Bachelorarbeit Rekonstruktion komplexer Netzwerke mittels ...

4 Mathematische Methoden der Zeitreihenanalyse
Hierbei sei besonders darauf hingewiesen, dass die Gleichungen (10) und (12) durchaus sehr
unterschiedliche Ergebnisse liefern können (siehe Abbildung 7).
C 1,2,3,4 = {0, 0, 0, 0}
C = 0
C ′ = 0
C 1,2,3,4 = {1, 1, 1, 1}
C = 1
C ′ = 4 C 1,2,3,4 = {1, 0, 1, 1 3 }
C = 7
12
C ′ = 2 3
Abbildung 7: Diverse Netzwerke mit dazugehörigem lokalen Clusterkoeffizient C i , globalem Clusterkoeffizient
C und der Mittelwert der lokalen Clusterkoeffizienten C ′ (, dieser
Clusterkoeffizient gilt global). (Links) Der minimale Wert des Clusterkoeffizienten
wird dargestellt, das Netzwerk enthält keinerlei Dreiecke. (Mitte) Dieses Netzwerk
besitzt den maximalen Wert des Clusterkoeffizienten, es enthält die größtmögliche
Anzahl an Kanten. (Rechts) Ein Netzwerk, welches unterschiedliche Werte für die
unterschiedlichen Definitionen des Clusterkoeffizienten liefert.
Gradverteilung
Das Wort Gradverteilung leitet sich von dem englischen „Degree Distribution“ ab. In einem
Netzwerk haben nicht alle Knoten gleich viele Kanten und somit nicht den gleichen Knotengrad
[1]. Die Knotengrade werden mit Hilfe der Verteilungsfunktion P (k) charakterisiert, diese gibt
die Wahrscheinlichkeit an, das ein zufällig gewählter Knoten genau k Kanten enthält. Erstellt
man nun ein Histogramm und trägt P (k) über dem Grad k auf, so gibt dieses Histogramm die
Gradverteilung des Netzwerks [31] an. Für einen zufälligen Graphen ergibt sich eine Poisson-
Verteilung 12 [11]. Diese Verteilung hat einen Peak bei P (〈k〉) [1], da der Großteil der Knoten
ungefähr den selben Grad hat, welcher nahe an dem Mittelwert der Grade 〈k〉 liegt. Um so
erstaunlicher ist jedoch, dass für reale Netzwerke Gradverteilungen gefunden werden, welche
gänzlich davon abweichen. Diese können für solche Netzwerke durch Potenzgesetze oder Exponentialgesetze
beschrieben werden [31] siehe Abbildung 8. Netzwerke mit einem abklingenden
Potenzgesetz werden skalenfrei genannt.
12 Die Poisson-Verteilung ergibt sich nur für Netzwerke mit großem Umfang, ansonsten entspricht die Gradverteilung
einer Binominalverteilung [11].
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