3 Blechumformung - Christiani

3 Blechumformung
3.1 Verfahren der Blechumformung
Als Ausgangshalbzeug werden in der Blechverarbeitung durch Walzen hergestellte
Bleche verwendet. Ausgehend von diesen ebenen Blechen erfolgt die
Formgebung in mehreren Stufen. Insbesondere durch die rasante Entwicklung in
der Automobilindustrie hat die Blechumformung nachhaltig an Bedeutung
gewonnen.
Aus den folgenden Zusammenstellungen geht hervor, dass es eine Vielzahl von
Verfahren zur Blechumformung gibt. Abb. 3.1 und Abb. 3.2 zeigen einige Verfahren
der Biege-, Tiefzieh- und Formstanztechnik. In Abb. 3.3 sind umformtechnische
Fügeverfahren der Stanzereitechnik abgebildet. Abb. 3.4 stellt weitere
Blechbearbeitungsverfahren dar.
Abb. 3.1 Übersicht über die Blechbearbeitungsverfahren Biegen und Tiefziehen /Rom59/

258 3 Blechumformung
Abb. 3.2 Übersicht über das Blechbearbeitungsverfahren Formstanzen /Rom59/
Grundverfahren
Verbindungsarten der Stanzereitechnik
Umformverfahren
Falzen
Sicken und
Hohlnieten
Verbinden
durch
Laschen
Einpressen
Nieten
Kaltschweißen
Schematische
Darstellung
Merkmale
Verbinden zweier etwa gleich
dicker Bleche oder Einzelteile
durch Herstellen eines
Formschlusses durch Abbiegen
oder Umbiegen der Kanten
beider Partner
Verbinden zweier Einzelteile
durch Andrücken des äußeren
oder Erweitern des inneren
Einzelteiles
Verbinden zweier Einzelteile
durch Bilden einer Lasche
aus dem einen Teil, Einführung
derselben durch einen
Schlitz am anderen Teil und
Abbiegen derselben
Verbinden zweier Einzelteile
durch Einpressen des einen
in das andere und nachfolgendes
Herstellen eines
Kraftschlusses durch Umformen
eines oder beider Teile
Verbinden von zwei oder
mehreren Blechen oder Fertigteilen,
die getrennt angefertigt
worden sind, durch
den Formschluss eines mit
Köpfen versehenen Bolzens
Verbinden zweier Bleche oder
Einzelteile bei Raumtemperatur
durch einen auf sie ausgeübten
Druck, wobei metallische
Bingung eintritt
Abb. 3.3 Übersicht über die Verbindungsarten der Stanzereitechnik /Rom59/

Umformverfahren
Durchziehen
Aufstellen
eines Bordes
Umbördeln
Einziehen
a) Planieren
b) Formschlagen
Prägen
Ankörnen
Einschlagen
Schematische
Dastellung
Abb. 3.4 Weitere Blechbearbeitungsverfahren /Rom59/
3.1 Verfahren der Blechumformung 259
Merkmale
Bilden eines Mantels an vorher
gelochten Teilen auf
Kosten der Wanddicke
Aufstellen von niedrigen Rändern
beliebiger Form insbesondere
durch Stauchung
Bilden eines Wulstes am
Rande eines Hohlteiles durch
Anrollen eines Hohlbordes
Verengen eines rohrförmigen
hohlen oder bauchigen Teiles
an seinem Ende durch Verringern
seines Durchmessers
Richten eines flachen oder gekrümmten
Werkstücks. Endgültige
Formgebung eines
Hohlteiles
Umformen eines Teiles bei
Veränderung der Werkstoffdicke
zwischen Ober- und
Unterstempel, wobei die Gravur
des Oberstempels nicht
das Gegenstück der Gravur
des Unterstempels ist
Einschlagen einer Körnerspitze
in die Oberfläche eines
Gegenstandes zur Markierung
oder um einen Bohrer
ansetzen zu können
Einschlagen eines verhältnismäßig
flachen Reliefs in die
Oberfläche eines Gegenstandes
unter örtlicher Verdrängung
des Werkstoffes

260 3 Blechumformung
3.2 Tiefziehen im Anschlag
Das Verfahren Tiefziehen wird nach /DIN8582/ (Abb. 3.5) dem Umformverfahren
Zugdruckumformen zugeordnet. Es zeichnet sich im Allgemeinen
dadurch aus, dass aus einem ebenen Blechzuschnitt durch Stauchen und Strecken
ein Hohlkörper erzeugt wird (Abb. 3.6).
Ein Tiefziehwerkzeug besteht in der Regel aus einem Ziehstempel, einem Ziehring
sowie einem Niederhalter. Im Folgenden wird das Tiefziehen rotationssymmetrischer
Bauteile näher betrachtet.
Walzen
Druckumformen
DIN 8583
Freiformen
Eindrücken
Gesenkformen
Durchdrücken
Zugdruckumformen
DIN 8584
Durchziehen
Kragenziehen
Drücken
Tiefziehen
Knickbauchen
Umformen
Zugumformen
DIN 8585
Tiefen
Längen
Weiten
Biegeumformen
DIN 8586
Biegen mit drehender
Werkzeugbewegung
Abb. 3.5 Einteilung der Fertigungsverfahren nach /DIN8582/
Niederhalter
Flansch
Zarge
s 0
Ziehteilboden
Stempel
F NH
r M
r St
D 0
Abb. 3.6 Tiefziehen im Anschlag
d 0
F St
F NH
Ziehmatrize
Biegen mit geradliniger
Werkzeugbewegung
Platine
(Ronde)
Schubumformen
DIN 8587
Verdrehen
Verschieben
r St : Stempelkantenradius
r m : Ziehkantenradius
d 0 : Stempeldurchmesser
D 0 : Rondendurchmesser
s 0 : Blechdicke
F NH: Niederhalterkraft
F St: Stempelkraft

3.2 Tiefziehen im Anschlag 261
Eine Blechronde mit dem Ausgangsdurchmesser D0 wird zunächst zwischen Ziehring
und Niederhalter eingespannt. Die durch die Tiefziehpresse aufgebrachte
Niederhalterkraft FNH verhindert die Faltenbildung im Flanschbereich (Falten 1.
Art). In der ersten Phase des Umformvorgangs formt der Ziehstempel den Ziehteilboden
aus. Dieser Vorgang wird als Streckziehen bezeichnet, dabei fließt der
Werkstoff aus der Blechdicke (Abb. 3.7).
Das Flanscheinzugsmaß fez definiert das Maß der Ausstreckung des in den
Ziehspalt eingezogenen Blechwerkstoffs. Simon gibt zur Berechnung des
Flanscheinzugsmaßes folgende Beziehung an /Sim89/:
f
ez
=
0,
41
μ ⋅ p
0
N
⎛
⋅
⎜
⎝
h
r
min
⎞
⎟
⎠
2
(3.1)
Hierbei findet kein Nachfließen des Werkstoffs aus dem Flanschbereich statt.
Die größte Blechdickenabnahme findet jeweils über dem kleineren Radius
statt; entweder über dem Ziehringradius rM (Abb. 3.7, oben) oder über dem
Stempelkantenradius rSt (Abb. 3.7, unten). Jeweils im Bereich der kleinsten
Blechdicke vor Einzugbeginn des Flansches findet später die Rissinitialisierung
statt; z.B. am Auslauf der Stempelkantenrundung, wenn rSt der kleinere Radius ist.
Übersteigt in der zweiten Phase des Umformvorgangs die durch den Ziehstempel
eingeleitete Kraft die Flanscheinzugskraft, das heißt die Summe der ideellen
Umformkraft sowie der Reibkraft im Ziehteilflansch, wird der eigentliche
Tiefziehvorgang eingeleitet. Der Werkstoff fließt aus dem Flanschbereich in die
Ziehteilzarge. Dabei verdickt sich das Blech im Außenbereich des Flansches.
s 0
s 0
V min I
D0 II
D0 I
Stempel
V min II
r St
V 0
r St
s min
s min
r M
r M
f ez
f ez
Ziehring
s 0
s 0
r M=r min
s 0
r St=r min
f ez: Flanscheinzugsmaß
s min: minimale Blechdicke
r M: Ziehringradius
r St: Stempelkantenradius
s 0: Ausgangsblechdicke
Abb. 3.7 Idealisierung der Blechdickenabnahme im Bereich Stempel-/Ziehkante
/Sim89/

262 3 Blechumformung
Streckziehen zu
Beginn des
Umformvorgangs
Tiefziehen nach der
Ausbildung des
Ziehteilbodens
Abb. 3.8 Der Streck- und Tiefziehvorgang
Auslauf der Stempelkantenrundung
(plane strain)
Ebene Dehnung / σt behinderte einachsige
Zugbeanspruchung
Ziehteilboden
σr = Radialspannungen
σt = Tangentialspannungen
σn = Normalspannungen
σ r
σ r σ t
σ t σ r
σ r
σ n σ t
σ t
Tiefziehen
σn Flansch / Umformbereich
Tiefziehen/ Umformbereich
gekennzeichnet durch
Zug-/Druckbeanspruchung
σ r σt
Flansch
Zarge
σ r
Tiefziehen
Boden / Kraftübertragunszone
Streckziehen gekennzeichnet durch
Zug-/Zugbeanspruchung
Abb. 3.9 Beanspruchungen beim Tiefziehen im Anschlag /Sim89/
Da die Umformkraft in den Boden des Ziehteils eingeleitet und über die Zarge in
die Umformzone geleitet wird, handelt es sich beim Tiefziehen um ein Verfahren
mit mittelbarer Krafteinwirkung. In Abb. 3.9 werden die auftretenden Beanspruchungen
beim Tiefziehen im Anschlag dargestellt. Der Tiefziehvorgang
zeichnet sich durch folgende drei unterschiedliche Beanspruchungen aus:
• Flanschbereich: Zug-/Druckbeanspruchung,
• Bodenbereich: Zug-/Stauchbeanspruchung,
• Auslauf der Stempelkante: behinderte einachsige Zugbeanspruchung, d.h.
ebener Dehnungszustand, der bei Vernachlässigung der Normalspannung durch
eine direkte und indirekte Zugbeanspruchung gekennzeichnet ist.
Anhand der unterschiedlichen Spannungszustände wird deutlich, dass der Werkstoff
beim Tiefziehen ganz unterschiedlichen Beanspruchungen genügen muss.

3.2.1 Spannungen beim Tiefziehen
3.2 Tiefziehen im Anschlag 263
Die Umformung des Flanschbereichs ist durch eine Superposition von radialen
Zug- σr und tangentialen Druck- σt sowie normalen Druckspannungen σn charakterisiert.
Der Niederhalter unterbindet ein Ausknicken des Blechs aufgrund der
tangentialen Druckspannungen σt (Falten 1. Art). Im Zargenbereich liegen aufgrund
der in den Bodenbereich eingeleiteten Ziehkraft Zugspannungen vor. Im
Bereich des Ziehteilbodens wirken während des Tiefziehprozesses radiale und
tangentiale Zugspannungen.
Abb. 3.10 zeigt den Verlauf der radialen Zug- σr bzw. tangentialen Druckspannungen
σt am Beispiel eines Volumenelementes des Ziehteilflansches. In
Blechdickenrichtung wirken normale Druckspannungen σn.
Berechnung von σr,id
Zur ideellen Umformkraft Fid gehört die ideelle Spannung σid, die unter Vernachlässigung
der Reibung der radialen Spannung σr entspricht. Die radiale Spannung
σr kann nach Siebel /Sie54/ wie folgt berechnet werden.
Aus
folgt
dα
σ r ⋅ r ⋅dα
⋅ s0
− ( σ r + dσ
r ) ⋅(
r + dr)
⋅dα
⋅ s0
+ 2⋅σ
t ⋅ s0
⋅ ⋅dr
= 0 (3.2)
2
− σ ⋅ r −σ
⋅dr
− dσ
⋅dr
+ σ ⋅dr
= 0
(3.3)
d r r
r t
a) b)
Z
s 0
σ r +dσ r
dα
2
dr
σ t
σ t
σ r
D 0
r
dα
+σ
−σ
σ r
k f
σ t
σ n
r m
d0 rS D
σ z = 0, falls kein Niederhalter
vorhanden
Abb. 3.10 Spannungsverteilung im Ziehteilflansch (a) sowie Verlauf der Spannungen (b)
Z
d

264 3 Blechumformung
und unter der Annahme von
folgt schließlich
d r
σ ⋅dr = 0
(3.4)
dr
σ r = −(
σ r −σ
) ⋅
(3.5)
r
d t
Mit dem Fließkriterium nach Tresca kf = σmax - σmin ergibt sich somit für die
Radialspannungen:
r
dr
r ( ) = − ∫ k f ( r)
= −k
f
r
r=
R
⎛ r ⎞
⎛ R ⎞
σ r ( r)
⋅ln⎜
⎟ bzw. σ r ( r) = kf
( r)
⋅ln⎜
⎟ . (3.6)
⎝ R ⎠
⎝ r ⎠
Darin kann kf(r) durch die genäherte konstante Formänderungsfestigkeit kfm
(Abb. 3.11, rechts) ersetzt werden, wobei gilt:
Damit wird
r: Radius am Innenrand
R: Radius am Außenrand der Ronde
1
k fm = ( kf1
+ kf2)
(3.7)
2
r=
R
dr
σ r ( r)
= kfm
⋅ ∫ .
(3.8)
r
Diese Spannung σr entspricht der ideellen radialen Spannung σr,id, also wird
mit
r=
r
R
D
σ r(
r = r0
) = kfm
⋅ln
= kfm
⋅ln
(3.9)
r0
d0
D
β =
(3.10)
d
0

folgt
3.2 Tiefziehen im Anschlag 265
σ r = r ) = k ⋅ln
β
(3.11)
r ( 0 fm
Berechnung von σt,id
σt,id wird nachfolgend als σt bezeichnet.
k = σ −σ
⇒ σ = σ − k
(3.12)
fm
3.2.2 Formänderungen im Flanschbereich
r
t
t
In Abb. 3.11 werden zwei Bereiche des Ziehteilflansches betrachtet, wobei die
Blechdicke s0 als konstant angenommen wird. Es wird vorausgesetzt, dass die
äußere und die innere der betrachteten Flächen gleich sind.
Es sei
0
r
D 0
fm
D1
ϕ 1 = ln , ϕ 2 = ln
(3.13)
d D
Aufgrund der Gleichheit der betrachteten Flächen ergibt sich:
daraus folgt
k f
k f1
k fm
k f2
π 2 2 π 2
⋅(
D0 − D ) = ( D1
− d
4
4
2
1
2
0
2
2
0
2
0
)
(3.14)
D = D − D + d .
(3.15)
Fließkurve
ϕ2 ϕ ϕ1 ϕ
Außenrand Innenrand
Abb. 3.11 Durchmesser der betrachteten Flanschbereiche und Fließkurve
d 0
D 1
D 0
D

266 3 Blechumformung
Nach Einführung der Ziehverhältnisse ergibt sich:
mit
folgt
und somit
D
d
2 2 2
1 D0
D
= − +
2 2 2
0 d0
d0
2
D1
⎛ D0
⎞ ⎛ D ⎞
1 bzw. = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + 1
2
d
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0 ⎝ d0
⎠ ⎝ d0
⎠
0
0
2
2
(3.16)
D D
β 0 = und β =
(3.17)
d d
2
1
2
0
2
0
2
2
0
0
2
0
D = β ⋅d
− β ⋅d
+ d
(3.18)
D
d
2
1
2
0
2 2
= β0
− β +
Schließlich ergibt sich für den Innenrand
und für den Außenrand
D1
2 2
ϕ1
= ln = ln β0
− β + 1
d
0
1
D0
β0
ϕ 2 = ln = ln .
D β
(3.19)
(3.20)
(3.21)
Abb. 3.12 stellt den Verlauf der mittleren Fließspannung kfm über den Flanscheinzugsweg
dar. Die mittlere Fließspannung steigt während des Tiefziehprozesses
an. Dieses ist unter anderem darauf zurückzuführen, dass der Blechwerkstoff
während der Umformung einer Verfestigung unterliegt. Abb. 3.13 zeigt den qualitativen
Verlauf der Fließspannung eines Volumenelements über den Flanscheinzugsweg.

Niederhalter FNH
Ziehring
Stempel
F NH
F NH
r M
Blech
D 0
D 0
D
D 0
D
r St
D
d 0
d 0
d 0
F St
F St
F St
k f
kf1 kfm kf2 k f
kf1 kfm kf2 kf kf1 kfm kf2 3.2 Tiefziehen im Anschlag 267
ϕ2 ϕ ϕ1 Außenrand Innenrand
ϕ2 ϕ ϕ1 Außenrand Innenrand
ϕ2ϕ ϕ1 Außenrand Innenrand
Fließkurve
ϕ
Fließkurve
ϕ
Fließkurve
Abb. 3.12 Betrachtung der mittleren Fließspannung über den Flanscheinzugsweg
Volumenelement
Niederhalter
Ziehring
Stempel
F NH
r M
A B C
D
D 0
r St
d 0
F St
Blech
Fließspannung k f
A
B
Außenrand Innenrand
ϕ
Flanscheinzugsweg
C
Volumenelement
Abb. 3.13 Qualitativer Verlauf der Fließspannung eines Volumenelements (Abb. 3.12)
über den Flanscheinzugweg

268 3 Blechumformung
3.2.3 Kräfte beim Tiefziehen
3.2.3.1 Gesamtkraftverlauf
Nach Siebel /Sie32/ und Panknin /Pan61/ ergibt sich die Gesamtkraft FGes beim
Tiefziehen wie folgt:
F = F + F + F + F
(3.22)
ges
F id: Ideelle Umformkraft
F rb: Rückbiegekraft
F RZ: Reibkraft an der Ziehringrundung
F RN: Reibkraft zwischen Ziehring und Niederhalter
3.2.3.2 Ideelle Umformkraft Fid
Es ergibt sich die ideelle Radialspannung zu:
id
rb
RZ
RN
D0
σ r, id = 1,
1⋅
kfm ⋅ln
.
(3.23)
d
Mit dem Faktor 1,1 wird nach Panknin der Unterschied zwischen den Fließhypothesen
von v. Mises und Tresca erfasst. Die ideelle Umformkraft Fid wird
zudem für rotationssymmetrische Ziehteile mit
wie folgt berechnet /Sie40, Sie56, Pan61/:
id
k
fm
0
kf1
+ kf
2 = (3.24)
2
D
F = ⋅ A = π ⋅d
⋅ s ⋅1,
1⋅
k ⋅ln
σ m 0 fm
(3.25)
d0
s 0
d 0
d m = d 0 + s 0
Abb. 3.14 Mittlerer Zargendurchmesser d m

3.2 Tiefziehen im Anschlag 269
Hierbei ist dm der mittlere Zargendurchmesser des Ziehteils (Abb. 3.14). Die
mittlere Formänderungsfestigkeit kfm ergibt sich nach Abb. 3.12, rechts.
3.2.3.3 Rückbiegekraft Frb
Der Blechwerkstoff würde, wie in Abb. 3.15 gezeigt, die Krümmung durch den
Ziehring fortsetzen wollen. Um diesem Effekt entgegen zu wirken, muss während
des Tiefziehprozesses die Rückbiegekraft Frb aufgebracht werden. Mit dem Ziehkantenradius
rM gilt für die Rückbiegekraft Frb:
F
rb
3.2.3.4 Reibkraft FRN
k
2 f 1
σ rb ⋅ A = ⋅ dm
⋅ s0
⋅
(3.26)
4⋅ rM
= π
Die Reibkraft FRN zwischen Niederhalter und Ziehring kann unter Berücksichtigung
des Reibkoeffizienten µN zwischen Niederhalter bzw. Ziehring und Ziehteilflansch
gemäß folgender Gleichung berechnet werden:
F
d0
= ⋅ μ N ⋅ FNH
(3.27)
D
RN 2 ⋅
Die Niederhalterkraft FNH berechnet sich wie folgt:
2 2 π 2 2
( D0
− d0
) ⋅ pN
= ⋅ d0
⋅ ( 0 −1)
pN
π
FNH = ⋅
β ⋅
4
4
Ziehring
Blechstreifen würde
Rundung fortsetzen
Blech
Abb. 3.15 Ursache für das Auftreten der Rückbiegekraft F rb
r M
F rb
(3.28)

270 3 Blechumformung
Zur Berechnung der spezifischen Niederhalterpressung pN wurden von Siebel
/Sie54/ und Geleji /Gel60/ folgende Beziehungen ermittelt:
⎛ 2 3 ⎛ d0
⎞⎞
pN = 0, 002L
0,
0025⋅
⎜ β0
−1
+ 0,
5⋅
⎟⋅
R
⎜
⎜
100 s ⎟
⎟
(3.29)
⎝
⎝ ⋅ 0 ⎠⎠
Siebel: ( ) m
Geleji:
( d + 2u)
0,
016⋅
p ⋅
mit der Annahme, dass R p0,2 = 0,8�R m
u: Ziehspalt
R m: Zugfestigkeit
0
N = Rm
(3.30)
D0
+ d0
+ 2u
Sommer /Som86/ berücksichtigt neben der jeweiligen Flanschfläche auch die
Formänderungsfestigkeit des Werkstoffs.
p = k ⋅m
⋅ R
(3.31)
N
k: Faktor zur Berücksichtigung von Blechdickenunterschieden
m: Faktor zur Berücksichtigung von Maßabweichungen des Werkzeugs
Diese Faktoren werden experimentell ermittelt. Stock /Sto96/ berücksichtigt auch
die zum Anbiegen des Flansches erforderliche Niederhalterpressung pN,AB:
p
N, AB
π
=
m
( d0
+ 2⋅
( rM
+ u)
⋅ s0
)
r ⋅(
D − d − 2⋅
u)
3.2.3.5 Reibkraft an der Ziehringrundung FRZ
Schließlich gilt für die Reibkraft FRZ an der Ziehringrundung:
M
μZ
⋅α
FRZ = ( e −1)
⋅(
Fid
+ FRN
)
0
0
(3.32)
(3.33)
wobei µz der Reibkoeffizient zwischen Ziehteil und Ziehkantenradius und α der
Umlenkwinkel an der Ziehkante ist.
Abb. 3.16, links zeigt den überproportional steigenden Verlauf der Niederhalterkraft
FNH in Bezug auf die Ziehkraft F + ges. Der in Abb. 3.16, rechts dargestellte
abfallende Verlauf des Grenzziehverhältnisses (vgl. Kap. 3.4.1 und Kap.
3.4.2) über den auf die Blechdicke bezogenen Stempeldurchmesser ist auf die mit
dem Durchmesser quadratisch zunehmende Flanschfläche zurückzuführen. Die
Reibung hat somit bei größeren Ziehteilen einen höheren Einfluss auf das Grenzziehverhältnis.

Niederhalterkraft F NH
Ziehkraft F + ges
5000
KN
4000
3000
2000
1000
Stempeldurchmesser d 0
F NH
F + ges
0
0 200 400 600 800 1000
1200
mm
Grenzziehverhältnis β 0,max
3.2 Tiefziehen im Anschlag 271
2,2
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0 200 400 600 800 1000 1200
Abb. 3.16 Niederhalterkraft und Ziehkraft über dem Stempeldurchmesser sowie der
Verlauf des Grenzziehverhältnisses
Die hier dargestellten Zusammenhänge sollen ein grundsätzliches Verständnis der
Spannungen und Formänderungen im Flanschbereich beim Tiefziehen vermitteln.
3.2.3.6 Ziehkraftberechnung nach dem „Prinzip der virtuellen
Arbeit“
Die benötigte Stempelkraft während des Tiefziehprozesses setzt sich zusammen
aus der ideellen Umformkraft, der Rückbiegekraft an der Ziehringrundung sowie
der Reibkraft an der Ziehringrundung und im Flansch.
Dabei resultiert die ideelle Umformkraft nicht nur aus den entstehenden Spannungen
am Flansch, sondern auch aus denen an der Ziehringrundung, da gerade
hier der Werkstoff während des Umformprozesses eine sehr hohe Verfestigung
aufweist.
Mithilfe von analytischen Modellen ist es möglich, die Ziehkraft für Tiefziehprozesse
rotationssymmetrischer Geometrien zu berechnen. Basierend auf dem
„Prinzip der virtuellen Arbeit“ kann die ideelle Umformkraft berechnet werden
/Doe04a, Spr06/. Das „Prinzip der virtuellen Arbeit“ besagt, dass die äußere
Arbeit der inneren Arbeit entspricht, d.h.
int
ext
d 0/s 0
δ W = δW
(3.34)
mit der externen Arbeit δ Wext
, die aus äußeren Kräften resultiert und der internen
Arbeit δ Wint
, die aus den inneren Spannungen entsteht.
Zur Berechnung der ideellen Umformkraft Fideell werden Reibkraft und Niederhalterkraft
nicht betrachtet, d.h., es wirken keine weiteren äußeren Kräfte. Durch
Freischneiden des rotationssymmetrischen Napfes können die für die Umformung
im Flansch und die für die Umformung in der Ziehringrundung aufzuwendende

272 3 Blechumformung
Ziehkraft unabhängig ermittelt werden. Dementsprechend wird das Prinzip der
virtuellen Arbeit in der Form
F
ideell
⋅ δh = ∫σ
ij ⋅δ
ε ij
dV = ∫ Σ ⋅δ
u dA
V1
42 4 43 4 A1
4243
δ
Wext
δ
Wint
(3.35)
für Flansch und Ziehringrundung separat angewandt. Dabei ist δ h der virtuelle
Stempelvorschub, Σ die äußere Spannung des freigeschnittenen betrachteten
Volumens, δ u die virtuelle Verschiebung an der freigeschnittenen Stelle, σij die
innere Spannung und δ εij
die virtuelle Dehnung im betrachteten Volumen.
Unter der Annahme, dass während der Umformung keine Blechdickenänderung
vorliegt, folgt für das Prinzip der virtuellen Arbeit (Abb. 3.17):
ideell
∫
V
( σ ⋅δε
−σ
⋅ )
F ⋅δ
h =
δε dV
t
t
r
r
(3.36)
In der Ziehkraftberechnung nach Siebel für rotationssymmetrische Prozesse wird
vorausgesetzt, dass die Blechdicke konstant bleibt und im Flansch die mittlere
konstante Fließspannung kfm vorliegt. Wird das Prinzip der virtuellen Arbeit mit
diesen Voraussetzungen angewandt und der Ziehspalt und die Ziehringrundung
vernachlässigt, ergibt sich für die ideelle Ziehkraft
( ) ⎟ δr
⎛ D ⎞
Fideell, Flansch ⋅δ h = = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
⎜
∫ dV π s d0
s kfm
ln (3.37)
r
⎝ d0
⎠
V, Flansch
mit der Blechdicke s, dem Stempeldurchmesser d0 und dem momentanen Außendurchmesser
D.
Die Verfestigung des Werkstoffes kann zum Beispiel nach LUDWIK in der
Form () () n
k r A + B ⋅ϕ
r
f
= beschrieben werden. Sogar die Berücksichtigung der
mittleren senkrechten Anisotropie r kann mithilfe des Werkstoffmodells nach
Hill berücksichtigt werden. Da in der Blechumformung im Allgemeinen die
Spannung in Blechdickenrichtung vernachlässigt wird, hat für den vorliegenden
Fall die Fließbedingung die Form:
1 r +
2
f () r = ⋅ σ r −σ
t
k (3.38)
r + 1

Prinzip des Freischneidens:
Arbeit durch "virtuellen Stempelvorschub" Fδh
= Arbeit durch "virtuelle Verschiebung" im Flansch ∫ Σδr i dA
Prinzip der "virtuellen Arbeit":
Arbeit durch "virtuelle Verschiebung" am Flanschinnenrand
=Arbeit durch "virtuelle Verschiebungen" im Flanschvolumen
Fδh
r, r , r
i a
r i
δr, δr i , δh
δV
F
Σ
r
r a
Σδr i
r
δr i
3.2 Tiefziehen im Anschlag 273
∫Σδr idA=∫σ ijδε ijdV
δr
Radius, Innenradius,
momentaner Außenradius des Flansches
virtuelle Verschiebungen
virtuelle Flanschvolumenänderung
ideelle Stempelkraft
äußere Spannung am Flanschinnenrand
mittlere, senkrechte Anisotropie
δε t= δr
r
ra
r + 1 δV
F = − ⋅ ⋅
r + 1 δ h
2 r
∫kf () r ⋅
i
1
dr
r
Abb. 3.17 Prinzip der analytischen Ziehkraftberechnung im Flansch nach dem „Prinzip
der virtuellen Arbeit“
Für den Dehnungsanteil δε () r gilt
t
δ r
δε () r =
r
t (3.39)
und aufgrund der Volumenkonstanz folgt mit konstanter Blechdicke
So berechnet sich die ideelle Umformkraft zu
F
ideell
δ ε + δ ε = 0
(3.40)
r
t
r + 1 δ r
⋅δ
h = − ⋅∫
kf
() r ⋅ dV
1
(3.41)
r +
r
2
V

274 3 Blechumformung
Im Flansch gilt demnach
ra
r + 1
Fideell, Flansch ⋅δ
h = −2
⋅π
⋅ s ⋅ ⋅∫
δr
⋅ kf
() r dr
1
(3.42)
r +
mit der „virtuellen Volumenänderung“ im Flansch δ V , dem „virtuellen Stempelvorschub“
δ h , dem Innenradius r i und dem Außenradius r a des Flansches. Für
die Ziehringrundung folgt (Abb. 3.18)
2
ri
( β )
( β )
⎛ s ⎞ r + 1 δVFlansch
cos
Fideell, Ziehring = −⎜rM
+ ⎟ ⋅ ⋅ ⋅∫
⋅ kf
( β ) dβ
1
(3.43)
⎝ 2 ⎠ r + δh
r
2
mit dem Radius r M der Matrizenrundung, der konstanten Blechdicke s und dem
Umschlingungswinkel α der Matrizenrundung.
Prinzip der "virtuellen Arbeit":
Arbeit durch "virtuelle Verschiebung" am Auslauf der Ziehringrundung
=Arbeit durch "virtuelle Verschiebungen" im Volumen der Ziehringrundung
Fδh
r
⎛
F = −⎜r
⎝
M
r α
s ⎞
+ ⎟⋅
2 ⎠
δr α
Σδr α
δr
α
r + 1 δV
⋅
1 r + δh
2
Flansch
r M+s/2
⋅
α
∫
0
α
( β )
( β )
cos
r
r, r Radius, Radius am Ziehringauslauf
α
δr, δr , δh virtuelle Verschiebungen
α
rM
Ziehringradiusradius
s Blechdicke
F ideelle Stempelkraft
Σ äußere Spannung am Ziehringauslauf
r mittlere, senkrechte Anisotropie
α Umschlingungswinkel
0
⋅ k
f
( β )
dβ
∫Σδr αdA=∫σ ijδε ijdV
δε t = δr
r
Abb. 3.18 Prinzip der analytischen Ziehkraftberechnung in der Ziehringrundung nach dem
„Prinzip der virtuellen Arbeit“

Seitenansicht
dβ/2
σ r+dσ r
dψ
τ
σ n
dβ
dβ/2
Abb. 3.19 Kräftegleichgewicht an der Ziehringrundung
σ r
3.2 Tiefziehen im Anschlag 275
σ t+dσ t
dψ
dψ/2
σ r+dσ r
Draufsicht
Dabei können die „virtuelle Volumenänderung“ im Flansch δ V und die plastische
Vergleichsdehnung ϕ zur Berechnung der Fließspannung kf in Abhängigkeit
des virtuellen Stempelvorschubs aus rein geometrischen Betrachtungen berechnet
werden. Die resultierende Dehnung in der Zarge kann bei der Berechnung
der Ziehtiefe berücksichtigt werden.
Die an der Ziehringrundung hervorgerufene Reibkraft wird herkömmlicherweise
anhand der Eythelweinschen Seilreibungsformel als Funktion der wirkenden
Normalkraft bestimmt. Gerade an der Ziehringrundung treten hohe lokale
Spannungsspitzen auf, die in einer Betrachtung der wirkenden Kräfte nicht
berücksichtigt werden können. Dementsprechend wurde in dem auf dem „Prinzip
der virtuellen Arbeit“ basierenden teil-analytischen Modell auch die Reibkraft aus
den auftretenden Spannungen berechnet.
Um die Spannungen im Bereich der Ziehringrundung zu ermitteln, werden zunächst
die Kräftegleichgewichte senkrecht zum Blech und in der Ebene aufgestellt
(Abb. 3.18). Im Kräftegleichgewicht senkrecht zum Blech entfällt die tangentiale
Spannung σt, da sie in der Blechebene liegt. So folgt nach der Seitenansicht in
Abb. 3.18:
s ⎛ 1 ⎞ s
σ n = − ⋅ ⎜σ
r + dσ
r ⎟ ≈ − ⋅σ
r
s ⎝ 2 ⎠ s
rM
+
rM
+
2
2
τ
σ r
dψ/2
s t
(3.44)
Im Kräftegleichgewicht in der Blechebene haben sowohl die tangentiale σt und
die radiale Spannung σr Einfluss:
τ =
r
M
s ⎛ dσ
r 1
⋅ ⎜
⎜−
+
s
+ ⎝ dβ
2
2
⎞
⎟
⎠
s ⎛
s ⎜
+ ⎝
2
dσ
⎞
dβ
⎠
( ) ⎟ r
2 ⋅σ
+ dσ
⎟ ≈ ⎜σ
−
t
t
r
M
t
(3.45)

276 3 Blechumformung
Mit dem Reibzahlmodell
τ = μ ⋅σ
(3.46)
und dem Hillschen Fließkriterium folgt für die Radialspannung
dσ
r
dβ
( β )
n
r + 1
= σ r ( β ) ⋅ ( μ −1)
− ⋅ kf
( β )
r + 1
(3.47)
Um diese Differenzialgleichung lösen zu können, wird die Fließspannung für die
Reibkraftberechnung an der Ziehringrundung mit
2
β
k f, linear ( β ) = ⋅ kf,1
+ kf,2
(3.48)
α
als linear verlaufend angenommen, sodass die Energie erhalten bleibt. An der
Ziehringrundung ergibt sich nach dem Prinzip der virtuellen Arbeit die Reibkraft
F
R, Ziehr
⎛
= ⎜ ∫ τ
⎝
=
A
μ
μ
( β )
δ u ⎞
⋅ ⎟
⎟dA
δ h ⎠
r + 1
r
⎛⎛
1
⎝⎝
( ) ( ) ⎟ ⋅ ⋅ ⋅⎜
⎜ ⎜ α + ⎟ ⋅ kf,1
+ α ⋅ kf,2
−1
+ 1 δ h 2 μ −1
2
δ V
1
⎞
⎠
⎞
⎠
(3.49)
Dadurch ist es möglich, lokale Spannungsspitzen im Bereich der Ziehringrundung
abzubilden.
Ein Vergleich des analytisch berechneten mit dem experimentell ermittelten
Ziehkraftverlauf ermöglicht die Anpassung der vorliegenden Reibung im Flansch
und vor allem in der Ziehringrundung.
Darüber hinaus ist die Anpassung der Verfestigung des Werkstoffes möglich.
Da die maximale Dehnung beim Tiefziehen die Gleichmaßdehnung des einachsigen
Zugversuchs übersteigen kann, muss die hier aufgenommene Fließkurve
extrapoliert werden.
Mithilfe des berechneten Ziehkraftverlaufes wird die Anpassung der Extrapolation
der Fließkurve des einachsigen Zugversuchs auf den zweiachsigen Spannungszustand
ermöglicht. Durch die Variation der Fließkurve ändert sich der
Verlauf, durch Variation der Reibung die Lage der Ziehkraftkurve über dem
Ziehweg (Abb. 3.20).

Anpassung der Verfestigung anhand
der analytisch berechneten Ziehkraft
300
200
Ziehkraft F ges [kN]
k f,1
k f,2
Experiment
100
0,
28
kf,1= 555,
47⋅ϕ
0,
35
kf,2 = 630,
0⋅ϕ
AA5182
m = 0,09 Ziehweg h [mm]
0
0 20 40 60 80 100
Geometrie des untersuchten Rundnapfes:
Stempeldurchmesser d 0 = 200 mm
Stempelkantenrundung r St = 10,0 mm
Ziehringrundung r M = 12,0 mm
Ziehspalt u Z = 1,2 mm
300
3.2 Tiefziehen im Anschlag 277
Anpassung des Reibwertes m anhand
der analytisch berechneten Ziehkraft
Ziehkraft F ges [kN]
m 2
200
100
m1 AA5182
Experiment
m1 = 0,09
m2 = 0,14
0,
28
kf = 555,
47⋅ϕ
Ziehweg h [mm]
0
0 20 40 60 80 100
Werkstoff AA5182
Platinendurchmesser D 0 = 420 mm
Blechdicke s 0 = 1,2 mm
mittlere senkrechte Anisotropie r = 1,0925
Ziehtiefe h = 100 mm
Niederhalterkraft F NH = 100 kN
Abb. 3.20 Anpassung der Extrapolation der Fließkurve und des Reibkoeffizienten μ
mithilfe der analytischen Ziehkraftberechnung
300
200
100
0
Ziehkraft F ges [mm]
Experiment
Werkstoff AA5182
s0 = 1,2 mm h = 100 mm
m = 0,09 d0 = 200 mm
b0 = 2,1 FNH = 100 kN
k f = 555,47 ϕ 0,28
Siebel
Bauer
Prinzip der
virtuellen Arbeit
0 20 40 60 80 100
Ziehtiefe h [mm]
Abb. 3.21 Vergleich der gemessenen und der nach Siebel, Bauer sowie basierend auf dem
„Prinzip der virtuellen Arbeit“ berechneten Ziehkraftverläufe
Fazit:
Die in Abb. 3.21 dargestellten Verläufe der gemessenen und der nach Siebel,
Bauer bzw. basierend auf dem „Prinzip der virtuellen Arbeit“ berechneten Ziehkraftverläufe
zeigen, dass es mit dem semi-analytischen Verfahren basierend auf
dem „Prinzip der virtuellen Arbeit“ möglich ist, den Verlauf der Ziehkraft beim

278 3 Blechumformung
Tiefziehen sehr genau anzunähern, wogegen die nach Berechnung nach Siebel bis
zu 20 % abweicht. Mit dem semi-analytischen Verfahren nach kann auch sehr
genau der Einfluss von rSt und rm auf das Ziehergebnis berechnet werden.
3.2.4 Krafteinleitung beim Tiefziehen
3.2.4.1 Berechnung der übertragbaren Stempelkraft bzw. Bodenreißkraft
FBR
Die maximal übertragbare Stempel- bzw. Bodenreißkraft FBR kann überschlägig
mittels der folgenden Gleichung berechnet werden:
F ⋅
BR = π ⋅ dm
⋅ s0
Rm
mit d m d0
+ s0
= (3.50)
Andererseits kann die Reißkraft bei festgehaltenem Flansch gemessen werden.
Zur experimentellen Bestimmung der Bodenreißkraft FBR wird der Flansch mit
einem gerändelten Klemmring festgesetzt.
Es wird ein zurückgesetzter Stempel (Abb. 3.22) verwendet, so dass oberhalb
der Bruchstelle am Auslauf der Stempelkantenrundung keine Reibkräfte übertragen
werden. In der linken Bildhälfte ist der beginnende Tiefziehprozess und auf
der rechten Bildhälfte der weiter fortgeschrittene Tiefziehprozess dargestellt.
In diesem Zusammenhang ist zu beachten, dass die maximal mögliche übertragbare
Stempelkraft im Bereich der Stempelkantenrundung in die Zarge auftritt,
wenn der Reißer am Auslauf der Stempelkante liegt. Reißer können in den vorzeitigen
Reißer, den eigentlichen Reißer und den optimalen Reißer eingeteilt
werden. Damit entspricht das Abreißen des Ziehteilbodens bei α = 90° (optimaler
Reißer) dem Zugversuch mit einem Rohr, wobei als einzige Störgröße eine
gewisse Querkraft am Auslauf der Stempelkante vorhanden ist /Doe63/.
Im gerechneten und gemessenen Fall liegt also im Prinzip ein Zugversuch vor.
Dennoch kann die gemessene Bodenreißkraft FBR (gemessen) bis zum Faktor 1,55
größer sein als die berechnete Bodenreißkraft FBR (berechnet). Dieser Unterschied
wird durch den so genannten Reißfaktor aR erfasst.
a
R
F
=
F
BR
BR
(gemessen)
FBR
(gemessen)
=
(gerechnet)
π ⋅d
⋅ s ⋅ R
Übliche Werte für den Reißfaktor aR:
• DC04 (ST14): aR ≈ 1,05 bis 1,55,
• X5CrNi18.8 (1.4301): aR ≈ 0,95 bis 1,30,
• CuZn37F30 (Ms63): aR ≈ 0,92 bis 1,27,
• Al99F7: aR ≈ 0,99 bis 1,22.
m
0
m
(3.51)

gerändelter Klemmring
w
vorzeitiger Reißer
w < rs + rm + so α
r St
s
3.2 Tiefziehen im Anschlag 279
r m
optimaler Reißer
( α = 90 °)
b = Bruchhöhe (mm)
eigentlicher Bodenreißer
w = rs + rm + so Abb. 3.22 Mögliche Versagensarten durch Reißer im Ziehteilboden
Die Gründe für den teilweise sehr großen aR-Wert sind vielfältig und werden
qualitativ im Folgenden dargestellt.
Stempelkantenradius:
Angenommen sei ein Halbkugelstempel. Wird eine ebene Platine bei konstanter
Blechdicke um die Stempelkantenrundung rSt gelegt und wird ferner angenommen,
die Blechdicke s0 bleibt konstant, dann kann aus der Volumenkonstanz
die Verfestigung durch tangentiale Stauchung ϕt bestimmt werden (Abb. 3.23).
Die tangentiale Stauchung ϕt am Auslauf der Stempelkantenrundung beträgt in
diesem Fall 28 %. Bei kleineren Stempelkantenrundungen ergeben sich entsprechend
kleinere Werte. Durch das Anlegen des Blechs an die Stempelkantenrundung
während des Umformvorgangs ergibt sich je nach Fließkurve eine
erhebliche Festigkeitssteigerung des Materials, wodurch die übertragbare Kraft
erhöht wird.
Neben der Werkzeuggeometrie haben Werkstoffparameter wie z.B. der r- und
n-Wert sowie die Lage des Reißers Einfluss auf die übertragbare Stempelkraft
bzw. Bodenreißkraft.
Zarge
F ges
Abb. 3.23 Anlegen des Blechs an die Stempelkante
r 2
r 1
r St
d 0
Stempel
Boden
r St : Stempelkantenradius
r 1
<
r 2

280 3 Blechumformung
r-Wert:
Beim Blechwerkstoff DC05 (St15) wird beispielsweise r = 1,7 angegeben. Mit
großem r-Wert steigt die übertragbare Stempelkraft, wogegen sich die Flanscheinzugskraft
vermindert. Einzelheiten siehe Kapitel 3.4.6.
n-Wert:
Mit steigendem n-Wert wandert das Kraftmaximum nach hinten (vgl. Kap. 3.4.6),
d.h., die Gefahr des Auftretens eines vorzeitigen Reißers wird stark vermindert.
Das Blech ist in der Lage, selbst bei elliptischen Stempelkantenformen sich bis an
den zylindrischen Teil des Ziehteilbodens anzuschmiegen, ohne vorher zu
versagen.
Lage des Reißers:
Wie in Abb. 3.22 dargestellt, stellen sich verschiedene Versagensorte des Bodenreißers
ein. Der vorzeitige Reißer tritt auf, noch bevor der Ziehteilboden
ausgeformt ist. Daher ist die Kraftübertragung am geringsten. Die maximale
Kraftübertragung ergibt sich beim optimalen Reißer. Dieses setzt im Allgemeinen
einen großen µ-Wert zwischen Blech und Stempelkantenrundung (Grenzfall:
gerändelte Stempelkantenrundung) oder alternativ einen großen n-Wert voraus.
Durch diese vier Einflussgrößen, die hier nur qualitativ angesprochen worden
sind, kann der große Unterschied zwischen der gemessenen und berechneten
Bodenreißkraft erklärt werden. Der ar-Wert ist allerdings nur beim Auftreten des
optimalen Reißers reproduzierbar. Sobald sich der eigentliche Bodenreißer
einstellt, ist die übertragbare Kraft kleiner als beim optimalen Reißer und es treten
teilweise deutliche Schwankungen der Bodenreißkraft auf.
3.2.4.2 Mechanismus der Kraftübertragung durch den Ziehteilboden
Die durch den Boden des Ziehteils aufgenommene Last lässt sich nach Doege in
die folgenden Komponenten zerlegen /Doe63/:
• Formanteil FF,
• Reibungsanteil FFR,
• Werkstoffanteil FW.
Für die Darstellung der einzelnen Komponenten werden folgende Vereinfachungen
gemacht:
• Die Blechdicke sei im Vergleich zum Stempeldurchmesser klein, so dass der
Ziehteilboden als biegeschlaffe Schale betrachtet werden kann.
• Aus dem realen Blechdickenverlauf wird eine mittlere Blechdicke sM gebildet,
die wie die Fließspannung k in radialer Richtung im Boden des Ziehteils als
konstant betrachtet wird: sc = sm = konstant, kf = K = konstant.
• Der Werkstoff ist im Nachgleiten begriffen bzw. es erfolgt bereits ein
Nachgleiten des Werkstoffs.
• Eine Kraftübertragung durch Reibung zwischen Zarge und Stempelschaft wird
vernachlässigt.

Flansch
Zarge
Boden
(herausgetrennt)
F NH
rm
r St
d 0
F ges
Abb. 3.24 Mechanismus der Kraftübertragung
3.2 Tiefziehen im Anschlag 281
F NH
F G = F F + F Fr + F W
Stempel
Niederhalter
Ziehring
F G : Gesamtkraft
F F : Formanteil
F FR : Reibungsanteil
F W : Werkstoffanteil
Formanteil FF
Hierbei sei angenommen, dass der ebene Grund des Ziehteilbodens herausgetrennt
wäre (Abb. 3.24). Auch in diesem Fall ist eine Kraftübertragung möglich. Die
Größe der übertragbaren Kraft hängt von der Form bzw. Krümmung der
Umhüllenden dieses Bodenbereichs ab, welcher ähnlich einem Aufdornungsprozess
aufgeweitet wird. Es ergibt sich die Endformel:
π
2
∫
F = 2 ⋅π
⋅ s ⋅ k ⋅ sin ( arctan( cosα
)) ⋅ dα
(3.52)
F
C
α
Reibungsanteil:
Der Reibungsanteil ist neben der Normalspannung σn vom Reibungskoeffizienten
µ zwischen Blech und Stempelkantenrundung abhängig. Für ein Flächenelement
dF gilt (Abb. 3.25):
sowie
d FR n
d St 1 St
F = μ ⋅σ
⋅ dF
(3.53)
F = r ⋅(
r + r ⋅sin
α) ⋅dβ
⋅dα
(3.54)
Aufgrund der Annahme einer biegeschlaffen Schale gilt zudem für die
Normalspannung σn:
σ ⋅ s σ ⋅ s
r C t C
σ n = +
(3.55)
r
rt

282 3 Blechumformung
wobei
und
Somit ergibt sich für die Normalspannung:
rr = rS (3.56)
r1
+ rS
⋅sinα
r t =
(3.57)
sinα
σ r ⋅ s
σ n =
r
C
S
Der Reibungsanteil ergibt sich somit zu:
bzw.
α
σ t ⋅sinα
⋅ sC
+
r + r ⋅sinα
1
S
(3.58)
σ re + K ⋅ rS
⋅sinα
F FR = μ ⋅ sC
⋅
⋅(
r1
+ r ⋅sinα
) ⋅dα
⋅dβ
(3.59)
r + r ⋅sinα
d S
1 S
⎡ ⎛ r1
⎞ ⎤
F FR = 2 ⋅π
⋅ sC
⋅ μ ⋅ rS
⋅ ⎢σ
re ⋅
⎜ ⋅α
− cosα
⎟ − K ⋅cosα
⎥
(3.60)
⎢⎣
⎝ rS
⎠ ⎥⎦
dβ
Abb. 3.25 Betrachtetes Bodenelement
α
A
s C
π
2
α
dF ' =r S dα s C
dF = r S (r 1 +r S sinα)dβ dα

3.2 Tiefziehen im Anschlag 283
Werkstoffanteil
Der Werkstoffanteil berücksichtigt neben der lokal wirkenden Festigkeit den
Querschnitt des jeweils betrachteten Breitenkreises. Es folgt somit direkt:
⎛ r ⎞
⎜ 1
F = 2⋅π
⋅ sC
⋅ rS
⋅ + sinα
⋅ K
⎟
⎝ rS
⎠
W (3.61)
Bei α = 90 ° und einem Halbkugelstempel rS = d0/2 wird r1 = 0 und sin α = 1und
mit K = Rm bzw. sC = s0 folgt:
F = 2⋅π ⋅ s ⋅ r ⋅(
0 + 1)
⋅ k = π ⋅d
⋅ s ⋅ R
(3.62)
W
0
S
fm
Wenn sC = s0, dann hat in normaler Richtung keine Formänderung stattgefunden.
Damit wird K = Rm und die Endbeziehung lautet unter den gemachten Annahmen:
F = 2⋅π ⋅ s ⋅ r ⋅(
0 + 1)
⋅ R = π ⋅ d ⋅ s ⋅ R
(3.63)
W
0
S
Diese Gleichung ist identisch mit Gleichung (3.50). Damit ist
Kraft [kN]
W
Br
m
m
0
m
m
m
0
0
F = F = π ⋅d
⋅ s ⋅ R
(3.64)
FG,μ=0,05 FE 120
FW + FF FW 100
Stempeldurchmesser d0 = 100 mm
Blechdicke s0 = S = 1,0 mm
80 Formänderungsfestigkeit kf = K = const. = 400 kN/mm²
Stempelkantenradius rs = 10 mm
60
40
20
F E : vom Stempel in den Boden eingeleitete Kraft
F F: vom Formanteil aufgenommene Kraft
F Fr: vom Reibungsanteil aufgenommene Kraft
F G: die als Funktion der Lage des Bruchs gesamt
übertragbare Kraft
F W: vom Werkstoffanteil aufgenommene Kraft
F F
F Fr,μ=0,15
F Fr,μ=0,1
0
FFr,μ=0,5 15 30 45
Winkel α [°]
60 75 90
Abb. 3.26 Kraftanteile der Werkstoff-, Form- und Reibungskomponente über der Abwicklung
der Stempelkantenrundung, rS = 10 mm
m
m

284 3 Blechumformung
Kraft [kN]
120
100
80
60
40
20
F E
F G,μ=0,05
F Fr,μ=0,15
F Fr,μ=0,1
F Fr,μ=0,5
F W + F F
F F
F W
Stempelkanteradius
r St = 50 mm
0 15 30 45 60 75 90
Winkel α [°]
Abb. 3.27 Kraftanteile der Werkstoff-, Form- und Reibungskomponente über der Abwicklung
der Stempelkantenrundung, rSt = 50 mm
Für die Stempelkantenrundung rS = 10 mm (Abb. 3.26) und die Stempelkantenrundung
rS = 50 mm (Abb. 3.27) sind die Verläufe der oben erläuterten Kraftkomponenten
sowie der in den Stempelboden eingeleiteten Kraft Fges dargestellt.
Fazit:
In der Praxis sind vergleichsweise kleine Stempelkantenrundungen (z.B. rS =
5 mm bis rS = 30 mm) üblich, allerdings jeweils relativ zur Werkzeuggröße gesehen.
Der Verlauf der Kraftanteile über der Stempelkantenrundung ist in
Abb. 3.27 gezeigt. Den größten Anteil übernehmen die Form- und die Werkstoffkomponenten.
Bei α = 90° (Auslauf der Stempelkantenrundung) entspricht ihre Summe der in
den Boden eingeleiteten Kraft Fges. Es ist plausibel, dass an dieser Stelle die
Reibung keinen Einfluss mehr hat. Bei einem µ-Wert von µ = 0,05 erreicht die
Gesamtkraft Fges ihrem Maximalwert bei etwa α = 50° (Abb. 3.27).
Demnach müsste immer der optimale Reißer auftreten. Die Praxis zeigt aber,
dass insbesondere bei kleinen Stempelkantenradien ganz dominierend der eigentliche
Bodenreißer auftritt, d.h., der Reißer liegt bei α = 30° bis α = 50°. Als eine
Ursache kann die Verfestigung aufgrund der tangentialen Stauchung im Bodenbereich
gesehen werden. Diese erreicht im Bereich der Stempelkante ihren
maximalen Wert am Auslauf der Stempelkante.

3.2 Tiefziehen im Anschlag 285
Weitere Erklärungen könnten abgeleitet werden aus:
• einer Analyse des n- und r-Wertes in Bezug auf die gegebenen Formänderungen,
• der Größe des Querdruckverlaufs über der Stempelkantenrundung und
• der Rissinitialisierung durch den jeweils kleinsten Radius an der Ziehring- bzw.
Stempelkante (Abb. 3.7).
3.2.5 Verlauf der örtlichen Formänderungen
In Abb. 3.28 ist der Verlauf der örtlichen Formänderungen a) und der sich hieraus
ergebenden Blechdickenverläufe b) eines rotationssymmetrischen Ziehteils dargestellt.
Im Bereich des Ziehteilbodens treten geringe radiale Dehnungen auf, welche zu
einer Blechdickenverringerung führen. Die tangentialen Formänderungen im
Bodenbereich entsprechen betragsmäßig ungefähr der radialen Dehnung. Im
Bereich der Stempelkante ist eine sich aus den betragsmäßig steigenden radialen
und tangentialen Formänderungen ergebende negative Formänderung zu verzeichnen,
die mit einer weiteren Reduzierung der Blechdicke einhergeht. Im
Bereich der Mantelfläche des Ziehteils hat der asymptotische Verlauf der radialen
Formänderung in Verbindung mit der betragsmäßig stetig wachsenden negativen
tangentialen Formänderung zur Folge, dass die Formänderung in der Blechdicke
einen positiven Verlauf aufweist, aus dem schließlich eine Blechdickenzunahme
resultiert.
Sobald die tangentialen Formänderungen die radialen Formänderungen übersteigen,
treten positive normale Formänderungen in der Blechdicke auf, welche
sich in einer Zunahme der Blechdicke über die Ausgangsblechdicke hinaus
zeigen.
Dehnung
Stauchung
a) Verlauf der Formänderungen b) Blechdickenverlauf
ϕ 0,4
0,3
0,2
0,1
A
0
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
ϕ n
ϕ t
D
A B C
m = 0,6
B
ϕ r ϕt
ϕ r
ϕ n
ϕ t
ϕ r
C ϕn D
0,92
0,87
1,31 s 0
Abb. 3.28 Verlauf der örtlichen Formänderungen über der Abwicklung eines Ziehteils
(links) und Blechdickenänderungen am fertigen Ziehteil (rechts)
0,80
0,85
β 0 =1,7

286 3 Blechumformung
3.2.6 Berücksichtigung des Anstiegs der Kaltverfestigung
im Ziehteilflansch
In den Berechnungsansätzen nach Siebel /Sie54/ wurde die auftretende Kaltverfestigung
des Werkstoffs im Ziehteilflansch durch den kfm-Wert berücksichtigt.
Während des Umformprozesses ist jedoch ein Anstieg der Kaltverfestigung zu
beobachten (Abb. 3.29). Ein Maß für die zunehmende Verfestigung ist die Fließspannung
oder die Formänderungsfestigkeit /Bau91/. Der Zusammenhang zwischen
Fließspannung kf und Umformgrad ϕ wird in der Fließkurve dargestellt.
Unter der Voraussetzung eines ebenen Formänderungszustands kann die Formänderung
nach Levi, Huber und v. Mises wie folgt berechnet werden /Len82/:
2
⎛ 2 2 2 ⎞
0 a
ln
⎜ R − R + r
ϕ =
⎟
,
3 ⎜ r ⎟
(3.65)
⎝
⎠
wobei R0 der Rondenausgangsradius, Ra der momentane Flanschradius und r die
Radiuskoordinate des betrachteten Flanschpunktes ist (Abb. 3.29, rechts).
Fließspannung k f
800
N
mm 2
700
600
500
400
300
200
100
0
k fm
R p0.2
R a = 60 mm
R a = 70 mm
Werkstoff: St1405m
C = 555 N/mm 2
n = 0.187
R p0,2= 210 N/mm 2
k fm = 354 N/mm 2
R a = 80 mm
R a = 90 mm
60 70 80 90 100
Radius r [mm]
Abb. 3.29 Anstieg der Fließspannung im Ziehteilflansch in Abhängigkeit vom Radius
/Bau91/
r 0
r
r a
R 0
s 0

Eingesetzt in die Nadaische Potenzfunktion k = a ⋅ϕ
⎡ ⎛
⎢ 2 ⎜
kf
= a
⎢
ln⎜
3
⎢ ⎜
⎣ ⎝
R
2
0
− R
r
2
a
3.2 Tiefziehen im Anschlag 287
n
f folgt:
+ r
Es folgt für die Radialspannung mit Levi, Huber und v. Mises das Integral:
2
⎞⎤
⎟⎥
⎟⎥
⎟
⎠⎥
⎦
(3.66)
2 1
σ r = − k dr
(3.67)
3 r
∫ ∫
Gl. (3.66) eingesetzt in Gl. (3.67):
Fließspannung k f
d f
⎡ ⎛ 2 2 2
R R r
⎞⎤
2 1 2
d
a ⎢ ⎜ 0 − a + ⎟
σ r = − ⋅ ln
⎥ dr
3 r ⎢ 3 ⎜ r ⎟
(3.68)
⎥
⎢⎣
⎝
⎠⎥⎦
∫ ∫
k f *
k fa
0
Annäherungsgerade
tatsächlicher Anstieg
der Fließspannung
R a=konst.
0 R * R a
Radius r
Abb. 3.30 Annäherung des Kaltverfestigungsanstiegs im Ziehteilflansch /Bau91/
n
R 0

288 3 Blechumformung
3.2.7 Einfluss Fließkurvenlage auf das Grenzziehverhältnis
Unter der Voraussetzung eines isotropen Werkstoffs und eines optimalen Reißers
gilt der im Folgenden beschriebene Ansatz:
k f: Formänderungsfestigkeit
φ: Formänderung
n: Verfestigungsexponent
Mit c = kf bei φ = 1 folgt:
n
f = c ⋅
(3.69)
k ϕ
n
⎛ e ⎞
= Rm
⋅ bzw.
c ⎜ ⎟
⎝ n ⎠
Weiterhin gilt für die Radialspannung
D
2
d0
r=
2
n
⎛ e ⎞ n
f = Rm
⋅⎜
⎟ ⋅
(3.70)
k ϕ
⎝ n ⎠
dr
σ r = ∫ kf
⋅ + k
(3.71)
r
wobei k = C·Rm der Reibungsanteil im Kraftmaximum sei.
a R: Reißfaktor = 1,0 bis 1,4
n
D
2
⎛ e ⎞ dr
σ r = Rm
⋅⎜
⎟ ⋅ ∫ kf
⋅ + C ⋅ Rm
(3.72)
⎝ n ⎠ r
d0
r=
2
FBR
gemessene effektive Reißkraft
a R = =
(3.73)
F berechnete fiktive Reißkraft
'
R
R
R
m
'
F = a ⋅ R ⋅ A
(3.74)
'
R
m
'
F = R ⋅ A
(3.75)

Es folgt mit
'
0
0
0
3.2 Tiefziehen im Anschlag 289
A = π ⋅(
d + s ) ⋅ s
(3.76)
σ = a ⋅ R
(3.77)
r
n
R
D
2
d0
r=
2
m
⎛ e ⎞ dr
a R ⋅ Rm
= Rm
⋅⎜
⎟ ⋅ ∫ kf
⋅ + C ⋅ Rm
(3.78)
⎝ n ⎠ r
Bei β0 = β0,max (vgl. Kap. 3.4.1 und Kap. 3.4.2) gilt mit σR = Reißspannung
weiterhin σr = σR.
a
R
⎛ e ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ n ⎠
n
⋅
D
2
∫
d0
r=
2
dr
kf
⋅ + C =
r
∫
dr
R
= ln = ln β
r r
(3.79)
Fazit:
Rm hat keinen Einfluss auf das Grenzziehverhältnis. Dahingegen haben der r-Wert
und der n-Wert (vgl. Kap. 3.2.4.1) sowie der Reibwert (vgl. Kap. 2.6) einen
entscheidenden Einfluss auf das Grenzziehverhältnis.
Falten 1. Art Falten 2. Art
Reißer
Rückfederung
Abb. 3.31 Die wichtigsten Versagensfälle beim Tiefziehen /Sim89/

290 3 Blechumformung
3.2.8 Versagensarten
In Abb. 3.31 sind die wichtigsten Versagensfälle beim Tiefziehen anhand verschiedener
Ziehteile dargestellt. Bei der Versagensart Falten unterscheidet man
zwischen Falten 1. und 2. Art. Falten 1. Art bilden sich im Flanschbereich unter
tangentialen Druckspannungen aus.
Im Bild links oben ist zu erkennen, dass die Falten 1. Art über die Ziehringrundung
in die Ziehteilzarge gezogen werden. Bei hinreichend großer Radialspannung
und kleiner Ziehkantenrundung rm kommt es zu einer Einglättung der
Falten 1. Art.
Im Unterschied dazu bilden sich Falten 2. Art in den Bereichen der freien
Umformzonen, wie sie z.B. zwischen Ziehring und Stempel vorhanden sind (Bild
rechts oben). Unter freien Umformzonen versteht man Bereiche des Ziehteils, die
im Verlauf des Ziehprozesses, unter Umständen auch nur zeitweise keinen
Kontakt mit den Werkzeugaktivflächen haben. Große Stempel- und Ziehkantenrundungen
begünstigen diese Fehlerart genau so wie ein großer Ziehspalt, ein
kleiner n-Wert, ein kleines Ziehverhältnis β0 sowie ein konischer Stempelboden.
Im Bild links unten ist ein auftretender Reißer dargestellt. Dieser befindet sich
in der Regel im Bereich des Stempelkantenauslaufs. Dieser ist während der
Umformung am stärksten belastet. Aufgrund der mit der plastischen Verformung
einhergehenden elastischen Dehnungsanteile treten zudem Rückfederungseffekte
auf, wie im Bild rechts unten dargestellt ist.
3.2.9 Einflussgrößen auf das Tiefziehergebnis
Für eine systematische Erfassung des Tiefziehvorgangs ist eine detaillierte Kenntnis
der Einflussgrößen auf das Tiefziehergebnis erforderlich. Diese Größen lassen
sich nach Abb. 3.33 in Einflussgrößen 1. und 2. Ordnung gliedern /Doe84/.
σ t
D 0
s
d 1
Abb. 3.32 Faltenbildung
σ t
Freie Umformzone
Faltenbildung 1. Art Faltenbildung 2. Art

Tiefziehergebnis
1. Ordnung
Geometrie
Werkzeug
Werkstoffverhalten
ReibungsverhältnisseGrenzschichtprobleme
Zusammenwirken
Werkzeug/Presse
2. Ordnung
Ziehanlage
Zwischenformen
Zuordnung
Presse
Tiefziehfähigkeit
Streckziehfähigk.
Grenzformänderung
Schmiermittel
Oberfläche
Blech/Werkzeug
Umformgeschwindigkeit
(Presse)
Gesamtsteifigkeit
vertikal
Gesamtsteifigkeit
horizontal
Verbesserte
Werkzeugführung
Abb. 3.33 Einflussgrößen auf das Tiefziehergebnis
3.2.10 Ermittlung des Arbeitsbereichs (Gutteilfenster)
3.2 Tiefziehen im Anschlag 291
Grenzziehverhältnis R-Faktor
(Näpfchen-Versuch) (Zugversuch)
Erichsen-Tiefung n-Faktor
(Hydraul. Tiefung) (Zugversuch)
Formänderungsvermögen bei einu.
zweiachsiger Beanspruchung
Zug - Zug Zug - Druck
(Streckziehen) (Tiefziehen)
Auswahl geeigneter Testverfahren,
mit denen die Schmiermittel und
Werkstoffe hinsichtlich der an sie
gestellten Forderungen beurteilt
werden können
Ein Gutteilfenster beschreibt den Arbeitsbereich zur Durchführung eines fehlerfreien
Umformprozesses (Abb. 3.34). Eine optimale konstante Niederhalterkraft
FNH,opt wird so ausgewählt, dass das Grenzziehverhältnis β0,max bzw. das fiktive
Grenzziehverhältnis βf0,max erreicht wird.
Für die experimentelle Ermittlung des Gutteilfensters sind mindestens zwei
unterschiedliche Ziehverhältnisse β1 und β2 erforderlich. Die Grenzwerte der
Niederhalterkraft für Reißer und Falten werden iterativ durch Ziehversuche
ermittelt. Werden nun die Grenzwerte für die Versagensarten verbunden, so kann
das Gutteilfenster für die Niederhalterkraft FNH in Abhängigkeit des Ziehverhältnisses
β0 bzw. des fiktiven Ziehverhältnisses βf0 (s. Kap. 3.4.1 und Kap. 3.4.2)
bestimmt werden.
Das Gutteilfenster kann rechnerisch abgeschätzt werden. Über die erforderliche
Niederhalterkraft wurden zahlreiche Ansätze sowohl für rotationssymmetrische
Ziehteile /Sie54, Sen56, Gel61, Mei82, Zue85/ als auch für rechteckige Ziehteile
/Dut61, Som86, Sto96/ erstellt. Im Folgenden wird ein Berechnungsbeispiel mit
Ansätzen nach Siebel und Doege zur Ermittlung des Gutteilfensters bei einem
rotationssymmetrischen Ziehteil dargestellt.

292 3 Blechumformung
Niederhalterkraft F NH
Arbeitsbereich
(Gutteile)
optimale konstante Niederhalterkraft F NH,opt
f1
β f2
maximale Niederhalterkraft F NH,max
Fiktives Ziehverhältnis β
Reißer
Falten
1. Art
β β
f0,max
Abb. 3.34 Prinzipielle Darstellung des Arbeitsbereiches (Gutteilfenster)
Theoretische Überlegungen über den Zusammenhang von Faltenbildung und Niederhalterdruck
wurden erstmals von Siebel /Sie54/ angestellt, um daraus den
erforderlichen Niederhalterdruck pNH,Siebel zu ermitteln. Der erforderliche Niederhalterdruck
pNH,Siebel entspricht der Faltengrenze bei einem Ziehverhältnis von β0.
⎡ 2 d0
⎤
pNH, Siebel = 0, 002..
0,
003⋅
⎢(
β 0 −1)
+ 0,
5 ⎥ ⋅ Rm
(3.80)
⎣
100 ⋅ s0
⎦
β 0: Ziehverhältnis
d0: Stempeldurchmesser
s0: Ausgangsblechdicke
Rm: Zugfestigkeit
Mit dem erforderlichen Niederhalterdruck pNH,Siebel und der im Flanschbereich liegenden
Fläche AFlansch des Zuschnitts kann die Niederhalterkraft FNH für die
Faltengrenze berechnet werden.
F = p ⋅ A
(3.81)
NH, Falten
NH, Siebel
Flansch
Die Niederhalterkraft FNH, Reißer, bei der ein Reißer auftritt, kann aus der Bruchkraft
FBR Gl. (3.83) nach Doege /Doe63/ und der Gesamtkraft Fges Gl. (3.84) nach
Siebel /Sie56/ für ein Ziehverhältnis β0 abgeschätzt werden. Ein Reißer entsteht,
wenn die Gesamtkraft Fges etwa gleich bzw. größer als die Bruchkraft FBR ist
/Doe71/ Gl. (3.82).
mit
F F ≤ (3.82)
BR
ges

BR
R
m
0
m
3.2 Tiefziehen im Anschlag 293
F = a ⋅π
⋅ d ⋅ s ⋅ R
(3.83)
F = F + F + F + F
(3.84)
ges
F id: Ideelle Umformkraft
Frb: Rückbiegekraft
FRZ: Reibkraft an der Ziehringrundung
FRN: Reibkraft zwischen Ziehring und Niederhalter
id
rb
RN
F ⋅
RZ
D
id = π ⋅ dm
⋅ s0
⋅1,
1⋅
kfm
ln
(3.85)
d0
F
F
k
2 f1
rb = π ⋅d
m ⋅ s0
⋅
(3.86)
4⋅ rM
d0
= ⋅ μ NH ⋅ FNH
(3.87)
D
RN 2 ⋅
μ ⋅α
Z FRZ = ( e −1)
⋅(
Fid
+ FRN)
(3.88)
Löst man die Gl. (3.87) nach der Niederhalterkraft FNH auf, ergibt sich daraus die
Niederhalterkraft FNH,Reißer für Reißer bei einem Ziehverhältnis von β0.
D ⋅
μz⋅α
FNH, Reißer =
⋅(
FBR
− e ⋅ Fid
− F
μz⋅α
2⋅
μ ⋅d
⋅e
NH
0
d Sti
F NH F St F NH
d i
d NHJi
d NHi
d i-1
d Mi
Abb. 3.35 Tiefziehen im Weiterschlag /Moe69/
rb
)
Stempel
Niederhalter
Stützring
Ziehring
(3.89)

http://www.springer.com/978-3-540-23441-8