(1) Die physikalische Anordnung: • Verbraucherbezugspfeilsystem 

• Bezugspfeile werden an den 

beiden Spulen so gewählt, 

dass die jeweiligen Bezugspfeile 

der Stromstärken bzw. der Spannungen 

parallel zueinander liegen. 

• Flächennormalenvektor bzw. 

der Bezugspfeil des verketteten 

magnetischen Flusses steht zur 

elektrischen Stromstärke im 

Rechtsschraubensinn. 

• (a) Gleichsinnig gewickelt: Je 

einen positiv verketteten Fluss 

Mit L1 und L2 > 0 � M > 0 

gleichsinnig gewickelt gegensinnig gewickelt 

Gekoppelte Spulen X 


(2) Schaltsymbole der gekoppelten Spulen: 

Hochfrequenztechnik 

Gleichwertige 

Schaltsymbole 

Niederfrequenzund 

Energietechnik 

• (b) Gegensinnig gewickelt: Die 

Spule 1 hat einen positiven, die 

Spule 2 einen negativen Fluss. 

Mit L 1 und L 2 > 0 � M < 0 

Gleichsinnig gewickelte 

Spulen (Punkte an gleichen 

Enden) 

M > 0 

Gegensinnig gewickelte 

Spulen (Punkte an ungleichen 

Enden) 

M < 0 

-97- 

-98- 

49

Gekoppelte Spulen XI 


(3) Wicklungssinn und Bezugspfeilordnung: 

u 1 

i 1 

L 1 

M 

L 2 

u 1 

M < 0 

a) b) 

i 2 i 2 

i 1 

u2 u2 L1 L2 Gekoppelte Spulen XII 

Streufaktor und Kopplungsfaktor 

M 

M>0 

Ändert man die Bezugspfeilordnung 

an einer der beiden Spulen, dann 

verändern sich (logischerweise) die 

Vorzeichenverhältnisse erneut. 

(1) Streuflüsse: Streuflüsse der Spulen 1 und 2: 

� m�1 = � m1 �� m21 

� m� 2 = � m2 �� m12 

Streufaktoren der Spulen 1 und 2: 

� 1 = � m�1 

� m1 

= 1� � m21 

� m1 

� 2 = � m� 2 

� m2 

= � m1 �� m21 

� m1 

= 1� � m12 

� m2 

-99- 

-100- 

50

Gekoppelte Spulen XIII 


(1) Streuflüsse: 

Streufaktoren der Spulen 1 und 2: 

� 1 = 1� � m21 

� m1 

� 2 = 1� � m12 

� m2 

= 1� w 1Mi 1 

w 2L 1i 1 

= 1� w 2 Mi 2 

w 1L 2i 2 

= 1� w 1M 

w 2L 1 

= 1� w 2 M 

w 1L 2 

Streufaktoren sind ein Mass dafür, wie gross 

der Anteil des magnetischen Flusses der 

einen Spule ist, welcher die andere Spule 

nicht durchsetzt. 

Z.B.: Fluss � m1 durchsetzt Spule 2 vollständig 

� m1 = � m21 � � 1 = 0 

Gekoppelte Spulen XIV 


(2) Kopplungsfaktoren: 

Kopplungsfaktoren zwischen den Spulen 1 und 2: 

k 1 = � m21 

� m1 

k 2 = � m12 

� m2 

= w 1 M 

w 2L 1 

= w 2M 

w 1 L 2 

k 1 = 1� � 1 

k 2 = 1� � 2 

Kopplungsfaktoren sind ein Mass für die Verkopplung 

der beiden Spulen miteinander. 

Z.B.: Fluss � m1 durchsetzt Spule 2 vollständig 

� m1 = � m21 � k 1 = 1 

Es gilt zudem: 

� = L�i � � m = L 

w �i 

�m1 = L1 �i1 w1 �m21 = M 

�i1 w2 �m2 = L2 w2 �i2 �m12 = M 

�i2 w1 Für reale Spulen gilt immer: 

k1 < 1 �1 > 0 

k2 < 1 � 2 > 0 

Typischerweise haben die 

Streufaktoren � eher kleine 

Werte, d.h. die Kopplungsfaktoren 

gehen gegen eins. 

-101- 

-102- 

51

Gekoppelte Spulen XV 


(3) Gesamtstreufaktoren und Gesamtkopplungsfaktoren: 

Die Gesamtkopplungs- bzw. Gesamtstreufaktoren erfolgen aus einer Mittelwertbildung: 

k = k 1�k 2 = � m21 

� m1 

� � m12 

� m2 

� = 1� k 2 2 

M 

� � = 1� 

L1 �L2 = M 2 

L 1�L 2 

Näherung für kleine Streufaktoren � 1 und � 2 : 

= M 

L 1 �L 2 

� k = M 

L 1 �L 2 

� = 1� k 2 = 1� k1 �k2 = 1� ( 1� �1 )�( 1� � 2 )= 1�1+ �1 + � 2 � �1� 2 

z d 1 

� � 1 + � 2 � � � � 1 + � 2 

Gekoppelte Spulen XVI 

Beispiel: «Zwei ineinanderliegende Spulen» 

(1) Anordnung: 

� 

H 1 , � B 1 

� 

n 2 

w 2 

� 2 

i 2 

� 

w 1 i 1 

� 1 

� 2 

d 2 

� 1 

� 

n 1 

� 

H 2 , � B 2 

-103- 

Voraussetzungen: 

• Äussere Spule ist ideal, d.h. 

Streufeld wird vernachlässigt. 

• Für � = 0 sind die beiden 

Spulen gleichsinnig gewickelt. 

• Es sei zuerst nur die äussere 

Spule angeschlossen, d.h. 

i1 � 0 und i2 = 0. 

Gesucht: 

• Die Gegeninduktivität M der 

angegebenen Anordnung. 

-104- 

52

Gekoppelte Spulen XVII 


(2) Magnetfeld und magnetischer Fluss: 

z d 1 

� 

H 1 , � B 1 

� 

n 2 

w 2 

� 2 

i 2 

� 

� m21 = μ 0 w 1 i 1 

� 1 

w 1 i 1 

� 1 

� 2 

d 2 

� 1 

� 

n 1 

� 

H 2 , � B 2 

�cos( � )� � d 2 

2 

4 

Gekoppelte Spulen XVIII 

Äussere Spule 1: 

H 1 = w 1 i 1 

� 1 

B 1 = μ 0 w 1 i 1 

� 1 

Fluss in innerer Spule 2: 

� m21 = 

= μ 0 w 1 i 1 

� 1 


(3) Verketteteter magnetischer Fluss: 

z d 1 

� 

H 1 , � B 1 

� 

n 2 

w 2 

� 2 

i 2 

� 

w 1 i 1 

� 1 

� 2 

d 2 

� 1 

� 

n 1 

� 

H 2 , � B 2 

M = � 21 

i 1 

�� 

A2 � 

B 1 � � n 2 �dA 

�� cos( 

� )�dA 

A 2 

Mit der inneren Spule 1 ist demnach 

der folgende magnetische 

Fluss verkettet: 

� 21 = w 2 �� m21 

= μ 0 w 1 w 2 i 1 

� 1 

�cos( � )� � d 2 

2 

4 

Für die Gegeninduktivität M gilt 

daher die einfache Beziehung: 

= μ0w1w 2 

2� d2 �cos( � ) 

4� 1 

-105- 

-106- 

53

Gekoppelte Spulen XIX 


(3) Alternative Berechnung der Gegeninduktivität: 

z d 1 

� 

H 1 , � B 1 

� 

n 2 

w 2 

� 2 

i 2 

� 

w 1 i 1 

� 1 

� 2 

d 2 

� 1 

� 

n 1 

� 

H 2 , � B 2 

Diese Anordnung mit einstellbarer 

Gegeninduktivität heisst Variometer. 

• Man hätte auch umgekehrt, mit 

der inneren Spule 2 beginnen 

können; d.h. i1 = 0 und i2 � 0. 

• Das Streufeld der kurzen, 

inneren Spule 2 müsste dabei 

aber bei der Berechnung mitberücksichtigt 

werden, da dieses 

Streufeld die Spule 1 durchsetzt. 

• Diese Berechnung ist sehr, sehr 

aufwändig! 

• Wir nutzen besser die Reziprozitätseigenschaft: 

M12 = M21 = M. 

• Merke: M(�) ist variabel! 

M = 0 � � = (2n+1)·�/2 

M lässt sich negativ einstellen 

-107- 

54

Grundlagen der Elektrotechnik 2 (GET 2) - Allgemeine und ...

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