1.8 Zweidimensionales Elektronengas und Quanten-Hall-Effekt

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96 Kapitel 1 Halbleiter ⇒ das für B = 0 kontinuierliche Spektrum des 2DEG mit D(E) = L 2 m/(2π 2 ) = const kollabiert im starken Magnetfeld (ω c τ ≫ 1) auf die diskreten Landau-Niveaus ! gesucht: Zahl der Zustände/Landau-Niveau Abb. 1.79: 2-dimensionales Elektronengas: Auspaltung der kontinuierlichen Energieniveaus (Nullfeld) auf die Landau-Niveaus im Magnetfeld ∆N = Zustandsdichte (B = 0) · Intervallbreite ω c = L2 m 2π · ω 2 c = L2 m 2π · eB 2 m = 1 L 2 2π l 2 B mit l B ≡ √ eB = ′′ Landau − Länge ′′ = L 2 e h B (1.94) Anmerkung: Die Zahl der Zustände ∆N ist auf jedem Landau-Niveau gleich. Die Landau-Länge l B ist gerade der klassische Radius der Elektronenbahn auf dem ersten Landau-Niveau. 6 Die von der ”klassischen” Bahn eingeschlossene Fläche ist πl 2 B . Im Magnetfeld B ist damit der magnetische Fluss durch diese Fläche gerade Φ = B · π · /(eB) = 1 2 h/e ≡ Φ 0/2 (mit Φ 0 ≡ h/e = 4.14 · 10 −15 Vs/m 2 ). Allgemein folgt für das i-te Landau-Niveau ein klassischer Bahnradius √ 2i − 1 · l B . Der von diesen Bahnen eingeschlossene magnetische Fluss ist Φ = 2i−1 2 Φ 0. 6 Mit i = 1 gilt E = ω c /2 = mv 2 /2 = mω 2 c r 2 /2 ⇒ r 2 = /(eB) = l 2 B
1.8 Zweidimensionales Elektronengas und Quanten-Hall-Effekt 97 Die Gleichung (1.93) beschreibt auch die Quantisierung der Zyklotron-Bahnbewegung im 2-dim. ⃗ k-Raum: Mit E i = (i − 1 2 )ω c = 2 k 2 i 2m folgt für die Fläche der Orbits im ⃗ k-Raum (mit ω c = eB/m und Φ 0 = h/e) A i = πk 2 i = π 2m 2 (i − 1 2 )ω c = Φ 0 · B(i − 1 2 ) . D.h. die Fläche der Orbits im ⃗ k-Raum ist quantisiert in ganzahligen Vielfachen von Φ 0 · B = A i+1 − A n . Die Zahl der Zustände in jedem Landau-Niveau, bezogen auf die Einheitsfläche (Flächendichte je Landau-Niveau) ist ∆N L 2 = e h B = B Φ 0 (1.95) Wenn nun das Fermi-Niveau zwischen zwei Landau-Niveaus liegt dann verhält sich das 2DEG wie ein Halbleiter mit einer Energielücke ω c . Für genügend tiefe Temperaturen und/oder starke Magnetfelder (ω c ∝ B) gilt dann k B T ≪ ω c , so dass das 2DEG isolierend wird, d.h. die Diagonalelemente des Leitfähigkeitstensors σ xx , σ yy gehen gegen Null. Wir betrachten im folgenden die Situation T = 0. Die Zahl der Elektronen im 2DEG N e sei so, dass E i < E F < E i+1 , d.h. das Fermi-Niveau liege gerade über dem i-ten Landau-Niveau. Damit gilt mit (1.94) dass die Gesamtzahl der Elektronen in den i besetzten Landau- Niveaus gegeben ist durch N e = i · ∆N = i · L 2 B Φ 0 = i · Φ Φ 0 = i · N Φ (1.96) Hierbei ist N Φ ≡ Φ/Φ 0 die Anzahl an Flussquanten und Φ = B · L 2 der Gesamtfluss in der Struktur. D.h. wenn i Landau-Niveaus vollständig gefüllt sind ist die Zahl N e der besetzten Zustände gerade i mal der Zahl der Flussquanten. Der Füllfaktor definiert sich als ν ≡ N e N Φ = F lächendichte der Elektronen F lächendichte der F lussquanten (1.97) D.h. bei vollständig besetzten Landau-Niveaus ist der Füllfaktor gerade die Zahl der vollständig besetzten Niveaus. Der inverse Wert ν −1 beschreibt die durchschnittliche Zahl von Flussquanten pro Elektron im 2DEG. Für ν ≥ 1: Regime des integralen QHE Für ν ≤ 1: Regime des fraktionalen QHE
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