3 Blechumformung - Christiani

272 3 Blechumformung
Ziehkraft unabhängig ermittelt werden. Dementsprechend wird das Prinzip der
virtuellen Arbeit in der Form
F
ideell
⋅ δh = ∫σ
ij ⋅δ
ε ij
dV = ∫ Σ ⋅δ
u dA
V1
42 4 43 4 A1
4243
δ
Wext
δ
Wint
(3.35)
für Flansch und Ziehringrundung separat angewandt. Dabei ist δ h der virtuelle
Stempelvorschub, Σ die äußere Spannung des freigeschnittenen betrachteten
Volumens, δ u die virtuelle Verschiebung an der freigeschnittenen Stelle, σij die
innere Spannung und δ εij
die virtuelle Dehnung im betrachteten Volumen.
Unter der Annahme, dass während der Umformung keine Blechdickenänderung
vorliegt, folgt für das Prinzip der virtuellen Arbeit (Abb. 3.17):
ideell
∫
V
( σ ⋅δε
−σ
⋅ )
F ⋅δ
h =
δε dV
t
t
r
r
(3.36)
In der Ziehkraftberechnung nach Siebel für rotationssymmetrische Prozesse wird
vorausgesetzt, dass die Blechdicke konstant bleibt und im Flansch die mittlere
konstante Fließspannung kfm vorliegt. Wird das Prinzip der virtuellen Arbeit mit
diesen Voraussetzungen angewandt und der Ziehspalt und die Ziehringrundung
vernachlässigt, ergibt sich für die ideelle Ziehkraft
( ) ⎟ δr
⎛ D ⎞
Fideell, Flansch ⋅δ h = = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
⎜
∫ dV π s d0
s kfm
ln (3.37)
r
⎝ d0
⎠
V, Flansch
mit der Blechdicke s, dem Stempeldurchmesser d0 und dem momentanen Außendurchmesser
D.
Die Verfestigung des Werkstoffes kann zum Beispiel nach LUDWIK in der
Form () () n
k r A + B ⋅ϕ
r
f
= beschrieben werden. Sogar die Berücksichtigung der
mittleren senkrechten Anisotropie r kann mithilfe des Werkstoffmodells nach
Hill berücksichtigt werden. Da in der Blechumformung im Allgemeinen die
Spannung in Blechdickenrichtung vernachlässigt wird, hat für den vorliegenden
Fall die Fließbedingung die Form:
1 r +
2
f () r = ⋅ σ r −σ
t
k (3.38)
r + 1