Xi - Allgemeine und theoretische Elektrotechnik

Grundlagen der Elektrotechnik GET 2 

7. Komplexe 

Wechselstromrechnung 

[Buch GET 2: Seiten 105-275] 

Komplexe Zahlen I 

Kurze Repetition 

(1) Darstellungen der komplexen Zahl: 

� 

jb 

Im 

r 

� 

a 

z 

Re 

• Einführung komplexe Zahlen, warum Wechselstrom? 

• Originalbereich und Bildbereich 

• Rechnen mit komplexen Zeigern 

• Impedanz, Admittanz und das Kreisdiagramm 

• Wechselstromleistung, komplexe Leistung 

• Schwingkreise 

• Leistungsanpassung 

• Spezielle Wechselstromschaltungen 

z = a + jb = r�e j� = r�� 

z * = a � jb = r�e � j� = r�� 

Re{ z}= 

a = r�cos � 

Im{ z}= 

b = r�sin � 

( )= 1 

2 

( )= 1 

2 j 

z = a 2 + b 2 = r = z � z * 

( ) 

( ) 

� z + z * 

� z � z * 

{ } 

{ } 

arg{ z}= 

arctan b � � 

� Im z 

� 

� 

a� 

� = � = arctan� � Re z 

� 

� 

� 

-231- 

-232- 

1

Komplexe Zahlen II 

Kurze Repetition 

(2) Die Grundrechenarten mit 

komplexen Zahlen: z 1 = a 1 + jb 1 = r 1 �e j� 1 = r1 �� 1 

z 2 = a 2 + jb 2 = r 2 �e j� 2 = r2 �� 2 

z1 ± z2 = ( a1 ± a2 )+ jb ( 1 ±b2 )= ( a1 ± a2 ) 2 

+ ( b1 ±b2 ) 2 

z1 � z2 = ( a1a2 �b1b 2 )+ ja ( 1b2 + a2b1 )= r1r2 �e j� � ( 1+� 2 ) 

z 1 

z 2 

� = a 1 + jb 1 

a 2 + jb 2 

= r1 �e 

r2 j� � ( 1�� 2 ) 

= a 1 + jb 1 

a 2 + jb 2 

Einführung I 

�e j�arctan b � 1 ± b2 � 

� 

� 

a1 ± a2 � 

� 

� a2 � jb � � 2 

� 

� a2 � jb2 � 

� = a1a2 + b1b ( 2 )+ j a2b1�a1b2 2 2 

a2 + b2 

( ) 

Womit beschäftigt sich die Wechselstromlehre? 

� 

� 

«Die Wechselstromlehre behandelt Ströme und 

Spannungen mit sinusförmiger Zeitabhängigkeit» 

«Die Wechselstromlehre behandelt das Verhalten 

von linearen Netzwerken (z.B. mit R, L, C, M), die 

durch solche Wechselgrössen angeregt werden» 

-233- 

-234- 

2

Einführung II 

Warum Wechselstrom(lehre)? 

I E 

� 

B 

�t 

Ziel: Eine vereinfachte Methode 

finden, um Wechselstromschaltungen 

einfach berechnen zu können 

Einführung III 

ut () 

Wechselspannung 

• Die Erzeugung ist prinzipiell 

einfach. 

• Transport: Transformatoren für 

die Energieübertragung. 

• In linearen Netzwerken treten 

Lösungsfunktionen vom folgenden 

Typ auf: 

e � �t ± j�� t 

, e 

• Die Wechselstromlehre bietet 

Hand für allgemeinere Signalund 

Systembeschreibungen. 

Stichwort: Fourier-Analyse. 

Erste Schritte in der komplexen Wechselstromlehre 

*) Mit «harmonisch» wird eine 

sinusförmige bzw. cosinusförmige 

Zeitabhängigeit 

angezeigt. 

(A) Darstellung harmonischer *) Wechselspannungen/-ströme 

� Abbildung: Originalbereich � komplexer Bildbereich. 

� Zeigerdarstellung von Wechselgrössen. 

(B) Rechnen mit komplexen Zeigern 

� Zu den arithmetischen Grundoperationen. 

� Impedanz als komplexer Widerstandsoperator. 

� Zeitableitung und Integration nach der Zeit. 

� Kurze Bilanz. 

� Ein erstes Rechenbeispiel. 

� Fazit und Ausblick auf das weitere Vorgehen. 

-235- 

-236- 

3

Harmonische Wechselgrössen I 

(A) Bildbereich: 

u 

û 

� 

� 

: Drehzeiger 

Im 

�t 

u 

û �u � i 

�i î 

Re 

T B 

�u �i (B) Realer Originalbereich: 

�T = 2� 

T = 1 

f 

ut ()= û �e j�t = û�e j�u ( )�e j�t ut ()= û�sin( �t + �u ) 

: Festzeiger (ruhender Zeiger) 

: Phasenverschiebung (� u – � i ) 

� 

T 

û 

�u û 

î 

� 

it 

�t 

() 

ut () 

: Periodendauer, � : Kreisfrequenz 

: Scheitelwert der Spannung, Amplitude 

: Nullphasenwinkel der Spannung 

Harmonische Wechselgrössen II 

Konventionen 

(1) Schreibweise: 

Wechselgrössen: klein u(t), i(t) 

Konstante Grössen: gross U: Effektivwertzeiger, U: Gleichspannung 

Komplexe Grössen: unterstrichen u(t), û 

(2) Darstellung: 

Im stationären Fall sind alle Informationen der harmonischen Wechselspannung 

u(t) im folgenden Zahlentrippel/-paar enthalten: 

() � �, û, � u 

ut 

�� 

� 

�� 

( ) 

( �, û) 

�� 

� 

�� 

� �� 

û = û�e j�� u = û ��u 

Es genügt die 

Angabe des 

Festzeigers ! 

Wird � als «global» gegeben vorausgesetzt (z.B. 2�·50 Hz), dann ist die Wechselspannung 

mittels des komplexen Festzeigers û vollständig beschrieben. 

-237- 

-238- 

4

Harmonische Wechselgrössen III 

Konventionen 

(3) Bezugsgrösse: 

In der Wechselstromrechnung wird die Phasenverschiebung � meistens relativ 

zum Strom angegeben, also: 

Der Phasenwinkel � ist positiv, � = �u �� i 

falls die Spannung dem Strom 

vorauseilt. Will heissen: Die Phasenverschiebung hat demnach einen Bezugspfeil 

(wie übrigens auch die Nullphasenwinkel). Der Phasenwinkel � ist positiv, falls 

der Bezugspfeil in die positive � t-Richtung weist. 

Harmonische Wechselgrössen IV 

Konventionen 

(4) Zur Transformation T B : 

Die Abbildung T B : Bildfunktion � Originalfunktion wurde bisher wie folgt definiert: 

Sie projiziert den Drehzeiger auf die imaginäre Achse. 

(5) Zur äquivalenten Transformation T B ’: 

TB : u � Im{ u} 

= û�sin( �t +� u ) 

Eine ähnliche Abbildung wie T B könnte ohne Einschränkung der Allgemeinheit 

auch aus orthogonaler Richtung erfolgen (Merke: Sowohl der Realteil als auch 

der Imaginärteil sind reelle Zahlen und somit reale Grössen). 

Die Abbildung T B ’: Bildfunktion � Originalfunktion liest sich demnach: 

TB � : u � Re{ u} 

= û�cos( �t +� u ) 

Sie ist äquivalent und üblicher und projiziert den Drehzeiger auf die reelle Achse. 

-239- 

-240- 

5

Rechnen mit komplexen Zeigern I 

Arithmetische Grundoperationen 

(A) Addition, Subtraktion: von Festzeigern ist statthaft (Folie 233) und technisch sinnvoll. 

(B) Multiplikation: von Zeigern ist in der Form von û·î erklärungsbedürftig (folgt später). 

(C) Division von Zeigern: (aber nicht der zugehörigen harmonischen Wechselgrössen) 

Im 

X 

u 

i 

j�t 

û�e û 

= = j�t 

î �e î = û�e j�u î �e j�i Z 

� 

R 

Z 

Re 

= û 

î �e j� � ( u ��i ) û 

= 

î �e j� = û 

î 

Z = u 

i 

= û 

î 

Impedanz: Komplexer 

Widerstandsoperator, 

Definition im Bildbereich! 

�( cos� + j sin� ) 

= û 

î �e j� = Z �e j� = R+ j�X 

Scheinwiderstand 

Blindwiderstand 

Wirkwiderstand 

-241- 

mit : Z = R2 + X 2 ; � = arctan( X R) 

Rechnen mit komplexen Zeigern II 

Ableitung nach der Zeit 

• In der Darstellung der Wechselspannung mittels Festzeigern kann auch die 

Zeitableitung mit erfasst werden. 

d 

dt ut 

() T B 

u = L� di 

dt 

d 

�� dt 

d 

dt ut 

() T B 

Beispiel: Induktivität 

� Strom eilt �/2 der 

Spannung nach. 

� Spannung eilt �/2 

dem Strom voraus. 

u = d 

dt 

�� j� �û 

û 

TB �� û = j� L 

î 

û �e j�t ( )= û 

� 

� j� �e j�t = û D �e j�t � û D = j� �û 

L 

Z� � î � 

û D 

Im 

î 

� 

�i î = û 

Z = 

û 

û 

� 

ut () 

�i �� 

j� L = î � � u 

� �� 

it () 

( ) 

� � 

2 

� 

-242- 

�t 

6

Rechnen mit komplexen Zeigern III 

Integration nach der Zeit 

• In der Darstellung der Wechselspannung mittels Festzeigern kann auch die 

Integration nach der Zeit mit erfasst werden. 

� ut () �dt 

u = 1 

� i�dt 

C � 

TB � � 

� ut ()�dt 

Beispiel: Kapazität 

� Strom eilt �/2 der 

Spannung voraus. 

� Spannung eilt �/2 

� 

� ( ) 

j�t 

� u �dt = û�e 

TB �� 1 

j� �û 

û 

Z� 

TB �� û = 1 

î 

C 

j�C 

�dt = û� 1 

û 

j� 

I 

� 

�e j�t � û I = 1 

j� �û 

dem Strom nach. � 

Im 

î 

û 

� î � î = 

� i 

� � 

û 

it () 

Z = j�C�û = î � � u 

ut () 

�t 

�i �� ( � ( � 2 ) ) 

Rechnen mit komplexen Zeigern IV 

Impedanzen 

Im 

î 

Im 

û 

î 

û 

R 

R 

Re 

Re 

î 

j� L 

Im 

Im 

û 

� 

2 

� 

2 

î 

û 

L 

Re 

Re 

î 

1 

j�C 

Im 

- � 

2 

Im 

û 

- � 

2 

î 

û 

Re 

Re 

C 

Phasenwinkel � 

hat einen 

Bezugspfeil ! 

Im 

î 

Im 

û 

� 

� 

R 

î 

û 

jX Z 

Z 

Strom/Spg. 

Re 

Impedanz 

Re 

-243- 

-244- 

7

Rechnen mit komplexen Zeigern V 

Was haben wir erreicht? 

� Wir können eine sinusförmige Wechselgrösse (z.B. die Spannung) 

als Festzeiger im komplexen Bildbereich darstellen: 

() T B 

ut 

u0 (t) L u1 (t) 

�� ut 

() �� 

� � 

� û = û�e j� u = û ��u 

� Wir können Operationen wie Addition, Subtraktion, Zeitableitung 

und Integration nach der Zeit mit Festzeigern im komplexen Bildbereich 

einfach nachvollziehen. 

� Wir haben einen Widerstandsoperator im Bildbereich definiert, der 

aus dem Quotienten von Spannungs- und Stromzeiger besteht und 

den wir mit Impedanz Z bezeichnen. 

� Wir können eine einfache Wechselstromschaltung berechnen! 

Ein erstes Rechenbeispiel 

i (t) R 

î 

u t 0 ()= 230V�cos( �t ) 

R = 34.5 � 

� L = 20 � 

u 1 t 

{ } = 

( ) 

j� t 

()= Re û � e 1 

= 115V�cos � t + � 

3 

60° 

�! Berechnungen 

werden einfach ! 

T B ' 

T B' –1 

û 0 

î = û 0 

Z in 

= 

R 

j�L 

= 230V�0° 

40��30° 

û 0 

R+ j� L = 

û 1 

230V 

( 34.5+ j20)� 

= 

= 5.75A ��30° 

û = j� L� î = 20��90°�5.75A��30° = 

1 

= 115V�60° 

û1 î 

60° 

-30° 

Zählpfeile: 

In Richtung 

positiver 

Zählung. 

û 0 

-245- 

-246- 

8

Ein erstes Fazit 

• Mit der komplexen Zeiger-Darstellung sinusförmiger Wechselgrössen 

lassen sich Wechselstromkreise sehr einfach berechnen. 

• Hierbei haben wir von einer Verallgemeinerung des Ohmschen Gesetzes 

Gebrauch gemacht: 

û = Z � î 

• Der (komplexe) Bildbereich ist eine mathematische Hilfskonstruktion. Die 

verwendeten Grössen und Opeartoren müssen stets eine sinnvolle Übereinstimmung 

mit dem Originalbereich aufweisen. 

• Konsequenz #1: In diesem Sinne ist das Produkt û·î sinnvoll zu deuten, 

und zwar mit Bezugauf die Leistung. 

• Konsequenz #2: Die Kreisfrequenz � stellt bei unserer Berechnung eine 

«globale» Variable dar. Dadurch lässt sich die Frequenzabhängigkeit von 

Netzwerken sehr direkt analysieren. 

Impedanz und Admittanz I 

Definitionsgleichungen 

(1) Impedanz Z: 

• Der Widerstandsoperator «Impedanz» wurde in Folie 241 als Division von Festzeigern 

definiert. Zudem gilt das «verallgemeinerte» Ohm’sche Gesetz: 

û 

û = Z � î � Z = 

î 

= U 

I = R+ jX = Z �e j� � Re Z 

{ }� 0 

R : Resistanz X : Reaktanz � : Phasenverschiebung 

Z = Z = R 2 + X 2 � = arg Z 

R = Z �cos( �) 

X = Z �sin( �) 

Wirkanteil 

der Impedanz 

Blindanteil 

der Impedanz 

( ) 

{ }= arctan X 

R 

-247- 

-248- 

9

Impedanz und Admittanz II 


(2) Admittanz Y: 

• Der Leitwertoperator «Admittanz» kann analog zur Folie 241 auch als Division von 

Festzeigern definiert. 

î = Y � û � Y = î 

û 

Wirkanteil 

der Admittanz 

= I 

U = G + jB=Ye� j� =Ye j� � Re Y 

{ }� 0 

G : Konduktanz B : Suszeptanz � : Argument von Y 

Y = Y = G 2 + B 2 � = arg Y 

G = Y �cos( � ) B = Y �sin( � ) 

� = � i � � u = �� 

Impedanz und Admittanz III 


(3) Beziehung zwischen Impedanz und Admittanz: 

R 

jX 

Z 

Z = 1 

Y 

Z = 1 

Y 

� = �� 

R+ jX = ! 1 

G + jB = 

1 G � jB 

� 

G + jB G � jB 

= G � jB 

G 2 + B 2 

Y 

G jB 

( ) 

{ }= arctan B 

G 

Blindanteil 

der Admittanz 

(A) Äquivalente 

Reihenersatzschaltung: 

� Gegeben sei eine 

Admittanz Y. 

� Gesucht sind Resistanz 

R und Reaktanz X. 

R= 

X = 

G 

G 2 + B 2 

�B 

G 2 + B 2 

-249- 

-250- 

10

Impedanz und Admittanz IV 


(3) Beziehung zwischen Impedanz und Admittanz: 

R 

jX 

Z 

Z = 1 

Y 

G + jB = ! 1 

R+ jX = 

= R� jX 

R 2 + X 2 

Z = 1 

Y 

� = �� 

Y 

1 R� jX 

� 

R+ jX R� jX 

G jB 

Kirchhoffsche Regeln I 

Komplexe Netzwerkelemente 

Verhältnisse der Festzeiger im Wechselstromnetzwerk: 

û 0 

� 

î 

Z 1 

Z 2 

M 1 

K 1 

î 1 

û 1 

û 2 

û 6 

Z 3 

û 4 

î 4 

Z 6 

Z 4 

î 2 

� Fazit: Die Kirchhoffschen Regeln 

gelten auch für die Festzeiger von 

Strom und Spannung. 

Z 5 

î 5 

(B) Äquivalente 

Parallelersatzschaltung: 

� Gegeben sei eine 

Impedanz Z. 

� Gesucht sind Konduktanz 

G und Suszeptanz B. 

G = 

B = 

� Voraussetzung: 

� Bezugspfeilordnung 

� Zweigrelationen: û � î 

� Ladungserhaltung im 

stationären Fall. 

n 

� 

� =1 

n 

� 

� =1 

î � Knoten μ 

û � Masche μ 

= 0 

= 0 

R 

R 2 + X 2 

�X 

R 2 + X 2 

(A) Kirchhoffsche 

Knotenregel 

(KCL) 

(B) Kirchhoffsche 

Maschennregel 

(KVL) 

-251- 

-252- 

11

Kirchhoffsche Regeln II 

Grafische Zeigerdarstellungen 

Zurück zum «ersten Rechenbeispiel» (Folie 246): 

� Darstellung gemäss 

Rechenbeispiel: Alle 

î 

û R 

Zeiger im Ursprung. 

Im 

û0 R 

M 

L û L 

û L 

û 0 

� 

û R 

� u 

� i 

î 

Re 

Spannung eilt 

dem Strom 

voraus ! 

Spule und Widerstand 

Reihenschaltung 

Zurück zum «ersten Rechenbeispiel» (Folie 246): 

î 

û R � = 

û 0 

R 

M 

î = û 0 

Z = 

L 

û 0 

R+ j� L 

û L = j� L� î = 

û R = R� î = 

û L 

komplexer 

Spannungsteiler 

! 

j� L 

R+ j� L �û 0 

R 

R+ j� L �û 0 

û 0 

� Darstellung ist durch die Kirchhoffsche 

Maschenregel inspiriert: 

Quellenspg. = � Lastspg. 

� 

{ } 

{ } 

� Im Z 

� = arctan 

� 

� Re Z 

Im 

û L 

û R 

� u 

� i 

ideale Spule 

ohne Verluste 

(cf. Folie 244) 

� � � L � 

� 

� = arctan 

� 

� 

R � 

� 

• Reale Spule: Reihenschaltung von L und R. 

î 

Re 

-253- 

-254- 

12

Kondensator und Widerstand I 

Parallelschaltung 

(1) Schaltungsanalyse 

î 0 

G = 1 

R 

û C 

R 

komplexe 

Stromteilerschaltung 

! 

• Realer Kondensator: 

Parallelschaltung von 

R und C. 

î R î C Y = G + j�C 

C 

û R = û C = û = 

î R = û�G = 

î C = û� j�C = 

î 0 

Y = 

î 0 

G + j�C 

G 

G + j�C � î 0 

j�C 

G + j�C � î 0 

{ } 

{ } 

� Im Y 

� = �� = arctan 

� 

� Re Y 

Kondensator und Widerstand II 

Parallelschaltung 

(2) Zeigerdiagramm und Phasensverschiebung: 

Im 

î C 

î 0 û 

� 

î R 

� i 

Spannung eilt 

dem Strom 

nach ! 

� u 

Re 

� 

� � �C � 

� 

� = arctan 

� 

� 

G � 

� 

• Zeigerdarstellung ist durch die 

Kirchhoffsche Knotenregel inspiriert: 

Quellenstrom = � Lastströme. 

• Phasenverschiebung als Funktion der 

Frequenz: 

�L = 8 � 

idealer Kondensator 

ohne Verluste 


-255- 

-256- 

13

Reale Spulen und Kondensatoren I 

Äquivalente Reihen- und Parallelschaltungen 

(1) Parallelersatzschaltung einer realen Spule: 

R r 

jX r 

Z � Y Gp jBp Gp = 

Rr 2 

Rr + ( � Lr ) 2 � R Folie 251: 

p 

B p = 

R r 

jX r 

�� L r 

L 

( ) 2 � X p � 

:=� Lp 2 

Rr + � Lr 

= 1 

G p 

= � 1 

B p 

Z � Y Gp jBp R r := const. 

X r := � L r 

Gesucht sind die Parallelersatzelemente 

R p und L p der gegebenen realen Spule. 

= Rr + � L ( r ) 2 

Rr = � Lr + R 2 

r 

� Lr � Gegeben: 

Reihenersatzschaltung 

der 

realen Spule. 

Die Parallelersatzelemente 

sind stark 

frequenzabhängig ! 

� Lp = Lr + R 2 

r 

� 2 Lr Reale Spulen und Kondensatoren II 


(2) Reihenersatzschaltung eines realen Kondensators: 

Gp Rr = 

2 

Gp + ( �C p ) 2 � G Folie 250: 

r 

X r = 

��C p 

2 

Gp + ( �C p ) 2 � B � r 

C 

:=�C r 

= 1 

R r 

= � 1 

X r 

= G p + �C p 

G p := const. 

B p := �C p 

Gesucht sind die Reihenersatzelemente 

G r und C r des gegebenen realen Kondensators. 

( ) 2 

G p 

= �C p + G 2 

p 

�C p 

� Gegeben: 

Parallelersatzschaltung 

des realen 

Kondensators. 

Die Reihenersatzelemente 

sind stark 

frequenzabhängig ! 

� Cr = C p + G 2 

p 

� 2 C p 

-257- 

-258- 

14

Reale Spulen und Kondensatoren III 


(3) Fazit zur Modellierung realer Spulen und Kondensatoren: 

Das Kreisdiagramm I 

• Die Parallelersatzelemente der realen Spule sind 

stark frequenzabhängig. 

• Die Reihenersatzelemente des realen Kondensators 

sind stark frequenzabhängig. 

• Die jeweiligen Ersatzelemente gelten demnach exakt 

nur für eine Frequenz. 

• Die jeweilige Ersatzschaltung gibt demnach ein 

Frequenzverhalten wieder, welches nicht durch einfache, 

physikalische, reale Bauelemente nachgebildet 

werden können. 

• Will heissen: Die breitbandige realistische Modellierung 

einer realen Spule ist die Reihenersatzschaltung und 

eines realen Kondensators die Parallelersatzschaltung. 

Grafische Interpretation der Reihenparallelumwandlung 

(1) Umwandlungsbedingungen: 

• Aus Folie 251: 

G p = 

Rr 2 2 

Rr +Xr 

� Rr Gp Bp = �X r 

2 2 

Rr +Xr 

� � Xr Bp R p = 1 

G p 

jX p = 1 

= � j 

jBp 1 

Bp 2 2 2 

= Rr +Xr = Z 

2 2 1 

= Rr +Xr = 

Y 2 

� X p = � 1 

B p 

Die Grössen R r, X r, R p, und X p müssen 

bei der Reihenparallelumwandlung 

die folgende Bedingung erfüllen: 

R r �R p = X r �X p = Z 2 = 1 

Y 2 

-259- 

-260- 

15

Das Kreisdiagramm II 


� Z = Rr + jXr � Y = 1 

� j 

Rp 1 

X p 

Das Kreisdiagramm III 

(2) Sätze zum rechtwinkligen 

Dreieck: 

(A) Kathetensatz im Dreieck 0PA: 

Z 2 = 0C � 0A 

0A = 

Z 2 

Folie 

260 

0C � R p 

= Z 2 

R r 

Gegeben sei Z: Wird ein Kreis 

Durch die Spitze des Zeigers Z 

mit Mittelpunkt auf der reellen 

Achse gezeichnet, so schneidet 

dieser aus der relle Achse 

den Abschnitt R p aus. 


� Z = Rr + jXr � Y = 1 

� j 

Rp 1 

X p 

(2) Sätze zum rechtwinkligen 

Dreieck: 

(B) Kathetensatz im Dreieck 0PB: 

Z 2 = 0D � 0B 

0B = 

Folie 

260 

2 

Z 

0D � X p = 

Z 2 

X r 

Gegeben sei Z: Wird ein Kreis 

Durch die Spitze des Zeigers Z 

mit Mittelpunkt auf der imaginären 

Achse gezeichnet, so schneidet 

dieser aus der imaginären 

Achse den Abschnitt X p aus. 

-261- 

-262- 

16

Das Kreisdiagramm IV 


(3) Fazit: 

Das Kreisdiagramm V 

Kreise konstanter Konduktanz 

� 

Die Elemente der Parallelersatzschaltung 

ergeben sich, indem 

man eine Senkrechte durch die 

Spitze der Impedanz legt. Ihr 

Schnittpunkt mit der reellen 

Achse ergibt R p und derjenige 

mit der imaginären Achse X p . 

Draus ergibt sich dann direkt: 

G p = 1 

R p 

Von der grafischen Parametrisierung zum Kreisdiagramm: 

G 1 > G 2 > G 3 > G 4 

G-Kreise 

B p = � 1 

X p 

� Kreise 0PA und 0PB sind Kreise 

konstanter Konduktanz G p bzw. 

konstanter Suszeptanz B p. 

• Alle Impedanzen Z, Z 1 , Z 2 , Z 3 ,… 

deren Zeigerendpunkt auf dem 

Kreis mit Mittelpunkt auf der 

reellen Achse liegt und der durch 

den Ursprung und den Punkt A 

geht, haben dieselbe Konduktanz. 

• Ein solcher Kreis heisst G-Kreis. 

• G-Kreise lassen sich mit der ihnen 

zugehörigen Konduktanz G p 

parametrisieren. 

• Die Schar aller G-Kreise trägt 

zum entsprechenden Kreisdiagramm 

bei. 

-263- 

-264- 

17

Das Kreisdiagramm VI 

Kreise konstanter Suszeptanz 

Von der grafischen Parametrisierung zum Kreisdiagramm: 

B-Kreise 

Das Kreisdiagramm VII 

Graphische Impedanzinversion 

Das vollständige Kreisdiagramm: 

Das Kreisdiagramm erlaubt die 

graphische Inversion von 

Impedanzen und Admittanzen. 

Beispiel #1: 

� Z 1 = (2 + j1) � � eintragen 

� Admittanz herauslesen: Y1 = (0.4 � j0.2) S 

Rp = 2.5 �; Xp = 5 � 

Beispiel #2: 

� Z 2 = (160 � j120) � � normieren mit 100 

� Admittanz herauslesen: Y 2 ’ = (0.4 + j0.3) S 

Y 2 = Y 2 ’/100 � R p = 250 �; X p = 333 � 

X r 

• Alle Impedanzen Z, Z 1 , Z 2 , Z 3 ,… deren 

Zeigerendpunkt auf dem Kreis mit 

Mittelpunkt auf der imaginären Achse 

liegt und der durch den Ursprung und 

dem Punkt B geht, haben dieselbe 

Suszeptanz. 

• Ein solcher Kreis heisst B-Kreis. 

• B-Kreise lassen sich mit der ihnen 

zugehörigen Konduktanz B p 

parametrisieren. 

• Die Schar aller B-Kreise trägt zum 

entsprechenden Kreisdiagramm bei. 

• Die B-Kreise sind die Orthogonaltrajektorien 

zu den G-Kreisen. 

Z 2 

Z 1 

cf. Buch 

Seite 150 

-265- 

-266- 

R r 

18

Das Kreisdiagramm VIII 

Verschaltungsoperationen im Kreisdiagramm 

B � 

G � 

L parallel 

L in Reihe 

��B 

+�X 

+�G 

��X 

R parallel C in Reihe 

Das Kreisdiagramm IX 

Verschaltungsoperationen 

Beispiel #3: 

�j1.0� 

0.4 � 

Z 2 = R 1 + jX 2 

Z 3 = Z 2 � R 3 

Z 4 = Z 3 � jX 4 

Z 5 = Z 4 + jX 5 

j0.42� 

j11.8 � 

�j1.4� 

15.5 � 

2 � 

Z 6 = Z 5 + R 6 

Z = Z 6 + jX 7 

X r 

Z = ( 2.59 � j1.40)� 

R in Reihe 

+�R 

C parallel 

+�B 

• Dargestellt ist die 

Wirkung der Verschaltung 

auf die 

totale Impedanz. 

• Merke: (Reelle) 

Widerstände 

und Leitwerte 

haben keine 

negativen Werte, 

daher gibt es kein 

«zurück» im 

Kreisdiagramm. 

Z 3 

R 1 

Z 2 

cf. Buch 

Seite 150 

Z 5 

Z 4 

Z 6 

Z 

R r 

-267- 

-268- 

19

Wechselstromleistung I 

Leistungsbetrachtungen im Originalbereich 

(1) Reale Leistungsverhältnisse: 

it 

ut () 

() pt ()= ut ()�i t 

( ) 

( ) 

ut ()= û�cos �t +� u 

it ()= î �cos �t +� i 

pt ():= p1 + p2 () t 

(A) Momentanleistung p(t): 

= 1 

()= 

( )� î �cos �t +� i 

( ) 

( ) 

= û�cos �t +� u 

= û� î �cos �t +� ( u )�cos �t +� i 

= 1 

Wechselstromleistung II 

�� 

( )+ 

�� + cos 2�t +� u +� i 

( )+ 

2 �û�î � cos �u �� i 

� 

�� 

�� 

( ) 

2 �û�î � cos �u �� i 

� 

+ cos 2�t + 2�u � �u � �i Leistungsbetrachtungen im Originalbereich 

(1) Reale Leistungsverhältnisse: 

�� 

� 

�� 

( [ ] ) 

pt ()= ut ()�i()= t 1 

2 �û�î � cos �u �� ( i )+ cos 2�t + 2�u � �u � �i = 1 

2 �û�î �cos � 1 ( u �� i ) + 2 �� 

p1 �û�î � cos � (A) Momentanleistung p(t): 

�� 

( u �� i )�cos 2�t + 2�u � 

�� +sin( �u �� i )�sin 2�t + 2�u ( )= 1 

2 

p 1 = 1 

2 �û�î �cos � u �� i 

p 2 t 

()= 1 

2 

�� 

cos � 

�û�î � � 

�� +sin � 

{ ( [ ] ) } 

( )+ �� 

� 

( ) 

�� û�î �cos( �) 

( )+ �� 

� 

( ) �� 

( )�cos 2�t + 2�u ( )�sin 2�t + 2�u () 

p 2 t 

Zeitunabhängiger Anteil 

Zeitabhängiger Anteil; 

«pulsiert» mit der 

doppelten Frequenz 2·f. 

-269- 

�� 

� 

�� 

-270- 

20

Wechselstromleistung III 


(2) Interpretation der realen Leistungsverhältnisse: 

(A) Momentanleistung p(t): 

pt ()= ut ()�i()= t p1 + p2 t 

(B) Interpretation des konstanten Anteils: 

T 

p1 + p2 t = 1 

T 

pt ()= 1 

T 

()= 1 

pt 

2 

� 

0 

T 

�� 

() 

�� dt 

�û�î �cos( �):= 

P 

() [ p]= 

VA= W 

T p1 �dt � + 1 

T p2 t ()�dt � 

0 

T 

0 

(Watt) 

= 1 1 

2 �û�î �cos( �)�dt 

T � 

+ 

0 �� 1 1 

2 

T 

�û�î �cos 2�t +� � ( u +� i )�dt 

0 �� p 1 

Wechselstromleistung IV 

T 

= 0 

Ausdruck für den 

Wechselanteil 

aus Folie 269. 

Der lineare Mittelwert der Momentanleistung entspricht 

gerade dem zeitunabhängigen Anteil, welcher im Mittel 

dem elektrischen System entzogen wird: � Wirkleistung. 


(2) Interpretation der realen Leistungsverhältnisse: 

(C) Wirkleistung P: 

P = 1 

2 

�û�î �cos( �) 

Das Faktum p(t) < 0 

wird durch p 2(t) erzeugt. 

In den Zeitabschnitten 

für die p(t) < 0 gilt, gibt 

das Element Energie 

ans Netzwerk ab. Netzwerkelemente 

mit Phasenwinkeln 

�, so dass 

p(t) < 0 auftritt, heissen: 

Energiespeicher. 

• Der konstante Anteil bzw. lineare Mittelwert der Momentanleistung 

entspricht also der elektrischen Leistung, die im 

Netzwerk in Wärme (Verlustleistung) oder in eine andere 

Energieform umgewandelt wird, und dadurch eine Wirkung 

erzielt: daher Wirkleistung. 

• Der Phasenwinkel ist gleichzeitig der Winkel der Impedanz Z. 

• Da bei passiven Elemente stets Re{Z} > 0 gilt, damit ein positiver 

Widerstandsanteil resultiert (und darob auch die positive 

Verlustleistung) muss der sog. Leistungsfaktor cos(�) auch 

positiv sein, d.h. für den Phasenwinkel gilt: � �[-�/2, �/2]. 

• Die obigen Aussagen sind äquivalent zu: In der Verbraucherpfeilordnung 

kann der zeitunabhängige Anteil nie negativ 

werden. 

• Die Momentanleistung p(t) kann negative Werte auweisen. 

-271- 

-272- 

21

Komplexe Leistung I 

Leistungsbetrachtungen im Bildbereich 

• Das Produkt û·î hat – wie in der Gleichstromrechnung – auch in der 

Wechselstromrechnung eine Bedeutung. Es kann mit der Verlust- 

bzw. Wirkleistung in entsprechende Verbindung gebracht werden 

(z.B. Folie 272). 

• Frage: Lässt sich das Produkt û·î der beiden Festzeiger im Bildbereich 

ebenfalls im Hinblick auf die Leistung deuten? 

• Merke: Das Produkt û·î der beiden Festzeiger, macht vorerst wenig 

Sinn. 

• Laut Folie 247 kann diese Frage nur ausgehend vom Originalbereich 

physikalisch sinnvoll beantwortet werden. 

• Vorgehen: Wir beginnen mit der Momentanleistung p(t) im Originalbereich 

und deuten diese nachträglich aus der Sicht des Bildbereiches. 

Komplexe Leistung II 

(B) Komplexe Leistung (Deutung): 

1 S = 2 �û� î * = P+ jQ 

(C) Scheinleistung: 

1 S = S = 2 

�S t 

()� 

� û � î = 1 

2 �û�î 

(D) Komplexe Wechselleistung: 

pt ()= ut ()�it ()= Re u 

(A) Originalbereich: 

ˆS = S 

� e j2�t 

�� 

� 

�� 

(kein Zeiger) 

Blindleistung 

Wirkleistung 

{ }�Re i 

t 

qt () 

Im 

Q 

� 

{ }= 1 u + u* 

2 ( )�1i + i 2 * ( )= 1 

� 1 + u i + u i 

4 ( ) * � � 1 

* 

= Re u i 2 { }+ 1 

2 

( ) * 

j� 

S = S � e 

= 1 

4 u i * + u i * � 

�� 

= 1 

* 

Re û î 2 { }+ 1 

j2�t 

Re û î � e 2 { }= Re{ S}+ 

Re � S t 

S 

P 

� S 

t 

2� 

pt () 

4 u i + u i * + u * i + u * i * 

-273- 

-274- 

Re 

( ) 

Re{ u i } 

{ () } 

22

Komplexe Leistung III 

Diskussion 

(1) Leistungsverhältnisse (Zeitbereich): 

ut () 

ut () 

it () Wm () t 

We () t 

pt () 

Momentanleistung p(t) pendelt 

zwischen Quelle und Element! 

pt () 

it () 

L 

� = � 

2 

� = � � 

2 

C 

«induktiv» 

«kapazitiv» 

Komplexe Leistung IV 

Diskussion 

(2) Leistungsverhältnisse (Bildbereich): 

L 

� = � 

2 

� = � � 

2 

C 

«induktiv» 

«kapazitiv» 

«resistiv» 

R 

� = 0 

P = 1 

2 

(A) Zur Momentanleistung p(t): 

«resistiv» 

R 

� = 0 

P 

Momentanleistung p(t) 

pulsiert am Element mit 

doppelter Frequenz 

pt () 

ut () 

(B) Leistungen mit Scheitelwerten: 

Q = 1 

2 

S = 1 

2 

S = U �I 

it () 

�û�î �cos( �)= 

S�cos � 

1 * 

�û�î = 2 �û� î 

( ) 

�û�î �sin( �) 

= S�sin � 

(C) Leistungen mit Effektivwerten: 

( ) 

{ } 

{ U, I}= 

1 � û,î 2 

P =U �I �cos( �)= 

S�cos( �) 

Q = U �I �sin( �)= 

S�sin( �) 

-275- 

-276- 

23

Komplexe Leistung V 

Diskussion 

(3) Abschliessende Bemerkungen: 

• Einheiten: Die physikalischen Einheiten der Leistungsanteile P, Q und S sind 

vom Typ VA «Voltampère» bzw. vom Typ W «Watt». Zur besseren Unterscheidung 

werden folgende technische Einheiten eingeführt, welche physikalisch 

aber äquivalent sind. 

Scheinleistung : [ S]= 

VA Voltampere 

Wirkleistung : [ P]= 

W Watt 

Blindleistung : [ Q]= 

var Voltampere reaktiv 

• Scheinleistung S: Ist physikalisch ohne Bedeutung, sie ist eine fiktive Rechengrösse. 

Die Scheinleistung ist ein Mass dafür, welche Leistung die Quelle aufbringen 

muss, um die Wirkleistung an das Bauelement zu bringen. Die Scheinleidtung 

berücksichtigt also die zusätzliche hin- und her pendelnde Leistung 

(Blindleistung) mit und ist dadurch eine wichtige Dimensionierungsgrösse. 

Komplexe Leistung VI 

Diskussion 

(3) Abschliessende Bemerkungen: 

• Blindleistung Q: Sie ist ein Mass für die zwischen dem Netzwerkelement und der 

Quelle ausgetauschten Energie pro Zeiteinheit (Pendelleistung). Sie tritt dann auf, 

wenn das Netzwerkelement einen Energiespeicher enthält. 

• Momentanleistung: Die Grösse p(t) stellt den zeitlichen Verlauf der physikalischen, 

vom Netzwerkelement aufgenommenen Leistung dar und wird im Sinne der Verbraucherbezugspfeilordnung 

bei Leistungsaufnahme positiv verrechnet. Im Hinblick 

auf Folie 270 ergibt sich für den Wechselanteil von p(t): 

pt ()= p1 + p2 t 

()= Re{ S} 

�� + Re � { S} 

� p2 ()= t Re S� 

{ } 

P 

• Momentane Blindleistung: Die Quadraturkomponente q(t) der komplexen Leistung 

hat keine physikalische Bedeutung; sie könnte allenfalls als «momentane 

Blindleistung» bezeichnet werden. 

qt ()= q1 + q2 t 

()= Im{ S} 

�� + Im � { S} 

� q2 ()= t Im S� 

Q 

{ } 

-277- 

-278- 

24

Komplexe Leistung VI 

Leistungsverhältnisse bei Wechselstromschaltungen 

Wirk- Schein- und Blindleistung an Impedanzen und Admittanzen: 

Z = R + jX = Z �e j� 

û = Z � î 

Y = G + jB = Y �e j� 

î = Y �û 

S = P + jQ = 1 

2 �û� î * = 1 

2 � î î * � Z = 1 

2 

� î 2 

Z = 1 

2 

2 � î 

Z �e j� 

S = P + jQ = 1 

2 �û� î * = 1 

2 �û û* �Y * = 1 

2 � û 2 Y * = 1 

2 � û 2 � j� 

Y �e 

P = Re{ S}= 

1 

2 

Q = Im{ S}= 

1 

2 

î 2 

î 2 

Z cos( �)= 

1 

2 

Z sin( �)= 

1 

2 

Schwingkreise I 

Der Reihenschwingkreis 

(1) Zwei Speicherelemente: 

Zwei Energiespeicher ermöglichen einen 

wechselseitigen Austausch von Energie: 

Durch Pendeln tritt eine Schwingung auf! 

î 2 

î 2 

R = 1 

2 û 2 Y cos( �� )= 1 

2 û 2 G 

X = 1 

2 û 2 Y sin( �� )= � 1 

2 û 2 B 

L 

Magnetische 

Feldenergie 

C 

Elektrische 

Feldenergie 

ut () 

ut () 

it () Wm () t 

We () t 

pt () 

pt () 

(Folie 275) 

Energieaustausch 

it () 

p < 0 

p > 0 

-279- 

-280- 

25

Schwingkreise II 


(2) Analyse der Schaltung: 

Y = 

1 

R+ j� L + 1 

j�C 

= 

1 

R+ j � L � 1 

�C �� 

( ) 

( ) 

frequenzabhängige Reaktanz: X � 

Schwingkreise III 


(A) Admittanz: 

Z = R+ j� L + 1 

j�C 

Y = 

î = Y �û 0 

1 

R+ j� L + 1 

j�C 

û R = R� î = R�Y �û 0 

û L = j� L� î = j� L�Y �û 0 

ûC = 1 

1 

j�C � î = j�C �Y �û0 � Die Admittanz charakterisiert 

die Netzwerkeigenschaften! 

(3) Die Resonanz(kreis)frequenz: (B) Resonanzbedingung: 

X ( � )= � L � 1 

� � < � � 0 

� 

� 

( ) 

�C 

: kapazitiv 

� > � 0 : induktiv 

Y = 

1 

R+ j � L � 1 

�C 

� L � 1 ( �C ) = ! 

� 0 = 2� f 0 = 

( ) 

0 �� = � 0 

1 

LC 

Resonanz(kreis)Frequenz 

Merke: 

X ( � ) 

Z ( � 0 )= R � Y ( � 0 )= G 

Bei der Resonanzfrequenz rein reell! 

-281- 

-282- 

26

Schwingkreise IV 


(4) Reaktanz des Reihenschwinkreises: 

C 

Kapazität ist dominant 

Schwingkreise V 


Induktivität ist dominant 

(5) Die Ortskurve der Impedanz / der Admittanz: 

R konstant 

kleinster Wert 

von IZ I 

G konstant 

(G-Kreis) 

L 

grösster Wert 

von IYI 

( ) 

X ( � )= � L � 1 

� � < � � 0 

� 

� 

�C 

: kapazitiv 

� > � 0 : induktiv 

� 1 ,� 2 sind die 

sogenannten 

«45°-Kreisfrequenzen» 

(weiteres später 

auf Folie 292) 

Vergleiche das 

Verhalten von 

±jX in Reihe 

zu ±jB parallel 

auf Folie 267. 

-283- 

-284- 

27

Schwingkreise VI 


(6) Bei Resonanz: 

Z ( � 0 )= R= min Z 

Y ( � 0 )= G = 1 

= max Y 

R 

( ) arg Z ( � 0 ) 

{ }= arctan � � 0 

� 

� 

( ) arg Y ( � 0 ) 

Kennwiderstand des 

Reihenschwingkreises 

L � 1 

� 0C 

R 

� 

� 

� = 0 

{ }= � arg{ Z ( � 0 ) }= 0 

(7) Parametrisierung des Reihenschwingkreises in der Umgebung von � 0 : 

Y = 

1 

R+ j � L � 1 

�C 

( ) 

�� 0 = 1 

LC 

1 

= 

R � 

1+ j 1 

Schwingkreise VII 


1 

( ) 

R � L � 1 

�C 

mit : � 0 L 

� 

Z K 

1 � �0C = 0 

� 

Z K 

ZK = � 0L = 1 L 

� = 0C C 

(7) Parametrisierung des Reihenschwingkreises in der Umgebung von � 0 : 

Y = 1 

R � 

1 

1+ j 1 

R � L � 1 

1 

= 

( �C ) R � 

1 

1+ j ZK � 

R � � 0 � 1 

= 

0 ( � ) R � 

1 

1+ jQv 

� 0 = 1 

LC ; ZK = � 0L = 1 L 

{ � = 0C C } 

R 

Güte 

� 

1+ jQv 

Q = ZK R 

� 

� 0 

� 0 

� 

� � 

parametrisierte Admittanz Verstimmung 

Y = 1 

1 

v = � � 

Güte: Sie ist ein Mass für die Grösse der Reaktanz 

der/des Spule/Kondensators (Energiespeicher) im 

Vergleich zum Wert des Widerstands (Verlustrate). 

� 

� 

� 

-285- 

-286- 

28

Schwingkreise VIII 


(8) Das Frequenzverhalten des Betrages der Admittanz (Scheinleitwert): 

Y ( � 0 ) = 1 

R 

L = 10 mH 

C = 100 μF 

� 0 = 1000 1 

s 

Schwingkreise IX 


Y = 

Y = 

1 

R� 1+ ZK � R � 

1 

R� 1+ Q 2 v 2 

� 

� � 0 �0 ( � ) 2 

� 

� 

• Die Steilheit der Kurve in der Umgebung 

der Resonanzfrequenz � 0 

hängt stark von der Güte Q ab. 

(9) Das Frequenzverhalten des Argumentes der Admittanz (Winkel): 

L = 10 mH 

C = 100 μF 

� 0 = 1000 1 

s 

� = �� = � arctan ZK � 

R � � � 0 �0 ( � 

� 

� � �)= 

� arctan Q�v 

( ) 

1 

R 

� � Q � 



hängt auch hier stark von der 

Güte Q ab (siehe auch das Argument 

der Arcustangens-Funktion). 

-287- 

-288- 

29

Schwingkreise X 

Realisierung eines Bandpassfilters 

(1) Erzeugung einer Filterfunktion aus dem komplexen Spannungsteiler: 

Bandpassfilter: Signale um � 0 

werden «durchgelassen», die 

Anderen «gesperrt». Es gibt einen 

Durchlass- und zwei Sperrbereiche. 

Schwingkreise XI 


• Rückblick auf die Folien 287 und 288 zum 

Verhalten der Admittanz Y(� 0 ): 

î ( � )= Y ( � )�û1( � ) 

• Die Stromstärke î ist demnach stark frequenzselektiv 

und kann für eine Filterfunktion ausgenutzt 

werden. 

• Z.B. zur Herausfilterung eines Stromsignals 

bei der Kreisfrequenz �0 . 

• Mit û2 = R·î kann kann ein Übertragungsverhalten 

û1 � û2 realisiert werden, welches 

Bandpasseigenschaften aufweist. 

• Der Reihenschwingkreis ist ein Bandpassfilter. 

(2) Das Frequenzverhalten des Betrages der Admittanz (Scheinleitwert): 


für die Grenzfrequenzen 

• Definition des Durchlassbereiches 

über die Grenzfrequenzen 

� 1 und � 2 und die 

daraus abgeleitete Bandbreite 

��: 

( ) = 1 

( ) = 1 

Y � 1 

Y � 2 

�� = � 2 �� 1 

( ) 

( ) 

2 � Y � 0 

2 � Y � 0 

• Der Faktor 1/�2 entspricht 

einem Leistungsabfall gemäss 

dem Faktor 1/2. 

-289- 

-290- 

30

Schwingkreise XII 


(3) Bestimmung der Bandbreite: 

Y ( �1,2 )= 1 

2 � Y � ( 0 ) � 

1 

R 1+Q 2 � 1,2 

� � 0 �0 ( � ) 1,2 

1+Q 2 2 2 1 

v1,2 = 2 � v1,2 = 

Q 2 � v1,2 =±1 

Q 

�1,2 � � 0 �0 ( � )=± 1,2 

1 

Q � �1,2 �0 ( ) 2 

�2 � � 0 �1 � = 0 �� 

� = 0 1 

Q �� = �0 Q 

� Relative Bandbreite 

Schwingkreise XIII 


(4) Bestimmung der Bandbreite aus der Ortskurve: 

( ) 

� 1,2 = � arctan Q�v 12 

= � arctan ( ±1)= 

±45° 

Die Grenzfrequenzen � 1 und � 2 

sind demnach gerade 45°-Kreisfrequenzen 

aus Folie 284. Die 

Bandbreite lässt sich somit 

graphisch aus der Ortskurve 

herauslesen. 

2 = 

1 

R 1+Q 2 v 1,2 

R 2 

2 =! 1 

± 

� Grenzfrequenzen 

1 �1,2 Q ( � )�1 = 0 � 0 

�1,2 ( � )= � 0 

1 

2Q + 1 

� Bandbreite 

�� 

= 

� 0 

1 

Q � �� = � 0 

Q 

4Q 2 +1 

-291- 

-292- 

31

Schwingkreise XIV 

Realisierung eines 

Bandpassfilters 

(5) Das Zeigerdiagramm: 

� :=� 0 

1 

ûR = R�Y �û0 = 

1+ jQ�v �û0 = û0 � j( � )�Q 0 

ûL = j� L�Y �û0 = 

1+ jQ�v �û0 =+jQû0 ûC = 1 

j�C �Y �û0 = � j �0 ( � )�Q 

1+ jQ�v �û0 = � jQû0 Merke: Die Spannungen über den reaktiven Elementen 

sind gegenüber der Anregung û 0 um Q vergrössert ! 

Schwingkreise XV 


(6) Frequenzverhalten des Bandpassfilters: 

û0 = 5V 

L = 10 mH 

C = 10 mF 

R = 0.1� 

Leerlauf- bzw. 

Quellenspannung 

kapazitiv 

Q = 2 

induktiv 

Q = 10 Q = 1 

Leerlauf- bzw. 

Quellenspannung 

Spannungsresonanz 

Stromresonanz 

Spannungsresonanz 

R = 1.0 � 

Für kleine Werte von Q ergeben sich mehrere Resonanzmaxima ! 

-293- 

-294- 

32

Schwingkreise XVI 

Der Parallelschwingkreis 

(1) Analyse der Schaltung: 

Z = 

1 

G + 1 

j� L + j�C = 

1 

G + j �C � 1 

� L �� 

( ) 

( ) 

Frequenzabhängige Suszeptanz: B � 

Schwingkreise XVII 


• Der Paralleleschwingkreis ist die duale 

Schaltung zum Reihenschwingkreis. 

Y = G + 1 

j� L + j�C 

Z = 

1 

G + 1 

j� L + j�C 

û = Z � î 0 

î R = G�û = G�Z � î 0 

î L = 1 1 

j� L �û = j� L �Z � î 0 

î C = j�C�û = j�C�Z � î 0 

(2) Parametrisierung des Parallelschwingkreises in der Umgebung von � 0 : 

Aufbau der 

Gleichungen 

ist identisch 

zum Reihenschwingkreis. 

Z = 1 

G � 

1 

1+ jQv 

Z = 

1 

G + 1 

j� L + j�C 

= 1 

G � 

1+ j Y K 

G 

1 

� 

� � 0 �0 ( � ) 

Y K = 1 

� 0L = � 0C = C 

L 

= 1 

Z K 

Q = YK G = R�YK v = � 

� � 0 �0 ( � ) � 0 = 1 

LC 

-295- 

-296- 

33

Schwingkreise XVIII 


(3) Das Frequenzverhalten des Betrages der Impedanz (Scheinwiderstand): 

Z ( � 0 ) = R 

L = 10 mH 

C = 100 μF 

� 0 = 1000 1 

s 

Schwingkreise XIX 


Z = 

1 

G� 1+ YK G � 

� 

� 

� � 0 �0 ( � ) 2 

1 

Z = 

G� 1+Q 2 = 

2 

v 

� 

� 

R 

1+Q 2 v 2 

• Die Steilheit der Kurve in 

der Umgebung der Resonanzfrequenz 

� 0 hängt 

stark von der Güte Q ab. 

R � � Q � 

(4) Das Frequenzverhalten des Argumentes der Impedanz (Phasenwinkel): 

� = � arctan YK � 

G � � � 0 �0 ( � 

� 

� � �)= 

� arctan Q�v 

( ) 



hängt auch hier stark von der 

Güte Q ab (siehe auch das Argument 

der Arcustangens-Funktion). 

-297- 

-298- 

34

Schwingkreise XX 


(5) Das Zeigerdiagramm: � :=� 0 

î R = G�Z � î 1 

0 = 

1+ jQ�v � î 0 = î 0 

î L = 1 

j� L �Z � î 0 = � j �0 ( � )�Q 

1+ jQ�v � î 0 = � jQ� î 0 

î C = j�C�Z � î � j( � )�Q 0 

0 = 

1+ jQ�v � î 0 =+jQ� î 0 

Merke: Die Stromstärken über den reaktiven Elementen 

sind gegenüber der Anregung î 0 um Q 

vergrössert ! 

Schwingkreise XXI 

Ein erstes Fazit 

induktiv 

kapazitiv 

• Die Impedanz des Reihenschwingkreises ist bei 

Resonanz reell (Z = R). Im Idealfall, d.h. nur bei der 

Verschaltung von einer realen Spulen und einem 

realen Kondensator wird die Eingangsimpedanz 

niederohmig. 

• Die Impedanz des Parallelschwingkreises ist bei 

Resonanz reell (Z = R). Im Idealfall, d.h. nur bei der 

Verschaltung von realen Spulen und Kondensatoren 

wird die Eingangsimpedanz hochohmig. 

• Bei der Verschaltung realer Spulen und realer Kondensatoren 

ergeben leicht abweichende Schwingkreistopologien, 

d.h. Reihen- und Parallelschwingkreis 

sind in «Reinkultur» nicht zu haben. Die 

Analyse bedient sich zwar der gleichen Parametrisierung 

(� 0 ,Q), muss für den konkreten Fall aber jeweils 

neu durchgeführt werden (z.B. Buch S.196 ff.). 

-299- 

-300- 

35

Schwingkreise XXII 

Energie- und Leistungsverhältnisse im Schwingkreis 

(1) Analyse des Reihenschwingkreises: 

P = Re{ S}= 

1 

2 

Q = Im{ S}= 

1 

2 

2 

î R 

î 2 

Lassen sich P und Q 

mit den Feldenergien 

verknüpfen? 

� L � 1 

2 û 2 

C �C 

Schwingkreise XXIII 

Z = R + j� L + 1 

j�C 

S = 1 

2 �û � î * = 1 

2 � î î * Z 

S = 1 

2 

2 

î R + 

� 2 

1 + j 2 î 

� 

� 

2 

î R + 

� L � 1 

2 

î 2 

�C 

� 

� 

� 

S = 1 

2 

2 

1 + j 2 î � L � 1 

2 û 2 

( C �C ) 


(Folie 254) 

(2) Energieverhältnisse: 

ut () 

it () Wm () t 

(A) Energieinhalt der Felder im Kondensator 

und in der Spule (Folien 50 und 75): 

W m t 

()= 1 

2 

�L�i t 

()2 

() 2 

We ()= t 1 

2 �C�u C t 

uC ()= t ûC �cos �t +� uc 

it ()= î �cos �t +� i 

( ) 

( ) 

( ) 2 

Wm ()= t 1 

2 L î 2 �cos �t +� i 

( ) 2 

We ()= t 1 

2 C û 2 

C �cos �t +�uc 

L 

Magnetische 

Feldenergie 

C 

Elektrische 

Feldenergie 

ut () 

We () t 

pt () 


pt () 

it () 

p < 0 

p > 0 

-301- 

-302- 

36

Schwingkreise XXIV 


(Folie 254) 


ut () 

it () Wm () t 

(A) Energieinhalt der Felder im Kondensator 

und in der Spule (Folien 50 und 75): 

( ) 2 

( ) �� ( ) 2 

( ) 

Wm ()= t 1 

2 L î 2 �cos �t +� i 

= 1 

4 L î 2 � �� 1+ cos 2�t + 2�i We ()= t 1 

2 C û 2 

C �cos �t +�uc 

= 1 

4 C û C 

� W m 

2 

�� 1+ cos 2�t + 2�i 

1 = 4 L î 2 = 1 

2 

4 L î 

We = 1 

4 C û 2 1 

C = 4 C û 2 

C 

Schwingkreise XXV 

� � 

L 

Magnetische 

Feldenergie 

2�t 

C 

Elektrische 

Feldenergie 

2�t 

ut () 

We () t 

pt () 



(Folie 254) 


ut () 

it () Wm () t 

(B) Verknüpfung der Feldenergie mit 

der Blindleistung (cf. Folie 301): 

Wm = 1 

4 L î 2 = 1 

2 

4 L î 

We = 1 

4 C û 2 1 

C = 4 C û 2 

C 

Q = 1 

2 

î 2 

� L � 1 

2 û 2 

C �C 

Q = 2� �( Wm � We ) 


Die Blindleistung Q entspricht der 2�-fachen 

Differenz der mittleren Feldenergien. 

L 

Magnetische 

Feldenergie 

C 

Elektrische 

Feldenergie 

ut () 

pt () 

We () t 

pt () 

pt () 

it () 

it () 

p < 0 

p > 0 

p < 0 


p > 0 

-303- 

-304- 

37

Schwingkreise XXVI 


(3) Die physikalische Interpretation der Resonanzkreis-Güte Q k (*) : 

(A) Wirkleistung am Widerstand (Verlustleistung): 

( ) 2 

P = 1 

2 

2 �R� î = 1 

2 �R� � 0C ûC Z k = 1 

� 0C 

P = 1 

2 

Q k = Z k 

R � R = Z k 

Q k = 1 

Q k� 0C 

= 1 

2 R� 2 2 2 

0C 

ûC 

(B) Anhand der Parametrisierung des Schwingkreises aus Folie 265: 

1 

Q � k� 0C ( 0C ûC ) 2 

= � 2 

0 

2Q C û k C = �0 Q �2W k e 

(C) Güte Q k des Schwingkreises : 

� Q k = � 0 

2W e 

P = 2� 2W e 

T �P 

Schwingkreise XXVII 

(*) Es wurde hier für die Güte 

das Symbol Q k verwendet 

um eine Verwechslung mit 

der Blindleistung Q auszuschliessen. 


(4) Fazit zum Resonanzfall: 

�� := � 0 

Q k = � 0 

2W e 

P = 2� 2W e 

T �P 

S = P Q = 0 

Folie 

304 

Im zeitlichem Mittel im Schwingkreis 

gespeicherte Energie: 

Q k = � 0 

W 

P 

= 2� W 

T �P 

�� We = Wm Merke: Die Leistung pendelt hier nicht zwischen 

der Quelle und dem Netzwerk, sondern 

zwischen der Spule und dem Kondensator. 

Bei Resonanz kommt die Quelle lediglich für 

die Verlustleistung P am Widerstands R auf, 

da Quelle bei � 0 nur die Impedanz R «sieht». 

W =W e +W m 

W = 2W e = 2W m 

Die Güte Q k berechnet sich aus der gemittelten, 

im Schwingkreis gespeicherten Energie und der 

in einer Periode umgewandelten Energie. 

-305- 

-306- 

38

Schwingkreise XXVIII 


(3) Die physikalische Interpretation der Resonanzkreis-Güte Q k : 

Die Leistungsanpassung I 

• Im Resonanzfall sind die beiden 

Spannungen u L und u C 

um 180° gegeneinander 

phasenverschoben. 

-307- 

• Dadurch korrelieren Energiezunahme 

mit Energieabnahme 

in den entsprechenden reaktiven 

Netzwerkelementen. 

• Im Fall von R = 0 bezieht der 

Umladevorgang der Feldenergien 

keine Leistung von 

der Quelle, d.h. beim Umladevorgang 

wird keine Arbeit 

verrichtet (auch weil für die 

Spannung u = u L + u C = 0 

[zu jedem Zeitpunkt] gilt). 

Reale Wechselspannungsquelle an einer Lastimpedanz 

(1) Experimentalanordnung mit komplexer Lastimpedanz: 

Die Wirkleistung ist eine Funktion 

der «Variablen» R und X ! 

(A) Leistungsumsatz an der Last Z: 

û 0 

î = 

Z + Zi { } 

P = 1 

2 î î * Re Z 

= 1 

2 � 

2 

P = û 0 

2 � 

û 0 

2 

Z + Z i 

( ) 2 

R+ R i 

2 

Re{ Z} 

R 

( ) 2 

+ X + X i 

-308- 

39

Die Leistungsanpassung II 


(2) Bestimmung der maximalen, im Verbraucher Z umgesetzten Wirkleistung: 

P w = û 0 

�P w 

2 

2 � 

2 

( ) 2 

R+ R i 

(B) Extremalbedingungen: 

( ) 2 

R 

( ) 2 

+ X + X i 

( ) 2 

( ) 

�R = û 0 

2 � R+ Ri + X + Xi � 2R R+ Ri ( R+ Ri ) 2 

+ ( X + Xi ) 2 

2 

� 

� 

� 

� 

�P w 

�X = � û 0 

2 � 

� R+ R 

� i 

2 

2R( X+ Xi ) 

( ) 2 

( ) 2 

+ X + X i 

An der Last 

umgesetzte 

Wirkleistung 

� 

� 

2 =! 

0 

= ! 

0 

Die Leistungsanpassung III 

Standpunkt der Nachrichtentechnik: 

Die 

Werte R i und X i werden 

als bekannt vorgegeben. 

(C) Extremum: 

R 2 2 

= Ri + ( X + Xi ) 2 

X = �X i 

Ob es sich bei dem 

Extremum um ein 

Maximum handelt, 

kann mittels 2. Ableitungen 

direkt überprüft 

werden. 


(2) Bestimmung der maximalen, im Verbraucher Z umgesetzten Wirkleistung: 

(C) Extremum: 

R 2 2 

= Ri + ( X + Xi ) 2 

X = �X i 

(E) Maximale verfügbare Leistung: 

max 

Pw = Pw * = Z =Zi û 0 

2 � 

2 

� R = R i 

X = �X i 

( ) 2 

R i + R i 

(F) Parametrisierung der Wirkleistung: 

Pw max 

Pw = 

4 RRi ( ) 2 

1+ RR i 

( [ ] Ri ) 

+ X + X i 

(D) Anpassbedingung für die 

Leistungsanpassung von Z: 

Ri ( ) 2 � Pw + �X i + X i 

2 = 

* * 

� Z = Zi � Y = Yi 

4x 

1+ x + y 2 

( ) 2 

an eine reale an eine reale 

Spannungsquelle Stromquelle 

2 

û 

max 0 

= 

8 Ri �� 

x = RRi � 

�� y = X + Xi [ ] R i 

-309- 

-310- 

40

Die Leistungsanpassung IV 


(3) Darstellung der im Verbraucher Z umgesetzten Wirkleistung: 

P w 

Merke: Für y = 0 ist es gerade die Kurve aus Folie 201. 

Steiler Abfall in 

reaktive Richtung! 

Die Leistungsanpassung V 

Pw max 

Pw �� 

Pw max 

Pw = 

4x 

1+ x + y 2 

( ) 2 

� x = RR �� 

i 

� 

�� y = X + Xi Flacher Abfall in 

resistive Richtung! 

= const. := z 

( ) 

x � 2 

z �1 

2 

�� x = RRi � 

� y = X + Xi � 

� 

[ ] R i 

max 

z = Pw Pw [ ] R i 


(4) «Landkarte» der im Verbraucher Z umgesetzten Wirkleistung: 

Höhenlinien 

(Kreise konstanter 

Wirkleistung) 

+ y 2 = 4 

z 

: Höhenlinien 

Apollonische Kreise (in x und y): 

Parametrisierung: 

1 

z �1 ( ) 

-311- 

-312- 

41

Die Leistungsanpassung VI 

Beispiel: «Induktive Quelle an kapazitiver Last» 

(1) Beispielschaltung: 

P w = û 0 

Ri = 5 � 

Xi = 1 � 

û 0 = 10 V 

2 

2 � 

( ) 2 

R+ R i 

R 

( ) 2 

+ � L i � 1 

�C 

Die Leistungsanpassung VII 

(A) Leistungsanpassung: 

R = R i = 5� 

jX = � j 1 

�C = � j1� 

( ) 2 

max 10V 

Pw = 8�5� 

= 2.5 W 

(B) Variation der Last: 

� Ändern von R bei festen 

Werten von C: 

� Längsschnitte (in x) 

� Ändern von C bei festen 

Werten von R: 

� Querschnitte (in y) 

im «Gebirge» (Folie 311). 


(2) Variation des Widerstands (Längsschnitte �) : 

R = R i 

Ri = 5 � 


û 0 = 10 V 

• Parallele Längsschnitte durch 

das «Leistungsgebirge» aus 

Folie 311 parametrisiert mit den 

Werten der Reaktanz 1/(�C). 

• Leistungsmaxima liegen bei 

abweichenden Werten von 

X i = 1 � nicht mehr beim Wert 

R = R i = 5 �. Die relativen Maxima 

sind zu grösseren Werten 

von R hin verschoben. 

-313- 

-314- 

42

Die Leistungsanpassung VIII 


(3) Variation der Reaktanz (Querschnitte �) : 

Ri = 5 � 


û 0 = 10 V 

X = -�L i = -1 � 

0 

Die Leistungsanpassung IX 

• Parallele Querschnitte durch 

das «Leistungsgebirge» aus 

Folie 311 parametrisiert mit 

den Werten der Resistanz R. 

• Die relativen Maxima der Leistungskurven 

werden für die 

Werte R < R i = 5 � schmaler, 

bzw. für R > R i = 5 � breiter. 

• Z.B. haben die relativen Maxima 

der Leistungskurven von 

R = 2.5 � und R = 10 � die 

gleiche Wirkleistung. Die Fehlanpassung 

bei R = 10 � ist aus 

Gründen der Empfindlichkeit 

in der Praxis 

jedoch vorzuziehen. 


(4) Alternative Betrachtung bei fest vorgegebener Lastimpedanz: 

Standpunkt der Energietentechnik: Die Werte der 

Last, d.h. R und X sind fest und werden als bekannt 

vorgegeben. Die Quelleninnenimpedanz (R i und X i ) 

wird nun zur Maximierung der Wirkleistung in der 

Lastimpedanz variert. 

�Pw = � 

�Ri û 0 

2 � 

� R+ R 

� i 

�Pw = � 

�Xi û 0 

2 � 

� R+ R 

� i 

2 

2 

2R( R+ Ri ) 

( ) 2 

( ) 2 

+ X + X i 

2R( X+ Xi ) 

( ) 2 

( ) 2 

+ X + X i 

� 

� 

� 

� 

2 =! 

2 =! 

0 

0 

• Dies ist eine alternative Vorgehensweise 

zum Ansatz 

aus Folie 309 (bzw. zum 

standpunkt der Nachrichtentechnik): 

es ist der Standpunkt 

des Energieerzeugers. 

• Abgeleitete Bedingungen 

an die Innenimpedanz: 

Ri = �R 

Xi = �X 

• Negative Widerstände sind 

passiv nicht zu realisieren. 

• Beste Wahl: Ri = 0. 

-315- 

-316- 

43

Die Leistungsanpassung X 

Beispiel: «Induktive Quelle an kapazitive Last» 

(5) Variation des Innenwiderstands (Längsschnitte durch das «Leistungsgebirge»): 

R i = 0 

R = 10 � 

1 

�C = 1 � 

û 0 = 10 V 

Die Leistungsanpassung XI 

• Parallele Längsschnitte durch 

das «Leistungsgebirge» parametrisiert 

mit den Werten der 

Reaktanz der Innenimpedanz 

�Li. • Es gibt nur ein absolutes Maximum 

bei Ri = 0. 

• Der Energieerzeuger versucht 

deshalb die Innenimpedanz 

möglichst klein zu halten. 

• Die in der Last umgesetzte 

Wirkleistung ist doppelt so 

gross wie bei der Leistungsanpassung, 

da der Verlustanteil 

der Innenimpedanz gänzlich 

wegfällt. 


(6) Variation der Innenreaktanz (Querschnitte durch das «Leistungsgebirge»): 

R = 10 � 

1 

�C = 1 � 

û 0 = 10 V 

X i = 1/�C = 1 � 

• Da R i < 0 nicht realisierbar ist, 

liegen alle Leistungskurven 

unterhalb der Kurve R i = 0. 

• Die Leistungsanpassung 

beruht u.a. auf der Kompensation 

der Reaktanzen, was 

einem Resonanzeffekt entspricht 

(siehe z.B. Folie 300). 

Allgemein: 

Die Leistungsanpassung einer 

Quelle mit Innenimpedanz 

Z i an eine Lastimpedanz 

Z müsste daher stark 

frequenzabhängig sein. 

-317- 

-318- 

44

Die Leistungsanpassung XII 


(7) Frequenzabhängigkeit der Verlustleistung (bei Leistungsanpassung): 

Anpassung hier R � 5 � 

Anpassung hier 

Ri = 5 � 

Li = 1mH 

C = 1mF 

û 0 = 10 V 

R � 5 � 

Merke: Entgegen der bisherigen Vermutung zeigt die Leistungsanpassung ausser 

bei tiefen Frequenzen (erstaunlicherweise) eine geringe Frequenzabhängigkeit ! 

Spezielle Wechselstromschaltungen I 

Spannungsteilerschaltung 

(1) Komplexer Spannungsteiler (allgemein): 

û 3 = û 2 

Z2Z 3 

û 3 = Z3 î 3 = 

�û 

Z1Z2 + Z1Z3 + Z2Z 3 

Z = Z1 + ( Z2 � Z3 )= Z1 + Z2Z 3 

Z2 + Z3 = Z1Z2 + Z1Z3 + Z2Z 3 

Z2 + Z3 Z2 + Z3 Z1Z2 + Z1Z3 + Z2Z 3 

î 1 = 

î 3 = 

î 3 = 

Z 2 

�û 

� 

Z2 + Z3 î 1 : Stromteilerformel 

Z 2 

Z 1 Z 2 + Z 1 Z 3 + Z 2 Z 3 

� û 

-319- 

-320- 

45

Spezielle Wechselstromschaltungen II 


(2) Die Hummel-Schaltung: 

Forderung: Der Zeiger der Stromstärke î 3 soll gegenüber der Eingangsspannung 

û stets eine Phasenverschiebung von �/2 aufweisen. 

Z 2 

î 3 = 

Z1Z2 + Z1Z3 + Z2Z 3 

Z 2 := R 2 

�Z = Z 1 + Z 3 + Z 1Z 3 

Z 2 

R 1 + R 3 + R 1 R 3 � X 1 X 3 

R 2 

= ! 

�û := 1 

�Z �û � � Z = Z 1 Z 2 + Z 1 Z 3 + Z 2 Z 3 

Z 2 

0 � ( R1 + R3)R2 = X1X 3 � R1R3 Impedanz 

soll rein 

imaginär 

sein. 

Bedingung: Realteil der Impedanz muss (bei Z 2 = R 2 ) verschwinden. 

( ) 

= R1 + jX1 + R3 + jX3 + R1R3 � X1X 3 + j R1X3 + R3X1 R2 Spezielle Wechselstromschaltungen III 


(2) Die Hummel-Schaltung: 

( R1 + R3)R2 = X1X 3 � R1R3 � R1 , R2 , R3 > 0 � X1 , X � 3 > 0 : Spulen 

� 

�X1 

, X3 < 0 : Kondensatoren 

Rechenbeispiel: (Z 1 , Z 3 werden durch Spulen realisiert) 

R1 = R2 = R3 = 1� 

� X1X 3 = 3 � 2 

Z 1 = R 1 + j� L 1 

X 1 X 3 = � 2 L 1 L 3 � � = X 1 X 3 

L 1 L 3 

Z 3 = R 3 + j� L 3 

= R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 

L 1 L 3 

Die gestellte Forderung 

nach einer rein imaginären 

Impedanz kann nur für 

eine bestimmte Frequenz 

erzielt werden. 

-321- 

-322- 

46

Spezielle Wechselstromschaltungen IV 


(3) Die Boucherot-Schaltung: 

û 3 = û 2 

Z 1 = � Z 2 

Im Falle passiver Elemente 

müssen die Impedanzen 

reine Reaktanzen sein! 

Forderung: Die Stromstärke î 3 durch 

die Impedanz Z 3 soll unabhängig von 

dieser Impedanz sein (ähnliches Verhalten 

wie bei einer Stromquelle). 

Z 2 

î 3 = 

�û 

Z1Z2 + Z1Z3 + Z2Z 3 

Z 2 

= 

Z1Z2 + Z3 Z1 + Z2 = 1 

�û 

Z1 �( Z1 + Z2 ):= 0 

( ) �û 

Spezielle Wechselstromschaltungen V 


(4) Die kompensierte Spannungsteilerschaltung : 

Z 2 

unkompensiert kompensiert 

Y 1 

Kompensationskondensator 

Forderung: Das Spannungsteilerverhältnis soll 

frequenzunabhängig werden � Kompensation. 

1 

R + j�C 1 1 

û 2 = �û = �û = 

1 

Z1 + Z2 Y1 +Y 2 R + j�C 1 1 + 1 

�û 

R + j�C 2 2 

• Die Parallelschaltung der Elemente 

R 2 und C 2 stellt eine typische Eingangsimpedanz 

eines Gerätes dar. 

-323- 

-324- 

47

Spezielle Wechselstromschaltungen VI 



Spannungsteiler: 

1 

R + j�C 1 1 

û 2 = 

1 

R + j�C 1 1 + 1 

�û = 

R + j�C 2 2 

unkompensiert kompensiert 

Kompensationskondensator 

R2 1+ j� R1C1 � 

R1 + R2 1+ j� R1R2 C 1 + C 2 

R 1 + R 2 

�1� � 2� 

= R2C2 R 1C 1 

Spannungsteilerverhältnis 

bleibt erhalten 

falls Zeitkonstanten 

gleich sind. 

R 1 C 1 = R 1 R 2 

�û 

C 1 + C 2 

R 1 + R 2 

Spezielle Wechselstromschaltungen VII 



frequenzunabhängig ! 

û 2 

û = 

C 1 = 0.44 pF 

R2 1+ j� R1C1 � 

R1 + R2 1+ j� R1R2 C 2 � 

C 1 + C 2 

R 1 + R 2 

R1 = 9k� 

R2 = 1k� 

C2 = 4pF 

C 1 = 0.44 pF 

-325- 

-326- 

48

Spezielle Wechselstromschaltungen VIII 

Resonanztransformationsschaltungen 

(1) Analyse des (realen) Schwingkreises: 

(Reelle) Eingangsadmittanz: 

Y e = j�C + 

1 

R 1 + j� L = j�C + R 1 

• Beim Schwingkreis in Resonanz kompensieren 

sich die Reaktanzen und es werden 

rein reelle Impedanzen/Admittanzen eingesehen 

(Folie 300). 

• Zudem fliessen im Resonanzfall zwischen 

den Reaktanzen Ströme, die sich über die 

Resonanzgüte im Prinzip einstellen lassen. 

• Daraus lassen sich für einen begrenzten 

Frequenzbereich Immitanztransformationsschaltungen 

realisieren. 

� j� L 

2 2 := 

R1 + ( � L) 

1 

R2 �� 

Imaginärteil 

muss verschwinden 

Spezielle Wechselstromschaltungen IX 


(1) Analyse des (realen) Schwingkreises: 

Y e = j�C + R1 � j� L 

2 2 

+ ( � L) 

= R1 � j� L + j�C R1 2 2 

+ ( � L) 

� 

� 

R 1 

= R1 + j �C R1 2 

R1 + � L 

2 2 

� �C R1+ ( � L) 

2 2 ( + ( � L) 

)��L� � 

R 1 

( ) 2 � � 

( )� � L = 0 

2 2 ( + ( � L) 

) 

2 2 

C( R1+ ( � L) 

)�L = 0 Resonanzkreisfrequenz (für Im{Ye } � 0): 

( � L) 

2 = L 

C � R 2 

1 � 

1 � r = LC � R1 L 

Imaginärteil 

muss verschwinden 

( ) 2 

= 1 

LC � 1� R1 2 C 

L 

-327- 

-328- 

49

Spezielle Wechselstromschaltungen X 


(2) Resonanz(Impedanz)transformation: 

Y e ( � r )= 

R 1 

( ) 

2 

R1 + � rL 

( � rL )= R1 � R2 R1 ( � rC)= 

( � rL ) 

( ) 

2 

R1 + � rL 

1 

2 := 

R2 �1 = R 1 � n 2 �1 �n 2 = R 2 

R 1 

1 

2 = 

R1 � 

� n2 �1 

n 2 

> 1 

� Anhand der Folie 328 

ausgehend von � r � (� rC) 

und dem Ausdruck für C/L 

(siehe auch Folie 330). 

Bei gegebenem n 2 = R 2/R 1 lassen sich L und C bestimmen. 

Es kann dadurch ein Widerstand R 1 nur in einen grösseren 

Widerstand R 2 transformiert werden. 

Spezielle Wechselstromschaltungen XI 


(3) Veranschaulichung der Resonanztransformation: 

Gp = 1 

= 

R2 Bp = � 1 

� L � 

= 

R 1 

( ) 2 � � r L 

2 

R1 + � L 

�� L 

( ) 2 

2 

R1 + � L 

Transformation 

ist schmalbandig. 

( ) 2 

1 

� 

� rL � 

= 

2 2 2 

= R1R2 � R1 = R1 ( n �1) 

� rL 

2 

R1 + � L 

( ) 2 = � r C 

Beziehungen 

aus Folie 329 ! 

-329- 

-330- 

50

Spezielle Wechselstromschaltungen XII 


(4) Resonanztransformation nach kleineren Widerständen: 

Resonanzkreisfrequenz 

(für Im{Z e } � 0): 

� r = 1 

L � 1� 2 

LC R1 C 

� 

Z e = j� L + 

= 

1 � L � 

R1 �� 

1 

R � j�C 

1 

1 ( R ) 1 

2 

+ �C 

1 

1 

R � j � L 1 R1 ( ) 2 

( �C ) 2 = C 

L 

( ) 2 

( ) 2 

+ ( �C ) 2 

� 

� 

( � �C 

�� 

�� ) 

1 ( R ) 1 

2 

+ ( �C ) 2 

Imaginärteil soll verschwinden: 

( ) 2 

+ �C 

1 � ( R ) 1 

2 

� � �C = 0 

�� 

Spezielle Wechselstromschaltungen XIII 


(4) Resonanztransformation nach kleineren Widerständen: 

Merke: Man hätte auf diese Herleitung 

verzichten können indem man die 

Resonanztransormationsschaltung aus 

Folie 327 einfach in umgekehrter 

Richtung interpretiert ! 

Ze ( � r ) = 

( � rC)= 

1 

� 

R1 ( � rL )= R1 � 2 

n 

� n 2 = R 2 

R 1 

< 1 

1 

R 1 

1 ( R ) 1 

2 

+ � rC 

( ) 2 := R 2 

1 

�1 2 

n 

1 

�1 2 

n 

-331- 

-332- 

51

Xi - Allgemeine und theoretische Elektrotechnik

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