u0 - Allgemeine und theoretische Elektrotechnik

Grundlagen der Elektrotechnik GET 2 

5. Elektrische Netzwerke 

[Buch GET 2: Seiten 1-71] 

• Topologische Grundbegriffe 

• Kirchhoffsche Regeln 

• Netzwerkgleichungen 

• Reihen- und Parallelschaltungen von Netzwerkelementen 

• Spannungsteiler-, Stromteiler-, und Brückenschaltungen 

• Stern-Dreieck-Umwandlung 

• Reale Spannungs- und Stromquellen 

• Reihen- und Parallelschaltungen von realen Quellen 

• Leistungsanpassung 

Topologische Grundbegriffe I 

Elektrische Netzwerkelemente 

(1) Schaltsymbol und Zugriff: 

Klemme Klemme 

i 

(3) Elektrische Netzwerke: 

• Der Zugriff auf das Netzwerkelement 

erfolgt von aussen über die Klemmen. 

• Elektrische Netzwerkelemente werden 

über die Klemmen zu elektrischen 

Netzwerken zusammengeschaltet. 

• Entsprechend der Netzwerkelemente gibt 

es aktive und passive Netzwerke. 

u 

(2) Netzwerkelemente: 

(A) Passive Netzwerkelemente: 

• Der Widerstand 

• Der Kondensator 

• Die Spule 

• Der Transformator 

(B) Aktive Netzwerkelemente: 

• Die Spannungsquelle 

• Die Stromquelle 

• Die gesteuerte Spannungsquelle 

• Die gesteuerte Stromquelle 

-129- 

-130- 

1

Topologische Grundbegriffe II 

Elektrische Netzwerke 

Zugriff auf elektrische Netzwerke: 

Zweipol bzw. 

Vierpol 

Eintor bzw. 

Zweitor 

Topologische Grundbegriffe III 

Betrachtungen am Beispielnetzwerk 

(1) Zweige und Knoten: 

i 4 

i 1 

R 1 

i 0 

R 4 

i 5 

R 5 

K Z 

u0 Brückenschaltung 

R 3 

R 2 

i 2 

i 3 

• Das Klemmenpaar 

definiert zwei Pole. 

• Durch die Klemme 

gegebene Querschnittsflächedefiniert 

das (Einfalls-) 

Tor für die elektromagnetische 

Welle. 

Es gilt das Verbraucher- 

bezugspfeilsystem. 

• Verknüfung der Netzwerkelemente geschieht 

an den Klemmen. Diese Verknüpfungsstellen 

heissen Knoten (K) des elektrischen Netzwerks. 

• Verbindung eines Knotens mit einem anderen 

Knoten (durch Netzwerkelemente) wird als 

Zweig (Z) bezeichnet. 

• Es gild das Verbraucherpfeilsystem, d.h.: 

• Urgrösse und Bezugspfeile der Quelle(n) sind 

vorgegeben. u und i sind entgegengesetzt 

gerichtet. 

• Restliche Bezugspfeile in den «Verbrauchern» 

haben willkürliche Richtung, einzig dass die 

Strom- und Spannungspfeile im einzelnen 

Verbraucher jeweils die gleiche Richtung 

aufweisen müssen. 

-131- 

-132- 

2

Topologische Grundbegriffe IV 


(2) Gerichteter Graph (Digraph) des elektrischen Netzwerks: 

K 1 

Z 4 

Z1 

K 4 

K 2 

Z 0 

Z 5 

Z 3 

Z 2 

Digraph 

(mit k = 4 Knoten und z = 6 Zweigen) 

Z 4 

Z 1 

K 3 

• Topologische Struktur des Netzwerks wird 

durch den gerichteten Graphen (Digraph) 

symbolisch wiedergegeben. 

• Die Knoten Ki werden beliebig durchnummeriert. 

• Die Zweige Zi enthalten die Richtung des 

Beszugspfeils des elektrischen Stromes. 

Zweige auch beliebig durchnummeriert. 

Der Digraph ist ein zusammenhängendes 

Gebilde aus Zweigen und Knoten. 

Von jedem Knoten zum anderen Knoten 

gibt es mindestens eine gerichtete Verbindung 

(die Zweige und Knoten des 

Graphen enthält). 

Topologische Grundbegriffe V 


(3) Die Maschen des Digraphen: 

Ein geschlossener Weg, 

d.h. eine in sich geschlossene 

Folge von Zweigen 

und Knoten innerhalb des 

Digraphen eines Netzwerks, 

in der jeder Knoten mit 

zwei benachbarten Zweigen 

verbunden ist, wird als 

Masche M bezeichnet. 

• Den Maschen Mi wird ein 

Umlaufsinn zugeordnet 

(Bezugspfeil der Masche). 

• Fünf mögliche Maschen 

des Digraphen. 

K 1 

K 1 

K 4 

K 2 

Z 5 

K 4 

M 1 M2 

Z 1 

K 2 

M 3 

Z 0 

K 2 

Z 2 

Z 3 

Z 2 

K 3 

K3 K1 K 1 

Z 4 

Z 4 

K 2 

K 4 

M 4 

Z 0 

M 5 

Z 0 

K 4 

Z 5 

Z 3 

Z 2 

-133- 

-134- 

K 3 

K 3 

3

Topologische Grundbegriffe VI 



• M 1 � {Z 1 , Z 4 , Z 5 } 

• M 2 � {Z 2 , Z 5 , Z 3 } 

• M 3 � {Z 1 , Z 2 , Z 0 } 

• M 4 � {Z 0 , Z 3 , Z 4 } 

• M5 � {Z0 , Z4 , Z5 , Z2 } 

(1) Reihenfolge {M1 , M2 }: 

neu: Z2 , Z3 (2) Reihenfolge {M 1 , M 2 , M 3 }: 

neu: Z 0 

K 1 

• Anzahl Zweige zM der Masche 

entspricht der 

Knotenanzahl kM. z M = k M 

K 1 

Z 4 

Z 1 

K 4 

K 2 

Z 5 

K 4 

M 1 M2 

Z 1 

K 2 

M 3 

Z 0 

K 2 

Z 2 

Z 3 

Z 2 

K 3 

K3 K1 Topologische Grundbegriffe VII 



Beispiel: 

{M1 , M2 , M3 }: lin. unabh. 

{M1 , M2 , M3 , M4 }: lin. abh. 

Beispiel: 

{M2 , M3 , M4 }: vollständig 

(siehe auch Folie 138) 

Beispiel: 

k = 4, z = 6 

m = 6 – 4 + 1 = 3 

drei lin. unabh. Maschen 

Eine Anzahl von Maschen wird als linear unabhängig bezeichnet, 

wenn es eine Reihenfolge der Maschen so gibt, 

dass jede Masche mindestens einen Zweig enthält, der in 

der vorhergehenden Masche nicht enthalten ist. 

Eine (Reihen-) Folge von Maschen wird als vollständig bezeichnet, 

wenn jede Masche genau einen Zweig enthält, 

der in der vorhergehenden Maschen nicht enthalten ist. 

Ein Digraph mit k Knoten und z Zweigen enthält genau 

m linear unabhängige 

Maschen, die ein voll- m = z � k +1 

ständiges System bilden. 

K 1 

Z 4 

Z 4 

K 2 

K 4 

M 4 

Z 0 

M 5 

Z 0 

K 4 

Z 5 

Z 3 

Z 2 

-135- 

K 3 

K 3 

-136- 

4

Topologische Grundbegriffe VIII 


(4) Der Baum: 

Ein zusammenhängender Teilgraph des 

Digraphen, der alle dessen Knoten enthält, 

jedoch keine Maschen wird als 

Baum bezeichnet. 

• Aus dieser «Konstruktionsregel» ergibt 

sich, dass jeder Baum einen Knoten 

mehr hat, als die Anzahl z B seiner Zweige. 

k = z B +1 � z B = k �1 

• Beispiel: 

k = 4 

z B = 3 

Jeder Baum hat jeweils drei Zweige. 

Topologische Grundbegriffe IX 


(5) Bestimmung einer vollständigen Folge linear unabhängiger Maschen: 

• Wird vom Baum mit zB Zweigen ausgegangen, 

werden im Digraphen dadurch 

Maschen gewonnen, indem man neue 

Verbindungszweige im Baum einführt. 

• Diese Maschen sind linear unabhängig, 

da aus jedem neuen Verbindungszweig 

neue Maschen im Digraphen entstehen. 

• Die Folgen dieser Maschen sind vollständig, 

weil genau eine neue Masche pro einem 

eingeführtem Verbindungszweig entsteht. 

• Dadurch wird die Anzahl zV der Verbindungszweige 

gleich der Anzahl m der 

linear unabhängigen Maschen. 

z V = m 

2 

M 2 

M 1 

M 3 

M 2 

M 1 

1 3 1 

2 

M 1 

1 

-137- 

-138- 

5

Topologische Grundbegriffe X 


(6) Zusammenfassung: 

• Zum Baum: 

z V = m 

z B = k �1 

z = z B + z V 

• Zum Digraphen: 

z = k �1+ m 

m = z � k +1 

# Zweigverbindungen 

# Baumzweige 

# Zweige im Digraphen 

M 3 

M 2 

M 1 

Durch die Wahl eines Baumes innerhalb des Digraphen wird 

eindeutig eine vollständige 

Folge von m linear unab- m = z � k + 1 

hängigen Maschen festgelegt. 

Die Kirchhoffsche Knotenregel I 

Strombilanz am Netzwerk-Knoten 

(1) Anordnung: 

i 1 +i 2 �i 3 +i 4 �i 5 = 0 

n 

� 

� =1 

i 4 

i 5 

K � 

i 3 

i� = 0 

Knoten μ 

(KCL) 

i 1 

i 2 

Kirchhoff 

current law 

3 

2 

• Ladungen sind mit Masse verknüpft und 

können deshalb nicht erzeugt oder vernichtet 

werden (Massen- bzw. Ladungserhaltung als 

andere Form der Energieerhaltung). 

• Im stationären Fall kann der Knoten keine 

Ladung speichern. 

• Was zufliesst muss abfliessen. 

• Stromstärken werden positiv gezählt, wenn 

ihre Bezugspfeilrichtungen auf den Knoten 

zuweisen und sind negativ, wenn sie davon 

wegweisen (geht auch umgekehrt!). 

Kirchhoffsche Knotenregel: Die Summe 

aller elektrischen Stromstärken, die in einen 

Knoten des elektrischen Netzwerkes fliessen, 

ist in jedem Zeitpunkt gleich Null. 

1 

-139- 

-140- 

6

Die Kirchhoffsche Knotenregel II 

Knotengleichungen 

(1) Anwendung der Knotenregel: 

K 1 

K 1 

i 4 

i 4 

i 1 

i 1 

R 4 

R 1 

i 0 

R 4 

R 1 

i 0 

i 5 

i 5 

K 4 

K2 u0 K2 u0 R 5 

R 5 

R 3 

R 2 

i 2 

R 3 

R 2 

i 2 

i 3 

i 3 

K 3 

Knotenregel für die Knoten K 1 bis K 4 : 

( K1): i0 + i1 + i2 + i3 � i4 + i5 = 0 

( K2 ): i0 � i1 � i2 + i3 � i4 + i5 = 0 

( K3 ): � i0 + i2 � i3 � i4 + i5 = 0 

( K4 ): i0 + i1 + i2 + i3 + i4 � i5 = 0 

= 0 

• (Spaltenweise) Addition der Ströme 

bzw. der Gleichungen ergibt Null. 

• Addition von drei Gleichungen ergibt jeweils 

die (u.U. negative) vierte Gleichung. 

Die Kirchhoffsche Knotenregel III 

Knotengleichungen 

(2) Erkenntnisse aus den Knotengleichungen: 

K 4 

K 3 

• Zur letzten Aussage (Folie 141): Die vierte 

Gleichung enthält demnach keine neuen 

Informationen zu den Stromstärken. 

• Die 4 Gleichungen des Gleichungssystems 

sind linear abhängig. 

In einem Netzwerk mit k Knoten sind nur 

k–1 Knotengleichungen linear unabhängig. 

Dies, weil bis zur k–1-ten Knotengleichung 

jeweils mindesten ein neuer Zweigstrom 

hinzukommt. 

In einem Netzwerk mit k Knoten müssen 

nur k–1 Knotengleichungen berechnet 

werden. Die k-te Knotengleichung ist 

zwangsläufig erfüllt. 

-141- 

-142- 

7

Die Kirchhoffsche Maschenregel I 

Betrachtungen zur Umlaufspannung 

(1) Grundgesetz der elektrostatischen Felder: 

i 4 

� 1 

K 1 i 1 

a) 

1 

M 

� 4 

� 2 

2 

R 4 R3 

R 1 

i 0 

i 5 

K 4 

K2 u0 R 5 

i 2 

R 2 

3 

4 

� 3 

• Gegeben sei eine beliebige Masche M im 

Digraphen eines elektrischen Netzwerks. 

• Auch für diesen geschlossenen Umlauf 

muss gelten (kein veränderliches Magnetfeld): 

�� 

M 

� 

E�d � s 

= 0 

Grundgesetz der 

elektrostatischen 

Felder (cf. Folie 1-83) 

• Will heissen: Umlaufspannung = 0 

• In diesem Sinn kann das Umlaufintegral 

als Summe über eine zusammenhängende, 

«geschlossene» Folge von Knotenpotenzialdifferenzen 

(�i – �i+1 ) interpretiert werden: 

( �2 �� 4 )+ ( � 4 ��1 )+ ( �1 �� 3)+ 

� 3 �� 2 

i 3 

K 3 

i Passiver Zweig: 

� 

b) 

R � 

u z = u � 

i� u� i Aktiver Zweig: 

0� 

u 0� 

u z� = u � � u 0� 

( )= 0 

Die Kirchhoffsche Maschenregel II 


(2) Betrachtungen am elektrischen Netzwerk: 

Spulen? 

Zweigspannungen: 

Gilt nur für Netzwerke mit Quellen, 

Widerständen und Kondensatoren. 

� 

� 

u z� Masche μ 

= 0 

-143- 

-144- 

• Das Umlaufintegal 

besteht demnach aus 

Linienintegralen über 

die entsprechenden 

Zweige der Masche. 

• Das Linienintegral längs 

eines Zweiges ergibt die 

Zweigspannung uz . 

• Wird das Netzwerk nicht 

von einem veränderlichen 

Magnetfeld 

durchsetzt, dann gilt: 

� 

8

Die Kirchhoffsche Maschenregel III 


(3) Netzwerke mit Spulen: 

i 4 

u 4 

K 1 i 1 

u 1 

i 0 

L 

u5 R1 

i 5 

K 4 

K 2 

u 0 

R 3 

R 5 

R 2 

i 2 

u 2 

u 3 

i 3 

K 3 

K 1 

� 

i L = i 4 

a) b) � 

Bezugspfeile von u L und i L haben 

den gleichen Richtungssinn 

L 

K 2 

� m 

i 1 R 1 R 5 

� 

u 1 

u L = u 4 

u 5 


i 5 

= 0 

K4 

Das Umlaufintegral berüchsichtigt 

nur Spannungen an Widerständen 

und Kondensatoren 

• Gemäss Folie 1-261 

gilt dann für die Umlaufspannung: 

�� 

� 

E�d � s 

=uind = � d� 

dt 

C 

• C in Richtung von i4. • Vom Standpunkt des 

Verbraucherpfeilsystems 

(� induktive Spannung) 

�� 

C 

� 

E�d � s 

u L = + d� 

dt 

+ u L = 0 

Die Kirchhoffsche Maschenregel IV 


(4) Netzwerk, welches selbst von einem magnetischen Fluss durchsetzt wird: 

u 1 

K 2 

i 1 

R 1 

i C 

R 3 

u C 

K 3 

i3 u3 u0 K1 K4 � 

� 

� 

C 

� n 

� m 

M 

u ind 

R 2 

u z� Masche M 

i 2 

= 0 

u 2 

• Die vorhin gemachten Überlegungen zum 

Verbraucherpfeilsystem und zur induktiven 

Spannung gelten auch in diesem Fall. 

• Maschenumlaufsinn wird im Rechtsschraubensinn 

zum Flächennormalenvektor (der 

durch die Masche aufgespannten Fläche) 

angesetzt. 

• Die Zweigspannungen sind im Maschenumlaufsinn 

zu summieren: 

u C +u 2 + u 0 � u 3 + u 1 + d� m 

= 0 

�dt 

�u L 

• Die Masche selbst kann hier als eine «verteilte 

Spule» (mit einer Windung) aufgefasst 

werden. 

-145- 

-146- 

9

Die Kirchhoffsche Maschenregel V 

Formulierung der Maschenregel 

(1) Zusammenfassung der bisherigen Erkenntnisse: 

R4 i4 i1 

M 4 

u4 u3 

R3 

i0 

M 1 

R 1 

u 0 

i5 u5 R 5 

R 2 

u 1 u2 

M 3 

M 2 

i 2 

• Die Beziehungen �, � und � sind «Reproduktionen» 

einer einzigen Gesetzmässigkeit, nämlich der Maschenregel. 

i 3 

Kirchhoffsche Maschenregel: Die Summe aller 

Zweigspannungen u z� (� =1,2,…,n) in einer Masche 

eines elektrischen Netzwerks, die in beliebigem 

Umlaufsinn durchlaufen wird, ist in jedem Zeitpunkt 

gleich Null. 

n 

� 

� =1 


= 0 

(KVL) 

Kirchhoff 

voltage law 

Die Kirchhoffsche Maschenregel VI 

Maschengleichungen 

(1) Anwendung der Maschenregel: 

Maschenregel für die Maschen M 1 bis M 4 : 

( M1): u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5 =�0 

( M2 ): u0 + u1 � u2 � u3 � u4 � u5 = 0 

( M3 ): �u 0 �u1 +u 2 + u3 � u4 + u5 = 0 

( M4 ): u0 + u2 + u3 � u4 + u5 = 0 

= 0 

• (Spaltenweise) Addition der Spannungen 

bzw. der Gleichungen ergibt Null. 

• Addition von drei Gleichungen ergibt jeweils 

die (u.U. negative) vierte Gleichung. 

-147- 

-148- 

10

Die Kirchhoffsche Maschenregel VII 

Maschengleichungen 

(2) Erkenntnisse aus den Maschengleichungen: 

i 4 

R 4 

i1 

M 4 

i 4 

i0 

u 4 u3 

i 1 

M 1 

M 3 

R 1 

u 0 

i5 u5 R 5 

R 2 

u 1 u2 

i 5 

M 2 

R3 

i 2 

Die Netzwerkgleichungen I 

K 1 

R 4 

R 1 

i 0 

K 4 

u 4 u3 

u5 u1 K 2 

u 0 

R5 u2 R 3 

R 2 

i 2 

i 3 

i 3 

K 3 

• Zur letzten Aussage (Folie 148): Die vierte 

Gleichung enthält demnach keine neuen 

Informationen zu den Spannungen. 

• Die 4 Gleichungen des Gleichungssystems 

sind linear abhängig. 

• Linear unabhängige Gleichungen ergeben 

sich durch die Menge linear unabhängiger 

Maschen (Begründung: Folien 138, 139). 

In einem Netzwerk mit z Zweigen und k 

Knoten müssen die Maschengleichungen 

für nur m = z – k + 1 linear unabhängige 

Maschen berechnet werden. Die Maschengleichungen 

für die anderen Maschen sind 

zwangsläufig erfüllt. 

Die vollständige Beschreibung des Netzwerks 

(1) Netzwerkbeispiel: 

(c) Für die Zweigelemente: 

� = 1, 2,…, 5 

u � = R � �i � 

(a) Elektrische Stromstärken: 

( K1): i0 + i1 + i2 + i3 � i4 + i5 = 0 

( K2 ): i0 � i1 � i2 + i3 � i4 + i5 = 0 

( K3 ): � i0 + i2 � i3 � i4 + i5 = 0 

(b) Elektrische Spannungen: (m Gleichungen) 

( M1): u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5 =�0 

( M2 ): u0 + u1 � u2 � u3 � u4 � u5 = 0 

( M3 ): �u 0 �u1 +u 2 + u3 � u4 + u5 = 0 

-149- 

-150- 

11

Die Netzwerkgleichungen II 

Die vollständige Beschreibung des Netzwerks 

(1) Fazit: 

K 1 

u 0 

i 4 

i 1 

R 4 

R 1 

i 0 

u5 u1 i 5 

K 4 

u 4 u3 

K 2 

u 0 

R 5 

u 2 

i K1 i1 i 

M 

K 3 

i1 i2 i 2 

R 3 

R 2 

i 2 

R 1 

K 2 

R 2 

i 3 

u 1 

u 2 

K 3 

u 

• Die angegebene, vollständige Beschreibung 

des elektrischen Netzwerks enthält 

11 Gleichungen für 11 Unbekannte. 

• Die Unbekannten sind hier u � und i � mit 

� = 1, 2,…, 5 und i 0 . 

• Im Prinzip ist das Problem, d.h. die 

Bestimmung der Strom- und Spannungsgrössen 

damit gelöst. 

• Aber: Eine direkte Lösung der angegebenen 

Gleichungssysteme ist unnötig 

aufwändig. 

• Bessere Lösungstrategien vermittelt 

hierzu die Netzwerkanalyse. 

Einfache elektrische Netzwerke I 

Die Reihenschaltung von Netzwerkelementen 

(1) Betrachtung der Stromstärken (im Widerstandsnetzwerk): 

Die Stromstärken in den 

in Reihe geschalteten 

Netzwerkelementen sind 

gleich gross. 

Reihenschaltung 

(Serieschaltung) 

i 1 = i 2 = i 

• Ohne Einschränkung der Allgemeinheit 

werden die Netzwerkelemente als Widerstände 

angenommen. 

• Für den Zusammenhang zwischen Zweig- 

Ströme und Zweigspannungen gilt demnach 

das Ohmsche Gesetz. 

• Das Netzwerk hat drei entartete Knoten 

(Knoten ohne Stromverzweigung). 

• Anwendung der Kirchhoffschen 

Knotenregel: 

( K1): i � i1 = 0 i1 = i 

( K2 ): i1 � i2 = 0 i1 = i2 ( ): i2 � i = 0 i2 = i 

K 3 

-151- 

-152- 

12

Einfache elektrische Netzwerke II 


(2) Zu den Spannungen im Widerstandsnetzwerk: 

u 0 

i K1 i1 i 

M 

K 3 

i1 i2 i 2 

R 1 

K 2 

R 2 

u 1 

u 2 

Die an einer Reihenschaltung von n Netzwerkelementen 

anliegende Gesamtspannung 

u ist gleich der Summe der einzelnen 

Teilspannungen an den Netzwerkelementen. 

u 

• Anwendung der Kirchhofschen 

Maschenregel: 

M ( ): � u0 + u1 + u2 • Daraus folgt: 

u 0 = u 1 + u 2 

= 0 

• Die von aussen durch die Urspannungsquelle 

angelegte Gesamtspannung ist 

gleich der Summe der Teilspannungen 

an den beiden Widerständen. 

• Für eine Reihenschaltung von n Netzwerkelementen 

n 

gilt demnach: 

� 

u = u � 

Einfache elektrische Netzwerke III 


R 1 

K 1 

i 1 

i 2 

u 1 

R 2 u 2 

R 

K 1 

K 3 K 3 

i 

u 

� =1 

(3) Äquivalenter Gesamtwiderstand der Reihenschaltung: 

• Der Strom, welcher aus Knoten K1 in die 

Reihenschaltung und aus Knoten K3 zurück 

in die Quelle fliesst hat die Stromstärke i. 

• Die Spannung zwischen den Knoten K1 und 

ist K3 gerade die Gesamtspannung u. 

• Ein äquivalenter Widerstand R (Ersatzwiderstand), 

der bei der selben Gesamtspannung 

u eine Stromstärke von i aufweist berechnet 

sich demnach gemäss: 

R = u 

i = u1 + u2 i 

= u 1 

i 1 

+ u 2 

i 2 

= u1 i + u2 i 

= R 1 + R 2 

-153- 

-154- 

13

Einfache elektrische Netzwerke IV 


(3) Äquivalenter Gesamtwiderstand der Reihenschaltung: 

R 1 

K 1 

i 1 

i 2 

u 1 

R 2 u 2 

R 

K 1 

K 3 K 3 

i 

u 

n in Reihe geschaltete elektrische 

Widerstände können bezüglich ihrer 

äusseren Klemmen durch einen 

äquivalenten Gesamtwiderstand R 

ersetzt werden (heisst demnach 

auch: Ersatzwiderstand). Der äquivalente 

Gesamtwiderstand R ist 

gleich der Summe der n in Reihe 

geschalteten Einzelwiderstände. 

Der Gesamtwiderstand R ist grösser 

als der grösste Teilwiderstand. 

n 

� 

R = R � 

� =1 

äquivalenter 

Gesamtwiderstand 

der Reihenschaltung 

(Ersatzwiderstand) 

Einfache elektrische Netzwerke V 


(4) Spannungsteilerschaltung: 

R 1 

K 1 

i 1 

i 2 

u 1 

R 2 u 2 

R 

K 1 

K 3 K 3 

i 

u 

• Durch die in Reihe geschalteten Widerstände 

R 1 und R 2 wird die Gesamtspannung 

u in Teilspannungen u 1 und u 2 aufgeteilt. 

u 1 

u 2 

= R 1 i 1 

R 2 i 2 

= R 1 i 

R 2 i = R 1 

R 2 

u 1 

u = R 1 i 1 

Ri = R 1 i 

Ri = 

R 1 

R 1 + R 2 

u 2 

u = R 2 i 2 

Ri = R 2 i 

Ri = R 2 

R 1 + R 2 

-155- 

-156- 

R 

14

Einfache elektrische Netzwerke VI 

Die Parallelschaltung von Netzwerkelementen 

(1) Betrachtung der Stromstärken (im Widerstandsnetzwerk): 

i 

M 1 

G 1 

K 1 

K 2 

i 1 

u 1 

Leitwerte: G � = 1 

R � 

M 2 i 2 

u 0 u 2 

G 2 


Knotenregel: 

K ( 1): 

i �i1 � i2 = 0 � i = i1 +i2 • Der Gesamtstrom i wird in die Teilströme 

i 1 und i 2 aufgeteilt. 

Der durch die Parallelschaltung von n 

Netzwerkelementen fliessende Strom i 

ist gleich der Summe der n 

Stromstärken der durch 

i = die Netzwerkelemente �i� 

fliessenden Teilströme. � =1 

Einfache elektrische Netzwerke VII 


(2) Zu den Spannungen im Widerstandsnetzwerk: 

i 

M 1 

G 1 

K 1 

K 2 

M 2 i 2 

u 0 u 2 

i 1 

u 1 

G 2 

Alle Widerstände/Leitwerte liegen 

an der gleichen Spannung. 


Maschenregel: 

( M1): u0 �u1 � u2 = 0 � u1 = u0 ( M2 ): u0 �u1 � u2 = 0 � u2 = u0 In einer Parallelschaltung von n Netzwerkelementen 

sind die an den einzelnen 

Netzwerkelementen anliegenden 

elektrischen Spannungen gleich gross. 

u =u 1 =u 2 =… =u n 

-157- 

-158- 

15

Einfache elektrische Netzwerke VIII 


(3) Äquivalenter Gesamtleitwert/Gesamtwiderstand der Parallelschaltung: 

i 

M 1 

G 1 

K 1 

K 2 

i 1 

u 1 

M 2 i 2 

u 0 u 2 

n 

� 

G = G � 

� =1 

G 2 

äquivalenter 

Gesamtleitwert 

der Parallelschaltung 

• Der äquivalente Gesamtleitwert G ermittelt 

sich durch die Forderung, dass durch ihn 

bei der Spannung u = u 0 der Gesamtstrom 

i fliessen soll. 

G = i 

u = i1 + i2 u 

= i 1 

u + i 2 

u = G 1 +G 2 

Der äquivalente elektrische Gesamtleitwert 

G von n parallel geschalteten 

elektrischen Leitwerten ist gleich der 

Summe der parallel geschalteten Einzelleitwerte. 

Einfache elektrische Netzwerke IX 


(3) Äquivalenter Gesamtleitwert/Gesamtwiderstand der Parallelschaltung: 

i 

M 1 

G 1 

K 1 

K 2 

i 1 

u 1 

M 2 i 2 

u 0 u 2 

G 2 

Merke: Der Gesamtwiderstand R 

ist kleiner als der kleinste 

Teilwiderstand. 

• Der äquivalente Gesamtwiderstand R der 

Parallelschaltung von n Widerständen 

berechnet sich demnach gemäss: 

n 

G = �G� � 1 

R = 

R = 

� =1 

n 

� 

� =1 

1 

1 

R� n 

� 

� =1 

1 

R� äquivalenter 

Gesamtwiderstand 

der Parallelschaltung 

(Ersatzwiderstand) 

-159- 

-160- 

16

Einfache elektrische Netzwerke X 


(4) Stromteilerschaltung: 

i 

M 1 

G 1 

K 1 

K 2 

i 1 

M 2 i 2 

u 0 u 2 

u 1 

G 2 

• Durch die parallel geschalteten Leitstände 

G 1 und G 2 wird die Gesamtstromstärke 

i in Teilstromstärken i 1 und 

i 2 aufgeteilt. 

i 1 

i 2 

= G 1 u 1 

G 2 u 2 

= G 1 u 

G 2 u = G 1 

G 2 

i 1 

i = G 1 u 1 

Gu = G 1 u 

Gu = G 1 

G 1 +G 2 

i 2 

i = G 2 u 2 

Gu = G 2 u 

Gu = G 2 

G 1 +G 2 

Einfache elektrische Netzwerke XI 

Die Spannungsteilerschaltung 

(1) Der unbelastete Spannungsteiler: 

u 0 

2 Fälle: 

� R 1 ist einstellbar, 

R 2 ist konstant: 

Abhängigkeit der 

Klemmenspannung 

i 

R 1 

u 1 

R 2 u 2 

2 Fälle: 

1 

1� 

u11� � R 2 ist einstellbar, 

R 1 ist konstant: 



u11 � = R2 �u0 R1 + R2 -161- 

G 

• Widerstände R1 und R2 sind 

einstellbar. 

• Abhängigkeit der Klemmenspannung 

u11’ von R1 bzw. R2. -162- 

17

Einfache elektrische Netzwerke XII 


(2) Der unbelastete Spannungsteiler – Variation von R 1 : 

u 0 

i 

R 1 

u 1 

R 2 u 2 

u11� � R 1 ist einstellbar: 



u11 � = 

1 

1+ R � � 1 

� 

� R2 � 

� 

Einfache elektrische Netzwerke XIII 


(3) Der unbelastete Spannungsteiler – Variation von R 2 : 

1 

1� 

� R 2 ist einstellbar: 



u 0 

u11 � = 

i 

R 1 

R 2 R 1 

1+ R 2 R 1 

R 2 u 2 

�u 0 

( ) �u 0 

u 1 

1 

1� 

-163- 

-164- 

u11� 18

Einfache elektrische Netzwerke XIV 

Die Potentiometerschaltung 

(4) Der unbelastete Spannungsteiler – gleichzeitige Variation von R 1 und R 2 : 

u11 � = R2 R1 + R2 �� 

R=const. 

�u 0 � R 2 

• Gleichzeitige und «gegenläufige» Variation 

der Widerstände R1 und R2. • Summe der Widerstände R1 und R2 bleibt 

konstant. 

lineare 

Abhängigkeit! 

Einfache elektrische Netzwerke XV 

Die belastete Spannungsteilerschaltung 

(1) Analyse des belasteten Spannungsteilers: 

i 1 =i 2 + i 3 

[ ]�i 3 

u 0 = R 1 i 1 + R 2 i 2 i 2 = R 3 R 2 

( ) R 2 

� u0 = R1 � �� R1 + R2 �� 

� 

�� 

� � �i 3 + R 3i 3 

• Reale Spannungsteiler werden 

an einem Verbraucher R3 betrieben. 

• Der belastete Spannungsteiler 

weist demnach keine lineare 

Abhängigkeit der Klemmenspannung 

u11’ mehr auf! 

• Kirchhoffsche Regeln: 

m = z – k + 1 = 3 – 2 + 1 = 2 

( K1): i1 �i2 � i3 = 0 

( M1): u0 � R1i1 � R2i2 = 0 

( ): R2i2 � R3i3 = 0 

M 2 

-165- 

-166- 

19

Einfache elektrische Netzwerke XVI 


(1) Analyse des belasteten Spannungsteilers: 

R 1 R 2 

R 3 

: bewirkt Nichtlinearität im Verhalten 

von u 11’ als Funktion von R 2 . 

• Stromstärke i 3 : 

R2 �u0 i3 = 

R1R2 + R1R3 + R2R3 • Klemmenspannung u11’ : 

u11 � = u3 = R3 �i3 u11 � = 

u11 � = 

R 2R 3 �u 0 

R 1R 2 + R 1R 3 + R 2R 3 

R 2 

R1 + R2 �� + R1R2 R3 R=const. 

Einfache elektrische Netzwerke XVII 


(2) Lastabhängigkeit der Klemmenspannung: 

Nichtlinearität «spürbar» ab R 3 < R 1 + R 2 

u11� u0 �u 0 

1 

= 

R1 + R2 + 

R2 R1 R3 R2 = x�R; R1 = ( 1� x)�R 

u11� 1 

= 

u 1 R 

0 + ( 1� x)� 

x R3 u11� 1 

= 

u 1 1 

0 + ( 1� x)� 

x R3 R 

-167- 

-168- 

20

Einfache elektrische Netzwerke XVIII 

Die Brückenschaltung 

(1) Analyse der Brückenschaltung: 

K 1 

i 4 

i 1 

u 4 

u 1 

i 0 

R4 u5 M 1 

M 3 

R1 

i 5 

K 4 

K 2 

u 0 

R 3 

R5 M2 R2 u 2 

u 3 

m = z – k + 1 = 6 – 4 + 1 = 3 

i 2 

i 3 

K 3 

(a) Knotengleichungen: 

( ): i 0 + i 1 + i 2 + i 3 � i 4 + i 5 = 0 

K 1 

( K2 ): i0 � i1 � i2 + i3 � i4 + i5 = 0 

( K4 ): i0 + i1 + i2 + i3 + i4 � i5 = 0 

(b) m unabhängige Maschengleichungen: 

( M1): u0 � u1 + u2 + u3 � u4 � u5 =�0 

( M2 ): u0 + u1 + u2 + u3 � u4 + u5 = 0 

( M3 ): + u0 +u1 �u 2 + u3 � u4 + u5 = 0 

(c) Zweigrelationen: 

u � = R � �i � 

Einfache elektrische Netzwerke XIX 


(2) Das Gleichungssystem: 

(): 1 i0 + i1 � i4 = 0 

(): 2 � i1 � i2 + i5 = 0 

(): 3 i3 + i4 � i5 = 0 

(): 4 � R1i1 � R4i4 � R5i5 = 0 

(): 5 + R2i2 + R3i3 + R5i5 = 0 

(): 6 + R1i1 � R2i2 = �u0 R1R3 � R2R4 i5 = 

( R3 + R4 )�( R1 + R2 )� R1R � 2 

� 

� R1 + R2 z.B. 

Kramersche 

Regel 

+ R 3 R 4 

R 3 + R 4 

Gleichungssystem für die 6 unbekannten 

Stromstärken i 0 ,…,i 5. 

Die Urspannung u 0 ist gegeben. 

Gesucht ist die Stromstärke i 5. 

(3) Die Abgleichbedingung: 

i5 = 0 � 

R1R3 � R2R4 = 0 

� 

+ R5 � 

� 

�u 0 

unabhängig 

von u 0 ! 

R 1 

R 2 

= R 4 

R 3 

-169- 

-170- 

21

Einfache elektrische Netzwerke XX 


(3) Wheatstonesche Messbrücke: 

R x 

1 = 

� �R= � �R R2 geeichter Normal- 

Widerstand. 

x 

� = 

� 

� � x 

= �R= ( 1�� )�R 

� 

• Abgleichbedingung, so dass 

der Querstrom i 5 = 0: 

R 1 

R 2 

= R x 

R n 

• Widerstandsbestimmung für R x : 

R x = R 1R 3 

R 2 

ohne 

Kenntnis 

von R ! 

Die Stern-Dreieck Umwandlung I 

= �R 

( 1�� )R �Rn Rx = � 

( 1�� ) �Rn Widerstands-Sternschaltung und Dreieckschaltung 

(1) Einführende Betrachtungen: 

• Schaltungen mit grosser Bedeutung in der Elektrotechnik. 

• Problemstellung: Wie müssen die Netzwerkelemente 

gewählt werden, damit sich die Schaltungen von den 

Klemmen her besehen (nach aussen) identisch verhalten? 

-171- 

-172- 

22

Die Stern-Dreieck Umwandlung II 

Umrechnungen 

(2) Gleichsetzen der eingesehenen 

äquivalenten Widerstände: 

Klemmen 1-2: 

Klemmen 2-3: 

Klemmen 3-1: 

( ) 

R10 + R20 = R12 R23 + R31 R12 + R23 + R31 ( ) 

R20 + R30 = R23 R31 + R12 R12 + R23 + R31 ( ) 

R30 + R10 = R31 R12 + R23 R12 + R23 + R31 • Ausdrücke sind durch zyklisches Vertauschen 

der Widerstände ineinander überführbar. 

• Drei Gleichungen für die entsprechenden 

drei Widerstände. 

Die Stern-Dreieck Umwandlung III 

Umrechnungen 

(3) Dreieck � Stern : 

R 10 = 

R 20 = 

R 30 = 

R 12R 31 

R 12 + R 23 + R 31 

R 23R 12 

R 12 + R 23 + R 31 

R 31R 23 

R 12 + R 23 + R 31 

(4) Stern � Dreieck : 

R 12 = R 10 + R 20 + R 10R 20 

R 30 

R 23 = R 20 + R 30 + R 20R 30 

R 10 

R 31 = R 30 + R 10 + R 30R 10 

R 20 

• Auch hier sind Ausdrücke durch zyklisches Vertauschen der Widerstände 

ineinander überführbar. 

• Die Stern-Dreieck-Umwandlung wird in der Netzwerkanalyse vielfach 

verwendet um Netzwerkprobleme zu vereinfachen. 

-173- 

-174- 

23

Die reale Spannungsquelle I 

Ersatzschaltbild z.B. einer Energieversorgungsstrecke 

(1) Aufgliederung: 

Ideale Quelle 

(Urspannungsquelle) 

Widerstandsbehafteter 

Draht 

Die Last (die Senke) kann 

nie direkt an die Klemmen 

1-1’ angeschlossen werden 

Die reale Spannungsquelle II 

• Kraftwerk mit Generator 

und Freileitungen, 

die zur Fabrik, zu den 

Haushalten führen. 

• Signalquelle mit Übermittlungskabel 

und 

Empfänger. 

Ersatzschaltbild z.B. einer Energieversorgungsstrecke 

(2) Ersatzspannungsquelle (reale Spannungsquelle): 

• Bezüglich der Klemmen 2-2’ steht 

dem Verbraucher keine ideale 

Spannungsquelle (Urspannungsquelle) 

mehr zur Verfügung. 

• Bezüglich der Klemmen 2-2’ wird 

eine Urspannungsquelle mit vorgeschaltetem 

Innenwiderstand Ri «eingesehen». 

• Mit Abschlusswiderstand Ra : 

Ri + Ra ui = Rii = 

Ri �u0 Ri + Ra u = Rai = R Spannungsabfall ui : Klemmenspannung u: 

: Stromstärke 

a 

�u0 = u0 �ui Ri + Ra Spannungsabfall 

i = 

u 0 

-175- 

-176- 

24

Die reale Spannungsquelle III 

Belastung der Quelle mit einem Abschlusswiderstand 

(1) Stromstärke und Klemmenspannung aus der Sicht des Verbrauchers: 

• Die Maximalstromstärke 

bei R a = 0 � heisst 

Kurzschlussstromstärke. 

i k = u 0 

R i 

• Die maximale Spannung 

bei R a � � heisst 

Leerlaufspannung. 

Die reale Spannungsquelle IV 

u � = u 0 

u0 = 

u + ui Belastung der Quelle mit einem Abschlusswiderstand 

(2) Das u-i-Diagramm (oft auch: Die Strom-Spannungskennlinie): 

Arbeitspunkt 

u = R a �i 

aber 

(Folie 176) 

Die Belastungskennlinie: 

u = u 0 � R i �i 

-177- 

-178- 

25

Die reale Spannungsquelle V 

Das Verhalten der realen Spannungsquelle 

(1) Die eindeutige Charakterisierung der realen Spannungsquelle: 

u � = u 0 

i k = u 0 

R i 

Die reale Spannungsquelle VI 


Wie aus der (linearen) 

u-i- Kennlinie 

hervorgeht, genügen 

für die eindeutige 

Bestimmung der 

realen Quelle die 

beiden spezifischen 

Arbeitspunkte 

(a) «Leerlauf» und 

(b) «Kurzschluss». 

Messvorschrift für die 

Bestimmung realer 

Spannungsquellen. 

(2) Messvorschrift zur eindeutigen Bestimmung von realen Spannungsquellen: 


Leerlaufspannung 

Bestimmung des 

Kurzschlusstromes 

u � := u 0 i k := u 0 

R i 

Die «Blackbox» 

reale Spannungsquelle 

ist durch 

die Messung von 

u � und i k eindeutig 

bestimmbar. 

Parameter der realen 

Spannungsquelle 

u 0 = u � 

R i = u 0 

i k 

-179- 

-180- 

26

Die reale Spannungsquelle VII 


(3) Abschliessende Betrachtungen: 

R i 

u = u 0 � i = u 0 

R a 

i = i 0 

� i = u 0 

R i 

Die reale Stromquelle I 

(A) Alternative Bestimmung des Innenwiderstandes: 

� Schliesse die Urspannungsquelle kurz, d.h. 

ersetze die Urspannungsquelle durch ein Stück 

ideal leitenden Draht. 

� Der dabei eingesehene Widerstand entspricht 

dann gerade dem Innenwiderstand R i . 

(B) Kleiner Innenwiderstand: (R i > R a ) 

Die reale Spannungsquelle verhält sich zunehmend 

wie eine (ideale) Urstromquelle. 

Ersatzschaltbild z.B. einer Signalübertragungsstrecke 

(1) Aufgliederung: 

Ideale Quelle 

(Urstromquelle) 

Koaxialleitung 

mit leitfähigem 

Dielektrikum 

Die Last (die Senke) kann 

nie direkt an die Klemmen 

1-1’ angeschlossen werden 

• Die Stromstärke 

i q stellt hier einen 

Querstrom dar, 

welcher von der 

verbleibenden 

Leitfähigkeit � 

im isolierenden 

Dielektrikum (mit 

� r ) herrührt. 

• Unerwünschte 

Stromabzweigung. 

-181- 

-182- 

27

Die reale Stromquelle II 

Ersatzschaltbild z.B. einer Signalübertragungsstrecke 

(2) Ersatzsstromquelle (reale Stromquelle): 

Die reale Stromquelle III 

• Für die �«Stromabzweigung» 

�� 

kann nun eine Ersatzschaltung 

gefunden werden: der 

Querleitwert der Stromquelle, 

bzw. deren Innenleitwert. 

i0 u = 

Gi +Ga i = i 0 �i i 

i = Ga �i0 = Ga �u 

Gi +Ga ii = Gi �i0 = Gi �u 

Gi +Ga Belastung der Quelle mit einem Abschlussleitwert 

(1) Stromstärke und Klemmenspannung aus der Sicht des Verbrauchers: 

• Die maximale Spannung 

bei G a = 0 S ist die 

Leerlaufspannung. 

u � = i 0 

G i 

• Maximalstromstärke 

bei G a � � ist die 

Kurzschlussstrom. 

i k = i 0 

i0 = 

i + ii -183- 

-184- 

28

Die reale Stromquelle IV 

Belastung der Quelle mit einem Abschlussleitwert 

(1) Belastungskennlinie der realen Stromquelle: 

i 0 fliesst 

durch 

Last 

i k 

Die reale Stromquelle V 

i 0 fliesst durch 

Innenleitwert 

Das Verhalten der realen Stromquelle 

(1) Die eindeutige Charakterisierung der realen Stromquelle: 


Leerlaufspannung 

u � := i 0 

G i 

Bestimmung des 

Kurzschlusstromes 

i k := i 0 

u � 

i = i 0 � G i �u 

i = G a �u 

Die «Blackbox» 

reale Stromquelle 

ist durch 

die Messung von 

u � und i k eindeutig 

bestimmbar. 

Parameter der 

realen Stromquelle: 

i 0 = i k 

G i = i k 

u � 

-185- 

-186- 

29

Die reale Stromquelle VI 

Das Verhalten der realen Stromquelle 

(2) Abschliessende Betrachtungen: 

G i 

i = i 0 � u = i 0 

G a 

u = u 0 

� u = i 0 

G i 

(A) Alternative Bestimmung des Innenleitwertes: 

� Nehme die Urstromquelle heraus, d.h. 

ersetze die Urstromquelle durch einen Leerlauf. 

� Der dabei eingesehene Leitwert entspricht 

dann gerade dem Innenleitwert G i . 

(B) Kleiner Innenleitwert: (G i > G a ) 

Die reale Stromquelle verhält sich zunehmend 

wie eine Konstantspannungsquelle, 

bzw. wie eine Urspannungsquelle. 

Die reale Spannungs-/Stromquelle 

(Klemmen-)Äquivalenz der beiden Quellentopologien 

� Reale Spannungsquelle: 

u � = u 0 

i k = u 0 

R i 

u 0 = i 0 

G i 

�( u0 , Ri ) �� i0 = u0 Ri R i = 1 

G i 

� Reale Stromquelle: 

�� ( i0 ,Gi ) 

u � = i 0 

G i 

i k = i 0 

G i = 1 

R i 

-187- 

-188- 

30

Verschaltung elektrischer Quellen I 

Reihen- und Parallelschaltungen idealer Quellen 

Urspannungsquellen 

mit ungleichen Urspannungen 

dürfen 

nicht parallel, sondern 

nur in Reihe geschaltet 

werden. 

n 

� 

u 0 = u 0� 

� =1 

Urstromquellen mit 

ungleichen Urstromstärken 

dürfen nicht 

in Reihe, sondern nur 

parallel geschaltet 

werden. 

i 0 = i 0� 

Verschaltung elektrischer Quellen II 

Verschaltung von gemischten idealen Quellen 

Reihen- und Parallelschaltung einer Urspannungs- und einer Urstromquelle: 

Diese Reihenschaltung 

verhält sich wie eine 

Urstromquelle mit i k = i 0 

Bei Belastung gilt i = i 0 : 

u � = R�i0 �u 0 

Diese Parallelschaltung verhält 

sich wie eine Urspannungsquelle 

mit u � = u 0 

Bei Belastung gilt u = u 0 : 

i � = G�u 0 �i0 n 

� 

� =1 

Überlegung: 

Welche 

Grösse 

der Urquelle 

ist jeweils 

starr und 

welche ist 

variabel? 

-189- 

-190- 

31

Verschaltung elektrischer Quellen III 

Reihenschaltung von realen Spannungsquellen 

Klemmenäquivalenz der beiden Schaltungen: 

R i 

Klemmenäquivalenz: Leerlaufspannungen und 

Kurzschlussströme müssen übereinstimmen. 

• Originalquellen: Ersatzquelle: 

u � = u 01 +u 02 

i k = u 01 +u 02 

R i1 + R i2 

n 

u � = u 0 

i k = u 0 

R i 

• Klemmenäquivalenz bezüglich 1-1': 

u 0 = u 01 + u 02 

R i = R i1 + R i2 

u0 = �u0� Ri = � Ri� � =1 

eingesehener 

Innenwiderstand 

(cf. Folie 181) 

Verschaltung elektrischer Quellen IV 

Parallelschaltung von realen Stromquellen 

Klemmenäquivalenz der beiden Schaltungen: 

i 01 i 02 i 0 

G i1 

G i2 

• Originalquellen: Ersatzquelle: 

u � = i 01 +i 02 

G i1 +G i2 

i k = i 01 +i 02 

u � = i 0 

G i 

i k = i 0 

G i 

� 

G i 

n 

� =1 

• Klemmenäquivalenz bezüglich 1-1': 

i 0 = i 01 + i 02 

G i = G i1 +G i2 

n 

i0 = �i0� Gi = �Gi� 

� =1 

eingesehener 

Innenleitwert 

(cf. Folie 187) 

n 

� =1 

-191- 

-192- 

32

Verschaltung elektrischer Quellen V 

Parallelschaltung von realen Spannungsquellen 

Umwandlung in eine reale Spannungsquelle in drei Schritten: 

� 

� 

� 

� Umwandlung in 

drei reale Stromquellen. 

� Zusammenfassen 

der Stromquellen. 

� Umwandlung in 

eine äquivalente 

Spannungsquelle. 

Verschaltung elektrischer Quellen VI 

Parallelschaltung von realen Spannungsquellen 

Umwandlung in eine reale Spannungsquelle in drei Schritten: 

� Umwandlung der drei realen Spannungsquellen 

in drei reale Stromquellen: 

(siehe hierzu Folie 188) 

i 0� = u 0� 

R i� 

G i� = 1 

R i� 

� Umwandlung der realen Stromquelle 

in eine reale Spannungsquelle: 


u 0 = i 0 

G i 

� 

= 

� 

� 

3 

� 

u � 0� 

� 

� 

� =1 Ri� � 

� 

� 

3 

� 

1 

� =1 Ri� � 

� 

� 

� Zusammenfassen der drei parallel 

geschalteten reale Stromquellen: 


3 

i0 = � i0� = 

� =1 

3 

3 

� 

Gi = � Gi� = 

R i = 1 

G i 

� =1 

= 1 

u 0� 

� =1 Ri� � 

� 

� 

3 

� 

1 

� =1 Ri� 3 

� 

1 

� =1 Ri� � 

� 

� 

-193- 

-194- 

33

Verschaltung elektrischer Quellen VII 

Reihenschaltung von realen Stromquellen 

Umwandlung in eine reale 

Stromquelle in drei Schritten: 

� Umwandlung der zwei realen 

Stromquellen in zwei reale 


� Zusammenfassen der zwei realen 

Spannungsquellen zu einer realen 


� Umwandlung der realen Spannungs- 

Quelle in eine äquivalente Stromquelle. 

Verschaltung elektrischer Quellen VIII 

Reihenschaltung von realen Stromquellen 

Umwandlung in eine reale Stromquelle in drei Schritten: 

� Umwandlung der zwei realen 

Stromquellen in zwei reale 


u 0� = i 0� 

G i� 

R i� = 1 

G i� 

� Umwandlung der realen Spannungs- 

Quelle in eine äquivalente Stromquelle. 

i 0 = u 0 

R i 

� 

= 

� 

� 

3 

� 

i � 0� 

� 

� 

� =1 Gi� � 

� 

� 

3 

� 

1 

� =1 Gi� � 

� 

� 

� 

� 

� 

� Zusammenfassen der zwei realen 

Spannungsquellen zu einer realen 


3 

u0 = � u0� = 

� =1 

3 

Ri = � Ri� = 

G i = 1 

R i 

� =1 

= 1 

� 

� 

� 

3 

� 

i 0� 

� =1 Gi� 3 

� 

1 

� =1 Gi� 3 

� 

1 

� =1 Gi� � 

� 

� 

-195- 

-196- 

34

Verschaltung elektrischer Quellen IX 

«Auflösung» eines Knotens 

Verschieben der Urspannungsquelle: 

u = 0V 

Liegt eine Urspannungsquelle direkt zwischen zwei Knoten, so 

kann ein Knoten im Sinne von (b) oder (c) aufgelöst werden. 

Merke: Die 

grössen i 01 

und i 02 sind 

verschieden! 

Verschaltung elektrischer Quellen X 

«Auflösung» eines Zweiges 

Verschieben der Urstromquelle: 

i = 0A 

Liegt eine Urstromquelle direkt in einem Zweig (zwischen zwei Knoten), 

so kann der Zweig im Sinne von (b) oder (c) aufgelöst werden. 

Merke: Die 

grössen u 01 

und u 02 sind 

verschieden! 

-197- 

-198- 

35

Leistungsanpassung I 

Reale Spannungsquelle an einem Lastwiderstand 

(1) Experimentalanordnung mit variablem Lastwiderstand: 

p a = u �i = i 2 R a = u2 

R a 

pi = ui �i = i 2 Ri = u 2 

i 

Ri > 0 

> 0 

Leistungsanpassung II 

• Wird ein Lastwiderstand angeschlossen, 

so fliesst ein Strom i, 

welcher an Innenwiderstand R i die 

Leistung p i in Wärme umwandelt. 

• R a � 0 � u � 0: es wird keine 

Leistung p a in der Last umgesetzt, 

dafür auschliesslich im Innenwiderstand 

R i . 

• Ra � � � i � 0: es wird keine 

Leistung pa in der Last umgesetzt. 

• Da die Verlustleistung positiv definit 

ist, existiert für ein bestimmtes 

endliches Ra eine Maximum der in 

der Last umgesetzten Verlustleistung 

pa . 


(2) In Wärme umgesetzte Leistungen als Funktion des Lastwiderstandes: 

Standpunkt der Verbrauchers: 

Bei gegebenem konstanten R i 

ist der Lastwiderstand R a gesucht, 

welcher die in der Last 

umgesetzte Leistung maximiert. 

(A) Strom, Spannung und Leistung: 

u = Ra �u0 i = 

Ri + Ra Ra pa = u�i = 

( ) 2 �u 2 

0 

u 0 

R i + R a 

(B) Extremum der Verlustleistung: 

dpa = 

dRa R ( i + Ra ) 2 

� 2Ra ( Ri + Ra ) 

( Ri + Ra ) 4 �u0 ( ) 2 

2 

� Ra 

R i + R a 

R i + R a 

( )= R i 

� 2R a R i + R a 

2 2 

Ri � Ra = 0 � Ra = Ri 2 = ! 

-199- 

0 

2 = 0 

-200- 

36

Leistungsanpassung III 


(2) In Wärme umgesetzte Leistungen als Funktion des Lastwiderstandes: 

(D) Verfügbare Leistung: 

p0 := u 2 

0 

4Ri R i = R a 

Leistungsanpassung IV 

(A) Leistungsanpassung: 

R i = R a 

(B) Maximale Verlustleistung an R a : 

2 

max u0 pa = 

4Ra pi = u 2 

0 

4Ri Anpassungsbedingung 

= u 2 

0 

4Ri (C) Maximale Verlustleistung an R i : 


(3) Zu den Quellenleistungen: 

• Zur Anpassungsbedingung: verfügbare Leistung 

p a = 

p i = 

R a 

( ) 2 �u 0 

R i + R a 

R i 

( ) 2 �u 0 

R i + R a 

2 

2 

Ri =Ra �� u0 2 

4R i 

Ri =Ra �� u0 2 

4R i 

• Die Urspannungsquelle unter der Anpassbedingung: 

p u = u 0 �i = 

1 

R i + R a 

2 

�u0 R i =R a 

� � 

2 

�� u 0 

2R i 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

Dies ist auch die 

Maximalleistung, 

die von der Quelle 

überhaupt abgegeben 

werden kann. 

� Nur bei Leistungsanpassung 

kann der realen Quelle die 

maximale Leistung, d.h. die verfügbare 

Leistung entzogen werden. 

Der gleiche Leitungsanteil 

wird dabei am Innenwiderstand 

in Wärme umgesetzt. 

� Bei Leistungsanpassung 

liefert die Urspannungsquelle 

die doppelte verfügbare Leistung, 

d.h. einmal die verfügbare 

Leistung an die Last und einmal 

an den Innenwiderstand. 

-201- 

-202- 

37

Leistungsanpassung V 


(4) Der Wirkungsgrad: 

� 

1,0 

0,5 

0 

Kompromiss: Ra = 3Ri (Energieübertragung) 

� = 0.75 

Anpassung: 

(Nachrichtentragung) 

p a = 0.75 � p 0 

Leistungsanpassung 

� Leistungsanpassung = 0.5 

� = p a 

p u 

0 1 2 3 4 5 

Leistungsanpassung VI 

Anpassungsbedingung 

= R a 

R i + R a 

R a R i 


(5) Aus der Sicht des Energieerzeugers: 

• Der Energieerzeuger hat 

Zugriff auf den Innenwiderstand 

Ri . 

• Umformen der Leistungsausdrücke 

und des Wirkungsgrades 

im Hinblick 

auf Ri / Ra . 

• Die in der Last umgesetzte 

Leistung wird maximal 

für Ri = 0 (absolutes Maximum). 

-203- 

-204- 

38

Leistungsanpassung VII 

Leistungsanpassung mit idealem Transformator 

(1) Strom- und Spannungsverhältnisse: 

R e = u 1 

i 1 

= w � 1 

� 

� w2 R e = n 2 �R a 

�u 2 

� 

� 

� � � w � 1 

� 

� w2 Eingangswiderstand 

� 1 

i 2 

Leistungsanpassung VIII 

2 

(A) Übersetzungsverhältnis n: 

u1 u2 = w1 w2 i1 i2 = � w2 w1 := n 

� 

� 

� = � w � � 1 

� 

� w2 � 

� � u2 i2 = w � � 1 

� 

� w2 � 

� �Ra �� u a = u 2 i a = �i 2 R a = u a i a 

Leistungsanpassung mit idealem Transformator 

(2) Verlustlose Leistungsanpassung: 

verlustlose 

Anpassung 

2 

:= � 1 

n 

• Dadurch lassen sich beliebige Lastwiderstände 

Ra auf den Wert Re transformieren. 

• In diesem Sinne lässt sich auch 

eine beliebige Last Ra auf den Wert 

Ri transformieren, bzw. anpassen. 

R e = n 2 R a := R i � n = R i 

R a 

( ) 

2 

pa = ia Ra = uaia = �u 2i2 = � u1 n �i1n =u1i 1 = n 2 2 2 

i1 Ra � i1 Re = n 2 2 

i1 Ra = pe -205- 

-206- 

39

u0 - Allgemeine und theoretische Elektrotechnik

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