1.8 Zweidimensionales Elektronengas und Quanten-Hall-Effekt

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94 Kapitel 1 Halbleiter Anordnung mit GaAlAs/GaAs-Heterostruktur: Abb. 1.77: GaAsAs/GaAs- Heteroübergang zur Messung des Quanten-Hall- Effektes (nach Störmer [13]). [aus Bergmann- Schaefer, Lehrbuch der Experimentalphysik, Bd. 6, Festkörper (1992); Abb.6.89]. Die Phasengrenze des Heteroübergangs ist weniger ”rauh” als die Si/SiO 2 Phasengrenze des MOS-FETs → Vermeidet die Ausbildung parasitärer Ladungen an der Grenzfläche ⇒ noch deutlicher ausgeprägte Stufenstuktur; wird weiter verbessert durch Messung bei sehr tiefer Temperatur: Abb. 1.78: Quanten-Hall- Effekt am AlGaAs/GaAs- Heteroübergang (siehe auch Abb. 6.58 und 6.89 in Bergmann- Schäfer(6)). Oben: Tieftemperatur- Hall-Widerstand | U H /I |, unten: Tieftemperatur- Längswiderstand | ∆U/I |, beide als Funktion der magnetischen Induktion B (nach Tsui et al. [23] ). [aus Bergmann-Schaefer, Lehrbuch der Experimentalphysik, Bd. 6, Festkörper (1992); Abb.6.90].
1.8 Zweidimensionales Elektronengas und Quanten-Hall-Effekt 95 Zur Erklärung des Quanten-Hall-Effektes • Problemstellung: 2-dimensionale Bewegung von Elektronen im senkrechten Magnetfeld ⃗ B - Klassisch: Kreisbahnen mit Zyklotronfrequenz ω c = eB/m - Quantenmechanisch: Löse Schrödinger-Gleichung HΨ = EΨ für ein freies Elektron im Magnetfeld (ohne Spin) 1 2m ∗ (−i⃗ ∇ − e ⃗ A) 2 Ψ = EΨ Mit ⃗ B = rot ⃗ A gilt für das Vektorpotential ⃗ A eines gleichförmigen Magnetfelds ⃗ B = Bê z in der Landau-Eichung ⃗ A = −Byê x . Damit gilt für den Hamilton-Operator ( ) H = − 2 ∂ 2 2m ∂y + ∂2 + 1 [ −i ∂ ] 2 2 ∂z 2 2m ∂x − eyB Dieses Problem ist auf das Problem eines 2-dim. harmonischen Oszillator mit der Frequenz ω c zurückführbar. 5 Dies liefert die diskrete Energieeigenwerte [im (k x , k y )-Raum] E i = (i − 1 2 )ω c + 2 k 2 z 2m ; i = 1, 2 . . . (1.92) Der Term 2 k 2 z/2m beschreibt die kinetische Energie der Bewegung ’freier’ Elektronen in z-Richtung, parallel zum Magnetfeld. Im 2DEG ist diese Bewegung unterdrückt (in unserem Fall für ein Magnetfeld senkrecht zur Grenzfläche des MOS-FETs, bzw. der Heterostruktur in Abb.1.77). Damit gilt für die Energie der Elektronen E i = (i − 1 2 )ω c ; i = 1, 2 . . . (1.93) Im 2DEG bezeichnet man diese diskreten Energiewerte auch als die Landau-Niveaus. 5 siehe z.B. Kittel, Einführung in die Festköperphysik (1999), S.288.
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