Computersimulation - Institut fÃ¼r Physikalische Chemie

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

TU Clausthal Institut für Physikalische Chemie Praktikum Teil A und B 17. COMPUTERSIMULATION Stand 28/05/2013 Polymerknäulgröße, oder einer Magnetisierung). Dies ist der Fall, wenn man bei der Wiederholung eines Computerexperimentes, bei dem Zufallszahlen genutzt werden, zwar unterschiedliche Einzelwerte erhält, aber diese zu identischen Mittelwerten führen. (Beispielsweise würde beim würfeln mit einem 6-seitigen Würfel nach nur 10 Würfen der Mittelwert stark variieren, bei einer genügend großen Anzahl Würfen wird der Mittelwert immer 3.5 ergeben.) Diese Zahlenwerte sind nicht durch systematische Fehler verfälscht, wie es beim realen Experiment der Fall wäre. Die Fehlerquellen für Simulationen sind unter anderem abhängig vom genutzten Algorithmus und den Zufallszahlengeneratoren, daher sind sie im Allgemeinen gut bekannt und kontrollierbar. Der statistische Fehler tritt sowohl bei der praktischen Durchführung als auch bei der Simulation auf. Durch eine Erhöhung der Anzahl der Messwerte kann der statistische Fehler verringert werden. Für das betrachtete Computer- Experiment heißt das, dass mit Erhöhung der Rechenzeit der statistische Fehler beliebig klein gerechnet werden kann. Die in diesem Versuch durchgeführte Computersimulation, die einer klassischen Anwendung eines Computerexperiments entspricht, ist die Simulation eines Irrfluges (engl. "random walk" RW). Der Irrflug entspricht im vorliegenden Fall dem Diffusionspfad eines Teilchens. Dabei wird betrachtet, wie sich das Teilchen entlang eines Gitternetzes bewegt. Jeder betrachtete Schritt kann in eine zufällige Richtung auf dem Gitter erfolgen. Dabei werden vorgegebene Schrittzahlen und Schrittlängen betrachtet. Die Schrittlänge orientiert sich immer an der Gittergröße. Nach einer vorgegeben Anzahl an Schritten ist der Endpunkt des Irrflugs erreicht. Der Abstand zwischen Start- und Endpunkt wird als Verschiebung bezeichnet. Betrachtet man eine beliebige Anzahl von Irrflügen, fasst man deren einzelne Verschiebungen im "mittleren Verschiebungsquadrat" ‹R e ²› zusammen. Dabei muss das Quadrat dieser Größe betrachtet werden, weil die Bewegung in alle Raumrichtungen gleich wahrscheinlich ist und sich daraus, ohne quadrieren, ein Mittelwert von Null ergeben würde. Der Zusammenhang zwischen der mittleren freien Weglänge λ (auch als Schrittweite bezeichnet) und dem mittleren Verschiebungsquadrat wird durch die Einstein-Smoluchowski-Gleichung beschrieben: 〈R e 2 〉 = 〈r(t) − r(t = 0) 2 〉 = N ∙ λ 2 = t ∙ λ2 τ (1) Mit r(t) der Position zum Zeitpunkt t, r(t=0) der Startposition, N der Anzahl der Schritte, λ der Schrittweite und τ der Zeit pro Schritt. Für die Betrachtung sehr langer, einfacher (diffusiver) Irrflüge kann man die mikroskopischen Eigenschaften (die genaue Schrittfolge) ignorieren und betrachtet ausschließlich die statistischen Eigenschaften. So kann man zu jedem Irrflug weitere Irrflüge finden, die bei längerer Schrittweite und geringerer Schrittzahl bzw. kürzerer Schrittweite und höherer Schrittzahl die gleichen statistischen Eigenschaften aufweisen, sprich ein ebenso großes 2
TU Clausthal Institut für Physikalische Chemie Praktikum Teil A und B 17. COMPUTERSIMULATION Stand 28/05/2013 mittleres Verschiebungsquadrat ergeben. Diese Eigenschaft des Diffusionsprozesses bezeichnet man als "Skaleninvarianz". Solange die Skaleninvarianz gilt, folgt das mittlere Verschiebungsquadrat einem Gesetz der Form: 〈R e 2 〉 = N 2ν ∙ λ 2 (2) Weiterhin bezeichnet N die Anzahl der Schritte und λ die Schrittweite. Aus der Dimensionsbetrachtung wird klar, dass die Wurzel des mittleren Verschiebungsquadrats proportional zur Schrittweite λ sein muss. Da es sich bei beiden Größen um Strecken (in Metern) handelt, wäre ein anderer Zusammenhang physikalisch nicht sinnvoll. Die Abhängigkeit von der Schrittanzahl N ist jedoch wesentlich komplizierter. Der Zusammenhang zwischen dem mittleren Verschiebungsquadrat und der Schrittzahl wird durch den Skalenexponenten ν ("Ny") definiert. Dieser nimmt für einen klassischen Diffusionsprozess einen Wert von 1/2 an. Setzt man dies in die allgemein gültige Form (Gleichung (2)) ein, erhält man für den Spezialfall der klassischen Diffusion die Einstein- Smoluchowski-Gleichung. Das eigentliche "Experiment" besteht im Erzeugen von Irrflügen, die einen Diffusionsprozess simulieren. Dafür folgen wir dem Rosenbluth-Algorithmus 2 . Es wird eine Ortskoordinate als Startpunkt definiert, für einen Diffusionsprozess in 3 Dimensionen z.B. (0, 0, 0). Durch den Zufallsgenerator werden Zufallszahlen im Bereich von 1-6 erzeugt. Jeder dieser Zufallszahlen wird ein positiver oder negativer Wert in eine der drei Raumrichtungen zugewiesen (z.B. 1: r x → r x + 1; 2: r x → r x - 1; 3: r y → r y + 1 usw.) in die der Irrflug im folgenden Schritt fortgeführt wird. Für den gesamten Irrflug wird dieser Prozess N Mal durchgeführt. Für den einzelnen Irrflug wird nach Abschluss die Verschiebung nach R e = (r x 2 + r y 2 + r z 2 ) 1/2 bestimmt. 2 M.N. Rosenbluth and A.W. Rosenbluth, J. Chem. Phys. 23, 356 (1955). Besuchen Sie auch diese Site: http://polymer.bu.edu/java/java/saw/sawapplet.html. Der Rosenbluth-Algorithmus ist ein Leitfossil aus der Frühgeschichte der Computersimulation. Schon in den 40er Jahren hat der Japaner Teramoto diese Simulation für N≤9 von Hand ausgeführt. Könnten Sie die Simulation für N≤2 von Hand ausführen? (N=1: 〈R 2 e 〉=1, N=2: 〈R 2 e 〉=8/3) 3
Seite 1: TU Clausthal Institut für Physikal
Seite 5 und 6: TU Clausthal Institut für Physikal
Seite 15: TU Clausthal Institut für Physikal

Computersimulation - Institut fÃ¼r Physikalische Chemie

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?